Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren

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1 Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren

2 Friedrich Sauvigny Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren

3 Friedrich Sauvigny Fachgebiet Mathematik BTU Cottbus-Senftenberg Cottbus, Deutschland ISBN ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Annika Denkert Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Dem Andenken an Professor Dr. Erhard Heinz ( ) und Professor Dr. Günter Hellwig ( ) in dankbarer Erinnerung gewidmet

5 Vorwort VII In den Notices of the American Mathematical Society fand sich die bemerkenswerte Feststellung: Mathematicians are addicted to eigenvalue problems. Tatsächlich begleiten Eigenwertprobleme die Mathematiker und Physiker von den Anfängervorlesungen zur Linearen Algebra und Analytischen Geometrie sowie der Analysis (siehe Satz 6 in 3 von Kap. IV im Lehrbuch [S1]) über die Stabiltätsuntersuchungen in der Variationsrechnung bis hin zu den Energiebetrachtungen in der Quantenmechanik. In den Vorlesungen über Funktionalanalysis wird der Spektralsatz für vollstetige bzw. kompakte und beschränkte, Hermitesche Operatoren (siehe hierzu [S3] Kap. 8 oder [S5] Chap. 8) bewiesen. Zur Bequemlichkeit der Leser nehmen wir diesen Beweis in den II.11 unseres Lehrbuchs auf. Dabei bezeichnet etwa II.11 den 11 im Kapitel II. Die Differentialoperatoren werden erst durch Inversen-Bildung mittels einer Greenschen Funktion für die Spektraldarstellung zugänglich, und das Spektrum ist hierbei diskret und besitzt + als einzigen Häufungspunkt (man vergleiche [H1]). Wir wollen in dieser Abhandlung direkt für eine geeignete Klasse unbeschränkter Operatoren eine Spektraldarstellung herleiten. Hier kann das Spektrum auch kontinuierlich sein und sich von bis + erstrecken. Dieser Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren wurde unabhängig von J. von Neumann [vn] und A. Wintner [Wi] am Ende der 1920er Jahre bewiesen, als sich die Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen Entwicklungsphase befand. In I.2 und I.3 werden wir direkt die schwache Lösbarkeitstheorie für elliptische Differentialoperatoren zur Beantwortung der Frage nach der Selbstadjungiertheit dieser Operatoren heranziehen. Den Weg bis zum Spektralsatz in I.12 können wir dem Inhaltsverzeichnis entnehmen. Entscheidend wird zu seinem Beweis die Resolvente eines Operators und die Stieltjes sche Umkehrformel herangezogen. Der Beweis baut auf die Spektraldarstellung Hermitescher Matrizen und verwendet Konvergenzbetrachtungen mit Hilfe der Sätze von E. Helly über Funktionen beschränkter Variation. Die notwendigen Integralbegriffe von Riemann-Stieltjes sowie von Lebesgue-Stieltjes können wir dem Lehrbuch [S1] zur Analysis entnehmen.

