Mortalitätsanalyse (ehemals: Allgemeine Demographie III)

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1 Mortalitätsanalyse (ehemals: Allgemeine Demographie III) ROLAND RAU Universität Rostock, Wintersemester 2013/ Dezember 2013 Roland Rau Mortalitätsanalyse 1 / 61

2 Vergangene & Heutige Veranstaltung Vergangene Veranstaltungen: t 1: Vortrag James Oeppen t 2: Einführung: parametrische Sterblichkeitsmodelle Heutige Veranstaltung: (kurze) Wiederholung: parametrische Sterblichkeitsmodelle Höchstaltrigensterblichkeit Schätzung von klassischen parametrischen Sterblichkeitsmodellen Brass-Logit-Modell Ungleichheiten im Sterbealter Roland Rau Mortalitätsanalyse 2 / 61

3 Warum Mortalitätsgesetze/parametrische Mortalitätsmodelle? Siehe dazu auch aber nicht ausschließlich: Keyfitz (1982) (online verfügbar via Uni Rostock) 1 Ockhams Rasiermesser ( Occams Razor ) 2 Zum Glätten von Daten 3 Zum Vergleich der Sterblichkeit in verschiedenen Bevölkerungen oder auch in einer Bevölkerung zu verschiedenen Zeitpunkten. 4 Zum Verfassen von Mortalitätsprognosen: Falls man feststellt, dass sich bestimmte Parameter mit (relativer) Regelmässigkeit ändern, so kann dies die Prognose von Sterblichkeit und Lebenserwartung erleichtern. Roland Rau Mortalitätsanalyse 3 / 61

4 Welche Mortalitätsgesetze/parametrischen Mortalitätsmodelle gibt es? Unterscheidung von Mortalitätsmodellen nach Geltungsbereich: für das gesamte Alter für das Erwachsenenalter für die höchsten Altersstufen ( fehlt noch) Qualitätsmerkmale an Mortalitätsmodelle: möglichst wenig Parameter. hohe Anpassung an die Originaldaten. gute inhaltliche Interpretation der einzelnen Parameter. Wichtige Größen: q(x): Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x µ(x): Force of Mortality, Instanteneous Death Rate. (siehe Keyfitz and Caswell, 2005) nd(x) µ(x) = lim n 0 nm(x) = lim n 0 nl(x) Roland Rau Mortalitätsanalyse 4 / 61

5 Bisher behandelte parametrische Modelle de Moivre: µ (x) = 1 ω x Gompertz: µ(x) = αe βx Gompertz-Makeham: µ(x) = αe βx + γ Siler: µ(x) = αe βx + c + de fx Heligman-Pollard: q(x) p(x) = A(x+B)C + De E(ln x ln F)2 + GH x Roland Rau Mortalitätsanalyse 5 / 61

6 Problem: Höchste Altersstufen Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter in Japan m(x) (log10 Skala) Beobachtet Geschätzt Heutige Veranstaltung Roland Rau Alter Mortalitätsanalyse x 6 / 61

7 Warum Untersuchung von Höchstaltrigensterblichkeit? Siehe: Oeppen and Vaupel (2002) Christensen et al. (2009) (insbesondere Table 2 ) Roland Rau Mortalitätsanalyse 7 / 61

8 Warum Untersuchung von Höchstaltrigensterblichkeit? Beitrag der verschiedenen Altersstufen zum Anstieg der Lebenserwartung in Frankreich (Frauen) in Prozent Age % 3% 2% 1.5% 1% 0.75% 0.5% 0.25% 0.1% 0.01% 0.001% % 0% Year Roland Rau Mortalitätsanalyse 8 / 61

9 Antike Gedanken zur Langlebigkeit Hervorragende Einführung in das Thema: Jeune (2002) Vermutlich älteste (überlieferte) Quelle für die Suche nach der Langlebigkeit:1 sumerische Legende von Gilgamesh vor ca Jahren. Bildquelle: Wikipedia 1 Leider Vergeblich Roland Rau Mortalitätsanalyse 9 / 61

