Lösung: Lösung - Klausur

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1 für Informatik Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Lösung - Klausur.09.0 hristian Dehnert, Friedrich Gretz, Benjamin Kaminski, Thomas Ströder ufgabe (O-Notation): ( + 6 = Punkte) a) Tragen Sie in die durch gekennzeichneten freien Felder entweder o, ω oder Θ ein, sodass die entsprechende ussage gilt. Beispielsweise wäre bei der ussage f (n) (f (n)) ein Θ einzutragen, da die ussage f (n) Θ(f (n)) gilt, die ussagen f (n) o(f (n)) und f (n) ω(f (n)) jedoch beide nicht gelten. ) ( (i n i ) n 7 i=0 n 7 ( ) 0 n n n log 8 (n) ( ) n n ) 7 (n i i=0 n! (n n ) ( ) ( n 8 ) n ( n ) n i i=0 n i= (n) (log (n)) ( ) n i + i ( n ) b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass für Funktionen f : N R 0 und g : N R 0 gilt: f (n) + g(n) O (f (n) g(n)) Lösung: a) ) (i n i o ( n 7) i=0 n 7 Θ n log 8 (n) o ( n ) ( ) 0 n n n ω ( 97897) ) 7 (n i o ( n 8) i=0

2 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 n! o (n n ) n o ( n ) n i Θ (n) i=0 n ω (log (n)) ( ) n i + Θ ( n ) i i= b) Behauptung: Die ussage gilt nicht. Beweis: Gegenbeispiel: Sei f (n) = 0 und g(n) = n. Dann gilt f (n) + g(n) = 0 + n = n und f (n) g(n) = 0 n = 0. Es gibt aber offensichtlich kein c und n 0, sodass für alle n n 0 gilt: f (n) + g(n) = n 0 = c 0 = c f (n) g(n)

3 für Informatik ufgabe (Rekursionsgleichungen): a) Geben Sie für das Programm int berechne ( int n) { if (n <= ) return ; Lösung - Klausur.09.0 (0 + 8 = 8 Punkte) int value = func (n); int k = 7; while (k >= ) { value = * berechne (n/k); k = k - ; } } return value ; int func ( int n) { int res = 0; while (n > ) { res = res + ; n = n /; } } return res ; eine Rekursionsgleichung für die asymptotische Laufzeit des ufrufes berechne(n) in bhängigkeit von n an. Die elementaren, also die für die asymptotische Laufzeit relevanten, Operationen sind alle arithmetischen Operationen sowie Vergleiche. Sie brauchen die Basisfälle der Rekursionsgleichung nicht anzugeben. b) Bestimmen Sie für die Rekursionsgleichung T (n) = 8 T ( n ) + n + n die Komplexitätsklasse Θ mit Hilfe des Master-Theorems. Begründen Sie Ihre ntwort. Lösung: a) func(n) hat logarithmische Laufzeit im Parameter n, da in der while-schleife der aktuelle Wert von n immer wieder durch zwei geteilt wird (was größenordnungsmäßig logarithmisch oft möglich ist, bis erreicht wird). Jeder ufruf von berechne(n) führt nacheinander zu den ufrufen berechne(n/7), berechne(n/6) und berechne(n/), da in der while-schleife k die Werte 7, 6 und annimmt. Somit ergibt sich die folgende Rekursionsgleichung für die asymptotische Laufzeit von berechne(n): T (n) = T ( n 7 ) + T ( n 6 ) + T ( n ) + log(n) T (0) = T () = b) Es sind b = 8, c = und f (n) = n + n. E wird nun wie folgt bestimmt: E = log(8) log() = =.

4 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Damit gilt n E = n.. Wähle nun ε =. = 0.. Wir bestimmen nun den folgenden Grenzwert: f (n) lim n n E ε n + n = lim n n. 0. n + n = lim n n = lim + n n = + 0 = Damit gilt f (n) Θ ( n E ε). Somit findet der erste Fall des Master-Theorems nwendung und es ergibt sich die Komplexitätsklasse Θ ( n E) für T (n), also T (n) Θ ( n.).

