Realitätsbezüge im Mathematikunterricht

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1 Realitätsbezüge im Mathematikunterricht Herausgegeben von Prof. Dr. Werner Blum, Universität Kassel Prof. Dr. Rita Borromeo Ferri, Universität Kassel Prof. Dr. Gilbert Greefrath, Universität Münster Prof. Dr. Gabriele Kaiser, Universität Hamburg Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg

2 Mathematisches Modellieren ist ein zentrales Thema des Mathematikunterrichts und ein Forschungsfeld, das in der nationalen und internationalen mathematikdidaktischen Diskussion besondere Beachtung findet. Anliegen der Reihe ist es, die Möglichkeiten und Besonderheiten, aber auch die Schwierigkeiten eines Mathematikunterrichts, in dem Realitätsbezüge und Modellieren eine wesentliche Rolle spielen, zu beleuchten. Die einzelnen Bände der Reihe behandeln ausgewählte fachdidaktische Aspekte dieses Themas. Dazu zählen theoretische Fragen ebenso wie empirische Ergebnisse und die Praxis des Modellierens in der Schule. Die Reihe bietet Studierenden, Lehrenden an Schulen und Hochschulen wie auch Referendarinnen und Referendarenmit dem Fach Mathematik einen Überblick über wichtige Ergebnisse zu diesem Themenfeld aus der Sicht von Expertinnen und Experten aus Hochschulen und Schulen. Die Reihe enthält somit Sammelbände und Lehrbücher zum Lehren und Lernen von Realitätsbezügen und Modellieren. Die Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe ist nun Teil der Reihe Realitätsbezüge im Mathematikunterricht. Die Bände der neuen Serie haben den Titel Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht.

3 Hans-Wolfgang Henn Herausgeber Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 1 ISTRON-Schriftenreihe

4 Herausgeber Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn Technische Universität Dortmund, Deutschland Dr. Studienseminar Hameln, Deutschland Die vorherigen 18 Bände (0 17) der ISTRON-Schriftenreihe erschienen unter dem Titel Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht beim Franzbecker-Verlag. ISBN DOI / Springer Heidelberg Dordrecht London New York ISBN ( ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Barbara Gerlach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

5 Inhaltsverzeichnis V Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort. V VI Was ist ISTRON?. VII Kommentiertes Inhaltsverzeichnis VIII Hans-Wolfgang Henn, Hans Humenberger und Jan Hendrik Müller Unter dem Seil. 1 Henning Körner Modellieren: Szenen aus dem Unterricht 14 Einblick in Optionen 27 Skalarprodukte und GPS. 45 Eigenschaften von Projektionen. 53 Wir haben nur Modelle 75 Jan Hendrik Müller Wie berechnet der Taschenrechner eigentlich Sinus-Werte?.. 85 Hans-Detmar Pelz Geocaching: Koordinaten, Gleichungen und mehr. 99 Wolfgang Riemer Im ICE von Hamm nach Bielefeld. 111 Markus Vogel und Andreas Eichler Die computergestützte Leitidee Daten und Zufall. 126 Andreas Wagener Modellierung von Märkten - ein Anwendungskontext aus der Volkswirtschaftslehre

6 VI Vorwort Vorwort Dies ist der erste Band der Neuen Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht, der bei Springer Spektrum seine neue Heimat gefunden hat. Dieser Band setzt die Reihe Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht fort, die bisher mit 18 Bänden (0 bis 17) beim Franzbecker-Verlag erschienen ist. Man findet eine Übersicht über die bisher erschienen Bände im Internet auf der ISTRON-Homepage unter dem Menupunkt Schriftenreihe. Dort kann man nach Bänden, nach Autoren und auch nach Schlagwörtern suchen. Inhaltlich bietet dieser Band einen bunten Strauß verschiedener Beiträge zum Modellieren im Mathematikunterricht. In drei Beiträgen wird das GPS behandelt und zwar von ganz unterschiedlichen Blickrichtungen: Pelz (S ) thematisiert das GeoCaching, Riemer (S ) beschreibt, wie man die Tracks sinnvoll in den Mathematikunterricht (vor allem der Sek II) einbetten kann, und Meyer (S ) erläutert den Zusammenhang zwischen GPS und Skalarprodukten. Müller (S ) beschreibt, wie der Taschenrechner Sinuswerte berechnet (das passiert nicht mit der Taylorentwicklung!), und Henn, Humenberger und Müller (S. 1-13) loten aus, wie viel sinnvolle Mathematik in der Aufgabe steckt, unter einem Seil hindurchzukriechen. Zwei Artikel beleuchten Modellierungen in ökonomischen Zusammenhängen: Wagener (S ) erläutert, wie die Wirtschaftswissenschaftler Märkte beschrieben und welche Folgerungen sich schon aus einfachen Beschreibungen ergeben können. Meyer (S ) thematisiert Optionen, die in der Hedgefonds-Debatte der letzten Zeit ein wesentliches Element darstellen. Optionen haben auch mit Stochastik zu tun immerhin lassen sich Aktienkurse als zufällige Schwankungen auffassen. Der Zusammenhang zwischen Daten und Zufall einerseits und Modellierungen andererseits wird von Vogel und Eichler (S ) dargestellt. Auch das Erstellen zweidimensionaler Bilder von dreidimensionalen Gegenständen hat etwas mit Modellierung zu tun, worauf Meyer (S ) eingeht. Modellierung im Mathematikunterricht: Körner (S ) beschreibt Szenen, die zum Modellieren im Mathematikunterreicht gehören, und deren didaktische Bewertungen. Dass Modelle nicht nur im anwendungsorientierten Mathematikunterricht vorkommen, sondern eine sehr weitreichende Bedeutung haben, wird von Meyer (S ) ausführlich dargestellt. Die Beiträge sind alphabetisch nach den Nachnamen des jeweils ersten Autors angeordnet. Viel Freude beim Lesen und weitreichende Anregungen für den Unterricht wünschen die Bandherausgeber. Hans-Wolfgang Henn

