Binary Decision Diagrams

Transkript

1 Dr. Wolfgang Günther BDDs - Binar Decision Diagrams Dr. Wolfgang Günther BDDs - 2 Binar Decision Diagrams Anwendungen in der kombinatorischen und sequentiellen Verifikation bieten eine kanonische Darstellung Konstruktion des BDDs für Spezifikation und für Implementierung Vergleich der BDDs in linearer (konstanter) Zeit bieten effiziente Algorithmen zur Manipulation Boolesche Operationen, Quantifizierung, etc. 0 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 3 In diesem Kapitel... Definition von BDDs Algorithmen auf BDDs Konjunktion, etc. Smbolische Simulation Implementierung von BDDs Optimieren der Variablenordnung verschiedene Verfahren Verallgemeinerungen KFDDs, WLDDs, LTBDDs Dr. Wolfgang Günther BDDs - 4 Frei verfügbare BDD-Packages CUDD-Package: Fabio Somenzi Universit of Colorado at Boulder. CAL-Package: R.K. Ranjan and J. Sanghavi Universit of California, Berkele.

2 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 5 Beispiel beschreibt die Boolesche Funktion f(,, ) = ' ' ' + ' + '. BDDs beruhen auf der Shannon-Epansion: f(,..., i,..., n ) = i ' f i=0 (,..., n ) + i f i= (,..., n ). Dr. Wolfgang Günther BDDs - 6 Definition von BDDs: Snta Ein binäres Entscheidungsdiagramm (engl. Binar Decision Diagram, BDD) über einer Variablenmenge X n ={,..., n } ist ein gerichteter, azklischer Graph G = (V, E) mit Wurzel v V, wobei G genau eine Wurzel und mindestens eine Senke hat V aus terminalen und nichtterminalen Knoten besteht jeder nichtterminale Knoten v V mit einer Variablen inde(v) X n markiert ist und zwei direkte Nachfolger low(v) V und high(v) V hat; jeder terminale Knoten t V einen Booleschen Wert inde(t) {0,} als Marke hat und Senke ist. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 7 Definition von BDDs: Semantik Ist B ein BDD über X n, v ein Knoten von B, so ist die Boolesche Funktion fv : X n {0,}, die durch v dargestellt wird, folgendermaßen definiert: Ist v terminaler Knoten, so ist f v die konstante Boolesche Funktion inde(v). Ist v ein nichtterminaler Knoten mit inde(v)=, so ist f v gleich f v = ' f low (v) + f high (v). Ist w die Wurzel von B, so ist die Funktion f B : X n {0,}, die durch B dargestellt wird, gleich f w. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 8 Beispiel Welche Funktion ist dargestellt? 0

3 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 9 Schwierigkeiten bei BDDs Allgemeine BDDs gemäß der obigen Definition liefern keine kanonische Darstellung Boolescher Funktionen. Es ist unklar wie Operationen (and, or, not,...) auf Booleschen Funktionen bei allgemeinen BDDs effizient realisiert werden können. Deshalb: Verwendung von Einschränkungen: Reduzierte geordnete Decision Diagrams (ROBDDs) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 0 Einschränkungen an BDDs Definition [freie DD, FBDD]: Ein BDD heißt frei, wenn auf jedem Pfad von der Wurzel zu einem terminalen Knoten jede Variable höchstens einmal als Markierung vorkommt. Definition [ordered BDD, OBDD] Ein FBDD über {,..., n } heißt geordnet, wenn es eine bijektive Abbildung π:{,...,n} {,..., n } gibt, so dass für jede Kante (v,w) mit w nichtterminal die Ungleichung π (inde(w)) > π (inde(v)) gilt, d.h. π gibt die Reihenfolge an, in der die Variablen auf jedem Pfad von der Wurzel zu einem Blatt abgefragt werden. Dr. Wolfgang Günther BDDs - Beispiele für geordnete und nicht geordnete BDDs Dr. Wolfgang Günther BDDs - 2 Reduzierte OBDDs (ROBDDs) 4 geordnet mit π=(,2,3,4) 4 nicht geordnet, da auf einem Pfad vor und auf einem anderen Pfad 2 nach 3 steht Ein OBDD ist reduziert, wenn es keine verschiedenen Knoten v und w gibt, die Wurzeln von isomorphen BDDs sind. keinen nichtterminalen Knoten v mit low(v) = high(v) gibt. Reduktionsregeln zur Transformation von OBDDs in ROBDDs: z z

