DAP2-Klausur

Transkript

1 DAP2-Klausur Vorname : Familienname: Ich studiere (Bitte markieren): Informatik (inkl. angewandte Informatik)/ Lehramt Informatik/Informationstechnik/ Physik/Mathe/Statistik/Sonstiges: Bitte beachten: Auf jedem Blatt Matrikelnummer gut lesbar eintragen! (Die Klausur wird bei der Korrektur entklammert.) Nur Papier verwenden, das von uns ausgeteilt wurde! (Papiernachschub kann von der Klausuraufsicht erbeten werden.) Nur dokumentenechte Schreibgeräte verwenden! (Z.B. Kugelschreiber, nicht Bleistifte.) Nur Vorderseiten beschriften! Wir als Klausurveranstalter sind organisatorisch nicht dazu in der Lage, vor bzw. während der Klausur zu überprüfen, ob die Teilnehmer/-innen dazu berechtigt sind, die Klausur mitzuschreiben bzw. ob sie ordnungsgemäß bei der jeweils zuständigen Stelle angemeldet sind. Daher gilt folgendes: Durch die Teilnahme an der Klausur erkennt der Teilnehmer bzw. die Teilnehmerin an, dass diese unter Vorbehalt stattfindet. Genauer: Die Teilnahmeberechtigung und Anerkennung der Klausur wird erst nach der Klausur von der jeweils zuständigen Stelle überprüft und ist nicht automatisch durch die Teilnahme an der Klausur gegeben. Pro Aufgabe werden 10 Punkte vergeben. Richtwert: Zum Bestehen der Klausur sollten 40 Prozent der Punkte erreicht werden. Bewertung, nur vom Korrektor auszufüllen: Aufgabe Gesamt Punkte 1

2 Punkte 1. Aufgabe: Topologische Sortierung Für gerichtete kreisfreie Graphen G kann man eine topologische Sortierung angeben. a) [2 Pkt.] Was versteht man unter einer topologischen Sortierung eines Graphen G = ({1,..., n}, E)? b) [1 Pkt.] Gib für den folgenden Graphen eine topologische Sortierung an c) [4 Pkt.] Beschreibe allgemein einen effizienten Algorithmus, mit dem man eine topologische Sortierung berechnen kann. Beschreibe dabei auch, wie die einzelnen Schritte effizient implementiert werden. d) [3 Pkt.] Beweise, dass der von dir beschriebene Algorithmus tatsächlich topologisch sortiert. Ab hier bitte deine Antworten. 2

3 Fortsetzung 1. Aufgabe: 3

4 Fortsetzung 1. Aufgabe: 4

5 Punkte 2. Aufgabe: UNION FIND Datenstruktur Wir haben in der Vorlesung zwei nicht-triviale Datenstrukturen für die Darstellung von Partitionen vorgestellt. In dieser Aufgabe geht es um die nicht-triviale Datenstruktur, die jede FIND-Operation in Zeit O(1) und UNION-Operationen ebenfalls effizient unterstützt. a) [1 Pkt.] Was versteht man überhaupt unter einer Partition einer Menge M = {1,..., n}? b) [2 Pkt.] Beschreibe, wie eine Partition in der Datenstruktur dargestellt wird. c) [1 Pkt.] Wie wird eine FIND-Operation implementiert? d) [2 Pkt.] Wie wird eine UNION-Operation implementiert? e) [4 Pkt.] Nenne und beweise die Worst-Case-Rechenzeit für eine Folge von n 1 UNION- und m FIND-Operationen. Ab hier bitte deine Antworten. 5