5 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 ufgabe (Sortieren): ( = Punkte) a) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Mergesort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Merge- Operation an. Die vorgegebene nzahl an Zeilen muss nicht mit der benötigten nzahl an Zeilen übereinstimmen b) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Heapsort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Swap-Operation an. Die vorgegebene nzahl an Zeilen muss nicht mit der benötigten nzahl an Zeilen übereinstimmen c) Eine Firma hat ein Fließband, auf welchem eine Folge von Gegenständen vorwärts und rückwärts befördert werden kann. Jeder Gegenstand ist mit einem Barcode versehen, welcher eine Zahl repräsentiert. n einer Stelle des Fließbandes befindet sich eine Maschine, welche zwei sich hintereinander an dieser Stelle auf dem Fließband befindliche Gegenstände bzgl. der durch ihren Barcode repräsentierten Zahl miteinander vergleichen und, falls sich die Gegenstände nicht in richtiger Reihenfolge befinden, die Position der beiden Gegenstände auf dem Fließband miteinander vertauschen kann. Die ausgelesenen Zahlen kann die Maschine jedoch nicht nach außen kommunizieren (d. h. der Maschine kann nur ein Signal gegeben werden, ihre Vergleichs- und Tauschoperation durchzuführen, aber die Maschine sendet keine andere Information zurück als diejenige, dass sie ihre Operation beendet hat). Die Firma möchte eine Steuerung des Fließbandes und der Maschine einbauen, welche das Fließband jeweils einen Gegenstand vorwärts bzw. rückwärts bewegen und die Maschine veranlassen kann, ihre Vergleichs- und Tauschoperation durchzuführen. Die Steuerung soll dafür sorgen, dass die Folge der Gegenstände sortiert wird. Welches Sortierverfahren aus der Vorlesung würden Sie der Steuerung zugrunde legen? Begründen Sie Ihre ntwort kurz (d. h. mit nicht mehr als 0 Worten). Lösung: a)

6 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 b) c) Für dieses Szenario eignet sich nur Bubblesort, da es das einzige Verfahren aus der Vorlesung ist, welches lediglich Vergleiche und Tauschoperationen auf benachbarten Elementen benötigt. 6

7 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 ufgabe (Hashing): ( + = 6 Punkte) a) Fügen Sie die folgenden Werte in das unten stehende rray a der Länge unter Verwendung der Divisionsmethode mit linearer Sondierung ein:, 7,, 7, 6,. b) Fügen Sie die folgenden Werte in das unten stehende rray a der Länge unter Verwendung der Divisionsmethode mit quadratischer Sondierung (c = 0.0, c =.0) ein: 6, 9, 7, 9, 0, 8. Lösung: a) m = : b) m =, c = 0.0, c =.0:

8 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 ufgabe (Bäume): ( = 7 Punkte) a) Löschen Sie den Wert aus dem folgenden VL-Baum und geben Sie die entstehenden Bäume nach jeder Löschoperation sowie jeder Rotation an. Markieren Sie außerdem zu jeder Rotation, welcher Knoten in welche Richtung rotiert wird: b) Fügen Sie den Wert in den folgenden Rot-Schwarz-Baum ein und geben Sie die entstehenden Bäume nach jeder Einfügeoperation, jeder Rotation sowie jeder Umfärbung an. Markieren Sie außerdem zu jeder Rotation, welcher Knoten in welche Richtung rotiert wird. Mehrere Umfärbungen können Sie in einem Schritt zusammenfassen. Beachten Sie, dass rote Knoten rund und schwarze Knoten eckig dargestellt werden. c) Zeigen Sie per Induktion über h: Hat ein Knoten v eines Rot-Schwarz-Baums die Höhe h, so besitzt der Teilbaum mit Wurzel v mindestens bh(v) innere Knoten. Hinweise: bh(v) bezeichnet die Schwarzhöhe des Knoten v, also die nzahl von schwarzen Knoten auf einem Pfad von v zu einem externen Blatt, wobei der Knoten v nicht mitzählt. Die Höhe h(v) eines Knoten v ist nzahl der Kanten des längsten Pfades von v bis zu einem externen Blatt. Innere Knoten sind Knoten des Baumes, die keine externen Blätter sind. Es ist hilfreich, bei der Induktionsannahme davon auszugehen, dass die ussage für alle Höhen h mit 0 h < h gilt. 8