10 Antike Gedanken zur Langlebigkeit Hervorragende Einführung in das Thema: Jeune (2002) Vermutlich älteste (überlieferte) Quelle für die Suche nach der Langlebigkeit: 2 sumerische Legende von Gilgamesh vor ca Jahren. Biblische Ansichten: 1. Buch Mose ( Genesis ) Kapitel 5... Und Adam war hundertunddreißig Jahre alt und zeugte einen Sohn,... und lebte darnach achthundert Jahre... daß sein ganzes Alter ward neunhundertunddreißig Jahre, und starb. Seth war... daß sein ganzes Alter ward neunhundertundzwölf Jahre, und starb.... Methusalah war hundertsiebenundachtzig Jahre alt und zeugte Lamech und lebte darnach siebenhundert und zweiundachtzig Jahre und zeugte Söhne und Töchter; daß sein ganzes Alter ward neunhundert und neunundsechzig Jahre, und starb Buch Mose ( Genesis ) Kapitel 6 Da sich aber die Menschen begannen zu mehren auf Erden und ihnen Töchter geboren wurden, da sahen die Kinder Gottes nach den Töchtern der Menschen, wie sie schön waren, und nahmen zu Weibern, welche sie wollten. Da sprach der HERR: Die Menschen wollen sich von meinem Geist nicht mehr strafen lassen; denn sie sind Fleisch. Ich will ihnen noch Frist geben hundertundzwanzig Jahre. Psalm 90(10) Unser Leben währet siebzig Jahre, und wenn s hoch kommt, so sind s achtzig Jahre, und wenn s köstlich gewesen ist, so ist es Mühe und Arbeit gewesen; denn es fährt schnell dahin, als flögen wir davon. 2 Leider Vergeblich Roland Rau Mortalitätsanalyse 10 / 61

11 Antike Gedanken zur Langlebigkeit Hervorragende Einführung in das Thema: Jeune (2002) Vermutlich älteste (überlieferte) Quelle für die Suche nach der Langlebigkeit: 3 sumerische Legende von Gilgamesh vor ca Jahren. Biblische Ansichten Aristoteles (vor ca 2350 Jahren): On Longevity and Shortness of Life (Keine deutsche Übersetzung gefunden.) Further, in a natural structure are longevity and a sound constitution coincident, or is shortness of life independent of unhealthiness? Perhaps in the case of certain maladies a diseased state of the body and shortness of life are interchangeable, while in the case of others ill-health is perfectly compatible with long life.... But by natural constitution and as a general rule males live longer than females, and the reason is that the male is an animal with more warmth than the female.... We must remember that an animal is by nature humid and warm, and to live is to be of such a constitution, while old age is dry and cold, and so is a corpse. This is plain to observation. But the material constituting the bodies of all things consists of the following-the hot and the cold, the dry and the moist. Hence when they age they must become dry, and therefore the fluid in them requires to be not easily dried up. Thus we explain why fat things are not liable to decay. The reason is that they contain air; now air relatively to the other elements is fire, and fire never becomes corrupted Roland Rau Mortalitätsanalyse 11 / 61

12 Modernere Ideen zu Langlebigkeit Wilhelm Lexis ( ) Publikation in diesem Zusammenhang: Lexis (1877) u h63/ Vergleich der Lebenslänge mit dem gezielten Wurf von Kugeln auf 70 Fuß Roland Rau Mortalitätsanalyse 12 / 61

13 Modernere Ideen zu Langlebigkeit Lexis 'Ein correctes Bild von dem Absterben einer Generation' Periodensterbetafel, Deutschland, Frauen, 'jugendlich' 'normal' 'vorzeitig' Age Roland Rau Mortalitätsanalyse 13 / 61

14 Modernere Ideen zu Langlebigkeit Babbage Charles Babbage (1826): Sterblichkeit in den Altersstufen 100+ Download Link: instit.pdf?id=tegjs4xfpbmc&output=pdf&sig=acfu3u1vah0-mnx0khu7amtywgbd3buj-a Roland Rau Mortalitätsanalyse 14 / 61

15 Moderne Ideen zu Langlebigkeit Fries Link: James Fries (1980) Aging, natural death, and the compression of morbidity. The New England Journal of Medicine 303 (1980): Laut scholar.google.com 2961 zitiert. S. 131/132: These curves intersect in the year 2018 at a mean age at death of 85.6 years. Calculations based on other periods or from other ages converge at similar points. Predictions by the federal government... suggest that the actual limit may be less than 85 years Thus, under ideal conditions, 66 per cent of natural deaths would occur in persons 81 to 89 years, and 95 per cent in persons aged 77 to 93 year. Roland Rau Mortalitätsanalyse 15 / 61

