Simulieren und Modellieren

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1 Verwaltung und Analyse digitaler Daten in der Wissenschaft Simulieren und Modellieren Projektaufgabe Inhaltsverzeichnis 1 Überblick 3 2 Modell 1 aus der Populationsdynamik (Lotka-Volterra) Einführung Simulation der Populationsdynamik nach dem Lotka-Volterra-Modell Simulation des Populationswachstums von Kaninchen Zwischenschritte Simulation von zwei sich konkurrierenden Populationen Zwischenschritte Modell 2 aus der Populationsgenetik (Hardy-Weinberg) Einführung Modellannahmen Gene und Allele Mathematische Herleitung des Hardy-Weinberg-Gleichgewichts Erweiterung des Hardy-Weinberg Modells Zwischenschritte Bedingungen für die Präsentation 14

2 Begriffe Arbeitsmappe Tabellenblatt Zeile Spalte Zelle Konstante Formel Funktion Zellformate Zellbezug Zelladresse Zellbereich Absoluter Bezug Relativer Bezug X-Y-Punkte-Diagramm Bedingte Anweisung Zielwertsuche Simulation Modell Autoren: Lukas Fässler, David Sichau Datum: 18 May 2018 Version: 1.1 Hash: 87805f1 Trotz sorgfältiger Arbeit schleichen sich manchmal Fehler ein. Die Autoren sind Ihnen für Anregungen und Hinweise dankbar! Dieses Material steht unter der Creative-Commons-Lizenz Namensnennung - Nicht kommerziell - Keine Bearbeitungen 4.0 International. Um eine Kopie dieser Lizenz zu sehen, besuchen Sie 2

3 1 Überblick In der Projektaufgabe dieses Kursmoduls werden Sie zwei Modelle aus der Biologie als Simulation implementieren: Modell 1 aus der Populationsdynamik: das Lotka-Volterra-Modell Modell 2 aus der Populationsgenetik: das Hardy-Weinberg-Modell 2 Modell 1 aus der Populationsdynamik (Lotka-Volterra) 2.1 Einführung Wenn Tiere verschiedener Arten den gleichen Lebensraum besiedeln, können sie in Konkurrenz zueinander stehen, in einer Symbiose oder einer Räuber-Beute-Beziehung sein. Sie werden in dieser Projektaufgabe unter Einsatz einer Tabellenkalkulation die Populationsdynamik zwischen zwei Tierarten simulieren, die um Nahrung konkurrieren. Konkurrenz tritt dann auf, wenn verschiedene Arten auf gleiche Ressourcen (z.b. Nahrung oder Nistplätze) angewiesen sind. Ein bekanntes Beispiel dazu wäre die Kaninchenplage in Australien, wo in den 1930er-Jahren ein paar Kaninchen ausgesetzt wurden. Da diese in Australien keine natürlichen Feinde besitzen, haben sich die Kaninchen explosionsartig vermehrt. Die Population besteht inzwischen aus mehreren Millionen Tieren. Für die einheimischen Kängurus wurde die grosse Zahl der Kaninchen zu einem populationsdezimierenden Problem, weil die Kaninchen ihnen praktisch die gesamte Nahrung weggefressen haben. Ausgehend vom Lotka-Volterra-Modell der Populationsdynamik sind zwei Teilaufgaben zu lösen: Simulation des Populationswachstums einer Tierart (z.b. Kaninchen). Simulation von zwei konkurrierenden Populationen (z.b. Kaninchen und Kängurus). 2.2 Simulation der Populationsdynamik nach dem Lotka-Volterra-Modell Folgende Faktoren spielen gemäss einem Modell von Lotka und Volterra für die Populationsdynamik in einem natürlichen Lebensraum eine Rolle: Die Kapazität, der Gewichtungsfaktor, die Vermehrungsrate sowie die Anzahl Tiere (siehe Tabelle 1). Diese Faktoren werden die Eingabedaten für die Simulation sein. Daraus soll die Populationsgrössen im Laufe der Zeit als abgeleitete Daten (Sekundärdaten) automatisch 3

