Interpreter für Zwischencode und abstrakte Interpretation

Transkript

1 Interpreter für Zwischencode und abstrakte Interpretation

2 Drei-Address Code

3 Übersicht Zwischencode: Drei-Adress, Bytecode,... Zielprogram: RISC, CISC, Stackbasiert Codegenerator: Befehlsauswahl Registervergabe und -zuteilung

4 Drei-Adress-Code Abstrakter Code für eine Register Maschine: x = 2 * a + (b - 3); t1 = 2 * a t2 = b - 3 t3 = t1+t2 x = t3 (MUL, 2, a) (1) (SUB, b, 3) (2) (ADD, $1, $2) (3) (ST, $3,x) (4) Triples Result referred to by position Anmerkung: maximal ein Operator auf der rechten Seite

5 Drei-Address Code Syntax (1) i = 0 (2) x = 2 (3) if i>1 goto 7 (4) x = x*x (5) i = i + 1 (6) goto 3 (7) res = x Drei-Address Zuweisungen: x = y OP z Copy Anweisung: x = y Sprung: goto L Bedingter Sprung: if x OP y goto L Abbruch: halt

6 Drei-Address Code Prolog Darstellung (1) i = 0 (2) x = 2 inst(pc,op,arg1,arg2,arg3). (3) if i>1 goto 7 (4) x = x*x (5) i = i + 1 (6) goto 3 (7) res = x inst(1,assign,i,0,_). inst(2,assign,x,2,_). inst(3,if(>),i,1,7). inst(4,assign(*),x,x,x). inst(5,assign(+),i,i,1). inst(6,goto,_,_,3). inst(7,assign,res,x,_). inst(8,halt,_,_,_).

7 Teile des Interpreters tint(pc,in,out) :- inst(pc,opcode,a1,a2,a3), NextPC is PC+1, ex_opcode(opcode,a1,a2,a3,nextpc,in,out). ex_opcode(halt,_,_,_,_,env,env). ex_opcode(goto,_,_,label,_,in,out) :- tint(label,in,out). inst(1,assign,i,0,_). inst(2,assign,x,2,_). inst(3,if(>),i,1,7). inst(4,assign(*),x,x,x). inst(5,assign(+),i,i,1). inst(6,goto,_,_,3). inst(7,assign,res,x,_). inst(8,halt,_,_,_).

8 Teile des Interpreters ex_opcode(assign(op),var,rhs1,rhs2,nextpc,in,out) :- load(rhs1,in,rhsval1), load(rhs2,in,rhsval2), ex_op(op,rhsval1,rhsval2,res), store(in,var,res,out2), tint(nextpc,out2,out). ex_op(*,a1,a2,r) :- R is A1 * A2. ex_op(+,a1,a2,r) :- R is A1 + A2. ex_op(-,a1,a2,r) :- R is A1 - A2. inst(1,assign,i,0,_). inst(2,assign,x,2,_). inst(3,if(>),i,1,7). inst(4,assign(*),x,x,x). inst(5,assign(+),i,i,1). inst(6,goto,_,_,3). inst(7,assign,res,x,_). inst(8,halt,_,_,_).

9 Java Byte Code

10 Java Byte Code 0-Address Code anstatt x = y * z imul Operanden werden auf den Stack geschoben Ergebnisse auf dem Stack zurückgelassen kann kompakteren Code Ergeben

11 Beispiel public class Power { public static void main(string args[]) { int base = 2; int exp = 5; int i = exp; int res = 1; while (i>0) { i--; res = res*base; } System.out.println(res); } } public static void main(java.lang.string[]); Code: 0: iconst_2 1: istore_1 2: iconst_5 3: istore_2 4: iload_2 5: istore_3 6: iconst_1 7: istore 4 9: iload_3 10: ifle 25 13: iinc 3, -1 16: iload 4 18: iload_1 19: imul 20: istore 4 22: goto 9 Local Variables Operand Stack 25: getstatic #2; //Field java/lang/system.o 28: iload 4 30: invokevirtual #3; //Method java/io/print 33: return Var 0 Var 1 Var MAXVAR 1 2 size Parameters

