Ausgehend vom Lotka-Volterra Modell der Populationsdynamik sind für die Testaufgabe zwei Teilaufgaben

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1 Praxis 2 - Tabellenkalkulation 9 Fig. 3 Teil C: Testaufgabe 1. Einführung Populationsdynamik bei Tieren in einem Lebensraum Wenn Tiere verschiedener Arten den gleichen Lebensraum besiedeln, können sie in Konkurrenz zueinander stehen, in einer Symbiose oder einer Räuber-Beute-Beziehung sein. Sie werden in dieser Testaufgabe mit Hilfe einer Tabellenkalkulation die Populationsdynamik zwischen zwei Tierarten simulieren, die sich in der Nahrung konkurrenzieren. Konkurrenz Konkurrenz tritt dann auf, wenn verschiedene Arten auf gleiche Ressourcen (z.b. Nahrung, Nistplätze) angewiesen sind. Ein bekanntes Beispiel dazu wäre die plage in Australien, wo in den 30-er Jahren ein paar ausgesetzt wurden. Da diese in Australien keine natürlichen Feinde besitzen, haben sich die explosionsartig vermehrt. Die Population besteht inzwischen aus mehreren Millionen Tieren. Für die einheimischen wurde die grosse Zahl der zu einem populationsdezimierenden Problem, weil sie ihnen praktisch die gesamte Nahrung weggefressen haben. Ausgehend vom Lotka-Volterra Modell der Populationsdynamik sind für die Testaufgabe zwei Teilaufgaben zu lösen: A) Simulation des Populationswachstums einer Tierart (z.b. ) B) Simulation von zwei sich konkurrierenden Populationen (z.b. und )

2 Praxis 2 - Tabellenkalkulation 10 Simulation der Populationsdynamik nach dem Modell von Lotka-Volterra Folgende Faktoren spielen gemäss einem Modell von Lotka-Volterra für die Populationsdynamik in einem natürlichen Lebensraum eine Rolle: Faktor Kapazität K Gewichtungsfaktor α Erklärung Anzahl Tiere, welche eine Region verkraften kann. In unserer Simulation B) soll die Kapazität von der vorhandenen Nahrungsmenge abhängig sein. Gibt das Verhältnis der Konkurrenz zwischen den Arten an. Beispiel: α = 5 bedeutet, dass eine Tierart A 5 mal mehr frisst als eine Tierart B. Vermehrungsrate v Beschreibt, wie stark sich die Population in einem Zeitintervall vermehrt. Beispiel: v = 20% bedeutet, dass sich die Population in einem Zeitintervall (z.b. ein Jahr) um 20% vergrössert. Anzahl Tiere N Anzahl Tiere in einer Population. Diese Faktoren werden die Eingabedaten für die Simulation sein. Daraus soll Excel die Populationsgrössen im Laufe der Zeit als abgeleitete Daten oder Sekundärdaten automatisch berechnen. Dafür benötigen Sie einige Formeln, die im folgenden Abschnitt hergeleitet werden. Abgeleitete Daten: Populationsgrössen verändern sich mit der Zeit Bei einem unbeschränkten Nahrungsangebot und keiner Konkurrenz hängt das Populationswachstum vor allem von der Vermehrungsrate v ab. Der Zuwachs pro Zeitintervall wäre dann v * N. Bei beschränktem Nahrungsangebot wird dieses Wachstum durch die Kapazitätsgrenze des Lebensraums eingeschränkt. Die Anzahl Tiere, welche die Region noch verkraften kann, ist K - N. Relativ zur Kapazität ausgedrückt ist dies (K - N) / K. Zusammenfassend ist also der Zuwachs pro Zeiteinheit durch folgende Gleichung gegeben: dn dt K N = v * N * K

