Gerhard Moll Rechenstru kturen und Geometrie mit LOGO
Programmieren von Mikrocomputem Die Bande dieser Reihe geben den Benutzern von Heimcomputern. Hobbycomputern bzw. Personalcomputern iiber die Betriebsanleitung hinaus zusiitzliche Anwendungshilfen. Der Leser findet wertvolle Informationen und Hinweise mit Beispielen zur optimalen Ausnutzung seines Gerates. besonders auch im Hinblick auf die Entwicklung eigener Programme. Bisher erschienene Bande Band 1 Einfiihrung in BASIC Band 17 Einfiihrung in die Anwendung des UCSD p Systems von K. Buckner/M. J. Cookson/ Band 3 BASIC fiir Fortgeschrittene A. I. Hinxman/A. Tate Band 18 Mikrocomputer-COBO L Band 4 Einfiihrung in Pascal von W. Kahler Band 19 Fortgeschrittene Programmier- Band 6 BASIC Programmierbuch zu den techniken in Turbo Pascal grundlegenden Ablaufstrukturen von E. Hering und K. Scheurer der Datenverarbeitung von E. Kaier Band 20 Einfiihrung in die Anwendung des Betriebssystems Apple DOS Band 7 Lehr- und Obungsbuch fiir (Apple II) Commodore-Volkscomputer von H. R. Behrendt und von G. Oetzmann H. Junghans Band 9 Einfuhrung in die Anwendung des Band 22 Einfuhrung in Turbo Pascal unter Betriebssystems CP/M CP/M 80 von G. Harbeck Band 10 Datenstrukturen in Pascal und Band 23 Pascal mit der Turtle BASIC von K. und K. H. Beelich von D. Herrmann Band 24 Programmieren mit UNIX Band 11 Programmierprinzipien in BASIC von G. Martin und M. Trostmann und Pascal von D. Herrmann Band 25 Murmeltierwelt und Pascal von H. Pinke Band 13 Strukturiertes Programmieren in BASIC Band 26 Rechenstrukturen und Geometrie mit LOGO von G. Moll Band 14 Logo-Programmierkurs fiir Commodore 64 Logo und Band 27 Sprachverarbeitung mit LISP Terrapin Logo (Apple I I) und Prolog auf dem PC von B. Schuppar von J. Handke Band 15 Entwerfen von Programmen (Commodore 64) von G. Oetzmann Band 28 Probleme und Losungen mit Turbo Prolog von D. Herrmann Band 16 Einfiihrung in die Anwendung des Betriebssystems MS-DOS
Programmieren von Mikrocomputer Band 26 Gerhard Moll Rechenstrukturen und Geometrie mit LOGO Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig I Wiesbaden
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Moll. Gerhard: Rechenstrukturen und Geometrie mit LOGOI Gerhard Moll. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1988 (Programmieren von Mikrocomputern; Bd.26) ISBN 978-3-528-04492-3 ISBN 978-3-322-89425-0 (ebook) 001 10.1007/978-3-322-89425-0 NE:GT Das in diesem Buch enthaltene Programm-Material ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Der Autor und der Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann. Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh. Braunschweig 1988 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen. Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN 978-3-528-04492-3
v Vorwort Dieses Buch ist kein Mathematikbuch, aber es benutzt mathematische Sachverhalte, die man von der 9. Klasse an in der Schule lernt und in den Lehrbiichern nachlesen kann. Es ist auch kein typisches Computerbuch. Allerdings ist es nur mit Verstandnis zu lesen, wenn man die darin beschriebenen Programme nachvollzieht. Die benutzte Computersprache ist Logo, aber das Buch ist keine iibliche Einfiihrung in diese Programmiersprache. Die Algorithmen in diesem Buch sind jedoch meistens sehr einfach und werden in der Umgangssprache formuliert und in Logo iibertragen so dab sie leicht zu verstehen und anzuwenden sind. Das Buch bringt zwei Begriffe miteinander in Verbindung, die nur auf den ersten Blick zusammenhanglos zu sein scheinen: Rechnen und Geometrie. MaB und Zahl gehoren allerdings schon zu den ersten geometrischen Erfahrungen des Menschen, ob es sich um Langen von