12 Anmerkungen zusätzlich zum Stack gibt es 256 lokale Variablen (0..255) Parameter an eine Methode werden in den Variablen 0, übergeben für nicht statische Methoden enthält Variable 0 den this Zeiger aber der Interpreter hier verarbeitet nur statische Methoden

13 Unterstützte Opcodes (1) nop return goto Addr Local Variables Var 0 Var 1 Var MAXVAR Parameters istore Var iload Var Operand Stack size iconst Cst pop

14 Unterstützte Opcodes (1) ifle Addr Local Variables Var 0 Var 1 Var Parameters iinc Var, Cst MAXVAR 1 imul Operand Stack... 2 size iadd

15 Prolog Darstellung 0: iconst_2 1: istore_1 2: iconst_5 3: istore_2 4: iload_2 5: istore_3 6: iconst_1 7: istore 4 9: iload_3 10: ifle 25 13: iinc 3, -1 16: iload 4 18: iload_1 19: imul 20: istore 4 22: goto 9 25: println 4 27: return instr(pc,op,nrbytes). /* Prolog Encoding of Byte Code */ instr(0,iconst(2),1). instr(1,istore(1),1). instr(2,iconst(5),1). instr(3,istore(2),1). instr(4,iload(2),1). instr(5,istore(3),1). instr(6,iconst(1),1). instr(7,istore(4),2). instr(9,iload(3),1). instr(10,if1(<=,0,25),3). instr(13,iinc(3,-1),3). instr(16,iload(4),2). instr(18,iload(1),1). instr(19,iop(*),1). instr(20,istore(4),2). instr(22,goto(9),3). instr(25,println(4),2). instr(27,return,1). /* End of Prolog Encoding */

16 Parser Anmerkungen Parser im Skript: Eingabe: ähnlich wie javap Ausgabe kein Lexer: Whitespace muss behandelt werden Newlines werden gezählt (für Fehlermeldungen) digitft(from,to,dig) --> digit(dig), {Dig >= From, Dig =< To}. Im AST werden verschiedenen Operationen gruppiert: iconst_1, iconst_2, -> iconst(x) imul, iadd, > iop(x)

17 Alternativen Es gibt Bibliotheken um kompletten Java Bytecode einzulesen und in eine Prolog Darstellung umzuwandeln:

18 public class Exp extends java.lang.object SourceFile: "Exp.java" minor version: 0 major version: 0 Constant pool: const #1 = Method #5.#14; // java/lang/object."<init>":()v const #2 = class #15; // ArithmeticException const #3 = Method #2.#14; // java/lang/arithmeticexception."<init>":()v const #4 = class #16; // Exp const #5 = class #17; // Object const #6 = Asciz <init>; const #7 = Asciz ()V; const #8 = Asciz Code; const #9 = Asciz LineNumberTable; const #10 = Asciz exp; const #11 = Asciz (II)I; const #12 = Asciz SourceFile; const #13 = Asciz Exp.java; const #14 = NameAndType#6:#7;// "<init>":()v const #15 = Asciz java/lang/arithmeticexception; const #16 = Asciz Exp; const #17 = Asciz java/lang/object; { public Exp(); Code: Stack=1, Locals=1, Args_size=1 0: aload_0 1: invokespecial #1; //Method java/lang/object."<init>":()v 4: return LineNumberTable: line 1: 0 public static final int exp(int,int); Code: Stack=2, Locals=4, Args_size=2 0: iload_1 1: ifge 12 4: new #2; //class ArithmeticException 7: dup 8: invokespecial #3; //Method java/lang/arithmeticexception."<init>":()v 11: athrow 12: iconst_1 13: istore_2 14: iload_1 15: istore_3

