46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 5 Aufgaben

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1 46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 5 ufgaben c 2006 ufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. lle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen bzw. Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Setze folgende Zahlenreihen fort, indem du die Zahlen auf den freien Plätzen hinschreibst und angibst, wie du die Zahlen gefunden hast und wie du die nächsten Zahlen finden würdest. a) b) c) d) e) f) Eine meise läuft auf Gitterlinien von nach B. Von einem Gitterpunkt zum nächsten ist es immer ein Meter. Bestimme, wie weit die meise mindestens laufen muss, und wie viele verschiedene Wege mit dieser kürzesten Länge sie zur Verfügung hat. a) Sie läuft auf dem Quadrat in bbildung a. b) Sie läuft auf dem Rechteck in bbildung b. c) Sie läuft auf dem Würfel in bbildung c. B B F B E G D H C bbildung a bbildung b bbildung c

2 In den dargestellten Figuren in bbildung werden Zahlen eingetragen. Man beginnt im linken unteren Halbkreis und vergrößert die Zahlen in den Halbkreisen entgegen dem Uhrzeigersinn jeweils um den gleichen Betrag. In jedes Dreieck kommt die Summe der Nachbarzahlen. In der Mitte steht die Summe der vier Zahlen aus den Dreiecken. a) Ergänze entsprechend der Vorschrift die Zahlen in den leeren Feldern der Figur 1! b) Ergänze entsprechend der Vorschrift die Zahlen in den leeren Feldern der Figur 2! c) Bilde bei den Figuren 1 und 2 die Summe der Zahlen aus den Halbkreisen und vergleiche sie mit der Zahl in der Mitte. Erkennst du einen Zusammenhang? Wenn ja, dann beschreibe ihn! d) Ergänze entsprechend der Vorschrift die Zahlen in den leeren Feldern der Figur 3! Figur 1 Figur 2 60 bbildung Figur Ein Käfer sitzt auf kariertem Papier. Die Linien des karierten Papiers bilden ein Gitter n einem Gitterpunkt fängt er an, auf den Linien zu laufen. Wenn er seine Laufrichtung ändert, biegt er immer links ab. Ganz am nfang läuft er zunächst eine Karolänge (KL) nach links. Dann biegt er ab und läuft wieder eine KL. Dann biegt er ab und läuft 2 KL, biegt wieder ab und läuft wieder 2 KL. Dann biegt er wieder ab und läuft 3 KL, biegt wieder ab und läuft wieder 3 KL und so weiter. ußerdem zählt er immer mit, wie viele KL er seit seinem Start zurückgelegt hat. a) ls er 100 KL zurückgelegt hat, stoppt er erstmals wegen Müdigkeit. Zeichne seinen Weg bis zu diesem Stopp. Wie häufig ist er bisher abgebogen? b) Der Käfer überlegt sich, wie viele KL er laufen müsste, um schnellstmöglich über das Gitter zu seinem usgangspunkt zurückzukehren. Welchen Wert erhält er? c) Der Käfer entscheidet sich, seine ursprüngliche Gangart fortzusetzen. Nach weiteren 100 KL muss er wieder wegen Erschöpfung eine Pause machen. Er stellt aber fest, dass er sich noch nicht an einem bbiegepunkt befindet. Wie weit muss er bis zum nächsten bbiegepunkt noch laufen? d) Der Käfer befindet sich bei seinem Marsch wieder einmal an einem bbiegepunkt. Inzwischen ist er etwas vergesslich geworden: Er weiß nur noch, wie viele KL er seit dem letzten bbiegepunkt gelaufen ist. Kann er daraus eindeutig bestimmen, wie weit es auf dem kürzesten Weg zum usgangspunkt ist?