3 Praxis 2 - Tabellenkalkulation 11 In der Populationsdynamik von natürlichen und "sich selbst regulierenden" Lebensräumen können daher 3 Fälle unterschieden werden: N < K: K - N ist positiv. Das Wachstum ist exponentiell, weil noch fast die gesamte Kapazität zur Verfügung steht und das Wachstum durch die Vermehrungsrate bestimmt ist. N = K: Es gibt kein Wachstum mehr, weil die Region keine weiteren Tiere mehr verkraften kann. N > K: K - N ist negativ. Die Region ist überlastet, die Anzahl Tiere wird sich verringern. 2. Aufgaben Teil A: Simulation des Populationswachstums von In der ersten Aufgabe sollen Sie die Populationsdynamik einer Art simulieren (z.b. ), die sich selbst überlassen ist und durch kein anderes System mitreguliert wird. Es besteht also z.b. keine Konkurrenz mit einer anderen Spezies. Die Zahl der zu jeder Zeit t kann folgendermassen beschrieben werden: K N Nt = Nt 1 + v* Nt 1* K t 1 Das heisst: die Anzahl Tiere zur Zeit t ist gleich der Summe aus der Anzahl Tiere ein Zeitschritt vorher plus die Zu- oder Abnahme. Vorgehen Beachten Sie unter Punkt 4. die Hinweise und FAQ's (Frequently Asked Questions) zu den Testaufgaben! Legen Sie in Excel ein neues Arbeitsblatt an. Erstellen Sie die Felder für die Eingabedaten, die später verändert werden können (siehe Abbildung auf der nächsten Seite). Sie können die Felder natürlich auch anders gestalten. Gegeben sei: Kapazität K: 50 Vermehrungsrate v: 50 % Anzahl Tiere N zur Zeit t = 0: 2

4 Praxis 2 - Tabellenkalkulation 12 Erstellen Sie die Felder für die abgeleiteten Daten. Sie haben die Aufgabe, die Anzahl und den Zuwachs der Tiere zu den Zeiten t = 1 bis t = 20 zu berechnen, wobei eine Zeiteinheit ein Jahr ist (siehe Abbildung auf der nächsten Seite). Erstellen Sie die Formeln zur Berechnung der Anzahl und des Zuwachses. Tipp: Der Anfangswert der Anzahl zur Zeit t = 0 ist gegeben. Die Anzahl zur Zeit t = 1 wäre dann dieser Wer plus der Zuwachs (siehe erste Formel). Vorsicht: Achten Sie darauf, dass Sie die Klammern richtig setzen! Visualisieren Sie die Veränderungen der Populationsgrösse in einem Diagramm nach folgendem Muster: Fügen Sie für die Eingabe verschiedener Parameter Regler ein. Beobachten Sie, wie sich das Wachstum der Population verhält. Hinweise: Benennen Sie Ihre Zellen und verwenden Sie nur im Ausnahmefall Zelladressen! Verwenden Sie so viele Formeln wie möglich. Sie müssen also nur die Eingabedaten selber eintippen, den Rest soll Excel für Sie erledigen! Verwenden Sie Kopieren und Einfügen, damit Sie jede Formel nur einmal eintippen müssen.

