Schöne Sätze der Mathematik

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1 Schöne Sätze der Mathematik

2 Jörg Neunhäuserer Schöne Sätze der Mathematik Ein Überblick mit kurzen Beweisen

3 Jörg Neunhäuserer Goslar, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton Redaktion: Dr. Michael Zillgitt Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Vorwort In diesem Buch geben wir mit kurzen Beweisen einen Überblick über schöne Sätze der reinen Mathematik. Das Buch enthält Sätze aus den unterschiedlichsten Gebieten der Mathematik; speziell beschreiben und beweisen wir Sätze aus der Mengenlehre, der diskreten Mathematik, ferner aus Geometrie, Analysis, Topologie, Algebra und Zahlentheorie sowie aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Theorie dynamischer Systeme. Der Leser findet insgesamt 164 Sätze aus über 2500 Jahren Mathematikgeschichte, von denen 60 in der Liste The Hundred Greatest Theorems of Mathematics von Abad (1999) enthalten sind. Bis zu einem gewissen Grad bestimmen persönliche Vorlieben die Auswahl der Sätze in diesem Buch. Es gibt keine vollkommen objektiven Kriterien, die einen wahren mathematischen Satz zu einem schönen Satz machen. Uns scheinen Einfachheit und Originalität gute Leitlinien zu sein. Wie über die Schönheit eines Satzes lässt sich aber auch über seine Einfachheit oder Originalität trefflich streiten. Wir hoffen trotzdem, dass der Leser in den meisten Fällen mit unserer Meinung, dass die ausgewählten Sätze tatsächlich schön sind, übereinstimmt. Wir haben ausschließlich Sätze in das Buch aufgenommen, für die wir in der Lage sind, einen kurzen Beweis aufzuschreiben. Kurz bedeutet dabei, dass die Länge des Beweises eine Buchseite nicht erheblich überschreitet. Selbstredend gibt es zahlreiche Sätze der Mathematik, die fraglos schön sind, für die wir aber keinen kurzen (und vielleicht noch nicht einmal einen schönen) Beweis haben. Man denke nur an klassische Resultate wie den Beweis der Transzendenz von e und von Hermite (1873) und Lindemann (1882), den Primzahlsatz von Hadamard (1896) und Poisson (1896) oder an aktuelle Ergebnisse wie die Beweise von Fermats letztem Satz durch Wiles (1995) und der Poincaré-Vermutung, siehe hierzu Kleiner und Lott (2006). Solche Resultate haben wir hier nicht im Fokus. Unser Ziel ist es, mathematische Sätze und Beweise, die auf akademischem Niveau allgemeinbildend sind, zusammen zu tragen und keine sehr speziellen Themen zu erörtern. Das Buch enthält viele grundlegende Definitionen, setzt aber trotzdem eine gewisse Vertrautheit mit mathematischen Konzepten voraus, wie sie ein Student der Mathematik, Physik oder Informatik im zweiten Semester haben sollte. Der Anhang bietet dem Leser die Möglichkeit, grundlegende Begriffe nachzuschlagen. Die Be- V

