Katharina Kausel, April 2012

Transkript

1 Mathematische Modelle in der Biologie Seminar Biomathematik Seminar Biomathematik Katharina Kausel, April 2012

2 Mutualismus Was ist Mutualismus? SYMBIOSE Unterschied: eine Art ist ohne die andere LEBENSUNFÄHIG 2

3 Mutualismus Mathematisches Modell: Anemonen zum Zeitpunkt t+1 (z.b.: 1 Jahr später ) Anemonen zum Zeitpunkt t Clownfischezum Zeitpunkt t 3

4 Mutualismus Mathematisches Modell: a, b, c, d Konstanten > 0 a Differenz aus Sterbe und Geburtenrate der Anemonen bei Abwesenheit der Fische 4

5 Mutualismus Was passiert, wenn eine Art nicht vorhanden? wird Null Xt fällt exponentiell Anemonen würden aussterben 5

6 Mutualismus Was passiert, wenn beide Arten vorhanden? Yt > 0 Anemonen wachsen um diesen Wert an Mögliche Begegnungen Anemonen und Clownfische: Graphik Excel 6

7 Mutualismus Wie muss das Xt bzw. Yt ausschauen, damit GLEICHGEWICHTSZUSTAND? und Graphik Excel 7

8 Mutualismus X0 und Y0 verschieden gewählt CHAOTISCH Phasendiagramm Anemonen: auf x Achse dargestellt Clownfische: auf y Achse dargestellt Jeder Punkt im Koordinatensystem entspricht Wertepaar 8

9 Phasenplot Mutualismus (exp. Wachstum) X' = a X + b X Y (Anemonen) Y' = c Y + d X Y (Nemo) Y a = 0.1 b = 0.01 c = 0.2 d = 0.02 Fixpunkte: {10, 10} instabil {0,0} stabil Excelberechnung, jährlich X9

10 Mutualismus Phasendiagramm: In welche Richtung (zum Fixpunkt? Nach unendlich? Etc.) strebt das Modell bei verschiedenen Anfangsbedingungen? Steigen / Fallen sie überhaupt? KONTINUIERLICHES MODELL 10

11 Mutualismus Differenzialgleichungssystem: Momentane Änderungsrate Seeanemonen Momentane Änderungsrate der Clownfische 11

12 Konkurrenz Konkurrierende Systeme: oft in der Natur z.b.: Konkurrenz um Nahrungs bzw. Platzangebot 12

13 Konkurrenz Modell von LOTKA VOLTERRA: Geht von logistischem Wachstum aus existiert KAPAZITÄTSGRENZE K, wenn jeweils andere Art abwesend / ausgestorben ist. 13

14 Konkurrenz Modell von LOTKA VOLTERRA: Kapazitätsgrenze: größtmögliche Population Dezimierung der Eichhörnchen, weil Grauhörnchen vorhanden Graphik Excel 14

15 Konkurrenz Man unterscheidet 3 Fälle: Dominanz Bistabilität Stabile Koexistenz 15

16 Konkurrenz Wann tritt welcher Fall auf? Punkte (Xt, Yt) im Phasendiagramm, für die gilt: Xt+1 = Xtbzw. Yt+1 = Yt 16

17 Konkurrenz Beide Gleichungen: Form y = kx + d GERADENGLEICHUNGEN 3 Fälle ergeben sich aus der LAGE der beiden GERADEN 17

18 Konkurrenz DOMINANZ: Kein Schnittpunkt im 1. Quadranten Eine Gerade IMMER ÜBER anderer BISTABILITÄT: Shi Schnittpunkt im 1. Quadr. existiert i liegt LINKS unter Verbindungslinie von (K1,0) und (0,K2) KOEXISTENZ: Schnittpunkt im 1. Quadr. existiert liegt RECHTS über Verbindungslinie von (K1,0) und (0,K2) 18

19 Konkurrenz : Dominanz Phasenplot Y X' = a X (K X X) b X Y (Rote) Y' = c Y (K Y Y) d X Y (Graue) X' = 0 Y = (a (K x X)) / b Y' = 0 Y = (c K y d X) / c K X = 100 K Y = 200 a = b = c = d = Fixpunkte: (0, 200) stabil (100,0) 0) instabil Excel: jährlich X 19

21 Konkurrenz : Bistabilität Phasenplot Y X' = a X (K X X) b X Y Y' = c Y (K Y Y) d X Y X' = 0 Y = (a (K x X)) / b Y' = 0 Y = (c K y d X) / c K X = 100 K Y = 200 a = b = c = d = Fixpunkte: (0, 200), (100, 0), (28.6, 28.6) X 21

