Einführung in die formale Demographie

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1 Einführung in die formale Demographie ROLAND RAU Universität Rostock, Wintersemester 2014/ Januar 2015 c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 1 / 32

2 Vergangene Veranstaltung Durchschnittliches Mütteralter µ 1 = m = n i F i i=1 n F i i=1 ( ) n i F i i 1 P J i=1 j=1 ( ) n F i i 1 P J i=1 j=1 Ā = n i λ i i=1 n 1 F i 1 i P j j=1 λ i 1 F i 1 i P j i=1 j=1 c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 2 / 32

3 Berechnung der Lebenserwartung aus einer Projektionsmatrix c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 3 / 32

4 Matrix Inversion Bei einer gegebenen quadratischen Matrix A erfüllt die Inverse einer Matrix, A 1, folgende Bedingung: A 1 A = I Einfach bei einem Skalar ( : ein einfache Zahl): a = 3 a 1 a = 1; = 1 Für eine Matrix A n mit n = 2: ( ) 1 ( ) a b 1 d b = c d (ad bc) c a Für eine Matrix A n mit n 3: Das macht der Computer > ### Funktion in R zum Berechnen der inversen Matrix: > > solve(a) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 4 / 32

5 Berechnung der Lebenserwartung: Schritt 1: Dekomposition ( Zerlegung ) der Matrix A in die Matrizen T und F, die für die Überlebenswahrscheinlichkeiten und die Fertilitätsraten stehen F 1 F 2 F 3 F n P A = T + F = 0 P P n c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 5 / 32

6 Berechnung der Lebenserwartung: Schritt 2: Die fundamentale Matrix N Die Schätzung der Zeitdauer, die man in jedem Alter (oder auch Status) verbringt, benötigt die Berechnung/Schätzung der fundamentalen Matrix N Sie ist definiert als: 1 N = (I T) 1 Jedes Element n ij bezeichnet die durchschnittliche Zeit, in der man in Alter/Status i verbringt, wenn man aus Alter/Status j kommt Warum? (nicht klausur-relevant) Angenommen, es würde nur eine Altersstufe geben mit Überlebenswahrscheinlichkeit p, dann würde gelten: N = (1 p) 1 = q 1 = 1 q Mit einer konstanten Sterbewahrscheinlichkeit haben wir auch implizit einen konstanten Hazard µ(x) = µ Bei einem konstanten Hazard, folgen die Überlebensdauern einer Exponentialverteilung mit Mittelwert (=Lebenserwartung) von µ 1 (siehe, zb Klein und Moeschberger (1997, S 37)) Genereller mathematischer Beweis: Siehe, beispielsweise, Kemeny und Snell (1960, S 46 47) 1 Siehe, beispielsweise Kemeny und Snell (1960), Keyfitz und Caswell (2005), oder Caswell (2001) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 6 / 32

7 Ein Beispiel Eine Bevölkerung mit fünf Altersgruppen T = N = (I T) N = n j = i n ij = ( ) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 7 / 32

8 Ein Beispiel Eine Bevölkerung mit fünf Altersgruppen T = N = (I T) N = n j = i n ij = ( ) Implementation in R: > T [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] > > N <- solve(diag(1,ncol(t)) - T) > N [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] > > colsums(n) [1] c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 8 / 32

9 Beispiel: Deutschland (Ost), Frauen T = N = n j = ( ) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 9 / 32

10 Wie exakt sind diese Ergebnisse? (Vergleich Human Mortality Database ( HMD ) und eigener Berechnung ( Matrix ) Alter x e x HMD Matrix Unterschied in e0 zwischen Matrix Berechnung und Ergebnissen der HMD Alter x c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 10 / 32

11 Weiteres Beispiel (aus der Literatur): Familienstand a Ledig e b Verheiratet c g f h i d Verwitwet Geschieden Übergangsmatrix für Familienstand im Alter 40 und später Kanadische Männer, Single Verheiratet Verwitwet Geschieden Single Verheiratet Verwitwet Geschieden Erwartete Anzahl von Jahren in einem bestimmten Status (Familienstand) nach dem Alter 40 Kanadische Männer, Ledig Verheiratet Verwitwet Geschieden Ledig Verheiratet Verwitwet Geschieden Gesamt Adaptiert von: NATHAN KEYFITZ (1988, S 108): A Markov Chain for calculating the durability of marriage c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 11 / 32

