Herleitung v. (LG2) aus einem Variationsprinzip (VP), das sog. "Hamiltonsche VP". (siehe S. VR14) Mathematisches Rüstzeug: "Variationsrechnung"

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1 VARIATIONSRECHNUNG Ziel: Herleitung v. (LG2) aus einem Variationsprinzip (VP), das sog. "Hamiltonsche VP". (siehe S. VR14) Mathematisches Rüstzeug: "Variationsrechnung" Variation ohne Nebenbedingungen Allgemeine Problemstellung: sei eine gegebene Funktion von sei eine Funktion von x, mit Ein "Funktional" [angedeutet durch eckige Klammern] bildet eine Funktion auf Zahl ab. Welche Funktion extremal, unter Randbedingungen macht das Funktional Konkretes Beispiel (Teil 1): Frage: Welche Funktion minimiert die Bogenlänge zwischen und "Geratene" Antwort: Variationsrechnung ist ein systematisches Verfahren, solche Fragen zu beantworten! Bestimmung des "Abstands-Funktionals": Wir werden bald (Seite VR6) zeigen: Minimierung von (4) liefert (2)!! Ende v. Beispiel (Teil 1)

2 Strategie zur Findung der Extremalfunkt.: "Variationsprinzip" Gesuchte Fkt. sei Vergleichsfkt. sei infinitesimal beliebig mit Randbedingung: weil fest vorgegeben ist Extremalbedingung: sei extremal bei ε = 0 Mathematisch formuliert: extremal nicht extremal Konsequenzen v. (3.5) Taylor-Entwicklung in ε um ε = 0: (siehe Seite VR5) ("normale" Taylor-Entwicklung in 2 Variablen) Partielle Integration vom -Term: part. Int.

3 (4.4) muss für beliebige gelten: Umschreiben mittels Def. von (4.2) für liefert die "Euler-Lagrange-Gl. (ELG) der Variationsrechnung": Dies ist eine Differentialgleichung für die gesuchte Funktion zu lösen mit Randbedingungen Beispiel: (Teil 2) minimale Bogenlänge? Bogenlängenfunktional: ELG: (5.3): "Integration": x-unabhängig Gesuchte Funktion: Gerade

4 Zusammenfassung der Herleitung in Kurznotation: Randterm beliebig Beispiel: Schnellster Fallweg? "Problem der Brachistochrone", (Bernoulli) ["brachistos" = kürzeste, "chronos" = Zeit] Für welche Form der "Rutschbahn" Für Animation des rollenden Teilchens, siehe: ist Rutschzeit minimal? Historie: Excerpt from an article by: J J O'Connor and E F Robertson The brachistochrone problem was posed by Johann Bernoulli in Acta Eruditorum in June 1696: "I, Johann Bernoulli, address the most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest, challenging problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I hope to gain the gratitude of the whole scientific community by placing before the finest mathematicians of our time a problem which will test their methods and the strength of their intellect. If someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise." The problem he posed was the following:- "Given two points A and B in a vertical plane, what is the curve traced out by a point acted on only by gravity, which starts at A and reaches B in the shortest time." Now Johann Bernoulli and Leibniz deliberately tempted Newton with this problem. It is not surprising, given the dispute over the calculus, that Johann Bernoulli had included these words in his challenge:- "...there are fewer who are likely to solve our excellent problems, aye, fewer even among the very mathematicians who boast that [they]... have wonderfully extended its bounds by means of the golden theorems which (they thought) were known to no one, but which in fact had long previously been published by others." According to Newton's biographer Conduitt, he solved the problem in an evening after returning home from the Royal Mint. Newton:- "... in the midst of the hurry of the great recoinage, did not come home till four (in the afternoon) from the Tower very much tired, but did not sleep till he had solved it, which was by four in the morning."

5 Für welche Form der "Rutschbahn" ist Rutschzeit minimal? Bestimmung des "Rutschdauer-"Funktionals: Bogenlänge momentane Geschwindigkeit wobei: Energie-Erhaltung liefert Geschwindigkeit v(x) als Funktion von x: (3),(2) in (1): ELG (5.3): konkret für (9.4): Diese Differentialgleichung für bestimmt die Form der gesuchten Kurve y(x). Ihre Lösung sei vollständigheitshalber (ohne Herleitung) erwähnt: Integration liefert: Parametrische Lösung: (= Zykloid) Zykloid Für eine Herleitung, siehe: Für Animation einer Zykloide, siehe:

6 Verallgemeinerung: Funktional v. mehreren Fkt. Randbedingung: Gesucht: N Funktionen für die extremal ist. Vergleichsfunktionen: (unabhängige Variationsparameter) Extremalbedingung: [wie (3.5)] sei minimal bei (denn sind alle unabhängig) N mal dasselbe wie vorhin: Weitere Verallgemeinerung: (zur Kenntnisnahme) N Funktionen jeweils abhängig von R Variablen, Funktional: Randbedingungen: Alle seien auf Rand von B fest vorgegeben Gesucht: N Funktionen so, dass extremal ist Vergleichsfunktion: mit Ableitungen: unabhängige Variationsfunktionen, jeweils abhängig v. R Parametern

7 Extremalbedingung: [wie (3.5)] Verallgem. von sind alle unabhängig: partielle Integration beliebig: Randterme N EL-Gleichungen: Weitere mögliche Verallgemeinerungen: (i) Höhere Ableitungen, z.b. (ii) keine Randbedingungen vorgeben... (iii) Variation mit Nebenbedingungen... Hamiltonsches Prinzip der kleinsten (extremalen) Wirkung Def.: "Wirkung" Das Funktional "Wirkung" der Bahnkurve wird die genannt. Geschw. Koordinaten "action": Einheiten: Energie * Zeit Hamiltonsches Prinzip (HP): Die dynamische Evolution des Systems zwischen und erfolgt so, dass die Wirkung extremal wird, unter Variation der Bahnkurve mit Randbedingung

8 Beweis: Identifiziere: ELG (11.4): ELG für Hamiltonsches Prinzip liefern LG2!! f Diff.-Gl. 2. Ordnung 2f Integrationskonst. entweder: und bei oder: bei und Quantenmechanik a la Feynman Freies Teilchen: Klassisch: Weg ist bestimmt durch: Quantenmechanisch: Wahrscheinlichkeit, in Zeit von nach zu gelangen, ist gegeben durch eine Summe über alle(!) Wege: alle Wege zwischen = Plancksche Konstante Für die meisten Wege mitteln sich die Phasen weg. Außer für diejenigen Wege, für die gilt: Die relevanten Wege bündeln sich also um den klassischen Weg! So liefert die Quantenmechanik die Grundlage für das Hamiltonsche Prinzip!!

9 Zusammenfassung: Variationsrechnung Allgemeine Problemstellung Welche Funktion macht das Funktional extremal, unter Randbedingungen Antwort: "Euler-Lagrange-Gl. (ELG) der Variationsrechnung": Def.: "Wirkung" Hamiltonsches Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung): Bewegung verläuft so, dass