Die asymptotische Notation
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- Carsten Esser
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1 Die asymptotische Notation f, g : N R 0 seien Funktionen, die einer Eingabelänge n N eine nicht-negative Laufzeit f (n), bzw. g(n) zuweisen. Asymptotik 1 / 9
2 Die asymptotische Notation f, g : N R 0 seien Funktionen, die einer Eingabelänge n N eine nicht-negative Laufzeit f (n), bzw. g(n) zuweisen. Die Groß-Oh Notation: f = O(g) Es gibt eine positive Konstante c > 0 und eine natürliche Zahl n 0 N, so dass f (n) c g(n) für alle n n 0 gilt: f wächst höchstens so schnell wie g. Asymptotik 1 / 9
3 Die asymptotische Notation f, g : N R 0 seien Funktionen, die einer Eingabelänge n N eine nicht-negative Laufzeit f (n), bzw. g(n) zuweisen. Die Groß-Oh Notation: f = O(g) Es gibt eine positive Konstante c > 0 und eine natürliche Zahl n 0 N, so dass f (n) c g(n) für alle n n 0 gilt: f wächst höchstens so schnell wie g. f = Ω(g) g = O(f ) : f wächst mindestens so schnell wie g. Asymptotik 1 / 9
4 Die asymptotische Notation f, g : N R 0 seien Funktionen, die einer Eingabelänge n N eine nicht-negative Laufzeit f (n), bzw. g(n) zuweisen. Die Groß-Oh Notation: f = O(g) Es gibt eine positive Konstante c > 0 und eine natürliche Zahl n 0 N, so dass f (n) c g(n) für alle n n 0 gilt: f wächst höchstens so schnell wie g. f = Ω(g) g = O(f ) : f wächst mindestens so schnell wie g. f = Θ(g) f = O(g) und g = O(f ) : f und g wachsen gleich schnell. Asymptotik 1 / 9
5 Die asymptotische Notation f, g : N R 0 seien Funktionen, die einer Eingabelänge n N eine nicht-negative Laufzeit f (n), bzw. g(n) zuweisen. Die Groß-Oh Notation: f = O(g) Es gibt eine positive Konstante c > 0 und eine natürliche Zahl n 0 N, so dass f (n) c g(n) für alle n n 0 gilt: f wächst höchstens so schnell wie g. f = Ω(g) g = O(f ) : f wächst mindestens so schnell wie g. f = Θ(g) f = O(g) und g = O(f ) : f und g wachsen gleich schnell. Die Klein-Oh Notation: f = o(g) lim f wächst langsamer als g. n f (n) g(n) = 0: Asymptotik 1 / 9
6 Wie schnell dominiert die Asymptotik? Annahme: Ein einfacher Befehl benötigt 10 9 Sekunden. Asymptotik 2 / 9
7 Wie schnell dominiert die Asymptotik? Annahme: Ein einfacher Befehl benötigt 10 9 Sekunden. n n 2 n 3 n 10 2 n n! }{{ 31 } }{{} }{{} mehr als mehr als mehr als Jahre Jahre 600 Jahre illion 10 }{{ 12 } 10 }{{ 18 } mehr als mehr als 15 Minuten 10 Jahre Asymptotik 2 / 9
8 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Asymptotik 3 / 9
9 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Asymptotik 3 / 9
10 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist Asymptotik 3 / 9
11 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Asymptotik 3 / 9
12 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Wenn 0 < c <, dann ist Asymptotik 3 / 9
13 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Wenn 0 < c <, dann ist f = Θ(g): f und g wachsen gleich schnell. Asymptotik 3 / 9
14 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Wenn 0 < c <, dann ist f = Θ(g): f und g wachsen gleich schnell. Wenn 0 c <, dann ist Asymptotik 3 / 9
15 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Wenn 0 < c <, dann ist f = Θ(g): f und g wachsen gleich schnell. Wenn 0 c <, dann ist f = O(g): f wächst höchstens so schnell wie g. Asymptotik 3 / 9
16 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Wenn 0 < c <, dann ist f = Θ(g): f und g wachsen gleich schnell. Wenn 0 c <, dann ist f = O(g): f wächst höchstens so schnell wie g. Wenn 0 < c, dann ist Asymptotik 3 / 9
17 Grenzwerte Grenzwerte sollten das Wachstum vorausssagen! Der Grenzwert der Folge f (n) f (n) g(n) existiere und es sei lim n g(n) = c. Wenn c = 0, dann ist f = o(g): f wächst langsamer als g. Wenn 0 < c <, dann ist f = Θ(g): f und g wachsen gleich schnell. Wenn 0 c <, dann ist f = O(g): f wächst höchstens so schnell wie g. Wenn 0 < c, dann ist f = Ω(g): f wächst mindestens so schnell wie g. Asymptotik 3 / 9