9 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Lösung: a) entferne rotiere nach links b) füge ein 9

10 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Fall (Onkel ist null und damit schwarz und aktueller Knoten liegt innen): rotiere nach rechts Fall (Onkel ist null und damit schwarz und aktueller Knoten liegt außen): rotiere nach links 0

11 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Fall (Fortsetzung): umfärben c) Induktionsanfang: h = 0: Die einzigen Knoten v mit Höhe 0 sind die externen Knoten. Damit ist die nzahl der inneren Knoten des Teilbaums 0 und ebenso ist bh(v) = 0 = 0. Induktionshypothese: Für alle Knoten v eines Rot-Schwarz-Baums mit Höhe 0 h(v ) < h, hat der Teilbaum mit Wurzel v mindestens bh(v ) innere Knoten. Induktionsschritt: Betrachten wir einen Knoten v mit Höhe h > 0 und seine Nachfolger v l und v r. Ist v l rot, dann gilt bh(v l ) = bh(v) und sonst bh(v l ) = bh(v). naloges gilt für v r. Wegen h(v l ) < h und h(v r ) < h ist nach Induktionsvoraussetzung die nzahl der inneren Knoten in den beiden Teilbäumen von v also jeweils mindestens bh(v). Da v ein innerer Knoten ist, hat der Teilbaum mit Wurzel v mindestens innere Knoten. ( bh(v) ) + }{{}}{{} = bh(v) + = bh(v) je Teilbaum v

12 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 ufgabe 6 (Graphen): ( = 0 Punkte) a) Bestimmen Sie eine topologische Sortierung unter Verwendung des in der Vorlesung vorgestellten lgorithmus für den folgenden Graphen. Die Knoten in diesem Graphen sind mit jeweils einem Schlüssel und einer Dauer beschriftet. Im gesamten lgorithmus werden Knoten in aufsteigender alphabetischer Reihenfolge ihrer Schlüssel berücksichtigt. Geben Sie als Ergebnis die Liste der Knotenschlüssel zusammen mit ihrem jeweiligen frühesten Endzeitpunkt (eft) in aufsteigender Reihenfolge der Topologiewerte an. Markieren Sie außerdem einen kritischen Pfad, indem Sie die zugehörigen Knotenschlüssel unterstreichen, und geben Sie den gesamten frühesten Endzeitpunkt (eft) an., B,, D, E, F, G, H, I, b) Betrachten Sie den folgenden Graphen: B D E F 6 Führen Sie den Dijkstra lgorithmus auf diesem Graphen mit dem Startknoten aus. Falls mehrere Knoten für die nächste Iteration zur Wahl stehen, werden die Knoten dabei in alphabetischer Reihenfolge betrachtet. Füllen Sie dazu die nachfolgende Tabelle aus: Knoten B D E F c) Betrachten Sie das folgende Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t:

13 für Informatik Lösung - Klausur / 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ Berechnen Sie den maximalen Fluss in diesem Netzwerk mithilfe der Ford-Fulkerson Methode. Geben Sie dazu jedes Restnetzwerk (auch das initiale) sowie nach jeder ugmentierung den aktuellen Zustand des Flussnetzwerks an. Geben Sie außerdem den Wert des maximalen Flusses an. Die vorgegebene nzahl an Lösungsschritten muss nicht mit der benötigten nzahl solcher Schritte übereinstimmen. Schritt : Schritt : Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss:

