Globalübungsaufgabe1 (Rucksackproblem):

Transkript

1 Prof. aa Dr. Ir. G. Woeginger T. Hartmann, D. Korzeniewski, B. Tauer Allgemeine Hinweise: Die Hausaufgaben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden aus der gleichen Kleingruppenübung (Tutorium) bearbeitet werden. Namen und Matrikelnummern der Studierenden sind auf jedes Blatt der Abgabe zu schreiben. Heften bzw. tackern Sie die Blätter! Die Nummer der Übungsgruppe muss links oben auf das erste Blatt der Abgabe geschrieben werden. Notieren Sie die Gruppennummer gut sichtbar, damit wir besser sortieren können. Die Lösungen müssen bis Mittwoch, den um 16:00 Uhr in den Übungskasten vom i1 (Erdgeschoss, Treppenhaus E1 im Informatik-Zentrum) eingeworfen werden. Alternativ können Sie die Lösungen auch vor der Abgabefrist direkt bei Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor abgeben. Globalübungsaufgabe1 (Rucksackproblem): Gegeben sei ein Rucksack mit maximaler Tragkraft 10 sowie 5 Gegenstände. Der i-te Gegenstand soll hierbei ein Gewicht von w i und einen Wert von c i haben. Bestimmen Sie mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus zum Lösen des Rucksackproblems mit dynamischer Programmierung den maximalen Gesamtwert der Gegenstände, die der Rucksack tragen kann (das Gesamtgewicht der mitgeführten Gegenstände übersteigt nicht die Tragkraft des Rucksacks). Die Gewichte seien dabei w 1 = 5, w 2 = 2, w 3 = 1, w 4 = 3 und w 5 = 4 und die Werte c 1 = 9, c 2 = 8, c 3 = 5, c 4 = 4 und c 5 = 5. Geben Sie zudem die vom Algorithmus bestimmte Tabelle C und die mitzunehmenden Gegenstände an. Zur Erinnerung: Die Rekursionsgleichung für das Rucksackproblem lautet: 0 für i = 0, j 0 C[i, j] = für j < 0 max(c[i 1, j], c i + C[i 1, j w i ]) sonst Maximaler Wert: Mitzunehmende Gegenstände: Globalübungsaufgabe2 (Longest Common Subsequence): Bestimmen Sie die längste gemeinsame Teilsequenz der Sequenzen BRAUTKLEID und BLAUKRAUT. Benutzen Sie hierfür den in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus mit dynamischer Programmierung und füllen Sie die folgende Tabelle aus. Eine leere Sequenz können Sie durch - angeben. 1

2 B R A U T K L E I D B L A U K R A U T Längste gemeinsame Teilsequenz: Globalübungsaufgabe3 (Huffman Code): Bestimmen Sie einen optimalen präfix-freien Binär-Code für das folgende 8-elementige Alphabet mit den angegebenen Häufigkeiten. AC D EFGHI Globalübungsaufgabe4 (Stundenplaner Problem (gewichtet)): In der Vorlesung haben wir das Stundenplanungs Problem betrachtet und es durch ein Greedy verfahren gelöst. Nun betrachten wir die gewichte Version dieser Problemstellung (siehe auch gewichtetes Intervall-Scheduling). Das heißt, dass jeder Job noch ein zusätzliches Gewicht besitzt. Die Zielfunktion lautet dann: maximiere die Summe der Gewichte der ausgewählen, kompatiblen Jobs Gegeben sei die folgende Instanz des gewichteten Problems. Jede Anfrage V i ist gegeben durch ein Intervall (L i, R i ) sowie ein Gewicht w i. Zwei Anfragen V i und V j sind kompatibel, wenn R i L j oder R j L i gilt. (Hinweis zur Notation: p(i) bezeichnet den maximalen Index j < i, so dass i und j kompatibel sind. M[j] ist der maximal Gewinn, der bis einschließlich Anfrage j generiert werden kann.) V 1 = (0, 1), w 1 = 2, V 5 = (3, 5), w 5 = 3, V 2 = (0, 3), w 2 = 3, V 6 = (4, 6), w 6 = 3, V 3 = (2, 3), w 3 = 2, V 7 = (5, 7), w 7 = 2. V 4 = (3, 4), w 4 = 1, a) Geben Sie ein Gegenbeispiel an, indem der Greedy-Lösungsansatz aus der Vorlesung beim gewichteten Problem scheitert. b) Geben Sie mit den obigen Bezeichnungen eine Rekursionsformel für M[j] für das Problem an. Hinweis: Nutzen Sie p(j) um sicherzustellen, dass sich keine Vorträge überlappen. c) Überlegen Sie sich mit obiger Rekursinsformel, wie ein Dynamisches Programm funktionieren würde. Lösen Sie die obige Instanz und tragen Sie ihre Ergebnisse in die folgende Tabelle 4 ein! 2