4 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 3 Reduzieren von OBDDs () Dr. Wolfgang Günther BDDs - 4 Reduzieren von OBDDs (2) isomorphe Knoten isomorphe Knoten isomorphe Knoten OBDDs können schichtweise (bottom up) reduziert werden Dr. Wolfgang Günther BDDs - 5 Reduzieren von OBDDs (3) redundanter Knoten isomorphe Knoten 4 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 6 Reduzieren von OBDDs (4) 4 redundanter Knoten 4 ROBDD Anmerkung: Gängige Implementierungen von ROBDD-Paketen haben keine eigene Operation zum Reduzieren, sondern garantieren zu jedem Zeitpunkt, dass im gesamten Sstem (evtl. aus mehreren ROBDDs bestehend) nie zwei identische Sub-Funktionen durch verschiedene ROBDD-Knoten repräsentiert werden

5 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 7 Kanonizität von ROBDDs Satz (Brant, 986): Sei π eine feste Variablenordnung. Dann gibt es zu jeder Booleschen Funktion f (bis auf Isomorphie) genau einen ROBDD mit Variablenordnung π, der f beschreibt. Wesentliche Eigenschaft für die Verifikation: Sowohl für Spezifikation als auch für Implementierung werden die ROBDDs der entsprechenden Booleschen Funktionen (mit der selben Variablenordnung) berechnet. Äquivalenztest reduziert sich auf den Test, ob die entsprechenden ROBDDs isomorph sind. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 8 Kanonizität von ROBDDs (2) Beweis: Induktion nach Zahl n der Variablen, von denen f abhängt Induktionsanfang: n=0 f ist konstant. O.B.d.A. sei f = 0. Sei B ein ROBDD, der f repräsentiert und k hat. 0 innere Knoten Da f B = 0, führt jeder Pfad von der Wurzel zu Terminal 0, d.h. Terminal kommt in B nicht vor. Wegen Reduziertheit gibt es genau ein 0-Terminal. Annahme: k. Da B endlich und azklisch ist, gibt es dann einen inneren Knoten, dessen beide Nachfolger Blätter, also Terminal 0 sind. Widerspruch dazu, dass B reduziert ist! Dr. Wolfgang Günther BDDs - 9 Kanonizität von ROBDDs (3) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 20 Kanonizität von ROBDDs (4)... Induktionsvoraussetzung: Es gibt zu jeder Funktion mit < n Variablen (bis auf Isomorphie) genau einen ROBDD. Induktionsschritt: Annahme: Zur Funktion f (mit n Variablen) gebe es 2 verschiedene, nicht isomorphe ROBDDs B und B2 mit Wurzeln w und w2 und f B = f B2 = f. Sei w mit i beschriftet und w2 mit j beschriftet.... Fall : i j. O.B.d.A. sei π - ( i ) < π - ( j ). f B2 ist unabhängig von i f = f B2 ist unabhängig von i. Nach Def. gilt f = f B = i ' f low (w) + i f high (w) und somit f i ' = f low (w) und f i = f high (w). Da f unabhängig von i, gilt f i ' = f i und f low (w) = f high (w) Fallunterscheidung i j und i j. Nach Ind.vor. gibt es dazu (bis auf Isomorphie) genau einen ROBDD. Wegen Reduziertheit von B ist deshalb low(w) = high(w) und somit ist w ein redundanter Knoten. Widerspruch.

6 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 2 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 22 Kanonizität von ROBDDs (5)... Fall 2: i j. D.h. w und w2 sind mit i beschriftet. Analog zu obiger Argumentation: f low (w) = f i' = f low (w2) und f high (w) = f i = f high (w2), da f = f B = f B2. Damit nach Ind.vor.: die ROBDDs mit Wurzeln low(w) und low(w2) sind isomorph und die ROBDDs mit Wurzeln high(w) und high(w2) sind isomorph. B und B2 sind isomorph. Q.E.D. Im Folgenden: alle BDDs sind geordnet und reduziert Variablenmenge ist X n Annahme: Wir haben Funktionen f und g als BDD gegeben. Frage: Wie kann man damit rechnen, d.h. wie ist der BDD für f g, f + g, f g, etc.? Dr. Wolfgang Günther BDDs - 23 Konstruktion von BDDs Bemerkung: alle Booleschen Operatoren lassen sich durch den tenären Operator ITE(F, G, H) = F G + F' H zurückführen. Beispiel: AND(F, G) = ITE(F, G, 0), NOT(F) = ITE(F, 0, ). ITE(F, G, H) = F G + F' H = (F G + F'H) + ' (F G + F'H) ' = (F G + (F )' H ) + ' (F ' G ' + (F ' )'H ' ) = ITE(F, G, H ) + ' ITE(F ', G ', H ' ) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 24 Basisalgorithmus für ITE () ITE(F, G, H) = ' ITE(F ', G ', H ' ) + ITE(F, G, H ) Berechne rekursiv ROBDDs für ITE(F ',G ',H ) und ITE(F,G,H ). Falls ITE(F,G,H ) = ITE(F ',G ',H ), so ist ITE(F,G,H) = ITE(F,G,H ) = ITE(F ',G ',H ). Ansonsten: Generiere einen neuen Knoten v mit inde(v)=, dessen low-kante auf ITE(F ',G ',H ) zeigt und dessen high-kante auf ITE(F,G,H ) zeigt, (falls ein solcher Knoten nicht schon eistiert).

