17. Hashing. Hash Tabellen, Geburtstagsparadoxon, Hashfunktionen, Kollisionsauflösung durch Verketten, offenes Hashing, Sondieren
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- Nadja Schumacher
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1 Hashing Hash Tabellen, Geburtstagsparadoxon, Hashfunktionen, Kollisionsauflösung durch Verketten, offenes Hashing, Sondieren
2 Motivation 337 Ziel: Tabelle aller n Studenten dieser Vorlesung Anforderung: Schneller Zugriff per Name
3 Naive Ideen 338 Zuordnung Name s = s 1 s 2... s ls zu Schlüssel k(s) = i=1 b gross genug, so dass verschiedene Namen verschiedene Schlüssel erhalten. l s s i b i
4 Naive Ideen 338 Zuordnung Name s = s 1 s 2... s ls zu Schlüssel k(s) = i=1 b gross genug, so dass verschiedene Namen verschiedene Schlüssel erhalten. l s s i b i Speichere jeden Datensatz an seinem Index in einem grossen Array.
5 Naive Ideen 338 Zuordnung Name s = s 1 s 2... s ls zu Schlüssel k(s) = l s i=1 s i b i b gross genug, so dass verschiedene Namen verschiedene Schlüssel erhalten. Speichere jeden Datensatz an seinem Index in einem grossen Array. Beispiel, mit b = 100. Ascii-Werte s i. Anna Jacqueline
6 Naive Ideen Zuordnung Name s = s 1 s 2... s ls zu Schlüssel k(s) = l s i=1 s i b i b gross genug, so dass verschiedene Namen verschiedene Schlüssel erhalten. Speichere jeden Datensatz an seinem Index in einem grossen Array. Beispiel, mit b = 100. Ascii-Werte s i. Anna Jacqueline Unrealistisch: erfordert zu grosse Arrays. 338
7 Bessere Idee? 339 Allokation eines Arrays der Länge m (m > n).
8 Bessere Idee? 339 Allokation eines Arrays der Länge m (m > n). Zuordnung Name s zu ( ls ) k m (s) = s i b i mod m. i=1
9 Bessere Idee? 339 Allokation eines Arrays der Länge m (m > n). Zuordnung Name s zu ( ls ) k m (s) = s i b i mod m. i=1 Verschiedene Namen können nun denselben Schlüssel erhalten ( Kollision ). Und dann?
10 Abschätzung 340 Vielleicht passieren Kollisionen ja fast nie. Wir schätzen ab...
11 Abschätzung 341 Annahme: m Urnen, n Kugeln (obda n m). n Kugeln werden gleichverteilt in Urnen gelegt. Wie gross ist die Kollisionswahrscheinlichkeit?
12 Abschätzung 341 Annahme: m Urnen, n Kugeln (obda n m). n Kugeln werden gleichverteilt in Urnen gelegt. Wie gross ist die Kollisionswahrscheinlichkeit? Sehr verwandte Frage: Bei wie vielen Personen (n) ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag (m = 365) Geburtstag haben grösser als 50%?
13 342 Abschätzung P(keine Kollision) = m m m 1 m m n+1 m = m! (m n)! m m.
14 342 Abschätzung P(keine Kollision) = m m m 1 m m n+1 m = m! (m n)! m m. Sei a m. Mit e x = 1 + x + x2 2! +... approximiere 1 a m e a m. Damit: 1 ( 1 1 m ) ( 1 2 ) (... 1 n 1 ) e 1+ +n 1 m m m = e n(n 1) 2m.
15 342 Abschätzung P(keine Kollision) = m m m 1 m m n+1 m = m! (m n)! m m. Sei a m. Mit e x = 1 + x + x2 2! +... approximiere 1 a m e a m. Damit: 1 ( 1 1 m ) ( 1 2 ) (... 1 n 1 ) e 1+ +n 1 m m m = e n(n 1) 2m. Es ergibt sich P(Kollision) = 1 e n(n 1) 2m.
16 Abschätzung P(keine Kollision) = m m m 1 m m n+1 m = m! (m n)! m m. Sei a m. Mit e x = 1 + x + x2 2! +... approximiere 1 a m e a m. Damit: 1 ( 1 1 m ) ( 1 2 ) (... 1 n 1 ) e 1+ +n 1 m m m = e n(n 1) 2m. Es ergibt sich P(Kollision) = 1 e n(n 1) 2m. Auflösung zum Geburtstagsparadoxon: Bei 23 Leuten ist die Wahrscheinlichkeit für Geburstagskollision 50.7%. Zahl stammt von der leicht besseren Approximation via Stirling Formel. 342
17 Nomenklatur 343 Hashfunktion h: Abbildung aus der Menge der Schlüssel K auf die Indexmenge {0, 1,..., m 1} eines Arrays (Hashtabelle). h : K {0, 1,..., m 1}. Meist K m. Es gibt also k 1, k 2 K mit h(k 1 ) = h(k 2 ) (Kollision). Eine Hashfunktion sollte die Menge der Schlüssel möglichst gleichmässig auf die Positionen der Hashtabelle verteilen.