7 Was ist ISTRON? VII Was ist ISTRON? Die Schriftenreihe mit Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht wird von Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gilbert Greefrath, Gabriele Kaiser und Katja Maaß im Namen der Gruppe ISTRON herausgegeben, und die Herausgeberinnen und Herausgeber der einzelnen Bände gehören dieser Gruppe an. Im Jahre 1990 hat sich in ISTRON Bay auf Kreta eine internationale Gruppe konstituiert mit dem Ziel, durch Koordination und Initiierung von Innovationen insbesondere auch auf europäischer Ebene zur Verbesserung des Mathematikunterrichts beizutragen. Diese Gruppe, die sich nach dem Gründungsort genannt hat, besteht aus acht Mathematikern und Mathematikdidaktikern aus Europa und USA, darunter als deutsches Mitglied der Verfasser dieser Zeilen. Schwerpunkt der Aktivitäten soll sein, Realitätsbezüge des Mathematikunterrichts zu fördern. Konstitutiv dabei ist die Netzwerk-Idee: Die Verbindung von Aktivitäten und der sie tragenden Menschen auf lokaler, regionaler und internationaler Ebene (hieran soll auch das auf der Titelseite abgedruckte Logo erinnern). Seit 1991 gibt es als Teil dieses Netzwerks eine deutsch-österreichische ISTRON- Gruppe. Sie verantwortet diese Schriftenreihe inhaltlich. Ihr gehören derzeit etwa sechzig Personen an: Lehrende aus Schulen und Hochschulen, Curriculumsentwickler, Schulbuchautoren, Lehrerfortbildner, Zeitschriftenherausgeber. Die Gruppe hat ganz im Sinne der Netzwerk-Idee wechselseitige Verbindungen sowohl mit Lehrenden auf lokaler und regionaler Ebene als auch mit der internationalen ISTRON-Gruppe. Zu den Aktivitäten der Gruppe gehören (neben dieser Schriftenreihe) die Dokumentation und Entwicklung von schulgeeigneten Materialien zum realitätsorientierten Lehren und Lernen von Mathematik sowie alle Arten von Anstrengungen, solche Materialien in die Schulpraxis einzubringen durch Lehrerausund -fortbildung, über Schulbücher und Lehrpläne sowie natürlich vor allem durch direkte Arbeit vor Ort mit Lernenden. Für weitere Informationen und die Kontaktmöglichkeit sei auf die Homepage der IS- TRON-Gruppe verwiesen: Werner Blum im Namen der ISTRON-Gruppe

8 VIII Kommentiertes Inhaltsverzeichnis Kommentiertes Inhaltsverzeichnis Hans-Wolfgang Henn, Hans Humenberger und Jan Hendrik Müller Unter dem Seil.. 1 Wir behandeln ein Phänomen, das Anlass zu verschiedenen Aktivitäten im Schulunterricht geben kann (die Altersstufe der Schülerinnen und Schüler ist dabei durchaus variabel etwa von Klasse 7 bis Jahrgang 12). Wie hoch kann man eine Schnur heben, deren Endpunkte mit den Endpunkten einer um 1 m kürzeren Strecke am Boden übereinstimmen? Wie entwickelt sich die Höhe des Abhebens mit wachsender Streckenlänge s am Boden? Wie ist die Situation, wenn man nicht im Mittelpunkt, sondern genau über einem Streckenendpunkt abhebt? Diese Fragen werden unter verschiedenen Aspekten erörtert. Zum Schluss des Aufsatzes werden auch noch andere mehr oder weniger bekannte Seilaufgaben diskutiert. Henning Körner Modellieren: Szenen aus dem Unterricht 14 Es werden Schülerbearbeitungen von Aufgaben mit Modellierungen analysiert. Zentrales Anliegen ist es, zu zeigen, wie konkretes Schülerhandeln fast zwangsläufig zu produktivem Erzeugen von Modellierungskompetenzen führen kann, wenn es Lehrkräften gelingt, diese entsprechend synthetisierend aufzunehmen und auszubauen. Es werden skizzenhaft grundlegende, notwendige Erfahrungen herausgearbeitet und benannt. Einblick in Optionen 27 Für Hedgefonds sind Leerverkäufe und Optionen wesentlich. Was es damit auf sich hat und was man damit anfangen kann, wird erläutert. Der Preis von Optionen wird bestimmt. Dabei werden gegenüber der Literatur einige Vereinfachungen vorgenommen: Zinsen für Geld werden nicht berücksichtigt, und die Diskussion verbleibt im Bereich der Binomialverteilung. Skalarprodukte und GPS. 45 Mit einem GPS-Gerät (Global Positioning System) kann man ermitteln, wo genau man sich auf der Erdoberfläche befindet. Das Gerät empfängt Signale von mehreren Satelliten und verarbeitet diese Signale irgendwie. In diesem Beitrag wird dargestellt, dass Skalarprodukte bei diesem irgendwie eine entscheidende Rolle spielen. Der Artikel beschränkt sich auf die Positionsbestimmung; der Navigationsaspekt wird nicht berücksichtigt.