14 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Schritt : Schritt : Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: Schritt : Restnetzwerk: Schritt 6: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss:

15 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Schritt 7: Schritt 8: Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: Schritt 9: Restnetzwerk: Der maximale Fluss hat den Wert: Lösung: a) Der gegebene Graph hat die folgende topologische Sortierung: (), B (), F (6), E (8), (9), D (), I (), H (), G () eft:

16 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Knoten E D F B b) D 8 E F 7 Die grau unterlegten Zellen markieren, an welcher Stelle für welchen Knoten die minimale Distanz sicher berechnet worden ist. Schritt 0: Initiales Flussnetzwerk: c) 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 6

17 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Schritt : Schritt : Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / 0/ 0/ 0/ 0/ Schritt : Schritt : Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / / / 0/ 0/ 7

18 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Schritt : Schritt 6: Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / / / / / Schritt 7: Schritt 8: Restnetzwerk: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / / / / / / / 8

19 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Schritt 9: Restnetzwerk: Der maximale Fluss hat den Wert: 6 9

20 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 ufgabe 7 (lgorithmenentwurf): ( + 8 = 0 Punkte) Gegeben seien die Werte einer ktie an n aufeinanderfolgenden Tagen {0,..., n } in Form eines textttint rrays E der Länge n. Steht also in E[i] ein Wert v, so hatte die ktie an Tag i den Wert v. Der ktienspann eines Tages i ist die maximale nzahl der direkt aufeinanderfolgenden, vorhergehenden Tage (inklusive des aktuellen Tags), an dem der ktienwert höchstens so hoch wie am Tag i war. Formal ist der ktienspann eines Tages i {0,..., n } also die maximale nzahl s i der Tage t,..., t si mit t j {0,..., n } für j {,..., s i }, für die gilt: t si = i (d. h. der letzte Tag der Folge t,..., t si ist der Tag i selbst) t j + = t j+ für j {,..., s i } (d. h. die Tage in t,..., t si folgen ohne Unterbrechung direkt aufeinander) E[t j ] E[i] für j {,..., s i } (d. h. an jedem Tag dieser Folge hatte die ktie einen höchstens so hohen Wert wie am Tag i) a) Betrachten Sie das folgende Eingabearray E, das die Werte einer ktie an 7 aufeinanderfolgenden Tagen wiedergibt: [,,,,, 6, ] Eine graphische Repräsentation dieser Werte sieht wie folgt aus: 6 ktienwert Tag Berechnen Sie für alle Tage den ktienspann und tragen Sie ihn in das nachfolgende rray ein, sodass an Index i der ktienspann des Tages i steht. Die Lösung für Tag 0 ist bereits vorgegeben. b) Geben Sie einen lgorithmus in Pseudocode an, der zu einem gegebenen Eingabearray E der Länge n von ktienwerten ein usgabearray S berechnet, sodass an S[i] der ktienspann des Tages i steht. Die Laufzeit Ihres lgorithmus soll dabei eine Worst-ase-Komplexität in O(n) besitzen, wobei für die Komplexität arithmetische Operationen, Vergleiche und Speicherzugriffe zu berücksichtigen sind. Begründen Sie kurz (maximal 70 Worte), wieso ihr lgorithmus die Laufzeitschranke einhält. Hinweise: Es kann hierbei hilfreich sein, von rechts nach links über das rray zu iterieren (wobei bereits eine einzige Iteration ausreicht) sowie einen Stack zu benutzen. Zur Erinnerung: der DT Stack bietet die folgenden Operationen: bool isempty(stack s) (liefert true gdw. der Stack s leer ist) void push(stack s, Element e) (legt das Element e oben auf den Stack s) 0