19 bytecode(0,'string',0,aload(0),1). bytecode(1,'string',0,invokespecial(methodsignature(methodname(classname(packagename('java/ lang/'),shortclassname('object')),shortmethodname('<init>')),[],none)),3). bytecode(4,'string',0,return,1). :- module('exp_exp_pe',[main/2],[]). :- discontiguous bytecode/5, class/2. bytecode(0,'0',0,aload(0),1). bytecode(1,'0',0,invokespecial(methodsignature(methodname(classname(packagename('java/ lang/'),shortclassname('object')),shortmethodname('<init>')),[],none)),3). bytecode(4,'0',0,return,1). bytecode(0,'0',1,iload(1),1). bytecode(1,'0',1,if0(geint,11),3). bytecode(4,'0',1,new(classname(packagename('java/lang/'),shortclassname('arithmeticexception'))),3). bytecode(7,'0',1,dup,1). bytecode(8,'0',1,invokespecial(methodsignature(methodname(classname(packagename('java/ lang/'),shortclassname('arithmeticexception')),shortmethodname('<init>')),[],none)),3). bytecode(11,'0',1,athrow,1). bytecode(12,'0',1,const(primitivetype(int),1),1). bytecode(13,'0',1,istore(2),1). bytecode(14,'0',1,iload(1),1). bytecode(15,'0',1,istore(3),1). bytecode(16,'0',1,iload(3),1). bytecode(17,'0',1,if0(leint,13),3). bytecode(20,'0',1,iload(2),1). bytecode(21,'0',1,iload(0),1). bytecode(22,'0',1,ibinop(mulint),1). bytecode(23,'0',1,istore(2),1). bytecode(24,'0',1,iinc(3,-1),3). bytecode(27,'0',1,goto(-11),3). bytecode(30,'0',1,iload(2),1). bytecode(31,'0',1,ireturn,1). class('0',class(classname(packagename(''),shortclassname('exp')),final(false),public(true),abstract(false),classname(packagename 'java/lang/'),shortclassname('object')),[],[], [method(methodsignature(methodname(classname(packagename(''),shortclassname('exp')),shortmethodname('<init>')), [],none),bytecodemethod(1,1,0,methodid('0',0), []),final(false),static(false),public),method(methodsignature(methodname(classname(packagename(''),shortclassname('exp')),shortm thodname(exp)),[primitivetype(int),primitivetype(int)],primitivetype(int)),bytecodemethod(4,2,0,methodid('0',1), []),final(true),static(true),public)])). bytecode(0,'object',0,return,1). class('object',class(classname(packagename('java/ lang/'),shortclassname('object')),final(false),public(false),abstract(false),none,[],[], [method(methodsignature(methodname(classname(packagename('java/lang/'),shortclassname('object')),shortmethodname('<init>')), [],none),bytecodemethod(1,1,0,methodid('object',0),[]),final(false),static(false),public)])).

20 Der Interpreter Sehr ähnlich zum 3-Address Code Interpreter Umgebung: Stack + lokale Variablen + PC Local Variables Local Variables succ P Operand Stack Concrete Interpreter Execution Step i_load_1 Operand Stack Current Adress A New Adress (A+1)

21 Auszüge aus dem Code interpreter_loop(pc,in,out) :- print('> '),print(pc), print(' '), print(in), instr(pc,opcode,size),!, NextPC is PC+Size, print(' --> '),print(opcode),nl, ex_opcode(opcode,nextpc,in,out). interpreter_loop(pc,_in,_out) :- print('*** Unknown instruction label: '), print(pc),nl,fail. ex_opcode(return,_,env,env). ex_opcode(goto(label),_,in,out) :- interpreter_loop(label,in,out). ex_opcode(istore(var),nextpc,in,out) :- pop(in,top,in2), store(in2,var,top,out2), interpreter_loop(nextpc,out2,out). Anmerkung: Der Interpreter ist sehr nah an einer small-step Semantik. Wie muss man diesen umschreiben, dass dies deutlicher wird?

22 Mit expliziter small-step Semantik interpreter_loop(pc,in,out) :- small_step((pc,in),(pc2,out2)), interpreter_loop(pc2,out2,out). small_step((pc,in),nextstate) :- instr(pc,opcode,size), NextPC is PC+Size, ex_opcode(opcode,nextpc,in,nextstate) ex_opcode(return,_,env,(stop,env)). ex_opcode(goto(label),_,in,(label,in)). ex_opcode(istore(var),nextpc,in,(nextpc,out2)) :- pop(in,top,in2), store(in2,var,top,out2). Anmerkung: Der Interpreter ist sehr nah an einer small-step Semantik. Wie muss man diesen umschreiben, dass dies deutlicher wird?