18 Implementation Hashfunktion (String) in Java 344 h b,m (s) = ( l 1 ) s i b i mod m i=0 int ComputeHash(int m, String s) { int sum = 0; int b = 1; for (int k = 0; k<s.length(); ++k){ sum = (sum + s.charat(k) b) % m; b = (b 31) % m; } return sum; }
19 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 15, 2, 19, 43
20 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
21 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
22 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5
23 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5
24 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2, 19 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5
25 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2, 19, 43 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5 19
26 Behandlung von Kollisionen 345 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2, 19, 43 Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
27 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
28 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
29 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
30 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5
31 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5
32 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2, 19 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5
33 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2, 19, 43 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer 5 19
34 Behandlung von Kollisionen 346 Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2, 19, 43 Direkte Verkettung der Überläufer Hashtabelle Überläufer
35 Algorithmen zum Hashing mit Verkettung 347 contains(k) Durchsuche Liste an Position h(k) nach k. Gib wahr zurück, wenn gefunden, sonst falsch. put(k) Prüfe ob k in Liste an Position h(k). Falls nein, füge k am Ende der Liste ein. Andernfalls Fehlermeldung. get(k) Prüfe ob k in Liste an Position h(k). Falls ja, gib die Daten zum Schlüssel k zurück. Andernfalls Fehlermeldung remove(k) Durchsuche die Liste an Position h(k) nach k. Wenn Suche erfolgreich, entferne das entsprechende Listenelement.
36 348 Vor und Nachteile Vorteile der Strategie: Belegungsfaktoren α > 1 möglich Entfernen von Schlüsseln einfach Nachteile Speicherverbrauch der Verkettung
37 Offene Hashverfahren 349 Speichere die Überläufer direkt in der Hashtabelle mit einer Sondierungsfunktion s(j, k) (0 j < m, k K) Tabellenposition des Schlüssels entlang der Sondierungsfolge S(k) := (h(k) s(0, k) mod m,..., (h(k) s(m 1, k)) mod m
38 Algorithmen zum Open Addressing 350 contains(k) Durchlaufe Tabelleneinträge gemäss S(k). Wird k gefunden, gib true zurück. Ist die Sondierungsfolge zu Ende oder eine leere Position erreicht, gib false zurück. put(k) Suche k in der Tabelle gemäss S(k). Ist k nicht vorhanden, füge k an die erste freie Position in der Sondierungsfolge ein. Andernfalls Fehlermeldung. get(k) Durchlaufe Tabelleneinträge gemäss S(k). Wird k gefunden, gib die zu k gehörenden Daten zurück. Andernfalls Fehlermeldung. remove(k) Suche k in der Tabelle gemäss S(k). Wenn k gefunden, ersetze k durch den speziellen removed key.
39 Lineares Sondieren 351 s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m)
40 Lineares Sondieren s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel
41 Lineares Sondieren s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12,
42 Lineares Sondieren s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53,
43 Lineares Sondieren s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5,
44 Lineares Sondieren s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15,
45 Lineares Sondieren s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2,
46 Lineares Sondieren 351 s(j, k) = j S(k) = (h(k) mod m, (h(k) 1) mod m,..., (h(k) + 1) mod m) Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2,
47 Java Implementation: Tabelleneinträge 352 public class Entry{ String key; // the key int value; // data } Entry(String n, int v){ key = n; value = v; }
48 Java Implementation: Tabelle 353 class Hashtable{ Entry[] data; // invariant: data.length = always a power of two int m; // data.length 1 int used; // used entries in data Entry empty; // special entry for deletion // constructor Hashtable(int size){ data = new Entry[size]; m = size 1; empty = new Entry("",0); }...
49 Java Implementation: Hashfunktion int ComputeHash(String s) { int sum = 0; int b = 1; for (int k = 0; k<s.length(); ++k){ sum = (sum + s.charat(k) b) % m; b = (b 31) % m; } return sum; }...
50 Java Implementation: Lineares Sondieren // linear probing, returns the index where the data set // containing key is stored or the index of an empty slot int probe(string key){ int h = ComputeHash(key); Entry e = data[h]; while (e!= null &&!key.equals(e.key)){ h = (m+h 1) % m; e = data[h]; } return h; }...
51 Java Implementation: Suchen // returns if the table contains a data set with key boolean contains(string key){ int h = probe(key); return data[h]!= null; } // returns the value stored with the key int get(string key){ assert(contains(key)); int h = probe(key); return data[h].value; }...