16 Bis zu Beginn der 1990er Jahre gab es jedoch keine zuverlässigen Daten über die höchsten Altersstufen Kannisto-Thatcher Database Vaïnö Kannisto ( ) A. Roger Thatcher ( ) J. W. Vaupel ( 1945) Siehe Preface von Kannisto (1994): Link: Roland Rau Mortalitätsanalyse 16 / 61

17 Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Problem: Qualität von Bevölkerungsdaten in den höchsten Altersstufen; Sterbefalldaten weitaus exakter. Digit-Preference / Age-Heaping Quelle: Myers (1954, S. 828) Roland Rau Mortalitätsanalyse 17 / 61

18 Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Problem: Qualität von Bevölkerungsdaten in den höchsten Altersstufen; Sterbefalldaten weitaus exakter. The case of the missing Methuselahs The Japanese are known for having both the longest lifespans and the lowest crime rates. But with the discovery in recent days of dozens of centenarians who turned out to have died long before (but whose relatives in some cases hushed it up to collect their pensions), both truisms are now open to question. The mess began in late July when city officials in Tokyo s Adachi Ward discovered that Sogen Kato, aged 111 and believed to be Tokyo s oldest living man, had in fact been dead for 32 years-his mummified body still gathering dust at home while his family collected pension installments. The cash was anything but petty: in the last six years alone, Mr Kato received 9.5m, or around 110,000 dollars, along with commemorative gifts from the ward in celebration of his longevity. Quelle: The Economist, 6. August 2010 ( Roland Rau Mortalitätsanalyse 18 / 61

19 Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Problem: Qualität von Bevölkerungsdaten in den höchsten Altersstufen; Sterbefalldaten weitaus exakter. For each of the age misreporting patterns and each of the methods of mortality estimation, we find that age misstatement estimates downwards at the oldest age. Preston et al. (1999, S. 165) Roland Rau Mortalitätsanalyse 19 / 61

20 Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Problem: Qualität von Bevölkerungsdaten in den höchsten Altersstufen; Sterbefalldaten weitaus exakter. Coale and Kisker (1986, S. 1 2) Roland Rau Mortalitätsanalyse 20 / 61

21 Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Problem: Qualität von Bevölkerungsdaten in den höchsten Altersstufen; Sterbefalldaten weitaus exakter. Weniger Hochbetagte als gedacht Fortschreibungsfehler Korrekturen in der amtlichen Statistik für Westdeutschland notwendig Die Fortschreibung in der amtlichen Statistik überschätzt die Bevölkerung, insbesondere im Alter 90 Jahre und älter. In den alten Bundesländern liegen die offiziellen Zahlen zum Ende 2004 bei Männern um rund 40 Prozent zu hoch. Dies hat Auswirkungen auf weitere Berechnungen: So ist die Pflegerate unter den Hochbetagten vermutlich weit unterschätzt. Quelle: Scholz and Jdanov (2008, S. 4) Roland Rau Mortalitätsanalyse 21 / 61

22 Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Problem: Qualität von Bevölkerungsdaten in den höchsten Altersstufen (falsche Angaben, digit preference, Fortschreibungsfehler,... ); Sterbefalldaten weitaus exakter. Mögliche Lösung: Extinct Generations/Cohorts Methode Eingeführt von Vincent (1951) und Depoid (1973): Méthode des génerations éteintes Voraussetzungen (vgl. Dinkel 1997) vollständige Sterbefallregistrierung Sterbefallregistrierung nach Alter und Geburtsjahr zu vernachlässigende (Netto-)Wanderungen in den höchsten Altersstufen Roland Rau Mortalitätsanalyse 22 / 61

23 Extinct Cohorts Methode Grundlegendes Konzept: Sterbewahrscheinlichkeit q x Überlebenswahrscheinlichkeit p x = 1 q x Alter x x+1 x+2 x+3 q = 3 8 = t t+1 t+2 t+3 Roland Rau Mortalitätsanalyse 23 / 61

24 Extinct Cohorts Methode Alter ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 ω t t+1 t+2 t+3 t+4 Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 24 / 61

25 Extinct Cohorts Methode Alter ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 ω q ω 1 = 3 3 = 1 t t+1 t+2 t+3 t+4 Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 25 / 61

26 Extinct Cohorts Methode Alter ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 ω q ω 1 = 3 3 = 1 t t+1 t+2 t+3 t+4 Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 26 / 61

27 Extinct Cohorts Methode Alter ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 ω q ω 1 = 3 3 = 1 7 q ω 2 = = 0.7 t t+1 t+2 t+3 t+4 Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 27 / 61