12 Ein weiteres Beispiel: Großer Schwertwal Orca, Killerwal, Mörderwal (Caswell, 2001, S 117) > Tkiller [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] > Nkiller <- fundn(tkiller) > Nkiller [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] > colsums(nkiller) [1] > c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 12 / 32

13 Heutiges Thema: Reproductive Value Eingangsfrage: Welches Alter einer Frau bei der Auswanderung (oder Tod) wirkt sich am gravierendsten auf die langfristige Entwicklung der Bevölkerungsgrösse aus? c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 13 / 32

14 Heutiges Thema: Reproductive Value Vorgehensweise: Wir beginnen mit der mathematischen Lösung, die uns zur Interpretation führen wird Hinweis: Wie auch Dinkel (1989, p 130) schreibt, sollte der Ausdruck reproductive value wohl besser ohne deutsche Übersetzung bleiben c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 14 / 32

15 Reproductive Value : Hintergrund Reproductive Value eingeführt von Ronald Aymler Fisher ( ) Richard Dawkins über Ronald Aymler Fisher: The greatest of Darwin s successors Beiträge von R A Fisher zur Statistik (ua): ANOVA (ANalysis Of VAriance) Maximum-Likelihood Schätzung Fisher-Information Bedeutung auch in den Bereichen Genetik und Eugenik Bildquellen: Wikipedia c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 15 / 32

16 Reproductive Value Literatur (Auswahl): Original: Fisher (1930), Abschnitt The Fundamental Theorem of Natural Selection, nachgedruckt in Fisher (1971) Caswell (2001) (diskret) Dinkel (1989) (kontinuierlich) Keyfitz and Caswell (2005) (diskret & kontinuierlich) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 16 / 32

17 Reproductive Value Bisherige Eigenwerte & Eigenvektoren: λ: dominanter Eigenwert Ax = λx x zu λ gehörender rechter Eigenvektor Es lassen sich jedoch auch linke Eigenvektoren definieren: y T A = λy T c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 17 / 32

18 Reproductive Value Es lassen sich jedoch auch linke Eigenvektoren definieren: v T A = λv T wobei v T einen Zeilenvektor darstellt, denn T steht für das Transponieren eines Vektors (bzw einer Matrix) T = ( ) ; ( ) T = c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 18 / 32

19 Reproductive Value Damit können wir für den altersklassifizierten 2 Fall schreiben: v T A = λv T F 1 F 2 F 3 F 4 ( ) v1 v 2 v 3 v 4 P P = λ ( v 1 v 2 v 3 ) v P 3 0 Oder ausgeschrieben für alle Gleichungen: v 1 F 1 + v 2 P 1 + v v 4 0 = λv 1 ; v 1 F 1 + v 2 P 1 = λv 1 ; v 1 F 2 + v v 3 P 2 + v 4 0 = λv 2 ; v 1 F 2 + v 3 P 2 = λv 2 ; v 1 F 3 + v v v 4 P 3 = λv 3 ; v 1 F 3 + v 4 P 3 = λv 3 ; v 1 F 4 + v v v 4 0 = λv 4 ; v 1 F 4 = λv 4 ; 2 Und nur dieser ist von unserem Interesse c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 19 / 32

20 Reproductive Value v 1 F 1 + v 2 P 1 = λv 1 ; v 1 F 2 + v 3 P 2 = λv 2 ; v 1 F 3 + v 4 P 3 = λv 3 ; v 1 F 4 = λv 4 ; Da Eigenvektoren (rechte & linke) beliebig skalierbar sind, nehmen wir an, dass v 1 = 1 Damit haben wir: für v 4 : für v 3 : 1F 4 = λv 4 ; v 4 = F 4 λ = F 4λ 1 v 1 F 3 + v 4 P 3 = λv 3 ; v 3 = 1F 3 λ + v 4P 3 λ v 3 = F 3 λ + F 4λ 1 P 3 = F 3 λ 1 + F 4 P 3 λ 2 λ c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 20 / 32

21 Reproductive Value Damit haben wir: für v 4 : für v 3 : 1F 4 = λv 4 ; v 4 = F 4 λ = F 4λ 1 v 1 F 3 + v 4 P 3 = λv 3 ; v 3 = 1F 3 λ + v 4P 3 λ für v 2 : v 3 = F 3 λ + F 4λ 1 P 3 = F 3 λ 1 + F 4 P 3 λ 2 λ v 1 F 2 + v 3 P 2 = λv 2 ; v 2 = v 1F 2 λ + v 3P 2 λ für v 1 : v 2 = F 2 λ + (F 3λ 1 + F 4 P 3 λ 2 )P 2 = F 2 λ 1 + F 3 P 2 λ 2 + F 4 P 3 P 2 λ 3 λ v 1 = 1 c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 21 / 32

