Theoretische Informatik 1

Transkript

1 Theoretische Informatik 1 Vollständigkeit 1 David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz

2 Übersicht Schwere Definition CIRCUIT-VALUE ist P-schwer Berechnungstabellen-Methode Reduktionsbeweis Vollständigkeit Definition Cook-Levin Theorem Zusammenfassung

3 Schwere Die Reduktion erlaubt es uns Probleme hinsichtlich ihrer Komplexität direkt zu vergleichen. Lassen sich alle Sprachen aus einer Komplexitätsklasse C auf eine bestimmte Sprache (effizient) reduzieren, dann ist diese Sprache gleich schwer oder schwerer zu entscheiden, wie jede andere Sprache aus C. Diese Sprachen werden C-schwer genannt.

4 Schwere Definition (C-Schwere) Sei C eine Komplexitätsklasse (z.b.: P, NP, ). Eine Sprache A heißt C-schwer, wenn alle Sprachen B C auf A reduziert werden können. A ist C-schwer B C : B L A In der deutschsprachigen Literatur wird auch häufig der Begriff Härte (direkte Übersetzung vom Englisch hardness) synonym verwendet

5 Satz CIRCUIT-VALUE ist P-schwer. P-Schwere B P : B L CIRCUIT-VALUE Beweis (durch Konstruktion): Es muss gezeigt werden dass für jede Sprache B P ein Schaltkreis konstruiert werden kann der B entscheidet. Es muss eine DTM T B existieren die B in polynomiller Zeit entscheidet. Idee: Konstruiere einen Schaltkreis der genau dann wahr ausgibt, wenn T B akzeptiert. siehe z.b. Papadimitriou, S. 168

6 Berechnungstabellen-Methode Sei w B die Eingabe für T B, mit w = n Da B P ist T B n k -zeitbeschränkt, mit konstantem k Wir stellen die Berechnung von T B als eine n k n k -Tabelle C mit Feldern c ij dar 1 Zeilen beschreiben jeweils einen Berechnungsschritt Spalten entsprechen einem Bandquadrat Beispiel: 0 s q q q Indizes werden hier von 0 weg gezählt

7 Einschränkung Betrachten lediglich 1-Band TM, T B = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, F) TM hält nach maximal n k Schritten Überzählige Zeilen der Tabelle werden mit Kopien der letzten Iteration aufgefüllt TM startet auf dem ersten Symbol der Eingabe Lesekopf besucht nie die erste Spalten (Randsymbol: ) TM hält stets auf dem ersten Bandquadrat wichtig: keine der Einschränkung schränkt Berechnungsstärke der Maschine ein, oder vergrößert die Kompexität wesentlich (Erweiterte Church sche These)

8 Codierung der Kopfposition und des Zustandes Es sei c ij = σ s, σ Γ, s Q genau dann, wenn Kopf der TM zum Zeitpunkt i über dem Symbol j steht und sich die Maschine im Zustand s befindet Alphabet der Berechnungstabelle: c ij Γ {σ s σ Γ, s Q} Eine Berechnungstabelle heißt akzeptiert, falls gilt: c n k 1,1 = σ s, σ Γ, s F Es gilt: eine TM akzeptiert genau dann, wenn die Berechnungstabelle akzeptiert.

9 Beispiel: Palindrom-Entscheider Alphabet der Berechnungstabelle: {, a, b, s, a1, a2, b1, b2, r, j1, j2, a s, a a1, a a2, a b2, a b2, } Berechnungstabelle für Input: aba [12 12] a s b a 1 b a1 a 2 b a a1 3 b a a1 4 b a a2 5 b r 6 r b 7 b s 8 b1 9 b2 10 j2 11 j2

10 Vorüberlegungen Es können sich maximal linkes, rechtes, oder aktuelles Bandquadrat ändern Konkret: c ij kann höchstens von c i 1,j 1, c i 1,j, c i 1,j+1 abhängen und ändert sich nur wenn eines der Vorgänger den Zustand der Maschine kodiert Die Felder c ij, mit i = 0, j = 0, j = n k 1 sind a priori bekannt (Eingabe, linker und rechter Rand)

11 Vorüberlegungen Alphabet der Tabelle ist endliche Menge Daher lassen sich Felder binär kodieren, mit konstanter Bitzahl m binäre Tabelle mit Einträgen s ijl s ij1... s ijm codiert c ij Jedes s ijl hängt von 3 m Vorgänger-Eingängen ab Beschreiben Überführungsfunktion der TM Abhängigkeiten können für jedes s ijl können mit m boolschen Funktionen F 1,, F m beschrieben werden

12 Darstellung als boolscher Schaltkreis s ijl = F l (s i 1,j 1,1,, s i 1,j 1,m, s i 1,j,1,, s i 1,j+1,m ) M ij = (F 1, F 2,, F m ) Die Funktionen F 1,, F m lassen sich als boolscher Schaltkreis darstellen. c i-1,j-1 c i-1,j c i-1,j+1 Berechnungstabelle Input [3 x m]: s i-1,j-1,1 s i-1,j+1,m c i-1,j-1 c i-1,j c i-1,j+1 Bool'scher Schaltkreis M ij c i,j Output [m]: s ij1 s ijm c i,j

13 Beispiel: Palindrom-Entscheider c i-1,j-1 c i-1,j c i-1,j+1 Berechnungstabelle Input [3 x m]: s i-1,j-1,1 s i-1,j+1,m c i-1,j-1 c i-1,j c i-1,j+1 Bool'scher Schaltkreis M ij c i,j Output [m]: s ij1 s ijm c i 1,j 1 c i 1,j c i 1,j+1 c i,j c i 1,j 1 c i 1,j c i 1,j+1 c i,j a a1 a a a a a a a1 a a a a a a2 a r a a a c i,j.