28 Extinct Cohorts Methode Alter ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 ω q ω 1 = 3 3 = 1 7 q ω 2 = = 0.7 t t+1 t+2 t+3 t+4 Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 28 / 61

29 Extinct Cohorts Methode Alter ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 ω q ω 1 = 3 3 = 1 7 q ω 2 = = q ω 3 = = 0.5 t t+1 t+2 t+3 t+4 Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 29 / 61

30 Einjährige Sterbewahrscheinlichkeit im Alter 80 Frauen Männer q Canada England & Wales Frankreich Deutschland (Ost) Deutschland (West) Italien Japan Schweden Schweiz USA q Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 30 / 61 Jahr

31 Zehnjährige Überlebenswahrscheinlichkeit im Alter 80 Frauen Männer 10p Canada England & Wales Frankreich Deutschland (Ost) Deutschland (West) Italien Japan Schweden Schweiz USA 10p Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 31 / 61 Jahr

32 Zehnjährige Überlebenswahrscheinlichkeit im Alter 90 Frauen Männer 10p Canada England & Wales Frankreich Deutschland (Ost) Deutschland (West) Italien Japan Schweden Schweiz USA p Jahr Roland Rau Mortalitätsanalyse 32 / 61 Jahr

33 Zehnjährige Überlebenswahrscheinlichkeit im Alter 90 Einen relativ aktuellen Einblick in die Entwicklung der Höchstaltrigensterblichkeit geben: Rau et al. (2008) Link: Roland Rau Mortalitätsanalyse 33 / 61

34 Problem: klassische Modelle überschätzen die Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter in Japan m(x) (log10 Skala) Beobachtet Geschätzt Roland Rau Alter Mortalitätsanalyse x 34 / 61

35 Problem: klassische Modelle überschätzen die Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Wodurch könnte diese Deceleration verursacht werden? Roland Rau Mortalitätsanalyse 35 / 61

36 Problem: klassische Modelle überschätzen die Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Wodurch könnte diese Deceleration verursacht werden? Datenprobleme Echte Verlangsamung Kompositionseffekte Roland Rau Mortalitätsanalyse 36 / 61

37 Problem: klassische Modelle überschätzen die Sterblichkeit in den höchsten Altersstufen Übliche Herangehensweise zur Messung: eine Art von logistischer Funktion. Idee geht mindestens zurück auf Perks im Jahre 1932 (laut Beard (1971)) siehe auch Abschnitt Discussion II in Horiuchi and Coale (1990). Perks : µ(x) = Beard : µ(x) = A + Beux (1 + Ce ux ) Be ux (1 + Ce ux ) Mittlerweile das Standardmodell (Thatcher (1999), Thatcher et al. (1998)): µ(x) = Auch Kannisto-Modell genannt. αeβx 1 + αe βx + γ Roland Rau Mortalitätsanalyse 37 / 61

38 Problem: Höchste Altersstufen Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter in Japan m(x) (log10 Skala) Beobachtet Geschätzt Gompertz Geschätzt Logistisch Alter x Parameter alpha: Parameter beta: Parameter gamma: Roland Rau Mortalitätsanalyse 38 / 61

39 Problem: Höchste Altersstufen Logistisches Modell / Kannisto-Modell: Qualitätsmerkmale µ(x) = möglichst wenig Parameter. αeβx 1 + αe βx + γ hohe Anpassung an die Originaldaten. gute inhaltliche Interpretation der einzelnen Parameter. Roland Rau Mortalitätsanalyse 39 / 61

40 Und wie schätzen wir diese Modelle? Beispiel: Gompertz Modell µ(x) = αe βx ; ln(µ(x)) = ln(α) + βx Ein einfache Idee wäre eine simple lineare Regression: y = a + bx, wobei y unserer logarithmierten Sterberate entspricht, a dem ln(α) und b dem β: Roland Rau Mortalitätsanalyse 40 / 61

41 Und wie schätzen wir diese Modelle? log(mx2) x2 Roland Rau Mortalitätsanalyse 41 / 61

42 Und wie schätzen wir diese Modelle? Wer erkennt das Problem mit dieser einfachen Herangehensweise (bzw. Probleme)? Roland Rau Mortalitätsanalyse 42 / 61

43 Und wie schätzen wir diese Modelle? Wer erkennt das Problem mit dieser einfachen Herangehensweise (bzw. Probleme)? Lineare Transformation nicht immer möglich Normalverteilte Residuen?!? Gewichtung der Fälle Roland Rau Mortalitätsanalyse 43 / 61

