Nehmen wir an, wir benötigen eine Liste bei der wir anfangs nicht wissen, wie viele Einträge wir benötigen werden. Wie gehen wir vor?

Transkript

1 Kapitel 7 Sparse-Matrizen Im letzten Kapitel haben wir die Tridiagonalmatrix als ein erstes Beispiel von Sparse- Matrizen (sparse, engl. karg, schütter, spärlich) kennengelernt. Dies sind Matrizen, bei denen die meisten Matrixelemente gleich Null sind. Entsprechend ist die Zahl der Operationen, die zur Multiplikation einer Sparse-Matrix der Ordnung n mit einem Vektor benötigt werden, von der Ordnung n (im Gegensatz hierzu benötigt die volle Matrixmultiplikation n 2 Operationen). Es gibt eine Reihe von Verfahren, die diese dünne Besetzung von Sparse-Matrizen (die in der Physik häufig vorkommen) ausnutzen und damit die Lösung gewisser Aufgaben möglich machen, die mit gewöhnlichen Verfahren nicht durchführbar wären. Bevor wir uns solchen Verfahren im nächsten Kapitel zuwenden, wollen wir im Folgenden zeigen, wie Sparse-Matrizen in C++ behandelt werden können. Die Hauptidee ist die, das man nur diejenigen Matrixelemente abspeichert, die von Null verschieden sind. Für die Tridiagonalmatrix war dies einfach, da wir von Vornherein die Form der Matrix kannten. Für eine allgemeine Sparse-Matrix ist die Situation komplizierter, und wir müssen einen anderen Lösungsweg suchen. In C++ bietet es sich an, von den sogenannten Containerklassen Gebrauch zu machen. Im folgenden Abschnitt diskutieren wir das allgemeine Konzept dieser Klassen, das wir danach in Abschnitt 7.2 ausnutzen werden, um eine Sparse-Matrixklasse zu implementieren. 7.1 Containerklassen Nehmen wir an, wir benötigen eine Liste bei der wir anfangs nicht wissen, wie viele Einträge wir benötigen werden. Wie gehen wir vor? Die einfachste Lösung wäre, am Beginn des Programmes ein Array mit genügend Speicherplatz zu reservieren, in das wir danach hintereinander die Einträge schreiben. Offen- 63

2 64 KAPITEL 7. SPARSE-MATRIZEN sichtlich ist diese Lösung nicht besonders flexibel und elegant. Besser wäre es, bei jedem neuen Eintrag einen neuen Speicherplatz zu reservieren (z.b. über die C++ Funktion new). In der Standardbibliothek von C++ ist zur Behandlung solcher Aufgaben eine Reihe von sogenannten Containerklassen definiert Die Containerklasse deque Beginnen wir mit der Klasse deque (engl. double ended queue). Betrachten wir das Programm 1 #include <iostream> 2 #include <deque> 3 4 void main() 5 { 6 deque<int> d; 7 8 for (int i=0; i<10; i++) d.push back(i); 9 10 cout << d.size() << endl; 11 } Die Bedeutung der Zeilen ist folgende. Zeile 2. Einlesen der Headerdatei deque. Zeile 6. Deklaration eines Containers d, der Elemente vom Typ int speichert (entsprechend könnten wir mit deque<double> oder deque<string> Objekte vom Typ double bzw. string speichern). Ziele 8. Mit push back fügen wir ein neues Element am Ende des Containers ein. Zeile 10. Schließlich wird die Länge des Containers d. size () (d.h. die Zahl der Elemente) ausgegeben. Wir sehen, dass es in Containerklassen extrem einfach ist, mit Hilfe von push back neue Elemente einzufügen. Wie können wir die Elemente wieder auslesen? In der Containerklasse deque gelingt dies mit Hilfe von 1 for (int i=0; i<d.size (); i++) cout << d[i] << endl; Aufgabe 7.1 Fügen Sie in dem oben angeführten Programm diese Ausgabezeile ein und führen Sie das Programm aus.