Strecken, GroBen von Winkeln, um Flachen- oder Rauminhalte handelt. Seit der Erfindung der analytischen Geometrie gehoren auch die Positionen von Punkten, Geraden und Ebenen zu den durch Zahlen beschreibbaren und somit auch berechenbaren geometrischen Objekten. Dariiber hinaus werden Kongruenz- und Ahnlichkeitsabbildungen der Ebene und des Raumes als aus Grundabbildungen berechenbare Objekte aufgefabt. Dies alles hat dazu gefiihrt, dab bereits in der Schule das Rechnen im Zusammenhang mit geometrischen Problemen eingesetzt wird. Es ist nicht verwunderlich, dab die in der Geometrie berechenbaren GroBen und Begriffe dort, wo ein Computer dies leisten kann, von einem Computer berechnet werden. So hat der Taschenrechner geholfen, langwierige Rechenarbeit abzukiirzen und den Geist frei fiir die eigentlichen mathematischen Sachverhalte gemacht. Nun stellt sich die Frage, ob eine noch weitergehende Erleichterung durch Verwendung geeigneter Computerprogramme moglich ist, die wieder eine Befreiung des Geistes fiir die eigentliche geometrische Arbeit sein kann. Eine Antwort darauf 5011 hier gegeben werden. Es wird nicht der Anspruch auf Volistandigkeit oder iibertriebene Exaktheit erhoben; der Leser kann sich iiber den mathematischen Sachverhalt in Mathematikbiichern fiir das Gymnasium informieren. Vielmehr soli der mathematisch Vorgebildete auf MCiglichkeiten der Begriffsbildung und der Logo-Programme hingewiesen werden, die in dieser Form neu sind. Die Durchfiihrung der Rechnung macht deutlich, dab eine mathematische Begriindung der Losungsansatze, ihrer Wege und Ergebnisse notwendig ist. Hier wird ein Anwender der Programme nicht entlastet, sondern herausgefordert. Es ist klar, dab Verbesserungen und Erweiterungen moglich sind. Hier 5011 nur gezeigt werden, wie geometrische Objekte schon mit einfachen Kenntnissen aus der Geometrie der Schule in Rechenstrukturen eingebunden werden konnen, wobei Logo helfen kann!
VI Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 Weggeometrie.... 1.1 Die Turtlegeometrie... 1 1.2 Verallgemeinerung: Figurgeometrie........................... 5 1.3 Anwendung der F igurgeometrie... 11 1.4 Exkurs: Rekursionen... 18 2 Trigonometrie... 24 2.1 Aufgabenstellung und Losung der GrundClufgaben... 24 2.2 Anwendungen der Grundaufgaben... 32 2.3 Ein interkatives Dreiecksberechnungsprogramm................... 37 2.4 Verallgemeinerung: Geometrische Berechnungen... 46 3 Die Rechenstruktur Vektorrechnung 54 3.1 Die zweidimensionale Vektorrechnung......................... 54 3.2 Losung eines Gleichungssystems... 59 3.3 Anwendung der Rechenstruktur Vektorrechnung.................. 65 3.4 Mehrdimensionale Vektorgeometrie... 68 4 Analytische Geometrie.................................... 78 4.1 Ebene analytische Geometrie... 78 4.2 Anwendungen der ebenen analytischen Geometrie... 86 4.3 Die Rechenstruktur der riiumlichen analytischen Geometrie........... 91 4.4 Anwendungen der riiumlichen analytischen Geometrie... 104 5 Ebene und raumliche Kongruenzabbildungen... 112 5.1 Die Entwicklung der Kongruenzabbildungen der Ebene aus Translationen und Geradenspiegelungen........ 112 5.2 Die Entwicklung der Kongruenzabbildungen des Raumes aus Translationen und Ebenenspiegelungen... 117
I nhaltsverzeichnis VII 6 Komplexe Zahlen........................................ 122 6.1 Die Rechenstruktur der komplexen Zahlen..................... 122 6.2 Die GauBsche Zahlenebene und Polarkoordinaten... 126 6.3 Abbildungen in der GauBschen Zahlenebene... 127 6.4 Die lineare Abbildung.................................... 129 7 Die mathematische Bedeutung der Ergebnisse 134 Literaturhinweise.......................................... 139 Stichwortverzeichnis 140