5 VI Vorwort weise in diesem Buch sind nicht formalistisch niedergeschrieben, sondern es geht uns darum, die Grundstruktur, die zentralen Ideen und die wesentlichen Argumente des jeweiligen Beweises aufzuzeigen. An manchen Stellen verzichten wir daher auf die Ausarbeitung aller Details und überlassen manch eine einfache Berechnung dem Leser. Als Student können Sie das Buch verwenden, um einen Überblick über schöne Sätze und deren Beweise zu erhalten. Dies erhöht zum einen Ihre mathematische Allgemeinbildung und kann zum anderen die Entscheidung erleichtern, in welche Richtung das Studium der Mathematik fortgesetzt werden soll. Als Dozent für Mathematik können Sie das Buch zur Ausgestaltung eines Seminars in einem Bachelor-Studiengang heranziehen. Weiterhin könnte das Buch als eine Art Test für jeden Mathematiker dienen, inwieweit er oder sie tatsächlich eine gute Kenntnis wohlbekannter Beweise schöner mathematischer Sätze hat. Wenn dies nicht der Fall ist, hoffen wir, dass unsere Beweise leicht zu verstehen und gut zu behalten sind. In vielen Abschnitten findet der Leser Hinweise auf Resultate, die wir nicht in dieses Buch aufnehmen konnten, und Literaturhinweise als Anregung für weitere Studien. Im letzten Kapitel des Buches findet sich eine Aufstellung bedeutender mathematischer Vermutungen. Unsere Auswahl der Vermutungen unterscheidet sich erheblich von den Millennium-Problemen des Claymath Institute, siehe Carlson et al. (2006). Zumeist sind die Vermutungen, die wir darstellen, elementarer und einfacher zu formulieren, was aber nicht bedeutet, dass sie leichter zu beweisen sind. Vielleicht kann dieses Buch auch als eine Motivation für forschende Mathematiker dienen, einen kurzen Beweis für einen schönen neuen Satz der Mathematik zu finden. Mein besonderer Dank für die Unterstützung beim Erstellen dieses Buches gilt Andreas Rüdinger vom Verlag Springer Spektrum und meiner Frau Katja Hedrich. Goslar, 2014 Jörg Neunhäuserer

6 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre Einführung Abzählbare Mengen Die reellen Zahlen Kardinalzahlen Das Auswahlaxiom und seine Konsequenzen Ordinalzahlen Diskrete Mathematik Einführung Fakultäten und Binomialkoeffizienten Das Schubfachprinzip Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip Bäume und Catalan-Zahlen Euler-Wege Die Ramsey-Theorie Das Lemma von Sperner und der Fixpunktsatz von Brouwer Geometrie Einführung Dreiecke Vierecke Der Goldene Schnitt Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Geraden in der Ebene Polyeder Nichteuklidische Geometrie VII

7 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Analysis Einführung Geometrische und harmonische Reihen Ungleichungen Zwischenwertsatz, Mittelwertsätze und der Hauptsatz Taylor-Reihen Die Archimedes-Konstante Die Eulersche Zahl e Die Gamma-Funktion Bernoulli-Zahlen Topologie Einführung Kompaktheit und Vollständigkeit Homöomorphe Räume Die Peano-Kurve Der Hilbert-Würfel Die Cantor-Menge Bairesche Kategorien Der Fixpunktsatz von Banach und Fraktale Algebra Einführung Determinanten und Eigenwerte Gruppentheorie Ringe Einheiten, Körper und die Euler-Funktion Der Fundamentalsatz der Algebra Lösungen von algebraischen Gleichungen Zahlentheorie Einführung Fibonacci-Zahlen Primzahlen Diophantische Gleichungen Die Partition von Zahlen Irrationale Zahlen Der Satz von Dirichlet Pisot-Zahlen Liouville-Zahlen Wahrscheinlichkeitstheorie Einführung Das Geburtstagsproblem Der Satz von Bayes

8 Inhaltsverzeichnis IX 8.4 Die Buffonsche Nadel Erwartungswert, Varianz und das Gesetz der großen Zahlen Die Binomial- und die Poisson-Verteilung Normalverteilung Dynamische Systeme Einführung Periodische Orbits Chaos Konjugierte Systeme Hufeisen, Solenoid und Julia-Mengen Die Ergodentheorie Vermutungen Einführung Das Collatz-Problem Ramsey-Zahlen Die Goldbachsche Vermutung Primzahlzwillinge Die Riemannsche Vermutung Vollkommene, einsame und befreundete Zahlen Irrationale und transzendente Zahlen Normale Zahlen Anhang Mengen Relationen Funktionen und Folgen Zahlen Grundbegriffe der linearen Algebra Grundbegriffe der Analysis und der Topologie Maß und Integration Literatur Personenindex Sachindex