3 Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 6 cm und 9 cm (siehe nicht maßstäbliche bbildung ). Jede Seite wurde in sechs gleich große bschnitte eingeteilt. Dadurch entstehen auf jeder Rechtecksseite fünf Punkte. Diese Punkte sind in einer besonderen Weise miteinander verbunden worden. bbildung Innerhalb des Rechtecks kann man nun fünf Parallelogramme finden, deren Eckpunkte auf den Rechteckseiten liegen. Eins dieser Parallelogramme wurde stärker umrandet. a) Zeichne nun dieses Rechteck mit den Parallelogrammen selbst. Umrande jedes dieser Parallelogramme mit einer anderen Farbe. b) Jede farbige Linie gibt jeweils den Umfang eines Parallelogramms an. Vergleiche die Umfänge der fünf Parallelogramme miteinander. Was stellst du fest? c) Innerhalb des Linienzuges einer Farbe liegt der Flächeninhalt des Parallelogramms. Vergleiche den Flächeninhalt der fünf Parallelogramme! Die sieben Zwerge kommen zu Schneewittchen. Ich habe dir Pilze mitgebracht, sagt der erste Zwerg. Oh ja, ich auch, und ich habe dir sogar zwei Pilze mehr mitgebracht, sagt der zweite Zwerg. Der dritte Zwerg hat drei Pilze mehr mitgebracht als der zweite, der vierte vier Pilze mehr als der dritte, der fünfte fünf mehr als der vierte, der sechste sechs mehr als der fünfte. Der siebente Zwerg bringt Schneewittchen eine blaue Blume, keine Pilze. Das macht nichts, sagen die Zwerge. Wenn wir alle unsere Pilze zusammen tun und dann gleichmäßig auf uns sieben Zwerge verteilen, dann kannst du Schneewittchen auch 26 Pilze geben. Wie viele Pilze hatte der erste Zwerg gesammelt?

4 46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 6 ufgaben c 2006 ufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. lle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen bzw. Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Eine meise läuft auf Gitterlinien von nach B. Von einem Gitterpunkt zum nächsten ist es immer ein Meter. Bestimme, wie weit die meise mindestens laufen muss, und wie viele verschiedene Wege mit dieser kürzesten Länge sie zur Verfügung hat. a) Sie läuft auf dem Quadrat in bbildung a. b) Sie läuft auf dem Rechteck in bbildung b. c) Sie läuft auf dem Würfel in bbildung c. B B F B E G H D C bbildung a bbildung b bbildung c Gegeben sind die vier aufeinander folgenden Zahlen 554, 555, 556 und 557. a) Bilde die Summe dieser vier Zahlen (und nenne diese Zahl S 1 )! Bilde alle möglichen Summen aus zwei dieser Zahlen und addiere diese Summen. (Diese Gesamtsumme soll S 2 heißen.) b) Zufall oder nicht? Überprüfe den Zusammenhang zwischen S 1 und S 2. Wähle dir vier andere, aufeinander folgende Zahlen, bilde wieder die Summen S 1 und S 2. Zeigt sich derselbe Zusammenhang? c) Was ändert sich, wenn nicht mehr gefordert wird, dass die vier Zahlen aufeinander folgen, sondern nur noch, dass sie jeweils den gleichen bstand haben (wie z. B. 1002, 1007, 1012 und 1017)? d) Versuche, deine Beobachtungen zu begründen!

