Modelle mit zwei Zustandsgrößen Seminar für Lehramt Mathematik

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1 Modelle mit zwei Zustandsgrößen Seminar für Lehramt Mathematik

2 Modelle mit zwei Zustandsgrößen Grundlegende Wechselwirkungsmodelle aus der Ökologie Mutualismus Konkurrenz Räuber-Beute-Modell Modelle aus anderen Teilgebieten Natürliche Insektenvernichtung Tourismus vs. Umweltattraktivität SI-Modelle Lesliemodell

3 Mutualismus Zusammenleben verschiedener Spezies Wären ohne einander lebensunfähig

4 Modelle mit zwei Zusatndgrößen

5 Mutualismus Population zum nächsten Aktuelle Zeitpunkt Population natürliche Abnahme Zunahme in Abhängigkeit der anderen Population X t+1 = X t - a X t + b X t Y t Y t+1 =Y t -c Y t + d X t Y t

6 Mutualismus

7 Konkurrenz Zusammenleben verschiedener Spezies Spezies benötigen dieselben Ressourcen Spezies schwächen einander gegenseitig

8 Konkurrenz Population zum nächsten Aktuelle Zeitpunkt Population Logistisches Wachstum Abnahme durch Konkurrenzverhalten X = X + a X ( K - X ) - b X Y t+1 t t 1 t t t Y =Y + a Y ( K -Y) - b X Y t+1 t t 2 t t t

9 Konkurrenz

10 Räuber-Beute-Modell Zusammenleben einer Räuber-Spezies und einer Beute-Spezies Räuber ernähren sich ausschließlich von dieser einen Beute-Spezies Beute wird von keiner anderen Räuber-Spezies gefressen

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12 Räuber-Beute-Modell Population zum nächsten Zeitpunkt Aktuelle Exponentielle Population Zunahme Abnahme durch Bejagung B = B + a B - b B R t+1 t t t t R = R -c R + d B R t+1 t t t t Exponentielle Abnahme Zunahme durch erfolgreiche Jagd

13 Räuber-Beute-Modell

14 Durch Fixpunkt Räuber-Beute-Modell Differentialgleichungen B t ( ) = a B t ( ) - b B t ( ) R t ( ) R t ( ) = -c R t ( ) + d B t ( ) R t ( ) B t ( ) = 0, R(t) = 0 B, R æ ( ) = ç c d, a è b ergibt sich der ö ø

15 Räuber-Beute-Modell Was ist mit Lösungen, die nicht in diesem Punkt starten? ( ( )) := clogb( t) - d B( t) + alogr( t) - b R( t) V B( t), R t Wir berechnen die Ableitung von V nach t und sehen: V t = 0 Geschlossene Bahnen im Phasendiagramm

16 Räuber-Beute-Modell

17 Natürliche Insektenvernichtung Problematische Insektenpopulation Exponentielles Wachstum Kontrolle bzw. Ausrottung mittels steriler Insektenvernichtung

18 Natürliche Insektenvernichtung W t+1 = a W t M t+1 = a W t Einschleusen von nicht-fertilen Männchen W t+1 = M t+1 = M t M t + S a W t M X t+1 = t M t + S a W t X t X t + S a X t

19 Natürliche Insektenvernichtung

20 Tourismus vs. Umweltattraktivität Kleines idyllisches Dorf Entschließt sich zum Einstieg in Tourismus Logistisches Wachstum der Umweltattraktivität Abnahme der Umweltattraktivität in Abhängigkeit der Anzahl der Touristen

21 Tourismus vs. Umweltattraktivität Logistisches Wachstum Einfluss des Tourismus U =U + a U ( 100 -U ) -b U T t+1 t t t t t T t+1 = T t -c T t + d U t Exponentielle Abnahme Anziehung durch atrraktive Umwelt

22 Tourismus vs. Umweltattraktivität

23 SI-Modelle Suszeptible & Infizierte Individuen Suszeptible stecken sich mit Wahrscheinlichkeit a an ODER Suszeptible stecken sich bei Kontakt mit Infizierten mit Wahrscheinlichkeit a an In beiden Modellen genesen Infizierte mit Wahrscheinlichkeit b

24 SI-Modell 1 S t+1 = S t - a S t + b I t I t+1 = I t + a S t -b I t Fixpunkt: S t+1 = S t, F = b a+ b N

25 SI-Modell 2 S t+1 = S t - a S t I t N + b I t I t+1 = I t + a S t I t N - b I t Fixpunkt: S t+1 = S t, F = b a, a ³ b

26 SI-Modelle

27 Leslie-Modell1 Demografisches Modell mit gleich breiten Altersklassen Fertilitäts- und Überlebenswerte je nach Klasse t t+1 entspricht genau einer Klassenbreite Wir betrachten nur Modelle mit 2 Zustandsgrößen

28 Leslie-Modell1 A t+1 = f 1 A t + f 2 B t B t+1 = s 1 A t Anschreibbar als Matrix: æ ç ç è A t+1 B t+1 ö æ = f f ç 1 2 ç s 0 ø è 1 ö æ A ç t ç B ø è t ö ø

29 Leslie-Modell1 Spektralradius (größter Eigenwert) ist wichtige Systemgröße Bevölkerungszahlen in den Klassen nähern sich der exponentiellen Funktion mit diesem Wachstumsfaktor exponentiell an.

30 Leslie-Modell1

31 Herzlichen Dank für eure Aufmerksamkeit