3 i w i p(i) M(i) d) Welche Anfragen werden in der optimalen Lösung ausgewählt? Hausaufgabe5 (Rucksackproblem): Gegeben sei ein Rucksack mit maximaler Tragkraft 10 sowie 7 Gegenstände. Der i-te Gegenstand soll hierbei ein Gewicht von w i und einen Wert von c i haben. Bestimmen Sie mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus zum Lösen des Rucksackproblems mit dynamischer Programmierung den maximalen Gesamtwert der Gegenstände, die der Rucksack tragen kann (das Gesamtgewicht der mitgeführten Gegenstände übersteigt nicht die Tragkraft des Rucksacks). Beachten Sie zusätzlich, das Gegenstand 1 nur dann eingepackt werden kann, wenn auch Gegenstand 6 eingepackt wird und Gegenstand 6 nur dann, wenn auch Gegensatand 1 eingapackt wird. Die gleiche Abhängigkeit besteht auch zwischen den Gegenständen 5 und 7. Geben Sie an, was diese Abhängigkeiten an der bekannten Situation aus der Vorlesung verändern. Was müssen Sie tun, um den Algortihmus dennoch korrekt anwenden zu können?. Die Gewichte seien dabei w 1 = 3, w 2 = 2, w 3 = 1, w 4 = 3, w 5 = 2, w6 = 2 und w7 = 2 und die Werte c 1 = 5, c 2 = 8, c 3 = 6, c 4 = 7, c 5 = 2, c 6 = 4 und c 7 = 3. Geben Sie zudem die vom Algorithmus bestimmte Tabelle C und die mitzunehmenden Gegenstände an. Hinweis: Je nach den von Ihnen gewählten Anpassungschritten müssen sie die Tabelle nicht vollständig ausfüllen Maximaler Wert: Mitzunehmende Gegenstände: Hausaufgabe6 (maxprodukt): Gegeben ist eine Folge A = (a 1,..., a n ) von rationalen Zahlen. Gesucht sind zwei Indizes r und s mit 1 r s n, für die das Produkt a r a r+1 a s maximal wird. Skizzieren Sie ein Dynamisches Programm für dieses Problem, analysieren Sie Laufzeit und Speicherplatz, und beweisen Sie die Korrektheit. (Hinweis: Man definiere Prod[i, j] = a i a i+1 a j. Man definiere MaxPos[k] als das Maximum aller Werte Prod[i, k] 0 mit 1 i k; falls alle Zahlen Prod[i, k] negativ sind gilt MaxPos[k] =. Man definiere 3

4 MinNeg[k] als das Minimum aller Werte Prod[i, k] 0 mit 1 i k; falls alle Zahlen Prod[i, k] positiv sind gilt MinNeg[k] = +.) Hausaufgabe7 (Huffman Code): Bestimmen Sie einen optimalen präfix-freien Binär-Code für das folgende 20-elementige Alphabet mit den angegebenen Häufigkeiten. Geben sie entweder den Code explizit an oder zeichnen Sie den entsprechenden Baum(siehe Seite 32 der Vorlesung) AC D E FG H I L N OR S T UVW X Y Z Liefert der auf Seite 32 der Vorlesungsfolien angegebene Binär-Code einen optimalen präfix-freien Binär- Code? Hausaufgabe8 (Stundenplaner Problem): ( Punkte) In der Vorlesung über Greedy Algorithmen wurde folgender Algorithmus für das Stundenplanungsproblem diskutiert: Wähle den Vortrag V mit kleinstem rechten Endpunkt aus, lösche alle mit V überlappenden Vorträge, Analysieren Sie die folgenden Varianten dieses Algorithmus. Nehmen Sie dazu an, dass jeder Algorithmus im Falle eines Tie-Breakings immer eine zufällige Entscheidung trifft (die so schlecht wie nur möglich sein kann). Beweisen Sie entweder, dass die Variante immer eine optimale Lösung findet, oder konstruieren Sie ein Beispiel, für das die Variante sub-optimal ist. a) Wähle den Vortrag V mit grösstem rechten Endpunkt aus, lösche alle mit V überlappenden Vorträge, b) Wähle den Vortrag V mit kleinstem linken Endpunkt aus, lösche alle mit V überlappenden Vorträge, c) Wähle den Vortrag V mit grösstem linken Endpunkt aus, lösche alle mit V überlappenden Vorträge, und wiederhole diesen Schritt. d) Wähle den Vortrag V mit kleinster Länge aus, lösche alle mit V überlappenden Vorträge, und wiederhole diesen Schritt. e) Wähle den Vortrag V aus, der mit den wenigsten anderen Vorträgen überlappt, lösche alle mit V überlappenden Vorträge, f) Falls keine zwei Vorträge überlappen, wähle alle Vorträge aus. Andernfalls lösche den längsten Vortrag, Hausaufgabe9 (Muenzen): (4+2+2 Punkte) Wir betrachten ein Münzsystem mit (beliebig vielen) Münzen im Wert von 1, 2, 5, 10, 20, 50 EuroCent. Wir wollen einen gegebenen Betrag von x EuroCent additiv mit möglichst wenigen Münzen darstellen. Dazu verwenden wir den folgenden Greedy Algorithmus: Wähle den grössten Wert y {1, 2, 5, 10, 20, 50} mit y x. Nimm eine Münze mit Wert y, und wiederhole den Schritt für x y. 4

5 a) Beweisen Sie, dass dieser Algorithmus immer eine optimale Lösung findet, oder konstruieren Sie ein Beispiel, für das der Algorithmus sub-optimal ist. b) Analysieren Sie die Korrektheit des entsprechenden Greedy Algorithmus für das Münzsystem mit Münzen im Wert von 1, 2, 4, 8, 16, 32 EuroCent. c) Analysieren Sie die Korrektheit des entsprechenden Greedy Algorithmus für das Münzsystem mit Münzen im Wert von 1, 10, 21, 34, 70, 100 EuroCent. 5