5 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck BC, wie in der nebenstehender bbildung zu sehen ist. Dieses wird jeweils viermal in Uhrzeigerrichtung um 90 um einen vorgegebenen Punkt gedreht. Die neu entstandenen Punkte werden entgegen dem Uhrzeigersinn fortlaufend bezeichnet. Zuerst wird das Dreieck BC nach der oben genannten Vorschrift B um B gedreht, das neue Dreieck heißt dann BDE. Dieses Dreieck BDE wird nun entsprechend um D gedreht, das neu entstandene bbildung Dreieck heißt DF G. Das Dreieck DF G wird um G gedreht. Das neue entstandene Dreieck heißt CHG, weil ein Eckpunkt dieses Dreiecks auf den Punkt C des ersten Dreiecks abgebildet wird. a) Führe diese Konstruktion für das vorgegebene Dreieck aus. b) Es entsteht ein Streckenzug BEDF GHC. Wie lang ist dieser Streckenzug? c) Wie groß ist der Flächeninhalt der vom Streckenzug eingeschlossenen Fläche? Gib ihn in Einheitsquadraten an! d) Vergleiche den Flächeninhalt der umrandeten Figur mit dem Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks BC! C Ein Käfer sitzt auf kariertem Papier. Die Linien des karierten Papiers bilden ein Gitter n einem Gitterpunkt fängt er an, auf den Linien zu laufen. Wenn er seine Laufrichtung ändert, biegt er immer links ab. Ganz am nfang läuft er zunächst eine Karolänge (KL) nach links. Dann biegt er ab und läuft wieder eine KL. Dann biegt er ab und läuft 2 KL, biegt wieder ab und läuft wieder 2 KL. Dann biegt er wieder ab und läuft 3 KL, biegt wieder ab und läuft wieder 3 KL und so weiter. ußerdem zählt er immer mit, wie viele KL er seit seinem Start zurückgelegt hat. a) ls er 100 KL zurückgelegt hat, stoppt er erstmals wegen Müdigkeit. Zeichne seinen Weg bis zu diesem Stopp. Wie häufig ist er bisher abgebogen? b) Der Käfer überlegt sich, wie viele KL er laufen müsste, um schnellstmöglich über das Gitter zu seinem usgangspunkt zurückzukehren. Welchen Wert erhält er? c) Der Käfer entscheidet sich, seine ursprüngliche Gangart fortzusetzen. Nach weiteren 100 KL muss er wieder wegen Erschöpfung eine Pause machen. Er stellt aber fest, dass er sich noch nicht an einem bbiegepunkt befindet. Wie weit muss er bis zum nächsten bbiegepunkt noch laufen? d) Der Käfer befindet sich bei seinem Marsch wieder einmal an einem bbiegepunkt. Inzwischen ist er etwas vergesslich geworden: Er weiß nur noch, wie viele KL er seit dem letzten bbiegepunkt gelaufen ist. Kann er daraus eindeutig bestimmen, wie weit es auf dem kürzesten Weg zum usgangspunkt ist?

6 Im Lande Senturien gibt es nur Münzen zu 5 Sent und zu 7 Sent. Offensichtlich ist der kleinste Preis überhaupt, den man bezahlen kann, ohne Rückgeld zu erhalten, 5 Sent, dann kommen 7 Sent und dann 10 Sent. Wir bleiben bei dieser ufgabe bei der Situation, dass man beim Bezahlen keine Münzen zurückerhält. a) Man kann in Senturien keine Preise von 6 Sent oder von 8 Sent oder 9 Sent bezahlen. Gib für alle Preise bis 36 Sent an, ob man sie bezahlen kann oder nicht. b) Gibt es höhere Preise als 36 Sent, die man nicht bezahlen kann? Begründe deine ntwort. c) Welches ist der kleinste Preis, den man auf zwei rten (also mit zwei verschiedenen Kombinationen von Münzen) mit diesen Münzen bezahlen kann? d) Benachbart zu Senturien ist dein Phantasieland. Hier soll es auch nur zwei Münzarten geben, die zusammen 15 Sent wert sind (aber sinnvoller Weise sollen keine 1-Sent-Münzen dabei sein). Wähle zwei solcher Münzarten aus und beantworte die Fragen a), b) und c) mit diesen neuen Werten. Zu welchen Vermutungen kommst du?