18 Die Regel von de l Hospital f (n) lim n g(n) = lim f n g (n), falls der letzte Grenzwert existiert und falls lim f (n) = lim g(n) {0, }. n n Asymptotik 4 / 9
19 Die Regel von de l Hospital f (n) lim n g(n) = lim f n g (n), falls der letzte Grenzwert existiert und falls lim f (n) = lim g(n) {0, }. n n log 2 n = o(n). Warum? lim log n 2 n = lim n =, n 2 der Grenzwert lim (n) = lim log n n (log 2 e ln(n)) n n existiert und log lim 2 (n) n n = 0 folgt mit der Regel von de l Hospital. = lim n log 2 e 1/n 1 = 0 Asymptotik 4 / 9
20 Die Regel von de l Hospital f (n) lim n g(n) = lim f n g (n), falls der letzte Grenzwert existiert und falls lim f (n) = lim g(n) {0, }. n n log 2 n = o(n). Warum? lim log n 2 n = lim n =, n 2 der Grenzwert lim (n) = lim log n n (log 2 e ln(n)) n n existiert und log lim 2 (n) n n = 0 folgt mit der Regel von de l Hospital. Weitere Anwendungen: log 2 log 2 n = o(log 2 n). = lim n log 2 e 1/n 1 = 0 Asymptotik 4 / 9
21 Die Regel von de l Hospital f (n) lim n g(n) = lim f n g (n), falls der letzte Grenzwert existiert und falls lim f (n) = lim g(n) {0, }. n n log 2 n = o(n). Warum? lim log n 2 n = lim n =, n 2 der Grenzwert lim (n) = lim log n n (log 2 e ln(n)) n n existiert und log lim 2 (n) n n = 0 folgt mit der Regel von de l Hospital. Weitere Anwendungen: log 2 log 2 n = o(log 2 n). log 2 log 2 log 2 n = o(log 2 log 2 n). = lim n log 2 e 1/n 1 = 0 Asymptotik 4 / 9
22 Die Regel von de l Hospital f (n) lim n g(n) = lim f n g (n), falls der letzte Grenzwert existiert und falls lim f (n) = lim g(n) {0, }. n n log 2 n = o(n). Warum? lim log n 2 n = lim n =, n 2 der Grenzwert lim (n) = lim log n n (log 2 e ln(n)) n n existiert und log lim 2 (n) n n = 0 folgt mit der Regel von de l Hospital. Weitere Anwendungen: log 2 log 2 n = o(log 2 n). log 2 log 2 log 2 n = o(log 2 log 2 n). (k+1) log 2 n = o(log (k) 2 n) für jedes k. = lim n log 2 e 1/n 1 = 0 Asymptotik 4 / 9
23 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
24 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
25 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
26 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. log 2 n = o(n 1/k ) für jedes k > 1, wende de l Hospital an. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
27 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. log 2 n = o(n 1/k ) für jedes k > 1, wende de l Hospital an. n 1/k = o(n) und n = o(n log 2 n) für jedes k > 1, lim n n 1/k n = lim n 1 n 1 1/k = 0 und lim n log 2 n =. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
28 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. log 2 n = o(n 1/k ) für jedes k > 1, wende de l Hospital an. n 1/k = o(n) und n = o(n log 2 n) für jedes k > 1, lim n n 1/k n = lim n 1 n 1 1/k = 0 und lim n log 2 n =. n log 2 n = o(n k ) für jedes k > 1. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
29 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. log 2 n = o(n 1/k ) für jedes k > 1, wende de l Hospital an. n 1/k = o(n) und n = o(n log 2 n) für jedes k > 1, lim n n 1/k n = lim n 1 n 1 1/k = 0 und lim n log 2 n =. n log 2 n = o(n k ) für jedes k > 1. n k = o(b n ) für jedes b > 1, n k = b k log b n und Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
30 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. log 2 n = o(n 1/k ) für jedes k > 1, wende de l Hospital an. n 1/k = o(n) und n = o(n log 2 n) für jedes k > 1, lim n n 1/k n = lim n 1 n 1 1/k = 0 und lim n log 2 n =. n log 2 n = o(n k ) für jedes k > 1. n k = o(b n ) für jedes b > 1, n k = b k log b n und n lim k b n b = lim k log b n n n b = lim n n b k log b n n = 0. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
31 Eine Wachstums-Hierarchie f 1 (n) = 1, dann ist f 1 = o(log 2 log 2 n), lim n log 2 log 2 n =. log 2 log 2 n = o(log 2 n), wende de l Hospital an. log 2 n = Θ(log a n) für jedes a > 1, log 2 n = log 2 a log a n. log 2 n = o(n 1/k ) für jedes k > 1, wende de l Hospital an. n 1/k = o(n) und n = o(n log 2 n) für jedes k > 1, lim n n 1/k n = lim n 1 n 1 1/k = 0 und lim n log 2 n =. n log 2 n = o(n k ) für jedes k > 1. n k = o(b n ) für jedes b > 1, n k = b k log b n und n lim k b n b = lim k log b n n n b = lim n n b k log b n n = 0. Und b n = o(n!) für jedes b > 1. Asymptotik Eine Wachstums-Hierarchie 5 / 9