6 VIII Vorwort Wir wollen zunächst den Spektralsatz für separable Hilberträume beweisen. Im III.1 werden wir dann über eine Integralformel von Herglotz den Spektralsatz für beliebige Hilberträume zeigen. Bei den uns interessierenden Anwendungen auf elliptische Differentialoperatoren reicht allerdings der Spektralsatz für separable Hilberträume aus. Wir orientieren uns hier an der Vorlesung [H2] von Herrn Professor Dr. E. Heinz, der mir wie seinen zahlreichen Schülern das Forschungsgebiet der klassischen Analysis eröffnet hat. F. Hirzebruch [HS] hat einen andereren Zugang zum Spektralsatz gewählt, welcher Operator-Algebren benutzt aber der Theorie von Differentialgleichungen ferner liegt. Wir werden in II.1 die Cayley-Transformation vorstellen, und in II.2 den Spektralsatz für unitäre Operatoren über die Exponentialreihe aus dem Spektralsatz für Hermitesche Operatoren herleiten. Hiermit ist die zeitabhängige Schrödingergleichung in II.3 eng verknüpft. Die physikalische Interpretation dieser Gleichungen kann man dem inspirierenden Skriptum [B] von H.J. Borchers über Quantenmechnik entnehmen. Der abstrakte Spektralsatz wurde schon kurz nach seiner Entdeckung von K.O. Friedrichs [F] auf halbbeschränkte Differentialoperatoren angewandt, dessen Ideen wir in II.4 darstellen. In seinem Vortrag 1976 im Göttinger Mathematischen Kolloquium hatte ich das große Glück, diesen beeindruckenden Mathematiker vom Courant-Institut in New York am Ort seiner wissenschaftlichen Herkunft erleben zu können. In II.6 wird die Friedrichs- Fortsetzung auf Laplace-Beltrami-Operatoren und im II.8 auf Schrödingeroperatoren angewandt. Im II.7 werden wir ein Eigenwertproblem behandeln, welches H.A. Schwarz schon um 1890 zur Beurteilung eines lokalen Minimums bei Minimalflächen vorgeschlagen hat. Im II.8 entwickeln wir die Spektraltheorie für Schrödingeroperatoren mit halbbeschränktem Potential nach unten. Schließlich beantworten wir im II.9 die Frage zur wesentlichen Selbstadjungiertheit von Schrödingeroperatoren, was für die Quantenmechanik zentrale Bedeutung besitzt. Hier orientieren wir uns an der Monographie von G. Hellwig: Differentialoperatoren der mathematischen Physik [He]. An Herrn Prof. Dr. G. Hellwig werde ich für sein weitsichtiges und vorbildliches Wirken als Direktor des Instituts für Mathematik an der RWTH Aachen, wo ich von 1978 bis 1983 wissenschaftlicher Assistent war, immer ein dankbares Andenken bewahren. Im Zentrum des II.9 steht ein Regularitätssatz für Schrödingeroperatoren, welcher eine Weiterentwicklung des Weylschen Lemmas durch E. Wienholtz darstellt. Wir betrachten Integraloperatoren in II.10 mit Hermiteschen messbaren Kernfunktionen K = K(x, y), (x, y) R n R n, welche lokal quadratisch integrierbar sind. Diese stellen unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum dar, auf welche der Spektralsatz für selbstadjungierte Ope-

7 Vorwort IX ratoren aus I.12 anwendbar ist. Im Falle K = K(x, y) L 2 (R n R n ) ist dieser Hilbert-Schmidt-Operator sogar beschränkt auf L 2 (R n ) sowie vollstetig und besitzt {0} als Häufungsspektrum. Den hier angemessenen Spektralsatz für vollstetige Hermitesche Operatoren (man vergleiche das Theorem 7.3 in [S5] Chap. 8) zeigen wir im II.11 mit den direkten Variationsmethoden im Hilbertraum. In diesem Lehrbuch wollen wir unsere Leser auch mit der Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum vertraut machen. Bereits in I.4 untersuchen wir die Störung wesentlich selbstadjungierter Operatoren. In unserer Darstellung leiten wir in den abschließenden III.2 und III.3 tiefere Ergebnisse aus der Störungstheorie linearer Operatoren her. Dort werden wir die stetige, gleichmäßige und analytische Abhängigkeit der Spektralschar von der entsprechenden Familie selbstadjungierter Operatoren präsentieren und hierfür direkte Beweise anbieten. Darüber hinaus empfehlen wir das Studium der Originalarbeit [H3] von E. Heinz, welche in das Grundlehrenbuch [K] von T. Kato an zentraler Stelle Eingang gefunden hat. Diese Dissertation von E. Heinz im Jahr 1951 bei F. Rellich vollendet gewissermaßen die Störungstheorie linearer Operatoren im Hilbertraum, welche von F. Rellich ab den 1930er Jahren begründet wurde. Wir möchten mit dieser Monographie beitragen zum bleibenden Andenken an Herrn Professor Dr. Erhard Heinz, der mit seinem Wirken die Tradition von D. Hilbert über R. Courant und F. Rellich in der Analysis am Göttinger Mathematischen Institut fortgesetzt hat. Nun gibt es recht umfangreiche Darstellungen der Spektraltheorie, wie etwa das klassische Lehrbuch [AG] von N.I. Achieser und I.N. Glasmann, das wohlbekannte Grundlehren-Buch von T.Kato [K] über Perturbation theory for linear operators oder die neuere Darstellung [Sm] von K. Schmüdgen über Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space. Auch möchten wir die interessante Monographie [L] über Spektraltheorie in der Riemannschen Geometrie von O. Lablée hier nennen. In unserem Lehrbuch zur Spektraltheorie setzen wir gründliche Kenntnisse der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer Differentialgleichungen voraus, wie sie etwa in unserem Lehrbuch [S4] und [S5] (bzw. in der deutschen Ausgabe [S3] und [S4]) vermittelt werden. Wir hoffen durch die konsequente Hinführung zum Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren und die gleichzeitige Behandlung der Spektraltheorie elliptischer Differentialoperatoren die Leser zur Beschäftigung mit diesem zentralen Gebiet zwischen Theoretischer Physik, Funktionalanalysis und der Theorie partieller Differentialgleichungen zu ermutigen.