5 Praxis 2 - Tabellenkalkulation 13 Achten Sie darauf, dass Ihr Diagramm mit dem Zeitpunkt 0 beginnt. Eine Zeitdauer kann nicht den Wert 0 haben! Teil B: Simulation von zwei sich konkurrierenden Populationen Als zweite Aufgabe werden Sie die Populationsdynamik zweier Arten betrachten, die sich durch Konkurrenz gegenseitig regulieren. Der Gewichtungsfaktor α gibt das Verhältnis der Konkurrenz zwischen diesen zwei Tierarten an. Da in unserem Fall die Nahrungsmenge der Konkurrenzgrund zwischen und darstellt, bedeutet der Gewichtungsfaktor, dass die α-mal mehr fressen als die. Die Gesamtkapazität des Lebensraumes ist in diesem Fall von zwei Tierarten abhängig. Um zu berechnen, wie viele die Region noch verkraften kann, müssen von der Gesamtkapazität nicht nur die Anzahl subtrahiert werden, sondern auch die Anzahl. Da ein Känguru so viel zählt, wie α, ist die verbleibende Kapazität (in "- Einheiten") K N N * α. Wir können also den Zuwachs der folgendermassen formulieren: Zuwachs : dn dt = v * N K * N K ( N * α) Entsprechend ist die verbleibende Kapazität in "Känguru-Einheiten": K N / α - N und der Zuwachs an ist gegeben durch: Zuwachs : dn K ( N / α) N = v * N * dt K Um die Anzahl Tiere zu einer Zeit t zu berechnen, brauchen Sie lediglich die Anzahl Tiere und den Zuwachs einen Zeitschritt vorher zusammenzuzählen: N t=1 = N t=0 + Zuwachs t=0 Vorgehen Erstellen Sie die Felder für die Eingabedaten (siehe Abbildung auf der nächsten Seite). Gegeben sei: Kapazität K : 50 Anzahl N zur Zeit t = 0: 2 Kapazität K : 10 Anzahl N zur Zeit t = 0: 5 Vermehrungsrate v : 50 % Vermehrungsrate v : 10 % Nahrungsverhältnis α: 5

6 Praxis 2 - Tabellenkalkulation 14 Erstellen Sie die Felder für die abgeleiteten Daten. Sie haben die Aufgabe, die Anzahl und den Zuwachs der Tiere zu den Zeiten t = 1 bis t = 20 zu berechnen, wobei eine Zeiteinheit ein Jahr ist (siehe Abbildung). Erstellen Sie die Formeln zur Berechnung der Anzahl Tiere und deren Zuwachs. Stellen Sie die Populationsgrössen wieder grafisch dar. Fügen Sie für die Eingabe verschiedener Parameter Regler ein. Testen Sie verschiedene Situationen: Verändern Sie die Werte der Eingabedaten (Kapazität, Anzahl Tiere, Vermehrungsrate). Was passiert beispielsweise, wenn Sie das Nahrungsverhältnis verdoppeln? Hinweis: Achten Sie darauf, dass Ihr Diagramm mit dem Zeitpunkt 0 beginnt. Eine Zeitdauer kann nicht den Wert 0 haben!

7 Praxis 2 - Tabellenkalkulation Bedingungen für die Präsentation Führen Sie einer Assistentin oder einem Assistenten die beiden Simulationen am Bildschirm vor und erläutern Sie, was Sie gemacht haben. Die Begriffe dieses Praxismoduls sollten Sie in einfachen Worten erklären können. 4. FAQ's zur Testaufgabe Wie stelle ich Excel in die Deutsche Version um? Start > Programme > Microsoft Office > Microsoft Office Tools > Language Settings Wie erstelle ich in Excel einen Zeilenumbruch? Durch Anwählen der Zelle(n) > Format > Zellen > Ausrichtung Bei der Textsteuerung Zeilenumbruch anwählen. Wie steuere ich in Excel die Anzahl der Kommastellen einer Zahl? Durch Anwählen der Zelle(n) > Format > Zellen > Zahlen Kategorie: Zahl Dezimalstellen: z.b. 2 Wie entferne ich Gitternetzlinien aus dem Diagramm? Die Gitternetzlinien und andere Diagrammoptionen können Sie wie folgt ändern: Anklicken mit der rechten Maustaste > Diagrammoptionen... Bei Gitternetzlinien den Hacken entfernen. Wie erhalte ich im Diagramm eine Achsenbeschriftung die bei O beginnt? In dem Sie bei Datenquelle > Reihe bei der Beschriftung der X-Achse auf den Bereich verweisen, der den Zeitpunkt 0 bis 20 enthält. 5. Literatur Neuwirth, E., Arganbright, D. The Active Modeler: Mathematical Modeling with Excel. Thomson (2004).