Christoph Ableitinger. Biomathematische Modelle im Unterricht

Transkript

1 Christoph Ableitinger Biomathematische Modelle im Unterricht

2 Christoph Ableitinger Biomathematische Modelle im Unterricht Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen mit Unterrichtsmaterialien STUDIUM

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Dr. Christoph Ableitinger Universität Duisburg-Essen Fakultät für Mathematik Campus Essen Essen 1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN

4 Vorwort Das vorliegende Buch geht aus der Dissertation Diskrete biomathematische Modelle im Schulunterricht hervor, die im Jahr 2008 an der Universität Wien entstanden ist. Es wurden wesentliche Teile überarbeitet bzw. neu konzipiert, um dem Werk den Charakter eines Lehrbuches zu verleihen. Das Buch richtet sich vor allem an Lehramtsstudierende 1 des Fachs Mathematik sowie an Gymnasial- und Gesamtschullehrkräfte. Es werden aber eventuell auch Biologielehrkräfte, Mathematikdidaktiker und Mathematiker Interesse an dem Buch finden. Der Fokus der Arbeit ist aber explizit ein mathematikdidaktischer. Begriffe und Konzepte aus der Biologie werden nur so weit geklärt, wie es zum Verständnis des jeweiligen Kontextes bzw. zur Konzeption geeigneter mathematischer Modelle von Nöten ist. Das mathematische Niveau orientiert sich im Wesentlichen an jenem der Schulmathematik. Räuber-Beute-Modelle, Wachstumsprozesse und das SIR-Modell sind Themen, die in der Rubrik Biomathematik in der mathematikdidaktischen Literatur an der einen oder anderen Stelle zu finden sind. Die Biomathematik bietet allerdings noch viele andere Einsatzmöglichkeiten für den Schulunterricht, und das nicht nur für die Sekundarstufe 2 oder für besonders leistungsstarke Schüler. Wenn man nämlich diskrete Modelle anstatt der in der Fachliteratur gebräuchlichen kontinuierlichen Modelle betrachtet, so genügen die mathematischen Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1, um zumindest einen ersten sinnvollen Einblick in diese spannenden Anwendungen der Mathematik zu ermöglichen. Es soll Ziel dieser Arbeit sein, entsprechende Möglichkeiten aufzuzeigen und Chancen aus didaktischer Sicht daraus abzuleiten. Das Kapitel 1 gibt einen Einblick in die Welt der Biomathematik. Es werden die vier wesentlichen Teilgebiete vorgestellt, nämlich die Demographie, die mathematische Ökologie, die Epidemiologie und die Populationsgenetik. Neben einer allgemeinen Beschreibung der Teilgebiete werden jeweils auch kurze Episoden geschildert, die das Teilgebiet treffend beschreiben oder seine historische Entwicklung wesentlich beeinflusst haben. Dabei werden auch große Persönlichkeiten der Biomathematik in den Blick genommen. Zum Abschluss werden kurze Einblicke in die moderne Forschung und ein Überblick über die wichtigsten Begriffe gegeben, die auch im Schulunterricht verwendet werden sollen. Die Kapitel 2-4 stellen den mathematischen Kern der Arbeit dar. Hier werden schrittweise angefangen von einfachen Einpopulationsmodellen bis hin zu komplexeren Mehrpopulationsmodellen die in der Literatur gebräuchlichsten biomathematischen Modelle in ihrem diskreten Kleid vorgestellt. Es wird dabei großer Wert auf die Interpretation der Modellgleichungen und auf einen verständigen Umgang mit den Modellen an sich gelegt. Am Ende jeder Modellbeschreibung finden sich Zusatzfragen, kurze Aufgaben oder Beispiele, die dem Leser zum Durcharbeiten und Vertiefen empfohlen werden. Zwischendurch gibt es mathematische Exkurse zur Klärung wichtiger Begriffe, Konzepte und Lösungsmethoden. In diesen Kapiteln wird der Grundstein für die Unterrichtsprojekte im dritten Teil des Buches gelegt. Das inner- bzw. außermathematische Potenzial der Biomathematik für den Schulunterricht 1 Es wird versucht, wo möglich geschlechtsneutrale Personenbezeichnungen zu verwenden. Aus Gründen der Lesbarkeit werden wir im Folgenden allerdings auf Formulierungen wie Schülerinnen und Schüler verzichten und lediglich die allgemeine Bezeichnung Schüler benutzen. Alle personenbezogenen Aussagen gelten sofern nicht explizit anders formuliert stets für Frauen und Männer gleichermaßen.