7 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 25 Basisalgorithmus für ITE (2) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 26 Beschleunigung durch Cache node* ITE(node* F, node* G, node* H) { /* Terminalfälle */ } if (F == G == H) return G; if (F == 0) return H; /* Rekursive Aufrufe */ = top_variable_of(f, G, H); low = ITE(F ', G ', H ' ); high = ITE(F, G, H ); if (low == high) return low; R = unique_table_find_or_add(, low, high); return R; Die 3 Operatoren müssen die gleiche Variablenordnung haben Eponentielle Laufzeit in der Anzahl der Variablen (zwei rekursive Aufrufe!) node* ITE(node* F, node* G, node* H) { /* Terminalfälle */ if (computed_table_has_entr(f, G, H)) return result; R = /* Berechne Ergebnis */; computed_table_insert(f, G, H, R); return R; } In der computed table werden alle Resultate der bisherigen ITE- Operationen gespeichert Anzahl der Aufrufe von ITE beschränkt durch die Anzahl der möglichen Tripel (F, G, H) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 27 Laufzeit des ITE-Operators Sei F die Zahl der Knoten im BDD für F. Lemma: Die Laufzeit von ITE(F, G, H) ist in O( F G H ). Korollar: Die Laufzeit des logischen AND(F, G) ist in O( F G ). Dr. Wolfgang Günther BDDs - 28 Unique Table Knoten eines BDDs werden in einer Hashtabelle gespeichert Schlüssel: Inde und ausgehende Kanten (Zeiger) Vor dem Anlegen eines neuen Knoten wird nachgesehen, ob es schon einen mit gleicher Funktion gibt. Dadurch wird Kanonizität gewährleistet Üblicherweise werden für jeden Inde (für jedes Level) separate Hashtabellen verwendet

8 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 29 Computed Table Cache für Operationen, um zu verhindern, dass die gleiche Operation mehrfach berechnet werden muss Es ist nicht sinnvoll, alle Ergebnisse zu speichern (Speicherbedarf) Üblicherweise ist die Größe der Computed Table (ziemlich) fest gewählt Hashing mit Verlust: Soll ein Eintrag neu eingefügt werden und ist die entsprechende Hash-Adresse schon belegt, so wird der alte Eintrag überschrieben. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 30 Implementierung Struktur für Knoten: struct node { variable var; // Variable int ref; // Referenzzähler struct node *low, *high; // Kanten struct node *net; // für Unique Table }; ref: Zahl der eingehenden Kanten Dr. Wolfgang Günther BDDs - 3 Komplementkanten Jeder Kante bekommt ein zusätzliches Bit Das unterste Bit der Zeiger kann verwendet werden, da bei üblichen Rechnerarchitekturen nur gerade Speicheradressen verwendet werden Ist das Bit gesetzt, so ist die dargestellte Funktion zu invertieren Es genügt ein Terminalknoten Dr. Wolfgang Günther BDDs - 32 Kanonizität bei Komplementkanten Die Darstellung mit Komplementkanten ist (zunächst) nicht kanonisch. Die Kanonizität kann wiederhergestellt werden durch die Einschränkung, dass low-kanten nicht komplementiert sein dürfen i i i i i f i 0 i f i i f i 0 i f i