23 Abstrakte Interpretation

24 Abstrakte vs Konkrete Ausführung Konkreter Schritt (small-step semantics): Eingabe: PC + Umgebung genau bekannt Ausgabe succ P (S): neuer PC + neue Umgebung Abstrakter / Symbolischer Schritt: Eingabe: PC + Beschreibung der Umgebung Ausgabe: mögliche neue PCs mit jeweils Beschreibungen der Umgebung

25 Abstrakte Interpretation Grundidee: wir führen das Programm auf einem alternativen abstrakten Datenmodell aus abstrakte Datenwerte abstrakte Operationen Informationsverlust, aber dafür kann man unendlich viele Ausführungen in endlicher Zeit analysieren

26 Illustration Local Variables Local Variables succ P Operand Stack Concrete Interpreter Execution Step i_load_1 Operand Stack Current Adress A New Adress (A+1) Local Variables pos pos neg Local Variables pos pos neg succ P A Operand Stack Abstract Interpreter Execution Step i_load_1 Operand Stack pos pos pos Current Adress A New Adress (A+1)

27 Formalisierung St: mögliche Zustände/Umgebungen eines Programms S 0 St: Startzustände succ P : St 7! St succ P : St St semantische Funktion, zb small-step Semantics Interpreter R: erreichbare Zustände eines Programms Verifikation/Analyse entspricht der Frage ob alle Zustände in R eine gewisse Eigenschaft erfüllen

28 Beispiel Zustand im Java Bytecode Interpreter: (PC,Stack,Vars) S 0 = {(0,[], )} succ P ((0,[], )) = (1,[2], ) wenn iconst_2 erste Anweisung succ P ((1,[2], )) = (1,[2],{1 2}) wenn istore_1 zweite Anweisung Bei Parameterübergabe an eine Methode gibt es eine Menge an Startzuständen, zum Beispiel: S 0 = {(0,[],{1 x}) x: } Berechnung von R? Fixpunktsatz von Tarski und Knaster; sichert Existenz eines Fixpunktes und Eindeutigkeit eine kleinsten Fixpunktes für geeignete Funktion F

29 Erreichbare Zustände geliftete Version von f: f (S) ={f(s) s 2 S} monotone Version FP von succp auf Mengen: F P (S) =S 0 [ S [ succ P (S) Iteration einer Funktion: f " 1 = lim n!1 f " n f " 0 (S) =S ^ f " n+1 (S) =f(f " n (S)) Definition der erreichbaren Zustände: R = F P " 1 (;)

30 Voraussetzung: Halbordnung Vertiefung Logische Programmierung Sebastian Krings, Michael Leuschel Überblick Ein Paar A := ha, applei, bestehend aus einer Relation apple auf einer Menge A heißt Halbordnung falls I apple reflexiv: 8a 2 A : a apple a I apple transitiv: 8a, b, c 2 A : a apple b ^ b apple c ) a apple c Konkrete Interpreter Formale Definition Fixpunktsatz Abstrakte Interpreter Grundlagen Konvergenzbeschleunigu Präzision Weitere Domänen I apple antisymmetrisch: 8a, b 2 A : a apple b ^ b apple a ) a = b

31 Voraussetzung: Vollständiger Verband Vertiefung Logische Programmierung Sebastian Krings, Michael Leuschel Überblick Konkrete Interpreter Formale Definition Fixpunktsatz I Halbordnung A := ha, applei I Für jede Teilmenge a A existieren sup(a) undinf (a). Abstrakte Interpreter Grundlagen Konvergenzbeschleunigu Präzision Weitere Domänen

32 Monotone Funktion Vertiefung Logische Programmierung Sebastian Krings, Michael Leuschel Überblick I Halbordnung A := ha, applei I Funktion f : A! A heißt monoton, falls I 8x, y 2 A : x apple y ) f (x) apple f (y) Konkrete Interpreter Formale Definition Fixpunktsatz Abstrakte Interpreter Grundlagen Konvergenzbeschleunigu Präzision Weitere Domänen