4 Faktor Kapazität K Gewichtungsfaktor α Vermehrungsrate v Anzahl Tiere N Erklärung Anzahl Tiere, welche eine Region verkraften kann. In unserer zweiten Simulation soll die Kapazität von der vorhandenen Nahrungsmenge abhängig sein. Verhältnis der Konkurrenz zwischen den Arten. Beispiel: α = 5 bedeutet, dass eine Tierart 5-mal mehr frisst als eine andere Tierart. Beschreibt, wie stark sich die Population in einem Zeitintervall vermehrt. Beispiel: v = 20% bedeutet, dass sich die Population in einem Zeitintervall um 20% vergrössert. Anzahl Tiere in einer Population. Tabelle 1: Faktoren des Lotka-Volterra-Modells. berechnen. Dafür benötigen Sie einige Formeln, die im folgenden Abschnitt hergeleitet werden. Abgeleitete Daten: Populationsgrössen verändern sich mit der Zeit Bei einem unbeschränkten Nahrungsangebot und ohne Konkurrenz hängt das Populationswachstum vor allem von der Vermehrungsrate v ab. Der Zuwachs pro Zeitintervall wäre dann v N Bei beschränktem Nahrungsangebot wird dieses Wachstum durch die Kapazitätsgrenze K des Lebensraums eingeschränkt. Die Anzahl Tiere, welche die Region noch verkraften kann, ist K N. Relativ zur Kapazität ausgedrückt ist dies (K N) K Zusammenfassend ist der Zuwachs pro Zeiteinheit durch folgende Gleichung gegeben: ( ) dn K N dt = v N K In der Populationsdynamik von natürlichen und sich selbst regulierenden Lebensräumen können daher drei Fälle unterschieden werden: 4

5 N < K: K N ist positiv. Das Wachstum ist exponentiell. Es wird durch die Vermehrungsrate bestimmt. N = K: Es gibt kein Wachstum mehr, weil die Region keine weiteren Tiere mehr verkraften kann. N > K: K N ist negativ. Die Region ist überlastet, die Anzahl Tiere wird sich verringern. 2.3 Simulation des Populationswachstums von Kaninchen In der ersten Aufgabe sollen Sie die Populationsdynamik einer Art simulieren (z.b. Kaninchen), die sich selbst überlassen ist und durch kein anderes System mitreguliert wird. Es besteht also z.b. keine Konkurrenz mit einer anderen Spezies. Die Anzahl der Kaninchen zu jedem Zeitpunkt t kann folgendermassen beschrieben werden: ( ) K Nt 1 N t = N t 1 + v N t 1 K Das heisst, dass die Anzahl Tiere zum Zeitpunkt t der Summe aus der Anzahl Tiere einen Zeitpunkt vorher plus der Zu- oder Abnahme entspricht Zwischenschritte a) Ausgangsparameter festlegen Legen Sie in einem neuen Arbeitsblatt Ihrer Tabellenkalkulation folgende Ausgangswerte fest (siehe Abbildung 1): Kapazität K: 50 Vermehrungsrate v: 50% Anzahl Tiere N 0 : 2 b) Felder für die abgeleiteten Daten erstellen Erstellen Sie die Felder für die abgeleiteten Daten. Sie haben die Aufgabe, die Anzahl und den Zuwachs der Tiere zu den Zeiten t=1 bis t=20 zu berechnen, wobei eine Zeiteinheit ein Jahr ist: Zeit (z.b. t) Anzahl Kaninchen (z.b. N) c) Formeln zur Berechnung der Anzahl Kaninchen und des Zuwachses eingeben Erstellen Sie die Formeln zur Berechnung der Anzahl Kaninchen und des Zuwachses. 5

6 Abbildung 1: So könnte die Umsetzung in der Tabellenkalkulation aussehen. Hinweise und Tipps: Der Anfangswert der Anzahl Kaninchen zur Zeit t=0 ist gegeben. Die Anzahl Kaninchen zur Zeit t=1 wäre dann dieser Wert plus der Zuwachs (siehe erste Formel). Achten Sie darauf, dass Sie die Klammern richtig setzen. Sie können eine Zelle absolut benennen, indem Sie die Zelladresse (z.b. B12) durch die Zellbezeichnung ersetzen (z.b. Konzentration). Verwenden Sie dann anschliessend in Ihrer Formel diese absolute Zellbezeichnung. Dadurch wird ihre Formel verständlicher. Geben Sie die Formeln so ein, dass Sie diese nur einmal eingeben und danach kopieren können. d) Visualisierung erstellen Visualisieren Sie die Veränderungen der Populationsgrösse in einem aussagekräftigen Diagramm. Fügen Sie für die Eingabe verschiedener Parameter Regler ein. Hinweis: Achten Sie darauf, dass Ihr Diagramm mit dem Zeitpunkt 0 beginnt. die Diagramm-Achsen beschriftet sind. e) Simulieren und Interpretieren der Resultate Beobachten Sie, wie sich das Wachstum der Population in Ihrer erstellten Simulation verhält. 6