9 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 33 Kofaktor-Berechnung Berechnung von f 0 f,, 0, i i i Verwendung einer Computed Table Kofaktor nach i eines Knotens v ist die low-kante, wenn der Knoten mit i markiert ist, der Knoten (inde (v), (f low ) i=0, (f high ) i=0 ), sonst, Dr. Wolfgang Günther BDDs - 34 node* cofactor(node* f, variable v) { /* Terminalfälle */ if (f konstant) return f; := inde(f ); if (level( ) > level(v)) return f; // f hängt nicht von v ab /* Überprüfen der Computed Table */ if (computed table has entr (f, v, result)) return result; if ( == v) result = f low ; else { res0 = cofactor(f low, v); res = cofactor(f high, v); result = unique_find_or_add(, res0, res); } insert (f, v, result) into computed_table; return result; } Dr. Wolfgang Günther BDDs - 35 Überblick über Operationen Dr. Wolfgang Günther BDDs - 36 Smbolische Simulation () Operation Kompleität Auswertung O(n) Erfüllbarkeit O() Äquivalenz O() Negation* O() AND/OR/XOR O( F G ) Kofaktor O( F ) Quantifizierung O( F 2 ) * mit Komplementkanten, sonst O( F ) Gegeben: Kombinatorische Schaltung Gesucht: BDD für die Boolesche Funktion, die die Schaltung realisiert Anwendungen: Äquivalenzvergleich Wenn ich für zwei Schaltungen den BDD konstruiert habe, kann ich in konstanter Zeit sagen, ob sie die gleiche Funktion berechnen... und viele andere

10 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 37 Smbolische Simulation (2) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 38 Smbolische Simulation (3) Beginne bei den Eingängen, erzeuge für jeden Eingang den BDD für die entsprechende Eingangsvariable. Durchlaufe die Schaltung in topologischer Reihenfolge und berechne mit Operationen die BDDs für die an den einzelnen Gattern berechneten Funktionen. Resultat: BDD der realisierten Booleschen Funktion Smbolische Simulation (im Gegensatz zur Simulation einzelner Eingangsbelegungen) 4. Generiere BDDs für die Variablen,..., 4 : bdd,..., bdd 4 4 f Dr. Wolfgang Günther BDDs - 39 Smbolische Simulation (4) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 40 Die Größe des BDDs 4 f. bdd 2 := AND(bdd, bdd 2 ) 2. bdd 23 := AND(bdd 2, bdd 3 ) 3. bdd 2' := NOT(bdd 2 ) 4. bdd 2'4 := AND(bdd 2', bdd 4 ) 5. bdd 23+2'4 := OR(bdd 23, bdd 2'4 ) 6. bdd 3' := NOT(bdd 3 ) 7. bdd 3'4 := AND(bdd 3', bdd 4 ) 8. bdd f := AND(bdd 23+2'4, bdd 3'4 ) Die Größe des BDDs einer Funktion hängt von der Funktion ab Es gibt Funktionen, für die der BDD lineare Größe hat Beispiel: Die XOR-Funktion Es gibt Funktionen, für die der BDD eponentiell groß ist Beispiel: Die Multipliziererfunktion Fast alle BDDs haben eponentielle Größe Folgt aus Satz von Shannon (Fast alle Booleschen Funktionen haben eine Kompleität (= Anzahl von 2- Input-Gattern in optimaler Realisierung) > 2 n /n) und der Tatsache, dass man BDDs als Multipleerschaltkreise interpretieren kann

11 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 4 Die XOR-Funktion f(,, ) = Dr. Wolfgang Günther BDDs - 42 Hidden Weighted Bit-Funktion Betrachte mit hwb n, s i n i, n 0 0 s s Wie groß ist der BDD dafür unter der besten Variablenordnung? s Dr. Wolfgang Günther BDDs - 43 Definition: Transfermenge Sei eine Belegung der Variablen aus X n := {... n } und I X n. lässt sich aufteilen in eine Belegung Variablen in I und in eine Belegung anderen Variablen. I der Xn\I der Eine Menge F(I) von Belegungen der Variablen aus I heißt Transfermenge (fooling set) für eine Boolesche Funktion f, wenn es für I, I ' F(I) mit I I ' eine Belegung J der Variablen aus Xn\I gibt, so dass f( I J ) f( I ' J ). Dr. Wolfgang Günther BDDs - 44 Definition: Balancierte Partition Sei (0, ). Sei (L, R) eine Partitionierung von X n, d.h. L R = X n und L R =. Die Partition ist balanciert, wenn X n L X n. Man kann sich auch auf eine Menge Y X n von Schlüsselvariablen beschränken. Dazu muss man in obiger Definition X n durch Y ersetzen.