5 VI wird in den Kapiteln 5 und 6 herauspräpariert. Eine wesentliche Rolle kommt dabei dem Konzept der Iteration zu, das den Schulunterricht von der Unter- bis zur Oberstufe wie ein roter Faden durchzieht. Diese fundamentale Idee des anwendungsorientierten Mathematikunterrichts ist auch der Schlüssel zur Arbeit mit diskreten biomathematischen Modellen. Wenngleich das Thema Biomathematik in keinem Schulcurriculum explizit vorgeschlagen wird, so eignet es sich doch als Begleiter dieser Idee bzw. als authentischer Kontext für dynamische Prozesse und Systeme. Es bietet sich bei diesem Thema auch die Arbeit am Computer in natürlicher Weise an Tabellenkalkulationen stellen ein ideales und für den Schulunterricht leicht zugängliches Werkzeug zur Behandlung diskreter Modelle dar. Außerdem sollen Modellierungstätigkeiten in einem biomathematischen Unterricht genauso Platz haben wie das Arbeiten mit unterschiedlichen Darstellungformen und das Aufzeigen sowie das bewusste Nutzen von Vernetzungen mathematischer Methoden. Alle diese Forderungen sind am Ende der einzelnen Teilabschnitte als Konsequenzen für die Konzeption der Unterrichtsprojekte im dritten Teil des Buches formuliert. Schließlich werden in den Kapiteln 7-10 konkrete Unterrichtsvorschläge in Form von Projekten gemacht. Zu jedem der vier oben genannten Teilgebiete der Biomathematik wird ein direkt in den Unterricht übertragbarer Leitfaden mit konkreten Schüleraufgaben präsentiert. Dazu finden sich ausführliche, im Fließtext formulierte Lösungen, die einen Einsatz im Unterricht erleichtern sollen. Diese Vorschläge sind vor allem aber nicht nur für einen projektartigen Unterricht geeignet, bei dem die Schüler alleine bzw. in kleinen Gruppen an den Aufgaben arbeiten sollen. Zwischendurch werden immer wieder Hinweise und Bemerkungen didaktischer oder unterrichtspraktischer Natur gemacht. Es wurde versucht sofern möglich und zugänglich an realen biologischen Daten zu arbeiten, um den Unterrichtsprojekten einen authentischen und lebenspraktischen Charakter zu verleihen. Außerdem werden auflockernde, gleichzeitig aber mathematisch gehaltvolle Simulationen und Spiele für das Klassenzimmer vorgestellt, an denen die Schüler wichtige Mechanismen der mathematischen Modelle durch eigenes Tun kennenlernen sollen. Jedes der vier Kapitel endet mit einem für das jeweilige Teilgebiet repräsentativen biomathematischen Modell. Das Leslie-Modell, das Lotka-Volterra-Modell, das SIR-Modell und das Fisher-Wright-Modell sind auch in der Fachliteratur zentrale und das Fach charakterisierende mathematische Beschreibungen. Mein ausdrücklicher Dank gilt Prof. Karl Sigmund, Prof. Josef Hofbauer und Prof. Reinhard Bürger für die anregenden und für diese Arbeit inspirierenden Vorlesungen zur Biomathematik an der Universität Wien. Des weiteren möchte ich mich bei Prof. Hans Humenberger für die Betreuung der Dissertation, aus dem dieses Buch hervorgegangen ist, sowie fürs Korrekturlesen ganz herzlich bedanken. Außerdem bedanke ich mich bei ihm sowie bei Prof. Hans-Wolfgang Henn für die Ermutigung zur Publikation dieses Buches. Dagmar Melzig war mir beim Verarbeiten der Grafiken eine große Hilfe, wofür ich sehr dankbar bin. Vom Verlag Vieweg+Teubner möchte ich in erster Linie Ulrike Schmickler-Hirzebruch und Kathrin Labude meinen besten Dank für die befruchtende und reibungslose Zusammenarbeit aussprechen. Meiner Familie und meinen Freunden danke ich vor allem für ihre Geduld und ihr Verständnis, die die zeitaufwändige und manchmal aufreibende Arbeit an einem solchen Buch einfordert. Juliane Ott gilt mein besonderer Dank fürs Korrekturlesen und für ihre Halt gebende Begleitung. Essen im August 2010 Christoph Ableitinger

