Die Mathematik der Evolution Von Darwin bis zur DNA. Joachim Hermisson Mathematics and Biosciences Group Mathematik & MFPL, Universität Wien

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1 Die Mathematik der Evolution Von Darwin bis zur DNA Joachim Hermisson Mathematics and Biosciences Grou Mathematik & MFPL, Universität Wien

2 Wozu braucht man Mathematik in der Biologie? During the three years which I sent at Cambridge my time was wasted, as comletely as during the three years I sent at Edinburgh and at school. I attended mathematics even with a rivate tutor (a very dull man), but I got on very slowly. The work was reugnant to me, chiefly from my unbeing able to see any meaning in the early stes of algebra. Charles Darwin Autobiograhie 1876 This imatience was very foolish, and in the afteryears I have deely regretted that I did not roceed far enough

3 Wozu braucht man Mathematik in der Biologie? The imortant thing in science is not so much to obtain new facts, but to discover new ways to think about them (Sir William Bragg) Mathematik wird wichtig, sobald Wissenschaft über das Sammeln von Daten und Fakten hinausgeht. In der Biologie viel noch deskritiv (klassisch: Arten / heute: Gene) Aber mit einer Fülle neuer Daten (DNA Sequenzen, Genexressionen) wird die Interretation im Modell zum vorrangigen Ziel Vor allem und schon seit langem: Evolutionsbiologie If you can t stand algebra, kee out of evolutionary biology (John Maynard Smith)

4 Die Mathematik der Evolution Darwin s mathematischer Geistesblitz In October 1838, I haened to read for amusements `Malthus on Poulation, and it at once struck me Here then I had at last got a theory by which to work Thomas Malthus ( ) Essay on the Princile of Poulation

5 Die Mathematik der Evolution Die Bakterien-Suernova Unter idealen Bedingungen können sich E. Coli Bakterien alle 20 Minuten teilen: Nach 3 Tagen (216 Generationen) ~ Zellen (>> Erdmasse)

6 Die Mathematik der Evolution Die Macht der natürlichen Selektion Angenommen: vererbliche Variation der Reroduktionsrate z.b. Mutant mit im Mittel überlebender Nachkommen (0.1% Selektionsvorteil) 1/1000 (Mutant / Wildty) wächst geometrisch, fixiert in ~ Generationen ½ Jahr 10 Jahre für Viren und Bakterien Jahre für Wirbeltiere Evolution: 5 Mio Jahre gemeinsamer Vorfahre Mensch Schimanse Jahre Leben auf der Erde

7 Die Mathematik der Evolution Wie funktioniert Evolution? Selektionstheorie modern synethesis Vererbungslehre Darwin Poulationsgenetik Mendel beschreibt die Veränderung von Allelfrequenzen ( Gen-Varianten) unter den elementaren evolutionären Prozessen: Selektion Rekombination Mutation Allelfrequenz in Poulation Genetische Drift

8 Alle evolutionäre Grundkräfte lassen sich elementar mathematisch beschreiben, zb: Selektion: Mutation: Die Mathematik der Evolution Wie funktioniert Evolution? t s( 1 ) u v logistisches Wachstum Markov Prozess Genetische Drift: Pr N N' N' N (1 ' ) [ ' ] (1 ) Binomiales Samling In der Poulationsgenetik besitzt die Biologie eine mathematische Theorie wie sonst nur die Physik nicht nur hänomenologisches Daten extraolieren (deskritiv) sondern Grundlage für Verständnis von Naturvorgängen

9 Die Mathematik der Evolution Evolution der Mathematik Fisher, Wright Wie beschreibt man Evolution als stochastischen Prozess? R.A. Fisher φ(, t) t D( ) 2 ( µ ( ) φ(, t) ) + φ(, t) 2 2 F. Galton Entwicklung der Diffusionstheorie (arallel zu Kolmogorov) Verzweigungsrozesse (Galton-Watson) Reaktions-Diffusions Systeme und PDE s S. Wright K. Pearson