7 2.4 Simulation von zwei sich konkurrierenden Populationen Als zweite Aufgabe werden Sie die Populationsdynamik zweier Arten betrachten, die sich durch Konkurrenz gegenseitig regulieren. Der Gewichtungsfaktor α gibt das Verhältnis der Konkurrenz zwischen diesen zwei Tierarten an. Da in unserem Fall die Nahrungsmenge den Konkurrenzgrund zwischen Kaninchen und Kängurus darstellt, bedeutet der Gewichtungsfaktor, dass die Kängurus α-mal mehr fressen als die Kaninchen. Die Gesamtkapazität des Lebensraumes ist in diesem Fall von zwei Tierarten abhängig. Um zu berechnen, wie viele Kaninchen die Region noch verkraften kann, muss von der Gesamtkapazität nicht nur die Anzahl Kaninchen subtrahiert werden, sondern auch die Anzahl Kängurus. Da ein Känguru so viel zählt wie α Kaninchen, ist die verbleibende Kapazität in Kaninchen- Einheiten K Kaninchen N Kaninchen N Kängurus α Wir können also den Zuwachs der Kaninchen folgendermassen formulieren: dn Kaninchen dt ( ) KKaninchen N Kaninchen N Kängurus α = v Kaninchen N Kaninchen K Kaninchen Entsprechend ist die verbleibende Kapazität in Känguru-Einheiten K Kängurus N Kaninchen /α N Kängurus und der Zuwachs an Kängurus ist gegeben durch dn Kängurus dt = v Kängurus N Kängurus ( ) KKängurus N Kaninchen /α N Kängurus K Kängurus Um die Anzahl Tiere zu einem Zeitpunkt t zu berechnen, brauchen Sie lediglich die Anzahl Tiere und den Zuwachs einen Zeitschritt vorher zusammenzuzählen: N t = N t 1 + Zuwachs t Zwischenschritte a) Ausgangsparameter festlegen Legen Sie in einem neuen Arbeitsblatt folgende Ausgangswerte fest: Kapazität K Kaninchen : 50 Kapazität K Kängurus : 10 Vermehrungsrate v Kaninchen : 50% 7

8 Vermehrungsrate v Kängurus : 10% Anzahl Kaninchen (z.b. NKan 0 ): 2 Anzahl Kängurus (z.b. NKaen 0 ): 5 Gewichtungsfaktor (Nahrungsverhältnis) α: 5 b) Felder für die abgeleiteten Daten erstellen Erstellen Sie die Felder für die abgeleiteten Daten. Sie haben die Aufgabe, die Anzahl und den Zuwachs der Tiere zu den Zeiten t = 1 bis t = 20 zu berechnen, wobei eine Zeiteinheit ein Jahr ist (siehe Abbildung 2): Zeit (z.b. t) Anzahl Kaninchen (z.b. N Kan) Anzahl Kängurus (z.b. NKae) Zuwachs Kaninchen (z.b. ZKan) Zuwachs Kängurus (z.b. ZKae) Abbildung 2: So könnte die Umsetzung in der Tabellenkalkulation aussehen. c) Formeln eingeben Erstellen Sie die Formeln zur Berechnung der Anzahl Tiere und deren Zuwachs. Fügen Sie für die Eingabe verschiedener Parameter Regler ein. d) Visualisierung erstellen Stellen Sie die Resultate der Simulation in einem aussagekräftigen Diagramm dar. e) Simulieren und Interpretieren der Resultate Testen Sie mit Ihrer Simulation verschiedene Situationen. Verändern Sie die Werte der Eingabedaten (Kapazität, Anzahl Tiere, Vermehrungsrate). Was passiert beispielsweise, wenn Sie den Gewichtungsfaktor (Nahrungsverhältnis) verdoppeln? 8