14 Homogener Aufbau des gesamten Schaltkreises Startkonfiguration s 000 s 00m s 010 s 01m s 020 s 02m s 030 s 03m s 040 s 04m s 050 s 05m Randsymbole s 100 s 110 s 120 s 130 s 140 s 150 s 200 s 210 s 220 s 230 s 240 s 250

15 Überprüfe Haltezustand s k n-2,00 s k n-2,10 s k n-2,20 s k n-2,30 s k n-2,40 s k n-2,50 s k n-1,00 s k n-1,10 s k n-1,20 s k n-1,30 s k n-1,40 s k n-1,50 s k n 10 s k n 1m s k s k s k n 2m n 3m n 4m s k n 50 Randsymbole Haltezustand? s k n 20 s k n 30 s k n 40 s k n 5m y

16 Reduktion in L Eingabe: (hier) oberste Zeile Input Gatter konstruieren: Eingabewort binär kodieren und auffüllen mit Erzeugen der indizierten Schaltkreiskopien und richtig verdrahten (konstanter Aufwand pro Kopie) Erzeugen Logik zum Überprüfen des Haltezustandes Wegen homogenem Aufbau der Konstruktion alleine durch Laufvariablen über i und j der Größe log n k = k log n = O(log n) realisierbar

17 Reduktion in L Pseudocode-Algorithmus: für 0 i < n k : Schreibe: Input-Gatter s 0,i,1... s 0,i,m für 0 i < n k : für 0 j < n k : Schreibe: Schaltkreis M ij Schreibe: Schaltkreis zur Überprüfung des Haltezustandes y Benötigter Speicher: nur Laufvariablen (i, j) O(log(n))

18 Vollständigkeit In jeder Komplexitätsklasse C kann man nach C-vollständigen Sprachen suchen Diese Sprache bilden die Klasse der schwersten Sprachen innerhalb der Klasse Definition (C-Vollständigkeit) Sei C eine Komplexitätsklasse (z.b.: P, NP, ). Eine Sprache A heißt C-vollständig, wenn sie C-schwer ist und in C liegt. A ist C-vollständig A C B C : B L A

19 P-Vollständigkeit Satz CIRCUIT-VALUE ist P-vollständig. Offensichtlich, da bereits bekannt ist, dass CIRCUIT-VALUE P-schwer ist und in P liegt.

20 Satz (Satz von Cook) NP-Vollständigkeit CIRCUIT-SAT ist NP-vollständig. Beweis (durch Konstruktion): Das CIRCUIT-SAT in NP liegt ist bereits bekannt Noch zu zeigen: CIRCUIT-SAT ist NP-Schwer D.h. konstruiere einen Schaltkreis der genau dann erfüllbar ist, wenn eine akzeptierende NTM T B existiert, für jede Sprache B NP Stephen A. Cook 1 1 Aus Wikipedia - die freie Enzyklopädie

21 CIRCUIT-SAT ist NP-schwer Vorüberlegungen Einschränkung: Maximal 2 nichtdeterministische Pfade pro Zeitschritt Füge n k zusätzliche variable inputs (?) a 1... a n k Schaltkreis hinzu zu M ij erhälten zusätzlich input von a i Entscheidungs-Bit a i bestimmt nichtdeterministische Entscheidung im Zeitschritt i

22 Darstellung als boolscher Schaltkreis s ijl = F l (a i, s i 1,j 1,1,, s i 1,j 1,m, s i 1,j,1,, s i 1,j+1,m ) Die Funktionen F 1,, F m lassen sich als boolscher Schaltkreis darstellen. a i bestimmt nichtdeterministische Entscheidung. c i-1,j-1 c i-1,j c i-1,j+1 Berechnungstabelle Input [3 x m + 1]: a i s i-1,j-1,1 s i-1,j+1,m c i-1,j-1 c i-1,j c i-1,j+1 Bool'scher Schaltkreis M ij c i,j zusätzliches Entscheidungs-Bit für Nichtdeterminismus Output [m]: s ij1 s ijm c i,j

23 Homogener Aufbau des gesamten Schaltkreises zusätzliches Inputs für Nichtdeterminismus Startkonfiguration a 0 a 1 a n k -1 s 000 s 00m s 010 s 01m s 020 s 02m s 030 s 03m s 040 s 04m s 050 s 05m s 100 s 110 s 120 s 130 s 140 s 150 Randsymbole s 200 s 210 s 220 s 230 s 240 s 250

24 Beweis der Vollständigkeit durch Reduktion Satz 3SAT ist NP-vollständig. Folgt sofort, da bereits bekannt ist, dass 3SAT NP und CIRCUIT-SAT L 3SAT

25 Konsequenzen Satz (Cook-Levin Theorem) Es gilt [CIRCUIT, 3]SAT P dann und nur dann, wenn weiters gilt P = NP. Folgt sofort, aus dem Satz von Cook. Daher ließe sich P = NP durch Angabe eines einzigen Algorithmus, der eine einzige NP-Vollständige Sprache in P entscheidet, beweisen.

26 Zusammenfassung Lassen sich alle Sprachen aus einer Komplexitätsklasse C auf eine bestimmte Sprache reduzieren C-Schwere Berechnungstabellen-Methode: Berechnung einer TM als Tabelle Vollständigkeit: C-schwer und liegt in C CIRCUIT-VALUE ist P-vollständig CIRCUIT-SAT ist NP-vollständig