Untersuchen Sie, inwiefern sich die folgenden Funktionen für die Verwendung als Hashfunktion eignen. x 9

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1 Prof. aa Dr. Ir. G. Woeginger T. Hartmann, D. Korzeniewski, B. Tauer Globalübungsaufgabe1 (Güte von Hashfunktionen): Untersuchen Sie, inwiefern sich die folgenden Funktionen für die Verwendung als Hashfunktion eignen. f : {0, 1, 2,..., 89} {0, 1, 2,..., 9}, x x 9 g : N Z/10Z, x 2 x mod 10 h: {0, 1, 2,..., 1000} {0, 1, 2,..., 100}, x x mod 100 i: N {0, 1, 2,..., 42}, x x mod 43 Eine geeignete Hashfunktion ist einfach zu berechnen, ist surjektiv, verwendet Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit, und verteilt ähnliche Schlüssel breit auf die Hashtabelle. Die Funktion f ist einfach zu berechnen, surjektiv und verteilt die Werte ihres Definitionsbereiches mit gleicher Häufigkeit auf ihren Bildbereich. Allerdings werden ähnliche Schlüssel nicht möglichst breit auf den Bildbereich verteilt, da bspw. alle Werte von 0 bis 9 auf 0 abgebildet werden, alle Werte von 10 bis 19 auf 1, usw.. Die Funktion g ist einfach zu berechnen aber nicht surjektiv: Mit Ausnahme der 1 werden keine ungeraden Zahlen getroffen. Die Werte 0, 1, 2, 3,... werden abgebildet auf 1, 2, 4, 16, 32 modulo 10. Dabei beobachten wir, dass (in der Binärdarstellung) eine Zahl mit letzter Ziffer 2 verdoppelt, als letzte Ziffer 4, weiter verdoppelt 8, dann 6 und wieder 2 hat. Das heißt, die Zweierpotenzen ab 2 modulo 10 sind zyklisch wiederholend 2, 4, 6, 8. Also werden zumindest die Werte 2, 4, 6, 8 mit gleicher Häufigkeit getroffen. Wie oben beobachtet verteilt g auf die Werte 2, 4, 6, 8 mit gleicher Häufigkeit. Weiterhin werden ähnliche Schlüssel sehr breit auf den Bildbereich verteilt. Die Funktion h ist einfach zu berechnen aber nicht surjektiv, da die 100 nie getroffen wird. Auf die Zahlen von 0 bis 9 verteilt h die Werte ihres Definitionsbereiches mit gleicher Häufigkeit. Verteilt h ähnliche Schlüssel breit auf die Hashtabelle? Positiv kann man sagen, dass h zumindest werden nah benachbarte Schlüssel nicht auf das selbe Element abgebildet. Negativ ist, dass nah benachbarte Schlüssel auch auf ähnliche Werte abgebildet werden. Die Funktion i ist einfach zu berechnen, ist surjektiv, verwendet Indizes mit gleicher Häufigkeit und verteilt die Schlüssel breit auf die Hashtabelle. Verteilt i ähnliche Schlüssel breit auf die Hashtabelle? Differenzierte Betrachtung wie bei h ist möglich. Globalübungsaufgabe2 (Hashing): Gegeben sei eine Hash-Table der Größe 11 und die folgenden beiden Hash-Funktionen über der Universalmenge U = {0,..., 99}: Benutze h (k) = k mod 11 für Hashing mit linearem Sondieren. a) Geben Sie die sich daraus ergebende Hashfunktion h(k, i) an. b) Fügen Sie die Werte 7, 97, 42, 19, 40 ein. Geben Sie die nicht-leeren Teile der Tabellen nach jedem Einfügeschritt an. 1

2 c) Was ist der Nachteil von linearem Sondieren? d) Löschen Sie nacheinander die Werte 97, und 42 aus der Tabelle aus Aufgabe c). Geben Sie die nicht-leeren Teile der Tabellen nach jedem Löschschritt an. Erläutern Sie, welches Vorgehen dafür nötig ist. e) Suchen Sie in den Tabellen, die aus Teilaufgabe d) resultierten, nach dem Wert 40. Erläutern Sie, welches Vorgehen dafür nötig ist. a) h(k, i) = (h (k) + i) mod 11 = (k mod 11 + i) mod 11 = (k + i) mod 11. b) (i) 7 einfügen: (i) 97 einfügen: (i) 42 einfügen: (i) 19 einfügen: (i) 40 einfügen c) Der Nachteil von linearen Sondieren ist, dass es leicht zu Clustern kommen kann, wie hier, dass alle Positionen von 7 bis 11 (modulo 11) belegt sind. Diese Folge von belegten Positionen tendiert dazu noch länger zu werden. d) Beim Hashing mit linearem Sondieren wird jeweils zuerst an der Position gesucht, die mit dem Hashwert assoziiert ist. Enthält dieses das gesuchte Element, so kann es durch Deleted ersetzt werden. Enthält es jedoch nicht das Element sondern Deleted oder einen anderen Wert, so muss die Suche mit linearem Sondieren fortgesetzt werden. 97 Löschen: 2