10 Die Mathematik der Evolution Evolution der Mathematik Fisher, Galton, Pearson Wie weist man Vererbbarkeit nach? R.A. Fisher offsring hight F. Galton mid-arent hight Regression und Korrelation Varianzanalyse (ANOVA) Likelihood Verfahren, Testtheorie S. Wright Gründungsväter der mathematischen Statistik K. Pearson

11 Das Wright-Fisher Modell: Poulation (Größe N) Gen-Lokus mit 2 Allelen (Wildty Mutant) Poulation der Größe N: konstant neutraler Fall (keine Selektion): Nachkommen werden durch zufälliges Ziehen eines Gens der Elterngeneration bestimmt ( Ziehen mit Zurücklegen binomiales samling) jeder Nachkomme wählt sich einen zufälligen Elter und erbt dessen Allel Generation

12 Das Wright-Fisher Modell: Poulation (Größe N) Gen-Lokus mit 2 Allelen (Wildty Mutant) Poulation der Größe N: konstant neutraler Fall (keine Selektion): Nachkommen werden durch zufälliges Ziehen eines Gens der Elterngeneration bestimmt ( Ziehen mit Zurücklegen binomiales samling) : Mutantenfrequenz Elterngeneration : Mutantenfrequenz Nachkommengeneration Pr[ ' ] N N' N' N ( ) ( 1 1 ')

13 Das Wright-Fisher Modell: Genetische Drift: Poulation (Größe N) Pr[ ' ] N N' N' stochastischer Prozess N ( ) ( 1 1 ') [ ] Erwartungswert: E ' Varianz: Var[ ' ] ( 1 ) N Drift stärker in kleinen Poulationen

14 Das Wright-Fisher Modell: Verhalten nach langer Zeit? Poulation (Größe N)

15 Poulation (Größe N) Das Wright-Fisher Modell:

16 Das Wright-Fisher Modell: Poulation (Größe N) Fixation in 0 oder 1 (absorbierende Zustände) Wahrscheinlichkeit für Fixation in 1: bei Start in 0 : 0 E [ ] t ( 1 ) fix t 0 fix fix Einzelne neue Mutation : fix 1/ N

17 Das Wright-Fisher Modell:

18 Das Wright-Fisher Modell: Poulation (Größe N) Selektion? Mutanten werden mit höherer / geringerer Wahrscheinlichkeit gewählt, roortional zu ihrer Fitness Fitness Wildty Mutant: 1 : 1 + s s : Selektionskoeffizient Wahrscheinlichkeit, Mutanten zu wählen: ~ ( ) (1 + (1 + s) s) + (1 ) s s Pr[ ' ] N N' ~ ( ~ ( N ( ) ' N ) ( 1 )) ( 1 ')

19 Das Wright-Fisher Modell: Pr[ ' ] N N' ~ ( ~ ( N' N ( )) ( 1 )) ( 1 ' ) ; ~ ( ) s s Wahrscheinlichkeit, eine Generation zu überleben: 1 Pr[0 1/ N] 1 N 0 ( ~ 0 (1/ N) ) ( 1 ~ (1/ N) ) z.b.: s 0.01; N : ~ N 1 1/ N 1 1+ s / N N Fixationswahrscheinlichkeit ( für immer überleben): fix [ ] 2 s 0.02 Die meisten ositiven Mutationen sterben aus solange sie selten sind

20 Das Wright-Fisher Modell: Stochastische Theorie: Pr[ ' ] N N' ~ ( ~ ( N' N ( )) ( 1 )) ( 1 ' ) ; Deterministische Aroximation (diskrete Zeit): ~ ( ) s s ' E[ '] ~ (1 ) s 1+ s gut sobald Mutation nicht mehr selten und etabliert K : Mutant Wildty 1 K': ' 1 ' ~ 1 ~ (1 + s) 1 (1 + s) K geometrisches Wachstum K( t) (1 + s) t K(0)

21 Das Wright-Fisher Modell: Deterministische Aroximation (kontinuierliche Zeit): Aroximation s klein: ( t) s ( t) ( 1 ( t) ) logistisches Wachstum (t) s 0.01 N t