12 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 45 Untere Schranke für die Größe Dr. Wolfgang Günther BDDs - 46 Untere Schranke für HWB n Satz (Brant, 99): Sei f : B n B und (0, ). Gibt es für jede balancierte Partition (L, R) bezüglich eine Transfermenge F(L) der Größe c, so hat jede BDD-Repräsentation von f mindestens c-2 Knoten. Sind die Variablen L im oberen Teil des BDDs, muss jede Belegung von F(L) zu einem neuen BDD-Knoten zeigen. Für jede Variablenordnung gibt es eine balancierte Partition (L, R) bezüglich Beweis: Drechsler, Becker, Graph. Funktionsdarstellung. Satz (Brant, 99): Ein BDD für HWB n benötigt (2 n/0 ) Knoten. Beweis: Sei n ein Vielfaches von 0 (o. B. d. A.). Sei (L, R) eine balancierte Partition bzgl. = 0,6. Zu zeigen: Transfermenge F(L) der Größe (2 (0, n) ). Seien X H und X L Teilmengen von X n mit X H 0.9n, X L 0.5n, Da L = 0,6 n und X H + X L = 0,8 n, muss entweder X H L 0,2 n oder X L L 0,2 n sein. Es gibt ein W mit W 0,2 n und W L oder W, 0.5n X H, 0.n X L L. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 47 Fall : W Untere Schranke für HWB n (2) X H L. F(L) wird so definiert, dass F(L) setzt die Hälfte der Variablen in W und alle Variablen aus L W auf. In L sind dann genau 0,5 n Variablen mit Wert. F(L) ist Transfermenge: Seien F(L), Aus Def. von F(L) folgt: Wegen W X H ist 0,5n i i 2 W : ( i ) 0,9n. 2 ( i ). Sei R eine Belegung der Variablen aus R, die (i 0.5n) Variablen auf setzt. Da 0.5n Variablen aus L mit belegt sind, gilt HWB n ( R ) = ( i ) 2 ( i ) = HWB n ( 2 R ). n Die Größe von F(L) ist 0.2n n 2. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 48 Fall 2: W Untere Schranke für HWB n (3) X L L. F(L) wird so definiert, dass F(L) setzt die Hälfte der Variablen in W und alle Variablen aus L W auf 0. In L sind dann genau 0, n Variablen mit Wert. F(L) ist Transfermenge: Seien F(L), Aus Def. von F(L) folgt: Wegen W X L ist 0,n < i i W : 0,5n. 2 ( i ) 2 ( i ). Sei R eine Belegung der Variablen aus R, die (i 0.n) Variablen auf setzt. Da 0.n Variablen aus L mit belegt sind, gilt HWB n ( R ) = ( i ) 2 ( i ) = HWB n ( 2 R ). n Die Größe von F(L) ist 0.2n n 2.

13 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 49 Eponentielle Größe Mit der gleichen Beweistechnik lässt sich beweisen, dass die Multipliziererfunktion f,, n,,, n eponentiell groß ist. bin Genauer: Um das (n-)-te Ergebnisbit darzustellen, n werden 8 2 Knoten benötigt. Im Gegensatz zur HWB hat diese eine hohe praktische Relevanz! i n i 2 i i n i 2 i Dr. Wolfgang Günther BDDs - 50 Einfluss der Variablenordnung Die Größe eine BDDs kann stark von der verwendeten Variablenordnung abhängen Beispiel: f, n n 2 n n eponentielle Größe , n lineare Größe 3 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 5 Verbessern der Variablenordnung Satz (Bollig, Savick, Wegener, 994): Das Problem, zu einem gegebenen BDD mit Variablenordnung π eine Variablenordnung π ' zu finden, bei der die BDD-Größe minimal ist, ist NP-vollständig. Man unterscheidet eakte Verfahren initiale Verfahren (Ordnung wird aus Darstellung des Schaltkreises bestimmt) dnamische Verfahren (Ordnung wird während der Berechnung verbessert) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 52 Vertauschen benachbarter Variablen Basisoperation für viele Verfahren, die mit einem BDD starten. k j l i m j echange( i, j ) n Variablentausch ist eine lokale Operation und betrifft nur die Knoten, die mit den beiden Variablen beschriftet sind. i j i k m l n