3 9 Del. 42 Löschen, suche bei 9, dann bei 10: 9 Del. 10 Del. e) Beim Hashing mit linearem Sondieren wird jeweils zuerst in dem Fach gesucht, das mit dem Hashwert 40 assoziiert ist. In diesem Beispiel enthalten jedoch beide nicht das Element 40 sondern Deleted. Daher muss die Suche mit linearem Sondieren fortgesetzt werden. Dies gilt auch für den Fall, dass an einem Element nicht Deleted sondern ein anderer Eintrag steht. Die 40 wird erst nach dem 4. Sondierungsschritt bei Position 0 gefunden. 3

4 Globalübungsaufgabe3 (Labyrinth): Wir betrachten ein Labyrinth, das aus den Kreuzungen K 1, K 2,..., K n und den Gängen G 1, G 2,..., G m besteht. Jeder Gang verbindet entweder zwei der Kreuzungen mit einander oder führt zur selben Kreuzung zurück. In jede Kreuzung münden einige der Gänge. Wir nehmen außerdem an, daß das Labyrinth zusammenhängend ist. Die Kreuzung K 1 ist der Startpunkt, und die Kreuzung K n ist unser Ziel. Wir durchsuchen das Labyrinth nach den folgenden drei Regeln: R1. Jedesmal wenn wir einen Gang betreten, zeichnen wir am Anfang des Ganges einen Kreidestrich auf den Boden. R2. Wenn wir eine Kreuzung zum ersten Mal betreten, dann markieren wir das Gangende, durch das wir zur Kreuzung kommen, mit einem Kreidekreuz. (Eine Kreuzung wird zum ersten Mal betreten, wenn keiner der Gänge mit einem Kreidekreuz markiert ist.) R3. Wenn wir eine Kreuzung verlassen, gehen wir nie durch einen mit einem Kreidestrich markierten Gang. Einen mit einem Kreidekreuz markierten Gang betreten wir nur, wenn alle anderen angrenzenden Gänge bereits mit Kreidestrichen markiert sind. Wir zeigen erste Ergebnisse, um in der Hausaufgabe zu zeigen: Durch die Befolgung dieser drei Regeln R1, R2, R3 werden wir automatisch zum Ausgang geführt. a) Wie gehen wir, wenn wir versuchen in folgendem Labyrinth den Ausgang suchen? Falls die Regeln R1, R2, R3 nicht eindeutig sind, wählen wir den erlaubten Gang mit niedrigstem Index. b) Zeigen Sie: Wir durchlaufen keinen Gang mehr als einmal in derselben Richtung. c) Zeigen Sie: Falls wir den Ausgang nicht entdecken, so bleiben wir irgendwann an der Startkreuzung K 1 stecken. 4

5 G 12 K 1 K 2 G 22 G 14 G 13 G 23 K 4 G 34 K 3 G 97 K n a) Wir gehen die Gänge G 12, G 22, G 22, G 23, G 13, G 14, G 34, G 34, G 97 in dieser Reihenfolge. Dann haben wir den Ausgang K n gefunden. b) Beweis per Widerspruch. Angenommen wir laufen einen gang G i mehr als einmal von einer Kreuzung K a zu einer Kreuzung K b. Dann haben wir nach dem ersten Durchlaufen den Eingang mit einem Kreidestrich bei K a markiert. Beim zweiten Durchlauf wählen wir bei Kreuzung K a den Gang G i, obwohl der Eingang mit einem Kreidestrich markiert ist. Das ist ein Widerspruch zu Regel R3. c) Das Labyrinth ist endlich groß und jeder Gang wird höchstens einmal in jede Richtung durchlaufen. Daher muss unsere Wanderung nach endlich vielen Schritten terminieren, entweder am Ausgang oder an einer anderen Kreuzung. Beweis per Widerspruch. Angenommen, die Wanderung terminiert an einer Kreuzung K j K 1, K n, nachdem wir diese Kreuzung zum x-ten Mal betreten haben. Aufgrund b), haben wir K j genau x-mal durch x paarweise verschiedene Gänge betreten, und genau (x 1)-mal durch (paarweise verschiedenen) Gänge wieder verlassen. Es gibt daher noch mindestens einen Gang, dessen Eingang kein Kreidestrich und kein Kreidekreuz. Auf diesen Weg können wir die Kreuzung, die noch nicht die Ziel-Kreuzung K n ist, wieder verlassen können. Widerspruch zur Annahme, dass wir an Kreuzung K j stecken bleiben. 5