3 7.1. CONTAINERKLASSEN 65 Einige der wichtigsten Funktionen für die Klasse deque (sowie für andere Containerklassen, die wir hier nicht besprechen werden) sind: deque<t> d; Erzeugt leeren Container vom Typ T deque<t> d(e); Erzeugt d als Kopie von e d.empty() Gibt an, ob Container leer ist d. size () Gibt Länge des Containers d==e true, wenn beide Container gleich (bzgl. Länge und Inhalt) d!=e true, wenn beide Container unterschiedlich d. clear () Löscht alle Elemente d.front () Liefert erstes Element des Containers d.back() Liefert letztes Element des Containers d.push front(t) Fügt Element am Anfang des Containers ein d.push back(t) Fügt Element am Ende des Containers ein d.pop front() Entfernt erstes Element des Containers d.pop back() Entfernt letztes Element des Containers d[n] Liefert n-tes Element des Containers Aufgabe 7.2 Schreiben Sie ein einfaches Programm, in dem Sie alle diese Funktionen benutzen Die Iteratorenklasse Die wirkliche Stärke der Containerklassen entsteht erst in dem Zusammenspiel mit der Algorithmenklasse. Um dies zu gewährleisten, benutzt man das Konzept von Iteratoren, das wir bereits kurz in Abschnitt 2.2 eingeführt haben. Iteratoren sind zeigerähnliche Objekte, die einen direkten Zugriff auf die Container ermöglichen. Zu jeder Containerklasse gibt es eigene Iteratoren, die man über 1 deque<int> d; 2 3 deque<int>::iterator it ; // iterator for d definiert. Was können wir mit diesen Iteratoren machen? Ähnlich wie bei Zeigern können wir sie mit Hilfe von it=d.begin() auf den Beginn des Containers zeigen lassen, mit it können wir auf den Inhalt des Zeigers zugreifen und mit it ++ können wir im Container zum nächsten Eintrag vorrücken. Beispielsweise gelingt es mit 1 for (deque<int>::iterator it=d.begin(); it!=d.end(); it ++) 2 cout << it << endl;

4 66 KAPITEL 7. SPARSE-MATRIZEN den Inhalt eines Containers auszugeben. Folgende wichtige Funktionen stehen in den Containerklassen zur Verfügung, um mit Hilfe von Iteratoren auf den Inhalt von Containern zuzugreifen: d.begin() Iterator auf das erste Element des Containers d.end() Iterator auf das Element nach dem letzten Element d. insert ( it,t) Fügt Element t nach it ein d.erase( it ) Löscht Element an Stelle it Mit Hilfe dieser sowie der in algorithm definierten Funktionen haben wir nun ein mächtiges Werkzeug in der Hand, um auch komplexe Aufgaben mit Containern elegant zu lösen, wie in dem folgenden Beispiel gezeigt. 1 deque<int> d; 2 deque<int>::iterator it; 3 4 for (int i=0; i<7; i++) d.push back(i); // d > {0,1,2,3,4,5,6} 5 reverse(d.begin(),d.end ()); // d > {6,5,4,3,2,1,0} 6 swap( d.begin(), (d.begin()+3)); // d > {3,5,4,6,2,1,0} 7 it =find(d.begin(),d.end (),1); // it > d[5] 8 d.erase( it ); // d > {3,5,4,6,2,0} 9 sort(d.begin(),d.end ()); // d > {0,2,3,4,5,6} Aufgabe 7.3 Schreiben Sie ein Programm, das einen deque-container mit {0, 1, 2, 0, 1, 4, 5} besetzt. Fügen Sie an der vorletzten Stelle eine 0 ein. Benutzen Sie die Iteratoren und die Algorithmenklasse um alle Einträge 0 aus dem Container zu entfernen. (Tipp: wenn kein Eintrag mit Null gefunden wird, zeigt der von find zurückgegebene Iterator auf das Ende des Containers) Konstante Iteratoren Betrachten wir die Funktion 1 void f(const deque<int>& d) 2 { 3 deque<int>::iterator it; 4 5 for ( it=d.begin(); it!=d.end(); it++) cout << it << endl; 6 } Wenn wir versuchen das Programm zu kompilieren, so erhalten wir eine Reihe von Fehlermeldungen. Was ist das Problem?