14 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 53 Vertauschen benachbarter Variablen (2) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 54 Vertauschen benachbarter Variablen (3) Die Größe kann sich verändern i i j j j j k l k m a l b m mit k, l, m, a, b paarweise verschieden. echange( i, j ) j i i k l m a b j Es brauchen nur die Knoten der beiden betroffenen Variablen betrachtet werden Aber: Knoten sind in einer Hashtabelle (Unique Table) gespeichert Deshalb: Für jede Variable wird eine separate Unique Table verwendet Bei n Variablen sind es nun n Unique Tables Schlüssel der Hashtabelle braucht die Variable nicht mehr zu enthalten Größen der Hashtabellen müssen dnamisch sein Dr. Wolfgang Günther BDDs - 55 Eaktes Minimieren Dr. Wolfgang Günther BDDs - 56 Eaktes Minimieren (2) Es gibt Anwendungen, bei denen eine geringe Größe des BDDs sehr wichtig ist Logik-Snthese: Der BDD wird direkt auf einen Multipleer- Schaltkreis abgebildet Evaluierung von Heuristiken Trivialer Ansatz: Konstruiere den BDD für alle n! Ordnungen Satz (Friedman, Supowit, 987): Sei f : B n B, I X n, k = I und i I. Dann gibt es c 0, so dass #nodes i (f, für jedes (I) mit (k) = i, wobei (I) = { : ( j ) I I }. Knoten in Level k bleiben unverändert bei Änderungen im oberen / unteren Bereich Folgt aus Lokalität des Tausches benachbarter Variablen j ) = c k

15 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 57 Eaktes Minimieren (3) Dnamische Programmierung Der BDD wird von oben her aufgebaut Sei I X n mit I = k. Angenommen, die optimale Ordnung sei für alle I' I mit I' = k- bekannt. Dann kann die optimale Ordnung für I berechnet werden, indem für alle i I die Variablen aus I \ { i } in die oberen Level gebracht werden Variable i nach Level k gebracht wird Dr. Wolfgang Günther BDDs - 58 compute_optimal_ordering(bdd f ) insert (I =, min_cost = 0, = current order) into table; for (k = ; k n; k++) { // k : current level net_table = ; for each I table { set_permutation( I ); for each i X n { shift i to level k; I' = I { i }; = current order; cost = min_cost I + #nodes i (f, ); if (I' net_table or cost < min_cost I' ) store (I', cost, ) into net_table; } } table = net_table; } set_permutation(best ); Dr. Wolfgang Günther BDDs - 59 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 60 Beispiel: f = + Beispiel: f = + table := { (I =, min_cost = 0, = (,, ) ) }; k := ; net_table := { ( { },, (,, ) ), ( { },, (,, ) ), ( { },, (,, ) ) }; 0 table := { ( { },, (,, ) ), ( { },, (,, ) ), ( { },, (,, ) ) }; k := 2; net_table := { ( {, }, 2, (,, ) ), ( {, }, 2, (,, ) ), ( {, }, 2, (,, ) ) }; 0 0

16 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 6 Beispiel: f = + Dr. Wolfgang Günther BDDs - 62 Eaktes Minimieren (5) table := { ( {, }, 2, (,, ) ), ( {, }, 2, (,, ) ), ( {, }, 2, (,, ) ) }; k := 3; net_table := { ( {,, }, 3, (,, ) ) }; 0 Möglichkeiten der Verbesserung Verwendung unterer Schranken etwa Brant, 99 Verwendung von Smmetrien Wenn f ( ) = f ( ), dann kann o. B. d. A. angenommen werden, dass vor in der optimalen Ordnung steht. Für Funktionen mit bis zu ~25 Variablen anwendbar Dr. Wolfgang Günther BDDs - 63 Heuristische Verfahren Dr. Wolfgang Günther BDDs - 64 Sifting Sifting (Rudell, 993) lower bound sifting (Drechsler, Günther, 999) Group Sifting (Panda, Somenzi, 995) Block-restricted Sifting (Meinel, Slobodová, 997) Window Permutation Anwendung des eakten Verfahrens auf Fenster geringer Größe Die Fenster werden über den BDD verschoben Evolutionärer Algorithmus i := Variable des breitesten Levels i

17 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 65 Sifting i := Variable des breitesten Levels Verschieben des Levels an alle Positionen Dr. Wolfgang Günther BDDs - 66 Sifting i := Variable des breitesten Levels Verschieben des Levels an alle Positionen Verschieben an die beste Position Wiederhole dies für die restlichen Variablen Dr. Wolfgang Günther BDDs - 67 Sifting (2) Laufzeit: O(n 2 ) Vertauschungen von Variablen Bei Funktionen mit >00 Variablen zu viel Verbesserungen: Verschieben zum näheren Ende zuerst Eine Variable wird nicht weiter in eine Richtung bewegt, wenn eine Maimalgröße überschritten ist Beispiel:.2-faches der momentanen Größe Verwendung unterer Schranken Dr. Wolfgang Günther BDDs - 68 Lower Bound Sifting SiftingDown(k : level to sift) lb = compute_lower_bound(k); best = size_of_bdd(); while (k < n and lb best ) { level_echange(k, k+); lb = compute_lower_bound(k); if (size_of_bdd() < best ) best = size_of_bdd(); k = k + ; }