9 Kommentiertes Inhaltsverzeichnis IX Eigenschaften von Projektionen 53 Bei geraden Parallelprojektionen bekommt man kein realistisches Bild eines Quaders mit rechten Winkeln. Dies ist nur bei schrägen Parallelprojektionen oder bei Zentralprojektionen möglich. Der Hauptteil des Artikels besteht in der Untersuchung der unterschiedlichen Fluchtpunkt-Konstellationen bei Zentralprojektionen. Hierbei ist das Zusammenspiel von Geometrie-Software und einem Computer-Algebra-System erkenntnisfördernd. Wir haben nur Modelle 75 Der Begriff Modell wird heute inflationär verwendet. Gleichwohl ist es nicht immer einfach, zwischen Modell und Modelliertem zu unterscheiden bzw. überhaupt zu bemerken, dass modelliert worden ist. Es zeigt sich, dass der an der Verwendung im anwendungsorientierten Mathematikunterricht angelehnte Begriff der Modellierung weiter reicht, als man zunächst vermuten mag. Jan Hendrik Müller Wie berechnet der Taschenrechner eigentlich Sinus-Werte?. 85 Viele Taschenrechnertasten nutzt man als Black-Box. Das kann nicht nur im Mathematikunterricht als Motivation dienen, über Rechenverfahren nachzudenken, die sich hinter den Tasten verbergen könnten. Der Artikel greift dieses Problem am Beispiel der Sinus- und Cosinus-Funktion auf. Hans-Detmar Pelz Geocaching: Koordinaten, Gleichungen und mehr. 99 Seit einigen Jahren ist die Navigation per Satellit für viele Autofahrer an der Tagesordnung. Auch GPS-Handgeräte für Wanderer haben längst ihren Platz im Alltagsleben gefunden. Was spricht dagegen, Geräte dieser Art auch im Mathematikunterricht zu verwenden? Hier werden einige Möglichkeiten des Unterrichtseinsatzes anhand einer modernen Schnitzeljagd, dem Geocaching, aufgezeigt. Wolfgang Riemer Im ICE von Hamm nach Bielefeld. 111 Die Untersuchung von Bewegungsfunktionen gehört zur Analysis wie das Dreieck zur Geometrie. GPS-Empfänger (auch in Smartphones) zeichnen Bewegungen sekundengenau als Tracks auf. Mit Google lassen sich diese Tracks in Landkarten visualisieren, animiert nachfahren und durch Funktionsgraphen beschreiben. Damit eröffnen sich dem Mathematikunterricht völlig neue Brücken in die Realität. Man könnte von einem Quantensprung in Richtung Authentizität und Überprüfbarkeit von Modellbildungsprozessen sprechen.

10 X Kommentiertes Inhaltsverzeichnis Markus Vogel und Andreas Eichler Die computergestützte Leitidee Daten und Zufall 126 Ein moderner Stochastikunterricht kann auf den Einsatz des Computers nicht verzichten. Das Kernanliegen der Stochastik - als Überbegriff von Daten- und Wahrscheinlichkeitsanalyse - ist es, die Variabilität von bereits gegebenen oder künftig zu erwartenden Daten in den Griff zu bekommen. Die stets damit verbundenen Modellierungsaktivitäten lassen sich sehr gut mit dem Computer unterstützen, sowohl in mathematisch-inhaltlicher als auch in mathematisch-didaktischer Hinsicht. In diesem Beitrag werden wesentliche didaktische Fragen der Modellierung von Daten und Wahrscheinlichkeiten besprochen, exemplarisch unterrichtspraktische Konkretisierungen vorgestellt, modellierungsbezogen reflektiert und die Bedeutung der Computerunterstützung dabei aufgezeigt. Andreas Wagener Modellierung von Märkten - ein Anwendungskontext aus der.. Volkswirtschaftslehre Anhand eines einfachen Modells eines Marktes wird illustriert, welche mathematischen Modellierungskompetenzen in der ökonomischen Theorie benötigt werden. Im Vordergrund stehen dabei das grundlegende Verständnis mathematischer Konzepte (Gleichungen, Funktionen, Ableitungen und Differentiale) und die Fähigkeit, zwischen alltagsweltlicher und mathematischer Anwendung hin- und zurückübersetzen zu können.