21 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 Element pop(stack s) (entfernt das oberste Element des nicht-leeren Stacks s und liefert dieses zurück) Zusätzlich dürfen Sie davon ausgehen, dass der DT Stack die folgende Operation zur Verfügung stellt: Element peek(stack s) (liefert das oberste Element des nicht-leeren Stacks s zurück, ohne es von s zu entfernen) lle diese Operationen besitzen eine Worst-ase-Laufzeit in O(). Lösung: a) Die ktienspänne lauten wie folgt: 6 b) void aktienspann ( int E[], int S[], int n) { Stack < int > positionstack ; for ( int j = n - ; j >= 0; j - -) { while (! isempty ( positionstack )) { if (E[ peek ( positionstack )] < E[j]) { int topelement = pop ( positionstack ); S[ topelement ] = topelement - j; } } push ( positionstack, j); } } // Behandle alle Tage an denen der Wert hoeher // war als an allen vorherigen Tagen. while (! isempty ( positionstack )) { topelement = pop ( positionstack ); S[ topelement ] = topelement + ; } Die textttfor-schleife wird n-mal durchlaufen. Die beiden textttwhile-schleifen werden insgesamt ebenfalls n-mal durchlaufen, da jedes Element genau einmal auf den Stack gelegt und wieder davon entfernt wird. Da ansonsten alle Schleifen nur konstant viele nweisungen enthalten, deren Laufzeit jeweils in O() ist, ergibt sich eine Gesamtlaufzeit in O(n).

22 für Informatik Lösung - Klausur.09.0 ufgabe 8 (Dynamische Programmierung): (7 + 6 = Punkte) a) Bestimmen Sie die längste gemeinsame Teilsequenz der Sequenzen KER und KTE. Benutzen Sie hierfür den in der Vorlesung vorgestellten lgorithmus mit dynamischer Programmierung und füllen Sie die folgende Tabelle aus. Eine leere Sequenz können Sie durch - angeben. b) Eine D hat eine verfügbare Laufzeit von k N >0 Minuten. ußerdem haben wir eine Liste S = [s,..., s n ] von Songlaufzeiten in Minuten (der i-te Song hat also eine Laufzeit von exakt s i N >0 Minuten). Wir möchten nun eine uswahl der Songs auf die D brennen, sodass die Laufzeit der D möglichst gut ausgenutzt wird (d. h. die ungenutzte Restzeit soll minimiert werden ohne die verfügbare Laufzeit zu überschreiten) und jeder Song höchstens einmal auf der D enthalten ist (während gleiche Songlaufzeiten durchaus mehrfach in S auftreten können, sind die Songs, die dieser Liste zugrunde liegen, paarweise verschieden). Beispiel: Sei k = 0 und S = [,, 6, ] die Liste der Songlaufzeiten. Brennt man die Songs mit den Laufzeiten und auf die D, so erhält man eine Restlaufzeit von Minuten, welche nicht weiter verwendet werden kann. Brennt man hingegen die Songs mit den Laufzeiten und 6 auf die D, so bleibt keine Restlaufzeit übrig. Dies wäre eine optimale Lösung für das gegebene Problem (es kann mehrere optimale Lösungen für eine Probleminstanz geben, wobei die entsprechende Restlaufzeit natürlich gleich sein muss). Geben Sie eine Rekursionsgleichung für das Teilproblem (i, l) an, wobei (i, l) die minimale Restlaufzeit für eine D mit verfügbarer Laufzeit 0 l k und den Songs mit Laufzeiten s,..., s i ist, wobei 0 i n gilt (bei i = 0 ist die Liste der Songlaufzeiten leer). Lösung: a) Die Tabelle wird vom lgorithmus wie folgt gefüllt: K T E K 0 E 0 R 0 Längste gemeinsame Teilsequenz: KE b) l für i = 0, (i, l) = min{(i, l), (i, l s i )} für i > 0, l s i, (i, l) sonst.