18 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 69 Bit-Ebene: f : B n Varianten von BDDs B m Andere Dekompositionstpen (FDDs, KFDDs) Weniger restriktive Darstellungen (Freie BDDs, Read-k-times BDDs) Transformationen (LTBDDs,...) Operationsknoten (Parit-BDDs, BEDs,...) Wort-Ebene: f : B n Z m MTBDDs, BMDs, *BMDs, K*BMDs,... Die Multiplikation kann mit *BMDs linearer Größe dargestellt werden Dr. Wolfgang Günther BDDs - 70 Functional DDs (FDDs) positive Davio-Dekomposition: f(,..., i,..., n ) = f i=0 i (f i=0 negative Davio-Dekomposition: f(,..., i,..., n ) = f i= i ' (f i=0 f i= ) f i= ) Manipulation von FDDs XOR-Operation bleibt polnomiell AND, OR eponentiell im worst case Minimierung Variablentausch kann analog zu BDDs erfolgen ( Übungsaufgabe) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 7 Kronecker Functional DDs (KFDDs) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 72 Linear Transformierte BDDs alle drei Dekompositionstpen Manipulation von KFDDs wie bei FDDs Minimierung Wahl der Variablenordnung und der Dekompositionstpen Knoten haben statt einer Variablen die Parität einer Menge von Variablen Dies entspricht einer linearen Transformation f '() = f (A()) f = ( + ( ) ) 0

19 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 73 Linear Transformierte BDDs (2) Dr. Wolfgang Günther BDDs - 74 Linear Transformierte BDDs (3) Kanonische Darstellung Für eine feste Variablenordnung und Transformation Ein eponentieller Unterschied ist möglich Es gibt eine Funktion, die mit einem LTBDD linearer Größe dargestellt werden kann, für die aber jeder BDD eponentiell groß ist. Verändern der Transformation ist effizient Ersetzen von durch für in der Variablenordnung benachbarte Variablen ist lokale Operation Techniken zur Minimierung: Linear Sifting (Meinel, Somenzi, Theobald, 997) Erweiterung von Sifting um einen linearen Operator auch hier können untere Schranken verwendet werden Eakte Minimierung Nur für sehr kleine Funktionen praktikabel Window Optimization Algorithmus Genetischer Algorithmus Dr. Wolfgang Günther BDDs - 75 Operatoren auf LTBDDs Dr. Wolfgang Günther BDDs - 76 Word-Level DDs ITE-Operator kann wie für BDDs implementiert werden ITE(f A, g A, h A) = ITE(f, g, h) Es gibt effiziente Algorithmen für Kofaktor-Berechnung Quantifizierung Erfüllbarkeitsprobleme A Bit-level DDs können die Multiplikation nicht mit polnomieller Größe darstellen Außer... Arithmetische Schaltungen können auch durch pseudo-boolesche Funktionen beschrieben werden Boolesche Werte werden mit 0, identifiziert Inverter: f ( ) =.

20 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 77 Dekompositionstpen für WLDDs Dr. Wolfgang Günther BDDs - 78 Multi-Terminal BDDs Shannon: ( i ) f i=0 + i f i= positiv Davio: f i=0 + i ( f i= f i=0 ) f low := f i=0 heißt konstanter Teil f high := f i= f i=0 heißt linearer Teil negativ Davio: f i= + ( i ) ( f i=0 f i= ) Nur Shannon-Dekomposition Ganzzahlige Terminalknoten Kanonische Darstellung Minimierung und Manipulation ähnlich zu BDDs Terminalknoten können in einer weiteren Hashtabelle gespeichert werden Dr. Wolfgang Günther BDDs - 79 Binar Moment Diagrams Dr. Wolfgang Günther BDDs - 80 Reduktionsregeln für BMDs Nur positiv Davio-Dekomposition Kanonische Darstellung Können Multiplizierer in quadratischer Größe darstellen z z (klar) 0 + *0