7 46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 7 ufgaben c 2006 ufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. lle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen bzw. Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Die Fußballmannschaften des Nordgymnasiums und des Südgymnasiums trugen zwei Freundschaftsspiele aus, wobei insgesamt 13 Tore geschossen wurden. Das erste Spiel endete unentschieden. Im zweiten Spiel fielen mehr Tore als im ersten Spiel, und zwar erzielte die Mannschaft des Nordgymnasiums im zweiten Spiel doppelt so viele Tore wie die Mannschaft des Südgymnasiums. a) Wie endeten die beiden Spiele? b) Untersuche, ob diese ufgabe auch dann eindeutig lösbar ist, wenn man nicht weiß, dass im zweiten Spiel mehr Tore als im ersten Spiel fielen Ein Wanderer und ein Radfahrer kommen auf einer Straße einander entgegen. Der Wanderer hat eine mittlere Geschwindigkeit von 4,5 Kilometer in einer Stunde, der Radfahrer ist fünfmal so schnell. Die beiden sind jetzt 2,7 Kilometer voneinander entfernt. Wie viel Zeit vergeht, bis sie wieder 2,7 Kilometer voneinander entfernt sind?

8 Die nebenstehende bbildung ( ) zeigt ein Brett, auf dem neun Nägel in einer quadratischen nordnung angebracht sind. Der bstand zweier benachbarter Nägel betrage sowohl waagerecht als auch senkrecht jeweils 1 cm (die bbildung ist nicht maßstäblich). Im Folgenden sind diese Nägel als Punkte anzusehen. a) Man kann um drei Nägel einen Faden so spannen, dass diese Nägel die Eckpunkte eines Dreiecks bilden und kein anderer Nagel auf einer der Seiten dieses Dreiecks liegt. Gib drei derartige Dreiecke an, die nicht deckungsgleich sind. bbildung b) Man kann um fünf Nägel einen Faden so spannen, dass vier dieser Nägel die Eckpunkte eines Vierecks bilden und der fünfte Nagel auf einer der Seiten dieses Vierecks liegt. Gib zwei derartige Vierecke an, wobei das eine Viereck einen, das andere Viereck keinen Nagel im Inneren enthält. c) Es sei n die nzahl der Nägel, die Ecken eines Vielecks sind oder auf dem Rand dieses Vielecks liegen, wobei außerdem vorausgesetzt wird, dass im Inneren dieses Vielecks jeweils ein Nagel liegen soll und dass dieses Vieleck den linken Punkt der unteren Zeile als Eckpunkt besitzt. Dann gilt offenbar 3 n 8. Zeichne für jedes n ein solches Vieleck. d) Ermittle den Flächeninhalt deiner in Teil c) gezeichneten Vielecke und untersuche den Zusammenhang zwischen n und. Stelle eine Gleichung auf, die diesen Zusammenhang beschreibt Wie viele natürliche Zahlen n mit 1 n 2006 erfüllen die Gleichung [ n ] [ n ] [ n ] + + = n n 3 + n 4? Hinweis: Dabei bedeutet [x] die so genannte Gauß-Klammer von x: [x] ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Beispiele: [7] = 7, [0,99] = 0, [556,01] = 556.