23 Konkurrenz : Koexistenz Phasenplot Y X' = a X (K X X) b X Y Y' = c Y (K Y Y) d X Y X' = 0 Y = (a (K x X)) / b Y' = 0 Y = (c K y d X) / c K X = 100 K Y = 200 a = b = c = d = Fixpunkte: (98, 102) stabil, (0,100), (100,0) instabil X23

24 Räuber Beute Modell Wechselwirkung zwischen Raub und Beutetierart z.b.: Luchs Hase, Bakterien im Labor, Haie Fische,.. 24

25 Räuber Beute Modell Modell von LOTKA VOLTERRA: Mögliche Begegnungen Raub mit Beutetier Anzahl der insgesamt erlegten Tiere Graphik Excel 25

26 Räuber Beute Modell Das Kontinuierliche Räuber Beute Modell: Wird mit Differentialgleichungen beschrieben Wir betrachten nun seine Lösungen 26

27 Räuber Beute Modell Fall 1: B(0) = 0 B (t) = 0 Beutepopulation bleibt konstant NULL R (t) = c*r(t) Raubtierpopululation nimmt exponentiell ab 27

28 Räuber Beute Modell Analog: R(0) = 0 B (t) = a*b(t) Beutepopulation wächst exponentiell R (t) = 0 Raubtierpopululation bleibt konstant NULL 28

29 Räuber Beute Modell Was bedeutet das? Wenn Beute abwesend, stirbt Raubtierpopulation EXPONENTIELL aus Wenn Raubtiere abwesend, können sich Beutetiere unbedroht vermehren (EXPONENTIELL) 29

30 Räuber Beute Modell Fall 2: B(0) > 0 und R(0) > 0 Fixpunkt berechnen mit B (t) = 0 und R (t) = 0 FIXPUNKT: 30

31 Räuber Beute Modell Phasenplot Y X' = a X b X Y (Beute) Y' = c Y + d X Y (Räuber) X' = 0 Y = a / b Y' = 0 X = c / d a = 0.1 b = 0.01 c = 0.2 d = 0.02 Fixpunkt: (10, 10) stabil Excel: jährlich Excel: vierteljährlich X 31

32 Insektenvernichtung 32

33 Insektenvernichtung Natürliche Insektenvernichtung: Insektenpopulation: a=2: mit getrennten Generationen vermehrt sich in jeder Generation um das a fache der vorherigen 33

34 Insektenvernichtung Exponentielles Wachstumsmodell: a < 1 Fruchtfliegen sterben aus a > 1 Fruchtfliegen vermehren sich bis ins Unendliche (exponentiell) Interessant! ( p ) Mit Steriler Insektentechnik gelingt g es Wachstum der Insektenpopulation zu stoppen (z.b.: Waffe gegen Malaria, Fruchtfliegen bei Obstanbau) 34

35 Insektenvernichtung Sterile Insektentechnik: Wt / Mt.. Anzahl der / der Generation t Wt+1.. Anzahl der eine Generation später (t+1) Mt+1 = Wt+1, weil Nachkommen m oder w gleich wahrscheinlich c Würde zu exponentiellem Wachstum der Frucht fliegen führen 35

36 Insektenvernichtung der Fruchtfliegen paaren sich alle nur ein Mal Große Anzahl an STERILEN wird zugeführt Anteil fertile Paarungen:. entspricht dem Anteil der fertilen Männchen in der männlichen Population 36

37 Insektenvernichtung Nächste Generation: Anzahl W = Anzahl fertile M = Rekursionen: 37

38 Insektenvernichtung Spätestens ab der 2. Generation gilt: Anzahl W = Anzahl fertile M Modell mit 1. Zufallsgröße reicht aus: Xt = Mt = Wt 38

39 Insektenvernichtung Fixpunkte:, S groß genug genug sterile Männchen pro Generation freigesetzt wird Faktor a kleiner als 1: Aussterben der Fruchtfliegen 39

40 Insektenvernichtung Phasenplot Y X' = (a X Y)/(Y + S) X ( ) Y' = (a X Y)/(Y + S) Y ( ) X' = 0 Y = S / (a 1) Y' = 0 Y = a X S S = 2000 (unfruchtbare ) a = 5 Fixpunkte: (0, 0), (500, 500) Excel: jährlich X40

41 Umwelt vs. Tourismus 41

42 Umwelt vs. Tourismus Wie stark wird sich die Attraktivität des Gebiets ändern? Wie viele Urlauber verträgt das neue Ul Urlaubsziel? l? Kommt es auf Dauer zu stabilen Besucherzahlen? 42