32 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = Laufzeitbestimmung 6 / 9
33 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). Laufzeitbestimmung 6 / 9
34 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). for (i=1; i < n ; i++) for (j=i+1; j < n ; j++) zwei einfache Anweisungen; Laufzeit = Laufzeitbestimmung 6 / 9
35 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). for (i=1; i < n ; i++) for (j=i+1; j < n ; j++) zwei einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n 2 ). Laufzeitbestimmung 6 / 9
36 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). for (i=1; i < n ; i++) for (j=i+1; j < n ; j++) zwei einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n 2 ). while (n >1) n = 3n/4; Laufzeit = Laufzeitbestimmung 6 / 9
37 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). for (i=1; i < n ; i++) for (j=i+1; j < n ; j++) zwei einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n 2 ). while (n >1) n = 3n/4; Laufzeit = O(log 2 n). Laufzeitbestimmung 6 / 9
38 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). for (i=1; i < n ; i++) for (j=i+1; j < n ; j++) zwei einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n 2 ). while (n >1) n = 3n/4; Laufzeit = O(log 2 n). while (n >1) {for (i=1; i < n; i++) {drei einfache Anweisungen;} n = 4n/5; } Laufzeit = Laufzeitbestimmung 6 / 9
39 For-und While-Schleifen for (i=1; i < n ; i++) vier einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n). for (i=1; i < n ; i++) for (j=i+1; j < n ; j++) zwei einfache Anweisungen; Laufzeit = O(n 2 ). while (n >1) n = 3n/4; Laufzeit = O(log 2 n). while (n >1) {for (i=1; i < n; i++) {drei einfache Anweisungen;} n = 4n/5; } Laufzeit = O(n). Laufzeitbestimmung 6 / 9
40 Anwendungen des Sortierens Wann soll was sortiert werden? Laufzeitbestimmung 7 / 9
41 Anwendungen des Sortierens Wann soll was sortiert werden? 1 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell? Laufzeitbestimmung 7 / 9
42 Anwendungen des Sortierens Wann soll was sortiert werden? 1 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell? 2 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Rechtecken [a i, b i ] [c i, d i ] möglichst schnell? Laufzeitbestimmung 7 / 9
43 Anwendungen des Sortierens Wann soll was sortiert werden? 1 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell? 2 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Rechtecken [a i, b i ] [c i, d i ] möglichst schnell? 3 Wir sollen die Vereinigung von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell als eine Vereinigung von disjunkten Intervallen darstellen. Wie? Laufzeitbestimmung 7 / 9
44 Anwendungen des Sortierens Wann soll was sortiert werden? 1 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell? 2 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Rechtecken [a i, b i ] [c i, d i ] möglichst schnell? 3 Wir sollen die Vereinigung von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell als eine Vereinigung von disjunkten Intervallen darstellen. Wie? 4 Die k größten Zahlen aus einem unsortierten Array A sollen bestimmt werden. Sollte man A sortieren oder einen Heap aus A bauen und k mal Delete_Max anwenden oder...? Laufzeitbestimmung 7 / 9
45 Anwendungen des Sortierens Wann soll was sortiert werden? 1 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell? 2 Wie bestimmt man den Durchschnitt von n Rechtecken [a i, b i ] [c i, d i ] möglichst schnell? 3 Wir sollen die Vereinigung von n Intervallen [a i, b i ] möglichst schnell als eine Vereinigung von disjunkten Intervallen darstellen. Wie? 4 Die k größten Zahlen aus einem unsortierten Array A sollen bestimmt werden. Sollte man A sortieren oder einen Heap aus A bauen und k mal Delete_Max anwenden oder...? 5 Wir sollen feststellen, ob alle Schlüssel im Array A auch im Array B vorkommen. Wie? Laufzeitbestimmung 7 / 9