8 X Vorwort An dieser Stelle möchte ich ganz herzlich Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Willi Jäger, Prof. Dr. Frank Müller, Prof. Dr. Sabine Pickenhain und Prof. Dr. Gerhard Ströhmer sowie Dr. Michael Hilschenz, M. Sc. Andreas Künnemann und M. Sc. Sören Tschierse für ihr andauerndes Interesse und für ihre vielen wertvollen Hinweise zu den behandelten Themen danken. Schließlich möchte ich Frau Dr. Annika Denkert sowie Frau Agnes Herrmann vom Springer-Verlag und Herrn Clemens Heine vom Birkhäuser-Verlag vielmals danken für ihr langfristiges Vertrauen und ihre große Hilfsbereitschaft bei diesem Buchprojekt über die Spektraltheorie. Prof. Dr. Friedrich Sauvigny Institut für Mathematik / Fachgebiet Analysis Brandenburgische Technische Universität Cottbus - Senftenberg im August 2018

9 Inhaltsverzeichnis I Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren Abgeschlossene Operatoren mit ihren Graphen Stabile elliptische Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten Ausschöpfung des Hilbertraums durch Niveauräume des Differentialoperators Über die Selbstadjungiertheit von Hermiteschen Operatoren Die Resolvente eines selbstadjungierten Operators Die Spektralschar mit ihrem Riemann-Stieltjes -Integral Lebesgue-Stieltjes-Integrale bezüglich der Spektralschar Unbeschränkte Spektraloperatoren Auswahl- und Konvergenzsatz von E. Helly Cauchy-Stieltjes-Integrale und die Stieltjes-Umkehrformel Approximation der Spektralschar selbstadjungierter Operatoren Der Spektralsatz selbstadjungierter Operatoren und ihr Spektrum II Spektraldarstellungen für Differential- und Integraloperatoren Die Cayley-Transformierten abgeschlossener Hermitescher Operatoren Der Spektralsatz für unitäre Operatoren Die zeitabhängige Schrödingergleichung Die Friedrichs-Fortsetzung halbbeschränkter Hermitescher Operatoren Der Vergleich von Rellichoperatoren mit ihren Spektren Positive Laplace-Beltrami-Operatoren auf beliebigen Gebieten Der Operator von H.A. Schwarz für Minimalflächen Spektraltheorie von Schrödingeroperatoren mit halbbeschränktem Potential

10 XII Inhaltsverzeichnis 9 Die wesentliche Selbstadjungiertheit von Schrödingeroperatoren Spektraltheorie der Integraloperatoren Der Spektralsatz für kompakte Operatoren III Störungstheorie der Spektralzerlegung Die Integralformel von Herglotz und ihre Folgerungen Einführung in die Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren Ein analytischer Störungssatz für die Spektralschar Literaturverzeichnis Sachverzeichnis