9 3 Modell 2 aus der Populationsgenetik (Hardy-Weinberg) 3.1 Einführung Der englische Mathematiker G.H. Hardy und der deutsche Physiker W. Weinberg haben 1908 unabhängig voneinander die Theorie entwickelt, wie bestimmte genetische Ausprägungen in idealen Populationen erhalten bleiben. Der Hintergrund für die Entwicklung des Modells war eine Diskussion, dass sich dominante Allele mit der Zeit in einer Population ausbreiten müssten Modellannahmen Da das Modell auf der Annahme von idealen Populationen basiert, wird im Folgenden kurz erklärt, was ideale Populationen sind. Eine ideale Population ist eine starke Vereinfachung natürlicher Populationen und hat folgende Eigenschaften: Sehr grosse Anzahl an Individuen. Die Wahrscheinlichkeit einer Paarung ist immer gleich. Es gibt keine Bevorzugung bestimmter Partner und dadurch von bestimmten Genen. Es gibt keine Selektion. Es findet keine Auswahl oder Bevorzugung bestimmter Individuen statt. Es gibt keine Mutation. Da Gene nicht mutieren, verändert sich auch der Genpool nicht. Es findet keine Migration statt. Es migrieren keine Individuen, daher ist der Genpool konstant und keine neuen Gene kommen hinzu. In einer idealen Population gibt es keine Evolution, da alle Evolutionsfaktoren ausgeschlossen werden. Daher ist dieses Modell nur sehr eingeschränkt verwendbar. Der Vorteil dieser Vereinfachung besteht jedoch darin, dass die Verteilung der Allele über die gesamte Simulation konstant ist und daher dieses Problem mathematisch einfacher zu analysieren ist. Für die Simulation erweitern wir dieses Modell jedoch später, so dass Evolutionsfaktoren eine Rolle spielen Gene und Allele Die Ausprägung von Organismen wird durch deren Genom bestimmt. Das Genom besteht aus Genen, die in der DNA gespeichert werden. Gene enthalten die Information, welche den Genotyp eines Individuums definiert. Da einzelne Gene für bestimmte Ausprägungen eines Individuums zuständig sind und diese Ausprägungen auch an Nachkommen weitergeben werden, werden Gene vererbt. Von jedem Gen kann es verschiedene Ausprägungen geben, diese werde als Allele bezeichnet. So definiert ein Gen z.b. die Haaransatzlinie eines Individuums. Je nachdem, welches Allel dieses Gens vorhanden ist, ist die Haaransatzlinie des Individuums vorspringend oder gerade. 9

10 Viele pflanzliche und tierische Organismen haben einen doppelten Chromosomensatz, je einen von der Mutter und einem vom Vater. Dies wird Diploidie genannt. Daher kann der Organismus von jedem Gen verschiedene Allele besitzen. Beim Beispiel der Haaransatzlinie können die verschiedene Allele A (z.b. vorspringend) und B (z.b. gerade) in Kombinationen vorkommen. In diesem Falle hat ein diploides Individuum drei mögliche Genotypen: AA, AB und BB Mathematische Herleitung des Hardy-Weinberg-Gleichgewichts Das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht beschreibt, wie Allele in einer Population verteilt sind. Wenn alle Allele einer genetischen Ausprägung nur aus Allel A und B bestehen und eine grosse Population betrachtet wird, kann der Anteil von Allel A als P (A) = p und der Anteil von Allel B als P (B) = q beschrieben werden. Da nur diese beiden Allele vorkommen, gilt p + q = 1. Die hier vorgestellte Herleitung ist eine Abwandlung der Herleitung von Weinberg, wobei jedoch eine moderne Notation verwendet wurde. Mit einfacher Wahrscheinlichkeitsrechnung kann aus der Allel-Verteilung die Genotyp- Verteilung P (AA), P (BB) und P (AB) der ersten Generation berechnet werden. P (AA) = P (A)P (A) = p 2 P (AB) = P (A)P (B) + P (B)P (A) = 2pq P (BB) = P (B)P (B) = q 2 Wenn sich diese Genotypen untereinander zufällig reproduzieren, gibt es für die Reproduktion folgende Wahrscheinlichkeiten: P (AA AA) = P (AA)P (AA) = p 4 P (AA AB) = 2P (AA)P (AB) = 4p 3 q P (AA BB) = P (AA)P (BB) = p 2 q 2 P (AB AB) = P (AB)P (AB) = 4(pq) 2 P (AB BB) = 2P (AB)P (BB) = 4pq 3 P (BB BB) = P (BB)P (BB) = q 4 Dabei bezeichnet P (AAxAA) die Wahrscheinlichkeit, mit dem sich der Genotyp AA mit dem Genotyp AA vermehrt. Aus jeder dieser Kreuzungen werden mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit die Genotypen der nächsten Generation erzeugt. Diese Wahrscheinlichkeiten können mit dem Punnett-Quadrat hergeleitet werden (siehe Tabelle 2). Aus der Kreuzung von AA mit AA können nur AA Genotypen hervorgehen. Bei der Kreuzung von AA mit AB entstehen 50% AA und 50% AB Genotypen. Bei der Kreuzung von AA mit BB entstehen nur AB Genotypen. Aus der Kreuzung AB mit AB gehen je 25% AA und 25% BB und 50% AB Genotypen hervor. Die Kreuzung von AB mit BB führt zu 10