44 Und wie schätzen wir diese Modelle? Standard heutzutage: Maximum-Likelihood Schätzung (Maximum-Likelihood Estimation MLE): Im Falle von Raten: Poisson MLE (z.b. Brillinger, 1986) Im Falle von Wahrscheinlichkeiten: Binomial MLE (z.b. Thatcher et al., 1998; Zeng Yi and Vaupel, 2003) Noch neuerer Ansatz: Bayesianische Schätzer (z.b. Lynch and Brown, 2001; Sharrow et al., 2013). Zukunft? Roland Rau Mortalitätsanalyse 44 / 61

45 Und wie schätzen wir diese Modelle? Maximum-Likelihood Methode: Brillinger (1986) hat gezeigt, dass man Sterberaten, basierend auf Sterbefällen und der Durchschnittsbevölkerung als Poisson verteilt schätzen kann. Die log-likelihood-funktion einer Poisson-Verteilung lautet für durch die Daten gegebene Sterbefälle D(x) und Durchschnittsbevölkerung N(x): log L (λ D, N) = x D (x) log (λ) λn (x) wobei λ bei uns durch das jeweilige parametrische Sterblichkeitsmodell ersetzt wird. Roland Rau Mortalitätsanalyse 45 / 61

46 Und wie schätzen wir diese Modelle? Maximum-Likelihood Methode: Die log-likelihood-funktion einer Poisson-Verteilung lautet für durch die Daten gegebene Sterbefälle D(x) und Durchschnittsbevölkerung N(x): log L (λ D, N) = x D (x) log (λ) λn (x) im Falle von λ = αe βx (also Gompertz): log L (λ D, N) = x D (x) log ( αe βx) αe βx N (x) Doch wie macht man das in R? Übung Roland Rau Mortalitätsanalyse 46 / 61

47 Weitere Mortalitätsmodelle Relationale Modelle: Bekannteste Modelle: Model Life Tables (z.b. Coale and Demeny, 1983) Brass logit-ansatz (Brass, 1971) Idee von relationalen Sterblichkeits-Modellen: Wir nehmen einen Standard (z.b. eine Standardsterbetafel) und modellieren die Abweichungen von diesem. Wir behandeln hier nur eine modifizierte Version von Brass (1971) Roland Rau Mortalitätsanalyse 47 / 61

48 Weitere Mortalitätsmodelle Schritt 1: Ausgangspunkt für relationales Modell von Brass: Anteil der Überlebenden in den Altersstufen 1 bis 99 einer Sterbetafel, die als Referenz dient. Brass (1971) verwendete hierfür Modellsterbetafeln von Coale & Demeny (allerdings nicht die soeben zitierten aus dem Jahr 1983 sondern bereits aus dem Jahr 1966). Roland Rau Mortalitätsanalyse 48 / 61

49 l(x) Alter x Roland Rau Mortalitätsanalyse 49 / 61

50 Schritt 2: Auswahl einer Bevölkerung von Interesse l(x) Alter x Roland Rau Mortalitätsanalyse 50 / 61

51 Schritt 3: Logit-Transformation der l(x)-werte aus der Standardsterbetafel und von der Bevölkerung von Interesse ( ) l(x) logit l (x) = log 1 l(x) Und hier besteht der Unterschied zu Brass (1971): Während ich hier die standardmäßige Logit-Transformation verwende, so hat Brass den Kehrwert dessen verwendet. Roland Rau Mortalitätsanalyse 51 / 61

52 Schritt 4: Beobachtung: Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den beiden logit-transformierten l(x)-werten (?!?) logit l(x) "Interesse" logit l(x) "Standard" Roland Rau Mortalitätsanalyse 52 / 61

53 Schritt 5: Daher lineares Regressionsmodell: logit l Interesse (x) = α + βlogit l Standard (x) Die Sterblichkeit der Bevölkerung von Interesse wird demnach aufgrund von zwei Parametern und einer Standardbevölkerung definiert. Beispiel Brass Standardbevölkerung Bevölkerung von Interesse : Deutschland, Frauen, 1990 Und wie sieht das ganze aus? α = : β = Roland Rau Mortalitätsanalyse 53 / 61

54 lx.wom Deutschland, Frauen, 1990 Fit Index Roland Rau Mortalitätsanalyse 54 / 61