6 Fortsetzung 2. Aufgabe: 6

7 Fortsetzung 2. Aufgabe: 7

8 Punkte 3. Aufgabe: Hashing Für Hashing wurden in der Vorlesung die vier Kollisionsstrategien lineares Sondieren, quadratisches Sondieren, multiplikatives Sondieren und doppeltes Hashing vorgestellt. a) [4 Pkt.] Die Kollisionsbehandlung bei einer Hashfunktion wird für einen Schlüssel x durch eine Folge test 0 (x), test 1 (x),... festgelegt. Gib für jede der vier Strategien die jeweilige Formel für test i (x) an. b) [2 Pkt.] Welche Annahmen macht man beim so genannten idealen Hashing? c) [4 Pkt.] Für das ideale Hashing haben wir die Formel f(n, M) = (M + 1)/(M + 1 n) für die erwartete Anzahl an besuchten Speicherzellen aufgestellt, wenn schon n von M Zellen belegt sind und ein neues Element eingefügt wird. Zum Nachweis dieser Formel haben wir eine Rekursionsgleichung aufgestellt. Gib diese an und begründe sie. Das Lösen der Rekursionsgleichung ist nicht nötig. Ab hier bitte deine Antworten. 8

9 Fortsetzung 3. Aufgabe: 9

10 Fortsetzung 3. Aufgabe: 10

11 Punkte 4. Aufgabe: Heapsort In dieser Aufgabe geht es um das Sortierverfahren Heapsort in der klassischen Variante. a) [1 Pkt.] Wie wird dabei ein Array A[1... n] als Baum interpretiert? b) [3 Pkt.] Wie funktioniert die Operation reheap(i, m)? c) [1 Pkt.] Wie funktioniert die Heap-Creation-Phase unter Benutzung von reheap(i, m)? (Pseudocode reicht.) d) [1 Pkt.] Nenne die Worst-Case-Laufzeit für die Heap-Creation-Phase. (Angabe in O-Notation genügt!) e) [1 Pkt.] Nenne die Worst-Case-Laufzeit für die Heap-Selection-Phase. (Angabe in O-Notation genügt!) f) [3 Pkt.] Wie analysiert man die Worst-Case-Laufzeit für die Heap-Creation-Phase? Der Ansatz reicht, die Rechnung muss nicht im Detail durchgeführt werden. (Der Einfachheit halber darfst du sogar davon ausgehen, dass der Heap ein vollständiger Binärbaum ist.) Ab hier bitte deine Antworten. 11

12 Fortsetzung 4. Aufgabe: 12

13 Fortsetzung 4. Aufgabe: 13

14 Punkte 5. Aufgabe: Bin-Packing-Problem Wir haben in der Vorlesung Algorithmen für das Bin-Packing-Problem vorgestellt. a) [2 Pkt.] Worum geht es bei dem Bin-Packing-Problem? Genauer: Was ist Eingabe, was soll berechnet werden? b) [2 Pkt.] Wann nennt man einen Algorithmus für das Bin-Packing-Problem Online- Algorithmus und wann nennt man ihn Offline-Algorithmus? c) [6 Pkt.] Beschreibe die Algorithmen First-Fit und Best-Fit für das Bin-Packing- Problem. Beweise, dass der Wert einer von First-Fit berechneten Lösung höchstens um den Faktor 2 größer ist als der Wert einer optimalen Lösung. Ab hier bitte deine Antworten. 14

15 Fortsetzung 5. Aufgabe: 15

16 Fortsetzung 5. Aufgabe: 16

17 Punkte 6. Aufgabe: Optimales Alignment Wir haben in der Vorlesung das Problem optimales globales Alignment aus der Bioinformatik kennen gelernt. a) [3 Pkt.] Definiere das Problem formal. Erkläre dabei insbesondere: Was ist als Eingabe gegeben? Wann heißt ein String x Erweiterung eines Strings x? Was ist ein Alignment und wie wird es bewertet? Was soll berechnet werden? b) [4.5 Pkt.] Wie löst man das Problem mit Hilfe der dynamischen Programmierung? Gib insbesondere die bellmansche Optimalitätsgleichung an und begründe, warum sie gilt. Definiere die in der Optimalitätsgleichung auftretenden Parameter. c) [2.5 Pkt.] Nenne und begründe die Laufzeit dieses Verfahrens. (Angabe in O-Notation genügt!) Ab hier bitte deine Antworten. 17

18 Fortsetzung 6. Aufgabe: 18

19 Fortsetzung 6. Aufgabe: 19