11 Vater A B Mutter A AA AB A AA AB Tabelle 2: Punnet-Quadrat für die Kreuzung von AA mit AB. je 50% BB und AB Genotypen und die Kreuzung von BB mit BB führt ausschliesslich zum Genotyp BB. Damit lassen sich nun die Verteilungen der Tochtergeneration P bestimmen: P (AA) = P (AA AA) P (AA AB) + 1 P (AB AB) 4 = p 4 + 2p 3 q + (pq) 2 = p 2 (p + q) 2 P (AB) = 1 P (AA AB) + P (AA BB) P (AB AB) + 1 P (AB BB) 2 = 2p 3 q + 2p 2 q 2 + 2p 2 q 2 + 2pq 3 = 2pq(p + q) 2 P (BB) = P (BB BB) P (BB AB) + 1 P (AB AB) 4 = q 4 + 2pq 3 + (pq) 2 = q 2 (p + q) 2 Mit der Bedingung p + q = 1 folgt daher für die Tochtergeneration: P (AA) = p 2 P (AB) = 2pq P (BB) = q 2 Dies bedeutet, dass unter den Einschränkungen einer idealen Population die Verteilung der Genotypen über die Generationen konstant bleibt. Aufgrund der mathematischen Analyse ist es möglich, das gesamte Verhalten des Systems mathematisch zu analysieren. In Abbildung 3 wird die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Genotyps gegenüber der Wahrscheinlichkeit für das Allel A aufgezeigt. Wenn zum Beispiel Allel A mit einer Wahrscheinlichkeit von P (A) = 0.4 auftritt, wird dadurch genau definiert, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Genotypen AA, AB und BB auftreten: P (AA) = 0.16, P (AB) = 0.48 und P (BB) =

12 Abbildung 3: So könnte die Umsetzung in der Tabellenkalkulation aussehen Erweiterung des Hardy-Weinberg Modells Die Annahme einer idealen Population war zwar für die mathematische Analyse hilfreich, für biologische Fragestellungen eignet sich diese Annahme jedoch nur sehr eingeschränkt. Deshalb gibt es verschiedene Abwandlungen des Modells, bei welcher einzelne Evolutionsfaktoren berücksichtigt werden. Eine Möglichkeit besteht darin, die konstante Reproduktionsrate der einzelnen Genotypen anzupassen, so dass die verschiedenen Genotypen unterschiedliche Vermehrungsraten besitzen. Eine unterschiedliche Reproduktionsrate wird als reproduktive Fitness bezeichnet. Dieser Faktor bestimmt, wie wahrscheinlich es ist, dass sich ein Individuum eines bestimmten Genotyps fortpflanzt. Um diese unterschiedlichen Reproduktionsraten zu modellieren, muss das Modell durch den reproduktiven Fitnessfaktor e angepasst werden, wobei 0 e 1 gilt. Wenn e = 1, dann reproduziert sich der Genotyp normal (d. h. ohne Einschränkung), wenn e = 0, kann sich dieser Genotyp nicht reproduzieren. Falls e = 1 für alle Genotypen verwendet wird, dann entspricht dieses Modell dem Hardy-Weinberg-Gleichgewicht. Eine rein mathematische Analyse dieses neuen Modells ist nun nicht mehr einfach möglich, da durch diese Anpassung, die Zustände der einzelnen Generationen von den vorherigen abhängig sind. Deswegen handelt es sich um ein nichtlineares dynamisches Modell, welches nur sehr schwierig mathematisch analysiert werden kann. Um die Grenzen des Modells zu erkennen und das Verhalten des neuen Modells zu verstehen, ist es sinnvoll, dieses Modell zu simulieren Zwischenschritte a) Ausgangsparameter festlegen Legen Sie in einem neuen Arbeitsblatt folgende Ausgangswerte fest: P (AA) =