43 Umwelt vs. Tourismus Ut.. Umweltattraktivität: misst wie sauber / ruhig das Gbi Gebiet ist, Luftqualität etc. (wird in % angegeben: 100% = optimale Umweltattraktivität 0% = Gebiet NICHT attraktiv) Tt.. Touristenzahl zum Zeitpunkt t 43

44 Umwelt vs. Tourismus Modell: Umweltattraktivität nimmt ab, wenn viele Touristen kommen Touristen werden stärker angelockt, wenn die Umweltattraktivität tt ität hoch h ist 44

45 Umwelt vs. Tourismus Fixpunkte bestimmen: Tt+1 = Tt T ausdrücken: Einsetzen in 1. Gleichung: Ut+1 = Ut 45

46 Umwelt vs. Tourismus Fixpunkte bestimmen: bzw. bzw. 46

47 Umwelt und Tourismus Phasenplot Y X' = a X (100 X) c X Y (Umwelt) Y' = b Y + d X (Touristen) X' = 0 Y = (100 X) a/c Y' = 0 Y = d X / b a = b = 0.05 c = d = 0.1 Fixpunkte: (0, 0) instabil (20, 40) stabil Excel: jährlich X47

48 SI Modell 1: Epidemiologie = Seuchenkunde (großes Teilgebiet der Biomathematik) 48

49 SI Modell 1: Das einfachste Modell: N.. Fixe Populationsgröße teilt sich in 2 Bevölkerungsgruppen: St.. Suszeptible: sind noch gesund, aber ANFÄLLIG It.. Infizierte: leiden bereits an Krankheit 49

50 SI Modell 1: In jedem Zeitschritt: Ein Prozentsatz a der Suszeptiblen STECKT sich mit der Krankheit an Ein Prozentsatz b der Infizierten wird wieder Suszeptibel (gesund, aber anfällig) 50

51 SI Modell 1: Modell: Bei diesem Modell: Gleichgewicht stellt sich IMMER ein Setze St+1 = St: 51

52 SI Modell 1 Phasenplot Y X' = a X + b Y (Suszeptile) Y' = a X b Y (Infizierte) X' = 0 Y = a X / b Y' = 0 Y = a X / b a = 0.05 b = 0.1 Fixpunkte auf Fixgerade Excel: jährlich Excel: jährlich X52

53 SI Modell 2: Epidemiologie = Seuchenkunde (großes Teilgebiet der Biomathematik) 53

54 SI Modell 2: Vorheriges Modell, ABER VERBESSERT: Vorher: Ein Prozentsatz a der Suszeptiblen STECKT sich mit der Krankheit an JETZT: Ansteckung erfolgt nur, wenn Suszeptibler Kontakt zu Infiziertem Bleibt: Ein Prozentsatz b der Infizierten wird wieder Suszeptibel 54

55 SI Modell 2: Modell: Hier: etwas realistischeres Ansteigen bei Infizierten Setze St+1 = St: solange 55

56 SI Modell 2: Wir nehmen an: EINMAL pro Zeitschritt hat ein gesunder Mensch mit anderem Mensch Kontakt.. WS, dass dieser Mensch infiziert ist a.. WS, dass ich angesteckt werde, wenn ich auf Infizierten treffe 56

57 SI Modell 2 Phasenplot Y X' = a X Y/(X+Y)+b Y (Suszeptile) Y' = a X Y/(X+Y) b Y (Infizierte) X' = 0 Y = (a b) X / b Y' = 0 Y = (a b) X / b a = 0.15 b = 0.1 Fixpunkte: zwei Fixgeraden Excel: jährlich Excel: jährlich X57

58 Lesliemodell 1: Demographie = Bevölkerungswissenschaft 58

59 Lesliemodell 1: Wir betrachten ein ZWEI KLASSEN MODELL: Bevölkerung wird in zwei gleich breite Klassen geteilt fi.. Typische Geburtenrate für eine Altersklasse si.. Typische Überlebensrate b für eine Altersklasse 59

60 Lesliemodell 1: Wir betrachten ein ZWEI KLASSEN MODELL: s1.. Überlebensrate: Gibt WS an, mit der ein Individuum der ersten Klasse überlebt in die zweite Klasse übergeht Zeitschritt t auf t+1.. entspricht genau der Altersklassenbreite 60

61 Lesliemodell 1: Rekursionen für die Bevölkerungsgrößen in den beiden Altersklassen: 61

62 Lesliemodell 1: Phasenplot Y X' = X (f 1 1) + f 2 Y (Junge) Y' = s 1 X Y (Erwachsene) X' = 0 Y = (f 1 1) X / f 2 Y' = 0 Y = s 1 X f 1 = s 1 = 0.05 Fixpunkte: (0, 0) Excel: jährlich Excel: halbjährlich X62