33 Fixpunktsatz von Tarski und Knaster Vertiefung Logische Programmierung Sebastian Krings, Michael Leuschel Überblick Sei A := ha, applei ein vollständiger Verband, f : A! A monotone Funktion und P := {x 2 A f (x) =x} die Menge der Fixpunkte von f in A. DannistP 6= ; und P := hp, applei ebenfalls ein vollständiger Verband. Konkrete Interpreter Formale Definition Fixpunktsatz Abstrakte Interpreter Grundlagen Konvergenzbeschleunigu Präzision Weitere Domänen

34 Fixpunktsatz von Tarski und Knaster - Beweisidee Vertiefung Logische Programmierung Sebastian Krings, Michael Leuschel Überblick I 8Y : Y P, soll es ein P-Supremum geben. Die Fälle Y = P und Y = ; sind gezeigt. Betrachtet werden nun die anderen Fälle. Dazu wird ausgenutzt, dass hu, applei mit U := {x 2 A S A Y apple x} wieder ein vollständiger Verband ist, und f U eine monotone Funktion U! U ist, die einen kleinsten Fixpunkt in U hat. Dieser ist das P-Supremum von Y. I D.h.: S P Y := T A {x 2 A S A Y [ f (x) apple x}. I Infimum wieder analog. Konkrete Interpreter Formale Definition Fixpunktsatz Abstrakte Interpreter Grundlagen Konvergenzbeschleunigu Präzision Weitere Domänen

35 Eigenschaften von FP FP ist monoton : S S FP(S) FP(S ) FP hat einen kleinsten Fixpunkt lfp(fp) = R Aber, es kann sein, dass es kein endliches n gibt so dass FP n = R die Domäne St kann unendlich sein ist dies der Fall für unseren Java Bytecode Interpreter mit (PC,Stack,Vars)?

36 Idee der Abstrakten Interpretation Eine Funktion F A P definieren die auf einer endlichen abstrakten Domäne arbeitet oder sicher stellt, dass nach endlicher Zeit ein Fixpunkt gefunden wird Was muss für F A P gelten? R A = F A P " 1 (?) Was muss für die abstrakte Domäne im Vergleich zur konkreten Domäne (St) gelten? Wie kann man R A interpretieren?

37 Abstrakte Domäne Konkrete Domäne C (St in unserem Fall), abstrakte Domäne A Konkretisierungsfunktion γ : A 2 C Abstraktionsfunktion α: 2 C A es muss für alle S gelten S γ(α(s)) Partielle Ordnung: a 1 v a 2 i (a 1 ) (a 2 ) a a 2 i a 1 v a 2 ^ a 2 6v a 1

38 Top und Bottom Wir führen immer zwei zusätzliche Element in der abstrakten Domäne auf: Bottom mit γ( ) =, Top mit γ( ) = C a 1 v a 2 i (a 1 ) (a 2 ) Z - 0 Z +

39 Complete lattices Definition. Acompletelatticeisaposet C;,,,, such that the least upper bound S and the greatest lower bound S exists for every subset S of C. = C denotes the infimum of C and = C denotes the supremum of C. Example 1: (S);,,S,, is a complete lattice. Example 2: The integers (extended with and + ) is a complete lattice Z {, + };,, +, max, min. 18 / 55

40 Abstrakte Domäne als Verband Verband (Lattice; Verband_(Mathematik)) Z - 0 Z + Konkrete Werte: Lattice (Verband) (POW(C), ) Abstrakter Verband (A, ) c obere Schranke (upper bound) von a wenn a c a b ist die kleinste obere Schranke von a und b (least upper bound, lub): a a b, b a b, (a c b c) a b c a b ist die grösste untere Schranke von a und b (greatest lower bound, glb): a b a, a b b, (c a c b) c a b

41 Eigenschaften : Galois Connection Z - 0 Z + S γ(α(s)) (Soundness) α ist monoton γ ist monoton (per Definition von ) oft verlangt man dass α die genauste Abstraktionsfunktion ist (Galois Connection): A = α(γ(a))