13 P (AB) = 0.3 P (BB) = 0.2 e AA = 1 e AB = 1 e BB = 0.8 b) Felder für die abgeleiteten Daten erstellen Erstellen Sie einen Zähler, der die Generationen von 0 an hoch zählt. Erstellen Sie die Beschriftungen für die Werte, die Sie für jede Generation berechnen wollen: Verteilung der Genotypen P (AA), P (AB) und P (BB) die Verteilung der Allele P (A) und P (B) die durch den Fitnessfaktor e, abgeänderte Reproduktionsraten der Genotypen P(AA R ), P(AB R ) und P(BB R ). Abbildung 4: So könnte die Umsetzung in der Tabellenkalkulation aussehen. c) Formeln herleiten und implementieren Implementieren Sie das Modell. Durch den Fitnessfaktor muss die Verteilung der Genotypen relativ zur Reproduktionsrate aller Individuen berechnet werden. Die Formeln dafür lauten: P (AA R ) t = P (AB R ) t = P (BB R ) t = P (AA) t e AA P (AA) t e AA + P (AB) t e AB + P (BB) t e BB P (AB) t e AB P (AA) t e AA + P (AB) t e AB + P (BB) t e BB P (BB) t e BB P (AA) t e AA + P (AB) t e AB + P (BB) t e BB 13

14 Mit diesen berechneten Werten lässt sich die Verteilung der Allele in der nächsten Generation berechnen: Leiten Sie die Formel für P (B) t+1 her. P (A) t+1 = P (AA R ) t + P (AB R) t 2 Aus der Verteilung der Allele kann nun die Verteilung der Genotypen in der ersten Generation berechnet werden. Die Formeln dafür lauten: P (AA) t = P (A) 2 t P (AB) t = 2P (A) t P (B) t P (BB) t = P (B) 2 t Um zu überprüfen, ob Sie das Modell korrekt implementiert haben, führen Sie eine Simulation mit den oben gegebenen Eingabedaten durch und vergleichen Sie die Werte: P (AA) 5 P (AB) 5 P (BB) d) Visualisierung erstellen Visualisieren Sie Ihre abgeleiteten Daten mit einem aussagekräftigen Diagramm. e) Simulieren und Interpretieren der Resultate Verwenden Sie Ihre Simulation, um folgende Fragen zu diskutieren: Setzen Sie den Fitnessfaktor für den Genotyp BB auf 0. Was ist zu beobachten? Versuchen Sie die Beobachtung zu erklären. Welche Fehlerquellen können bei dieser Simulation vorkommen? Wie könnten die Resultate der Simulation überprüft werden? Untersuche Sie den Einfluss der Fitnessfaktoren und bestimmen Sie, welcher davon den grössten Einfluss auf die Verteilung der Genotypen in der Population hat. 4 Bedingungen für die Präsentation Führen Sie einer Assistentin oder einem Assistenten die erstellten Simulationen am Bildschirm vor und diskutieren Sie die durch die Simulation erzeugten Resultate. Überlegen Sie sich, wie Sie einem Laien folgende Fragen erklären würden: Welche Elemente gehören zu einer Simulation? Verändern Sie die Eingabedaten und kommentieren Sie die Veränderungen in der Simulation. 14

15 Wo liegen die Grenzen der simulierten Modelle? Wie funktionieren absolute und relative Bezüge? Wie funktionieren bedingte Anweisungen? Die Begriffe dieses Kursmoduls sollten Sie mit einfachen Worten erklären können. 15