9 46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 8 ufgaben c 2006 ufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. lle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen bzw. Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar Wenn in einen Wasserbehälter in jeder Minute 4 Liter Wasser fließen, so werden nach einer gewissen Zeit noch 60 Liter fehlen, bis der Wasserbehälter voll ist. Wenn dagegen pro Minute 6 Liter hineinfließen, so werden nach derselben Zeit schon 10 Liter übergelaufen sein. Wie viel Liter fasst der Wasserbehälter? Die Oberflächeninhalte zweier Würfel mit ganzzahligen Kantenlängen, von denen der größere eine um 22 cm längere Kante als der kleinere hat, unterscheiden sich um cm 2 voneinander. a) Berechne die Länge der Kanten der beiden Würfel. b) Ermittle alle Lösungen, wenn man die Bedingung weglässt, dass die Differenz der Kantenlängen 22 cm betragen soll Bernd soll große Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Er kennt Teilbarkeitsregeln für die Primfaktoren 2, 3, 5 und 11, aber keine für 7. Ich kenne eine, verstehe sie aber nicht, sagt ihm sein Freund Rolf: Nimm an, du hast eine sechsstellige Zahl z aus den Ziffern a, b, c, d, e und f, also z = abcdef. Trenne die vorderen 3 Ziffern abc ab und schreibe sie unter die letzten 3 Ziffern. Subtrahiere die beiden so erhaltenen dreistelligen Zahlen so voneinander, dass eine nicht negative Differenz entsteht (d. h. betrachte den Betrag dieser Differenz). Ist diese Differenz durch 7 teilbar, dann trifft dies auch auf z zu. Natürlich klappt das Verfahren auch für fünf- und für vierstellige Zahlen, wenn man a = 0 bzw. a = 0 und b = 0 setzt. Bernd überlegt: Doch, ich habe eine Erklärung: 1001 ist durch 7 teilbar. a) Überprüfe an drei selbst gewählten Beispielen, ob das Verfahren zum richtigen Ergebnis führt und ob es auch für vierstellige und fünfstellige Zahlen anwendbar ist. b) Beweise, dass jede Zahl der Form abcabc durch 7 teilbar ist. c) Erkläre damit das von Rolf beschriebene Verfahren. d) Gibt es ein ähnliches Verfahren für den Primfaktor 13? Wenn ja, dann gib das Verfahren an.

10 Es sei BCD ein Viereck, das folgende Bedingungen erfüllt: (1) BCD ist ein Drachenviereck (mit der Symmetrieachse C). (2) Die Diagonale C hat eine Länge von 7 cm. (3) Der Winkel <) BD ist 60 groß. (4) Die Summe der Seitenlängen von B und BC beträgt 10 cm. a) Konstruiere ein Viereck BCD, das diese Bedingungen erfüllt. b) Beschreibe deine Konstruktion. Hinweis: Überzeuge dich, dass die ufgabe viel leichter wird, wenn man die Bedingung (4) durch folgende Bedingung (4 ) ersetzt: (4 ) Die Seite B ist 6 cm lang. Die Schwierigkeit unserer ufgabe liegt darin, dass keine der Streckenlängen B oder BC, sondern nur deren Summe gegeben ist. In einem solchen Fall ist es günstig, eine Hilfsstrecke mit dieser Länge einzuführen, die als Seite eines Hilfsdreiecks vorkommt, das sich konstruieren lässt. Zusatzaufgabe für interessierte Schülerinnen und Schüler: Zur vollständigen Lösung einer Konstruktionsaufgabe gehört auch der Beweis der folgenden beiden Sätze: (I) Wenn ein Viereck die gestellten Bedingungen erfüllt, dann lässt es sich wie beschrieben konstruieren (Einzigkeitsnachweis). (II) Wenn ein Viereck wie beschrieben konstruiert wurde, dann erfüllt es die gestellten Bedingungen (Existenznachweis). Beweise diese beiden Sätze.