42 Beispiel Vertiefung Logische Programmierung Sebastian Krings, Michael Leuschel Überblick I Interpreter aus letzten Kapitel arbeitete auf C = Z I Vorschlag: A = {0, Z +, Z, >} I (0) = {0}, (Z )={x 2 Z : x apple 1} I (Z + )={x 2 Z : x 1} Konkrete Interpreter Formale Definition Fixpunktsatz Abstrakte Interpreter Grundlagen Konvergenzbeschleunigu Präzision Weitere Domänen I (>) =Z

43 Sound Approximation Sei F eine Funktion C C, dann ist F A ADom ADom eine Sound Approximation von F wenn {F(c) c γ(a)} γ(f A (A)) Gleiches für binäre, Funktionen {F(c,c ) c γ(a),c γ(a )} γ(f A (A,A ))

44 ADom = {Pos,Neg,0,, } Beispiel Z - 0 Z + γ(pos) = N \ {0}, γ(0) = {0}, γ(neg) = Z \ N Prüfen ob Pos + A Pos = Pos korrekt ist: {F(c,c ) c γ(a),c γ(a )} γ(f A (A,A )) {(c+c ) c γ(pos),c γ(pos)} γ(pos + A Pos) {(c+c ) c N \ {0},c N \ {0}} γ(pos) N \ {0,1} N \ {0}

45 Tests im Interpreter if (x>=0) then A else B wenn γ(x) N dann muss A abstrakt ausgewertet werden wenn γ(x) N = muss B abstrakt ausgewertet werden sonst müssen A und B abstrakt ausgewertet werden abstrakte Ergebnisse von A und B müssen kombiniert werden (least upper bound) Domäne von x kann in A und B eingeschränkt werden

46 Illustration 2 : Bedingte Sprünge Local Variables Local Variables succ P Operand Stack Concrete Interpreter Execution Step ifle 5000 Operand Stack Current Adress A 32 New Adress (A+1) Local Variables pos pos neg Local Variables pos pos neg Operand Stack succ P A Operand Stack... New Adress (A+1) 2 Current Adress A ifle 5000 Local Variables pos pos neg Operand Stack... 2 New Adress (5000)

47 Umsetzung im Prolog Interpreter Abstrakte Domäne wählen Least Upper Bound definieren Abstraktionsfunktion definieren (wir brauchen dies nür für einen Wert) Operationen auf dieser Domäne definieren Tests definieren

48 Prolog Code (Auszug) abstract_domain_element(0). abstract_domain_element(pos). abstract_domain_element(neg). abstract_domain_element(top). lub(x,x,r) :-!,R=X. lub(x,y,top) :- X\=Y. % abstract a single value abstract_value(x,av) :- number(x),!, (X=0 -> AV=0 ; (X>0 -> AV = pos ; AV = neg) ). abstract_value(x,x). aex_op(+,0,x,x). aex_op(+,pos,0,pos). aex_op(+,pos,pos,pos). aex_op(+,pos,neg,top). aex_op(+,pos,top,top). aex_op(+,neg,0,neg). aex_op(+,neg,pos,top). aex_op(+,neg,neg,neg). aex_op(+,neg,top,top). aex_op(+,top,_,top). test_op(<,top,_). test_op(<,neg,_). test_op(<,0,pos). test_op(<,0,top). test_op(<,pos,pos). test_op(<,pos,top).

49 Umsetzung im Prolog Abstrakter Zustand: (PC,AStack,AEnv) AStack: 1..n > ADom Interpreter AEnv: > ADom (bzw. partielle Funktion; siehe unten) S 0 = {(0,[], )} AEnv = bedeutet dass alle lokalen Variablen auf Bottom gesetzt sind succ P ((0,[], )) = (1,[pos], ) wenn iconst_2 erste Anweisung Wir abstrahieren die Variablenwerte auf eine abstrakte Domäne ADom für die Werte Wir abstrahieren nicht den Program Counter, nicht die Grösse des Stacks, und nicht die Menge der gebundenen lokalen Variablen Generell ist Konvergenz nicht garantiert! Wieso klappt dies hier?