55 Ein kleiner Spaß für die freien Tage Roland Rau Mortalitätsanalyse 55 / 61

56 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Roland Rau Mortalitätsanalyse 56 / 61

57 Literatur I Aristotle (350BC). On Longevity and Shortness of Life. translated by g. r. t. ross. Available online at: Babbage, C. (1826). A Comparative View of the Various Institutions for the Assurance of Lives. London: J. Mawman. Beard, R. E. (1971). Some Aspects of Theories of Mortality, Cause of Death Analysis, Forecasting and Stochastic Processes. In W. Brass (Ed.), Biological Aspects of Demography (Symposia of the Society for the Study of Human Biology, Vol. 10 ed.)., pp London, UK: Taylor & Francis. Brass, W. (1971). On the Scale of Mortality. In W. Brass (Ed.), Biological Aspects of Demography (Symposia of the Society for the Study of Human Biology, Vol. 10 ed.)., pp London, UK: Taylor & Francis. Brillinger, D. R. (1986). The Natural Variability of Vital Rates and Associated Statistics. Biometrics 42, Christensen, K., G. Doblhammer, R. Rau, and J. Vaupel (2009). Ageing populations: the challenges ahead. The Lancet 374(9696), Coale, A. and P. Demeny (1983). Regional Model Life Tables and Stable Populations (Second ed.). Studies in Population. New York: Academic Press. (with Barbara Vaughan). Coale, A. J. and E. E. Kisker (1986, August). An Investigation of the Quality of Old-age Mortality Data. Report to the National Center for Health Statistics. August 8, Roland Rau Mortalitätsanalyse 57 / 61

58 Literatur II Fries, J. F. (1980). Aging, Natural Death, and the Compression of Morbidity. The New England Journal of Medicine 303, Horiuchi, S. and A. J. Coale (1990). Age patterns of mortality for older women: An analysis using the age-specific rate of mortality change with age. Mathematical Population Studies 2(4), Jeune, B. (2002). Living longer but better? Aging Clinical and Experimental Research 14(2), Kannisto, V. (1994). Development of oldest-old mortality, : Evidence from 28 developed countries. Monographs on Population Aging, 1. Odense, DK: Odense University Press. Keyfitz, N. (1982). Choice of function for mortality analysis: Effective forecasting depends on a minimum parameter representation. Theoretical Population Biology 21(3), Keyfitz, N. and H. Caswell (2005). Applied Mathematical Demography. Third Edition. New York, NY: Springer. Lexis, W. (1877). Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft. Freiburg i. B.: Fr. Wagnersche Buchhandlung. Lynch, S. M. and J. S. Brown (2001). Reconsidering mortality compression and deceleration: An alternative model of mortality rates. Demography 38(1), Myers, R. J. (1954). Accuracy of Age Reporting in the 1950 United States Census. Journal of the American Statistical Association 49, Roland Rau Mortalitätsanalyse 58 / 61

59 Literatur III Oeppen, J. and J. W. Vaupel (2002). Broken Limits to Life Expectancy. Science 296, Preston, S. H., I. T. Elo, and Q. Stewart (1999). Effects of Age Misreporting on Mortality Estimates at Older Ages. Population Studies 53, Rau, R., D. Jasilionis, E. L. Soroko, and J. W. Vaupel (2008). Continued Reductions in Mortality at Advanced Ages. Population & Development Review 34(4), Scholz, R. and D. Jdanov (2008). Weniger Hochbetagte als gedacht. Demografische Forschung aus Erster Hand 5(1), 4. Sharrow, D., S. J. Clark, M. Collinson, K. Kahn, and S. Tollman (2013). The age pattern of increases in mortality affected by HIV: Bayesian fit of the Heligman-Pollard Model to data from the Agincourt HDSS field site in rural northeast South Africa. Demographic Research 29(39), Thatcher, A. R. (1999). The long-term pattern of adult mortality and the highest attained age. Journal of the Royal Statistical Society 162(1), Thatcher, R. A., V. Kannisto, and J. W. Vaupel (1998). The force of mortality at ages 80 to 120. Monographs on Population Aging, 3. Odense, DK: Odense University Press. Zeng Yi and J. W. Vaupel (2003). Oldest-Old Mortality in China. Demographic Research 8, Roland Rau Mortalitätsanalyse 59 / 61

60 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) Roland Rau Mortalitätsanalyse 60 / 61

61 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im WS 2013/2014: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) Roland Rau Mortalitätsanalyse 61 / 61