6 Inhaltsverzeichnis I Biomathematische Modelle 1 1 Teilgebiete der Biomathematik und ihre Bezüge zur Menschheitsgeschichte Demographie Episoden aus der Demographie Wichtige Begriffe Demographie und Statistik Mathematische Ökologie Episoden aus der mathematischen Ökologie Wichtige Begriffe Mathematische Ökologie heute Epidemiologie Episoden aus der Epidemiologie Wichtige Begriffe Mathematische Epidemiologie Populationsgenetik Episoden aus der Populationsgenetik Wichtige Begriffe Aktuelle Forschung in der Populationsgenetik Modelle mit einer Zustandsgröße Grundlegende Modelle Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Begrenztes Wachstum Logistisches Wachstum Weiterführende Modelle Schaefer sches Modell Gompertz-Modell Allee-Effekt Allee Effekt Mutationsmodell Fisher-Wright-Modell Modelle mit zwei Zustandsgrößen Grundlegende Wechselwirkungsmodelle aus der Ökologie... 61

7 VIII Inhaltsverzeichnis Mutualismus Konkurrenz Räuber-Beute-Modell Modelle aus anderen Teilgebieten Natürliche Insektenvernichtung Tourismus vs. Umweltattraktivität SI-Modell SI-Modell Lesliemodell Modelle mit mehr als zwei Zustandsgrößen Erweiterungen von Modellen mit zwei Zustandsgrößen Zwei Beutespezies und ein Räuber SIR-Modell Lesliemodell Komplexere Modelle Bevölkerungsdynamik Stein-Schere-Papier-Dynamik SI-Modell mit zwei unterschiedlichen Erregern Lineare Nahrungskette II Biomathematik als Unterrichtsinhalt 93 5 Innermathematisches Potenzial der Biomathematik im Unterricht Tabellenkalkulation als didaktisches Werkzeug Roter Faden Iteration Darstellungsformen Mathematisches Modellieren Außermathematisches Potenzial der Biomathematik im Unterricht Alltagsnahe Tätigkeiten Systemdenken Fächerübergreifender, anwendungsorientierter Unterricht III Unterrichtsvorschläge Unterrichtsprojekt zur Demographie Einstieg und eine Einführung in Tabellenkalkulationen Eine Verfeinerung des exponentiellen Modells Das Leslie-Modell Eine Erweiterung auf mehrere Altersklassen...140

8 Inhaltsverzeichnis IX 8 Unterrichtsprojekt zur mathematischen Ökologie Einstieg Mathematische Modellierung eines Räuber-Beute-Systems Simulation in einer Tabellenkalkulation Fixpunktüberlegungen am Räuber-Beute-Modell Unterrichtsprojekt zur Epidemiologie Einstieg Ein einfaches Modell wird experimentell untersucht Relevanz von Kontakten Das SIR-Modell Unterrichtsprojekt zur Populationsgenetik Einstieg Mutation als zentraler Mechanismus Selektion als entscheidender Faktor der Evolution Fixpunktüberlegungen am Fisher-Wright-Modell Anhang 195 Literaturverzeichnis 203 Sachverzeichnis 209