50 Konvergenz Wir abstrahieren nicht den Program Counter, nicht die Grösse des Stacks, und nicht die Menge der gebundenen lokalen Variablen Program Counter: endlich viele mögliche Werte lokale Variablen: endlich viele Kombinationen an abstrakten Werten card(adom) 256 Stack: wenn Java Programm korrekt: für jeden Programmpunkt PC gibt es eine Stackgrösse: d.h. endlich viele abstrakte Kombinationen wenn Java Programm nicht korrekt: beenden wir die abstrakte Interpretation, sobald dies entdeckt wird

51 Prolog Code lub_program_point(pc,env(s,vars),res,change) :- (retract(memo(pc,env(sm,varsm))) -> lub_stack(s,sm,sr), %print(lub_stack(pc,s,sm,sr)), lub_local_vars(vars,varsm,varsr), % print(lub_local_vars(pc,vars,varsm,varsr)), Res = env(sr,varsr), assert(memo(pc,res)), (Res=env(SM,VarsM) -> Change=false ; print(' <REANALYZE> '),Change = true) ; assert(memo(pc,env(s,vars))), Res = env(s,vars), Change=true ). lub_stack([],[],[]). lub_stack([],[_ _],_) :- nl,print('***'),nl,print('*** Illegal bytecode: Varying stack pattern at PC'),nl,print('***'),nl,nl,fail. lub_stack([_ _],[],_) :- nl,print('***'),nl,print('*** Illegal bytecode: Varying stack pattern at PC'),nl,print('***'),nl,nl,fail. lub_stack([h1 T1],[H2 T2], [H3 T3]) :- lub(h1,h2,h3), lub_stack(t1,t2,t3). lub_local_vars([],x,x). lub_local_vars([h T],[],[H T]). lub_local_vars([key/val1 T1],[Key/Val2 T2],[Key/Val3 T3]) :-!, lub(val1,val2,val3), lub_local_vars(t1,t2,t3). lub_local_vars([key1/val1 T1],[Key2/Val2 T2],[H T3]) :- Key1 \= Key2, -> (H=Key1/Val1, lub_local_vars(t1,[key2/val2 T2],T3)) ; (H=Key2/Val2, lub_local_vars([key1/val1 T1],T2,T3)) ).

52 Intervalle Zahlen werden oft durch Intervalle dargestellt ADom = { a..b a:z b:z a b} {, } γ(a..b) = {x x a x b} a..b +A c..d = (a+c)..(b+d) Unendliche Domäne, Konvergenz nicht garantiert i:=0; j:=100; while(i<j) do i:=i+2;

53 Widening Konvergenzbeschleunigung: nach fester Anzahl von Schritten ohne Stabilisierung: Abstraktion auf LUB oder mehr (Einschränkungen verwerfen, ) zusätzlicher Verlust an Präzision

54 Konstantenpropagation Spezialfall der abstrakten Interpretation konkrete Domäne C ADom = C {nac} nac = not a constant γ(c) = {c} wenn c C γ(nac) = C

55 Prolog Code abstract_domain_element(1). abstract_domain_element(0). abstract_domain_element(x) :- X \=0, X\=1, number(x). abstract_domain_element(nac). lub(x,x,r) :-!,R=X. lub(_x,_y,nac). aex_op(*,0,_,r) :-!, R=0. aex_op(*,_,0,r) :-!, R=0. aex_op(op,x1,x2,r) :- %print(ex_op(op,x1,x2,r)),nl, number(x1), number(x2), ex_op_concrete(op,x1,x2,r). aex_op(_,x,y,nac) :- \+ number(x) ; \+ number(y). test_op(op,x,y) :- number(x),number(y),test_op_concrete(op,x,y). test_op(_op,x,y) :- \+ number(x) ; \+ number(y). false_op(op,x,y) :- number(x),number(y),false_op_concrete(op,x,y). false_op(_op,x,y) :- \+ number(x) ; \+ number(y). abstract_value(x,x).

56 Quelle: Google Scholar Geschichte

57 Andere Ansätze Datenflussanalyse (Dataflow Analysis): Lattices und Transferfunktionen Typ-basierte Ansätze (Dependent Types, ) basierend auf Typeinferenz Regular Types, Set-Based Analysis Symbolische Darstellungen Cousot: alles ist abstrakte Interpretation