11 46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse 9/10 ufgaben c 2006 ufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. lle Rechte vorbehalten. Hinweise: 1. Es stehen in der ersten Runde insgesamt sechs ufgaben zur Verfügung, aus denen die Verantwortlichen vor Ort eine geeignete uswahl treffen können. Wenn die erste Runde als Hausaufgabenwettbewerb durchgeführt wird, kann die Wahl von vier der sechs ufgaben auch den Teilnehmenden überlassen werden. 2. Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene ussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende ussage aus dem Schulunterricht oder aus rbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen a) Zeigen Sie, dass , und Quadratzahlen sind. b) Es sei n eine natürliche Zahl mit n > 0. Des Weiteren seien a = die Zahl, deren Ziffernfolge aus n Einsen besteht, und b = die Zahl, deren Ziffernfolge aus einer Eins, n 1 Nullen und einer Fünf besteht. Beweisen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen a b + 1 eine Quadratzahl ist Bernd ist krank und muss Tabletten nehmen. Diese sind in einer mit lufolie verschlossenen Palette enthalten, welche die Form eines Rechteckes aus 5 2 Quadraten hat. In jedem Quadrat befindet sich eine Tablette. ls er von den 10 Tabletten die vierte entnommen hat, überlegt er sich, ob es denn sehr viele Muster aus 6 vorhandenen und 4 fehlenden Tabletten gibt. Dabei sollen zwei Muster gleich sein, wenn sie durch Drehen der Palette um 180 ineinander übergehen. Wie viele Muster gibt es? Im gleichschenkligen Trapez BCD mit B DC, D BC und D = BC sei O der Diagonalenschnittpunkt. Ferner seien <) BC = 60 sowie X, Y, Z die Mittelpunkte der Strecken O, OD bzw. BC. Zeigen Sie, dass dann das Dreieck XY Z gleichseitig ist.

12 Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung x x 5 x 4 4 x 3 x x + 1 = Es sei BCD ein konvexes Viereck. Der Punkt P sei im Inneren der Strecke B derart gewählt, dass P : P B = D : DC für die zugehörigen Streckenlängen gilt. Weiterhin soll gelten, dass die Geraden P D und BC parallel sind. Beweisen Sie: <) DP = <) P DC. Hinweis: Ein Viereck BCD heißt konvex, falls die Diagonalen C und BD im Inneren des Vierecks BCD liegen Zeigen Sie, dass es nur endlich viele Primzahlen p gibt, für welche die Dezimaldarstellung von 1 periodisch mit einer Periodenlänge 5 ist. p Hinweis: Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ständig ein Block von Ziffern. Zum Beispiel werden bei 4, Blöcke der Ziffern 51 ständig aneinander gereiht. Man schreibt 4,30751 mit der Periodenlänge 2, weil sich ein Block von zwei Ziffern ständig wiederholt.

13 46. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Klasse ufgaben c 2006 ufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. lle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene ussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende ussage aus dem Schulunterricht oder aus rbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen Man ermittle alle positiven ganzen Zahlen n, für die 6n 2 + 5n 4 eine Primzahl ist Malermeister Klecksel hat seinen Pinsel genau auf der halben Höhe der Leiter während der Frühstückspause abgelegt. Die Leiter steht in einer Ecke (siehe bbildung). Klecksels Helfer Tölpel verursacht wie so oft ein Durcheinander. Er stolpert über die Leiter, so dass diese mit dem oberen Ende an der Seitenwand entlang und mit dem unteren Ende auf dem Fußboden abrutscht. Der Pinsel hinterlässt an der Rückwand eine Spur. Welche Form hat diese Spur? Seitenwand Leiter Pinsel Rückwand Boden bbildung Eine Parabel p mit der Gleichung y = ax 2 + bx + c, a > 0, berühre die beiden Parabeln p 1 und p 2 mit den Gleichungen y = x 2 + b 1 x + c 1 bzw. y = x 2 + b 2 x + c 2 in den Punkten bzw. B. Man beweise, dass die gemeinsame Tangente der Parabeln p 1 und p 2 parallel zur Geraden B ist Die 50. Internationale Mathematik-Olympiade wird im Jahr 2009 in Deutschland stattfinden. Die bbildung zeigt den Entwurf eines Logos mit fünf Ringen. Die Zahlen von 1 bis 15 sollen nun so in die entstehenden 15 Gebiete eingetragen werden, dass in jedem Gebiet genau eine Zahl steht und die Summe der Zahlen in jedem der fünf Ringe 38 beträgt. a) Man zeige, dass man die Zahlen der ufgabenstellung entsprechend eintragen kann. b) Man zeige, dass bei jeder derartigen Belegung im Gebiet die Zahl 1 stehen muss. bbildung