46 Wasserkrüge Gegeben sind n blaue und rote Wasserkrüge, wobei - alle blauen Krüge unterschiedliche Kapazität besitzen - und es zu jedem blauen Krug genau einen roten Krug gleicher Kapazität gibt. Finde alle Paare blauer und roter Krüge gleicher Kapazität mit möglichst wenigen Vergleichen. Laufzeitbestimmung 8 / 9
47 Wasserkrüge Gegeben sind n blaue und rote Wasserkrüge, wobei - alle blauen Krüge unterschiedliche Kapazität besitzen - und es zu jedem blauen Krug genau einen roten Krug gleicher Kapazität gibt. Finde alle Paare blauer und roter Krüge gleicher Kapazität mit möglichst wenigen Vergleichen. Eine Vergleichsoperation: Fülle einen blauen Krug b mit Wasser und entleere Krug b in einen roten Krug r. Wieviele Vergleichsoperationen sind ausreichend? Laufzeitbestimmung 8 / 9
48 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
49 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Die zufällige Pivotwahl garantiert, dass jede Folge von n Zahlen in erwarteter Zeit O(n log 2 n) sortiert wird. Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
50 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Die zufällige Pivotwahl garantiert, dass jede Folge von n Zahlen in erwarteter Zeit O(n log 2 n) sortiert wird. Eine Quicksort-Variante löst das Auswahlproblem in Zeit O(n). Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
51 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Die zufällige Pivotwahl garantiert, dass jede Folge von n Zahlen in erwarteter Zeit O(n log 2 n) sortiert wird. Eine Quicksort-Variante löst das Auswahlproblem in Zeit O(n). Mergesort: Sortiert jede Folge von n Zahlen in worst case Zeit O(n log2 n). Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
52 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Die zufällige Pivotwahl garantiert, dass jede Folge von n Zahlen in erwarteter Zeit O(n log 2 n) sortiert wird. Eine Quicksort-Variante löst das Auswahlproblem in Zeit O(n). Mergesort: Sortiert jede Folge von n Zahlen in worst case Zeit O(n log2 n). Eine nicht-rekursive Variante sortiert n auf einem Externspeicher gespeicherte Zahlen mit höchstens O( n B log n M B M ) Speicherzugriffen, solange B Zahlen in einem Schwung vom Externspeicher in den Hauptspeicher der Größe M gebracht werden können. Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
53 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Die zufällige Pivotwahl garantiert, dass jede Folge von n Zahlen in erwarteter Zeit O(n log 2 n) sortiert wird. Eine Quicksort-Variante löst das Auswahlproblem in Zeit O(n). Mergesort: Sortiert jede Folge von n Zahlen in worst case Zeit O(n log2 n). Eine nicht-rekursive Variante sortiert n auf einem Externspeicher gespeicherte Zahlen mit höchstens O( n B log n M B M ) Speicherzugriffen, solange B Zahlen in einem Schwung vom Externspeicher in den Hauptspeicher der Größe M gebracht werden können. Jedes vergleichsorientierte Sortierverfahren benötigt mindestens Ω(n log 2 n) Vergleiche, aber Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
54 Sortieren: Zusammenfassung Quicksort: Ein schnelles in place Sortierverfahren. Quicksort ist ideal, wenn alle Daten in den Hauptspeicher passen. Die zufällige Pivotwahl garantiert, dass jede Folge von n Zahlen in erwarteter Zeit O(n log 2 n) sortiert wird. Eine Quicksort-Variante löst das Auswahlproblem in Zeit O(n). Mergesort: Sortiert jede Folge von n Zahlen in worst case Zeit O(n log2 n). Eine nicht-rekursive Variante sortiert n auf einem Externspeicher gespeicherte Zahlen mit höchstens O( n B log n M B M ) Speicherzugriffen, solange B Zahlen in einem Schwung vom Externspeicher in den Hauptspeicher der Größe M gebracht werden können. Jedes vergleichsorientierte Sortierverfahren benötigt mindestens Ω(n log 2 n) Vergleiche, aber Radixsort sortiert n Zahlen aus der Menge {0,..., n L 1} in Zeit O(n L) ohne irgendeinen Vergleich auszuführen. Zusammenfassung: Sortieren 9 / 9
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