21 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 8 BMDs: Beispiel Dr. Wolfgang Günther BDDs - 82 Auswertung von BMDs f (,, z) = 8 20 z z z + 5 = (8 20 z z ) + ( z + 5 ) = ((8 20 z ) + (2 + 4 z )) + (( z ) + 5 ) z z z Summe aller aktiven Pfade Eine Kante ist aktiv, falls es eine low-kante ist eine high-kante ist und die Belegung der Variablen wahr ist Ein aktiver Pfad ist ein Pfad von der Wurzel zu einem terminalen Knoten, der nur aus aktiven Kanten besteht. Beispiel: f (0,, ) = = -6. z z z Dr. Wolfgang Günther BDDs - 83 BMDs: Beispiel 2 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 84 BMDs: Beispiel 3 f,, n n i i 2 i n- n f,, n,, n i i, n 2 i n n i n-2 2 n n-

22 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 85 BMDs: Multiplizierer Dr. Wolfgang Günther BDDs - 86 BMDs: Addition f, i n i 2 i i n, n,,, n i 2 i n=3: 3 2 Gegeben: BMDs für f und g. Gesucht: BMD für (f + g). f + g = (f low + i f high ) + (g low + i g high ) = (f low + g low ) + i (f high + g high ) Die Multiplikation lässt sich durch einen BMD mit n² inneren Knoten darstellen node* ADD(node* F, node* G) { check terminal cases = top_variable_of(f, G); low = ADD(F ', G ' ); } high = ADD(F, G ); R = unique_table_find_or_add(, low, high); return R; Dr. Wolfgang Günther BDDs - 87 BMDs: Operationen Addition zweier BMDs F und G hat eine Laufzeit von O( F G ) wenn die Computed Table perfekt funktioniert Multiplikation zweier BMDs F und G kann eponentiellen Aufwand erfordern Operation BDD BMD Auswertung O(n) O( F ) Erfüllbarkeit O() O() Äquivalenz O() O() AND O( F G ) ep. ADD -- O( F G ) MULT -- ep. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 88 Multiplicative Binar Moment Diagrams Bei *BMDs werden zusätzlich multiplikative Faktoren 0 an den Kanten zugelassen. f low m f high Kanonizität? Die eingehende Kante des Knotens repräsentiert die Funktion m * (f low + * f high ).

23 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 89 Kanonizität von *BMDs *BMDs sind eine kanonische Darstellung, wenn () es als Terminalknoten höchstens 0 und gibt, (2) alle multiplikativen Faktoren ungleich 0 sind, (3) der multiplikative Faktor von high-kanten > 0 ist, (4) der größte gemeinsame Teiler der ausgehenden Kanten eines Knotens ist. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 90 *BMDs: Beispiel f = 8 20 z z z + 5 BMD 5 z z z 5 z z z z 5 z z 5 z *BMD Dr. Wolfgang Günther BDDs - 9 Multiplikation mit *BMDs Dr. Wolfgang Günther BDDs - 92 Verifikation mit *BMDs BMD *BMD Die Multiplikation lässt sich durch einen *BMD mit 2n inneren Knoten beschreiben. 4 Vorteile: weiterhin kanonische Darstellung lineare Größe für alle wichtigen arithmetischen Schaltungen Für Boolesche Funktionen verhalten sich *BMDs in der Prais ähnlich wie BDDs Nachteile: Algorithmen zur Snthese können eponentiellen Aufwand haben Multiplizierer kann nur auf Wort-Ebene dargestellt werden (Gruppierung der Ausgänge)

24 Dr. Wolfgang Günther BDDs - 93 Kronecker Multiplicative BMDs Dr. Wolfgang Günther BDDs - 94 Vergleich BDDs vs. BMDs () Alle drei Dekompositionstpen Additive und multiplikative Kantengewichte f low (a,m) f high Die eingehende Kante des Knotens repräsentiert die Funktion a + m * ((-) f low + * f high ) (Shannon) a + m * (f low + * f high ) (pos. Davio) a + m * (f low + ( ) * f high ) (neg. Davio) BDDs: reine Bit-Level- Datenstruktur Schaltung muss auf Bit-Ebene gegeben sein. Nur Boolesche Operationen können auf BDDs berechnet werden *BMDs: Word-Level- Datenstruktur Schaltung kann auf Word-Level gegeben sein, Operationen auf ganzen Zahlen können verwendet werden Additionen und Multiplikationen können direkt auf *BMDs durchgeführt werden. Dr. Wolfgang Günther BDDs - 95 Vergleich BDDs vs. BMDs (2) BDDs Multiplizierer benötigen eponentielle Größe Boolesche Operationen benötigen in polnomiale Zeit Vorwärtsaufbau Standard *BMDs Manchmal kann man eponentielle Blowups vermeiden. (Boolesche) Operationen benötigen eponentielle Zeit Rückwärtsaufbau haben sich (noch???) nicht durchgesetzt