52 Java Implementation: Einfügen void put(string name, int value){ assert(!contains(name)); if (++used >= m/2) // max 50% load Resize(); int h = probe(name); data[h] = new Entry(name,value); }...
53 Java Implementation: Resize void Resize(){ Entry[] old = data; data = new Entry[data.length 2]; m = data.length 1; // 2^k 1, reasonably "close" to prime for (int k = 0; k<old.length; ++k){ if (old[k]!= null && old[k]!= empty){ put(old[k].key, old[k].value); } } }...
54 Java Implementation: Löschen 359 }... void remove(string key){ assert(contains(key)); int h = probe(key); data[h] = empty; }
55 Diskussion 360
56 Diskussion 360 Beispiel α = 0.95 Erfolglose Suche betrachtet im Durchschnitt 200 Tabelleneinträge!
57 Diskussion 360 Beispiel α = 0.95 Erfolglose Suche betrachtet im Durchschnitt 200 Tabelleneinträge!? Grund für die schlechte Performance?
58 360 Diskussion Beispiel α = 0.95 Erfolglose Suche betrachtet im Durchschnitt 200 Tabelleneinträge!? Grund für die schlechte Performance?! Primäre Häufung: Ähnliche Hashaddressen haben ähnliche Sondierungsfolgen lange zusammenhängende belegte Bereiche.
59 Quadratisches Sondieren 361 s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m
60 Quadratisches Sondieren s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel
61 Quadratisches Sondieren s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12,
62 Quadratisches Sondieren s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53,
63 Quadratisches Sondieren s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5,
64 Quadratisches Sondieren s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15,
65 Quadratisches Sondieren s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2,
66 Quadratisches Sondieren 361 s(j, k) = j/2 2 ( 1) j S(k) = (h(k), h(k) + 1, h(k) 1, h(k) + 4, h(k) 4,... ) mod m Beispiel m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod m. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2,
67 Diskussion 362 Beispiel α = 0.95 Erfolglose Suche betrachtet im Durchschnitt 22 Tabelleneinträge
68 Diskussion 362 Beispiel α = 0.95 Erfolglose Suche betrachtet im Durchschnitt 22 Tabelleneinträge? Grund für die schlechte Performance?
69 362 Diskussion Beispiel α = 0.95 Erfolglose Suche betrachtet im Durchschnitt 22 Tabelleneinträge? Grund für die schlechte Performance?! Sekundäre Häufung: Synonyme k und k (mit h(k) = h(k )) durchlaufen dieselbe Sondierungsfolge.
70 Double Hashing 363 Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m
71 Double Hashing Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel
72 Double Hashing Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel 12,
73 Double Hashing Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel 12, 53,
74 Double Hashing Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel 12, 53, 5,
75 Double Hashing Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel 12, 53, 5, 15,
76 Double Hashing Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2,
77 Double Hashing 363 Zwei Hashfunktionen h(k) und h (k). s(j, k) = j h (k). S(k) = (h(k) h (k), h(k) 2h (k),..., h(k) (m 1)h (k)) mod m Beispiel: m = 7, K = {0,..., 500}, h(k) = k mod 7, h (k) = 1 + k mod 5. Schlüssel 12, 53, 5, 15, 2,
78 Double Hashing 364 Sondierungsreihenfolge muss Permutation aller Hashadressen bilden. Also h (k) 0 und h (k) darf m nicht teilen, z.b. garantiert mit m prim. h sollte unabhängig von h sein (Vermeidung sekundärer Häufung). Unabhängigkeit gilt zum Beispiel, wenn h(k) = k mod m und h (k) = 1 + k mod (m 2), m Primzahl.
79 Übersicht 365 α = 0.50 α = 0.90 α = 0.95 C n C n C n C n C n C n Separate Verkettung Direkte Verkettung Lineares Sondieren Quadratisches Sondieren Double Hashing : C n: Anzahl Schritte erfolgreiche Suche, C n : Anzahl Schritte erfolglose Suche, Belegungsgrad α.
80 366 Generische Hashtabellen in Java java.util.hashmap import java.util.hashmap;... // Abbildung String > Integer HashMap<String, Integer> map = new HashMap<String,Integer>(); map.put("abc",3); map.put("xyz",100); int i = map.get("abc"); // i = 3 int j = map.get("xyz"); // j = 100
81 Generische Liste in Java java.util.list 367 import java.util.linkedlist; // es gibt auch ArrayList... // Liste von Strings LinkedList<String> list = new LinkedList<String>(); list.add("abc"); list.add("xyz"); list.add(1,"123"); // Fuege 123 an Position 1 ein System.out.println(list.get(0)); // abc for (String s: list) // For auf Iterator der Liste System.out.println(s); // abc 123 xyz
17. Hashing. Motivation. Naive Ideen. Bessere Idee? k(s) = s i b i
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14. Hashing. Motivation. Naive Ideen. Bessere Idee? k(s) = s i b i
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