22 Reproductive Value Damit haben wir: v 1 = 1 v 2 = F 2 λ 1 + F 3 P 2 λ 2 + F 4 P 3 P 2 λ 3 v 3 = F 3 λ 1 + F 4 P 3 λ 2 v 4 = F 4 λ 1 Diese Berechnungen sind somit die Antwort auf die ursprüngliche Frage, die Fisher (1930) gestellt hat (Fisher, 1971, S 164): We may ask, not only about the newly born, but about persons of any chosen age, what is the present value of their future offspring; and if present value is calculated at the rate determined as before, the question has the definite meaning To what extent will persons of this age, on the average, contribute to the ancestry of future generations? c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 22 / 32

23 Reproductive Value Eine Person (=eine Frau) im Alter 4 leistet demnach einen Beitrag von F 4 Allerdings wird aufgrund des stabilen Wachstums (oder Schrumpfens) der Bevölkerung dieser Beitrag F 4 mit der Wachstumsrate λ und der Zeiteinheit t abdiskontiert Analogie: Angenommen es gäbe eine Inflationsrate von 3% Das bedeutet, dass ihr Geld an Kaufkraft verliert: beispielsweise ist ihr ein Euro im nächsten Jahr nur noch Euro wert Nach zwei Jahren: (1 097) 097 = usw Umgekehrt kann man natürlich auch wieder fragen: Aus wieviel Euros/Cents (= N 0 ) vor t Jahren mit stabiler Wachstumsrate λ ist eine heutige Geldmenge (N t = 1) hervorgegangen? N t = N 0 λ t ; Beispiel: N 0 = N t λ t = N t λ t N 0 = N t λ t = = c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 23 / 32

24 Reproductive Value Unter der Voraussetzung, dass wir v 1 = 1 setzen und uns auf altersklassifizierte Modelle beschränken, misst der Reproductive Value den zukünftigen Geburtenertrag einer x-jährigen Frau im Vergleich zu dem einer Neugeborenen (Dinkel, 1989, S 133) Doch wie sieht dieser altersspezifische Reproductive Value grafisch aus? c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 24 / 32

25 Reproductive Value Doch wie sieht dieser altersspezifische Reproductive Value aus? Zu Beginn ist der Wert (nach der Definition) gleich 1 Wie wird der Wert im Alter 50 oder 55 sein? Und zwischen Alter 0 und 50? c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 25 / 32

26 Reproductive Value Typischer Verlauf des Reproductive Value über das Alter: USA, 1966 v(x) Alter x c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 26 / 32

27 Reproductive Value Eingangsfrage: Welches Alter einer Frau bei der Auswanderung (oder Tod) wirkt sich am gravierendsten auf die langfristige Entwicklung der Bevölkerungsgrösse aus? Lösung:??? c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 27 / 32

28 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 28 / 32

29 Bildquellen R A Fisher: Wikipedia, 20 Januar 2013; die Abbildungen sind in der sogenannten Public Domain RonaldFisher1912jpg 4/46/R_A_Fischerjpg c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 29 / 32

30 Literatur Caswell, H (2001) Matrix Population Models Construction, Analysis, and Interpretation Second Edition Sunderland, MA: Sinauer Dinkel, R H (1989) Demographie Band 1: Bevölkerungsdynamik München, D: Vahlen Fisher, R A (1930) The Genetical Theory of Natural Selection New York: Dover Fisher, R A (1971) The Fundamental Theorem of Natural Selection In N Keyfitz and D Smith (Eds), Mathematical Demography, Volume 6 of Biomathematics, Chapter 18, pp Berlin: Springer Kemeny, J G and J L Snell (1960) Finite Markov Chains Princeton, NJ: D Van Nostrad Keyfitz, N (1988) A Markov Chain for calculating the durability of marriage Mathematical Population Studies 1(1), Keyfitz, N and H Caswell (2005) Applied Mathematical Demography Third Edition New York, NY: Springer Klein, J P and M L Moeschberger (1997) Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data Statistics for Biology and Health New York, NY: Springer c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 30 / 32

31 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 20 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 31 / 32

32 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel: Fax: Sprechstunde im WS 2014/2015: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Einführung in die formale Demographie 32 / 32