5 7.1. CONTAINERKLASSEN 67 Die const-anweisung in der Variablenliste besagt, dass wir auf den Container d nur zugreifen aber seinen Inhalt nicht verändern wollen. Allerdings haben wir mit dem Iterator deque<int>::iterator die (prinzipielle) Möglichkeit, auch den Inhalt zu ändern. Da der Compiler das const-attribut nicht garantieren kann, gibt er eine Fehlermeldung aus. Um Probleme dieser Art zu vermeiden, gibt es für alle Containerklassen die zusätzlichen Iteratoren 3 deque<int>::const iterator it ; mit deren Hilfe es möglich ist, auf den Inhalt eines Containers ausschließlich zuzugreifen. Aufgabe 7.4 Vervollständigen Sie die Funktion void f(const deque<int>& d). Was passiert, wenn Sie in der Funktion versuchen, den Inhalt des Containers zu ändern? Die Containerklasse map map ist eine weitere Containerklasse, die wir zur Implementierung der Sparse-Matrixklasse benötigen werden. Der Unterschied zu deque besteht darin, dass wir zusätzlich zum Inhalt auch einen Schlüssel mitliefern. Diskutieren wir diesen Punkt anhand einer Sparse-Matrix S. Für eine bestimmte Zeile i wollen wir sowohl die Spaltenpositionen j sowie den Inhalt s ij abspeichern. Nehmen wir an, wir wollen den Inhalt einer Zeile 1 { 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 5 } abspeichern, bei der die von Null verschiedenen Matrixelemente an den Positionen 3, 10 und 14 stehen. Dies können wir mit Hilfe der map-klasse machen: 1 #include <iostream> 2 #include <map> 3 4 void main() 5 { 6 map<int,double> s; 7 8 s[3]=1; 9 s[10]=3; 10 s[14]=5; cout << s.size() << endl; 13 }

6 68 KAPITEL 7. SPARSE-MATRIZEN In Zeile 6 definieren wir einen map-container, dessen Schlüssel (Spaltenposition der von Null verschiedenen Einträge) vom Typ int bzw. Inhalt (die Matrixelemente) vom Typ double ist. Schließlich können wir die von Null verschiedenen Matrixelemente über s[ i]=t setzen. Tatsächlich ergibt die Länge von s drei, d.h. die Zahl der von Null verschiedenen Matrixelemente. Wie können wir auf die Einträge zugreifen? Wieder mit Hilfe von Iteratoren. Mit 1 map<int,double>::iterator it; 2 3 for ( it =s.begin(); it!=s.end(); it ++) 4 cout << it >first << << it >second << endl; erhalten wir schließlich wieder die von Null verschiedenen Einträge. Hierbei haben wir benutzt, dass der Inhalt it eines map-iterators vom Typ pair ist (der in der Headerdatei utility definiert ist), der aus zwei Einträgen first und second besteht. Anders ausgedrückt gilt: 1 map<int,double> it; int i=it >first; // gives column index of current element 5 double a=it >second; // gives matrix element Aufgabe 7.5 Schreiben Sie ein Programm, das zwei Vektoren 1 a = { 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 4 }; 2 b = { 1, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0 }; mit Hilfe von map abspeichert. Schreiben Sie eine Funktion, die die beiden Vektoren addiert und das Ergebnis in einer neuen map-variable zurückgibt. 7.2 Die Matrixklasse sparse Wir können die Ergebnisse des letzten Abschnittes dazu benutzen, um eine Klasse für Sparse-Matrizen zu definieren. Dies ist in den beiden Dateien erfolgt. In sparse.h wird die sparse-klasse zur Speicherung einer n n-matrix definiert.

7 7.2. DIE MATRIXKLASSE sparse 69 1 class sparse { 2 3 public: 4 sparse(int n ) : n( n ) { s=new map<int,double>[n]; } 5 sparse(const sparse& t); 6 sparse () { delete[] s ; } 7 8 double& operator() (int i, int j) { return s[i ][ j ]; } 9 double operator() (int i, int j ) const { return s[i][ j ]; } 10 map<int,double>& operator[] (int i) const { return s[i]; } double vecmul(double x[], double b[]) const; int size () const { return n; } private: 17 int n; 18 map<int,double> s; }; Es stehen zwei Konstruktoren zur Verfügung, bei denen entweder eine leere Sparse-Matrix der Ordnung n erstellt wird oder die Kopie einer bereits bestehenden Sparse-Matrix: 1 sparse s(1000); 2 sparse t(s ); Auf die Matrixelemente der Matrix kann mit Hilfe von 1 s(10,100)=3.1415; 2 s [20][200]=9.2; zugegriffen werden. Die Funktion size () liefert die Ordnung n der n n-matrix. Schließlich haben wir noch eine Funktion vecmul(double x[], double b[]) eingeführt, die die Multiplikation x = S b x i = j s ij b j (7.1) durchführt. Aufgabe 7.6 Implementieren Sie die Funktion vecmul aus sparse.cc zur Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix. Benutzen Sie den const iterator

8 70 KAPITEL 7. SPARSE-MATRIZEN von map, sodass die Summe in Glg. (7.1) nur über die Matrixelemente s ij läuft, die von Null verschieden sind. Erstellen Sie eine Tridiagonalmatrix S mit zufälligen Matrixelementen. Überprüfen Sie die Multiplikation Sb mit Hilfe der Matrixklasse Tridiag aus dem vorigen Kapitel.