WEINACHT. Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme

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1 WEINACHT. Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme

2 J. H. WEINACHT Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme Mit 45 Beispielen und 45 Abbildungen FRIEDR. VIEWEG & SOHN BRAUNSCHWEIG

3 Alle Rechte vorbehalten von Frieclr. Vieweg & Sohn, Verlag, Braunschweig ISBN ISBN (ebook) DOI /

4 Vorwort In diesem Buche sind Ergebnisse aus meiner langjährigen Tätigkeit als Lehrer für Mathematik niedergelegt. Es war mir stets ein besonderes Anliegen grundsätzlich im Unterricht alle Leitmotive und Fragestellungen zu entwickeln und klar herauszustellen, die zur Auffindung der Lösungen mathematischer Probleme führen. Daß eine solche Unterrichtsweise in hervorragendem Maße der Erziehung zu selbständigem, schöpferischem Denken förderlich ist, liegt auf der Hand. Der mathematische Unterricht erhebt sich dadurch über das rein Fachliche hinaus zu einer Schulung in der Methodik des Denkens. Im Interesse der Lebendigkeit und konkreten Faßlichkeit der Darbietung des Stoffes werden jeweils zunächst Musterlösungen für eine Reihe von Beispielen vorangestellt, aus denen dann erst die oft nur recht allgemein formulierbaren Erkenntnisse in Gestalt von Lösungsprinzipien hergeleitet werden. Die Erläuterung derselben ist so von vornherein gegeben. Ein Anspruch auf Vollständigkeit der Prinzipien wird nicht erhoben. Die Beispiele sind dem Lehrstoff der höheren Schulen entnommen oder befassen sich mit Fragen, die sich dem Mathematiklehrer im Zusammenhang mit seinem Unterricht aufzudrängen pflegen. Ein breiter Raum ist der Geometrie zugedacht worden, weil gerade hier die Phantasie gezwungen ist, die mannigfaltigsten Wege zur Auffindung von Lösungen einzuschlagen. Das Buch ist daher in erster Linie für Mathematiklehrer, für Studienreferendare, für Mathematiker in Seminarausbildung, für Mathematikstudierende der ersten Semester gedacht, denen es Vielfältige Anregungen und Aufschlüsse für Unterricht und Studium geben möchte. Inhalt und Darlegungsart sind so gehalten, daß die Lektüre auch für begabte Schüler der oberen Klassen einer höheren Schule ein sicherer Gewinn ist; ebenso aber auch für jene philosophisch interessierten Nichtmathematiker, die sich ein sachlich richtiges Bild vom Wesen der Mathematik und der mathematischen Arbeitsweise erarbeiten wollen. Möge das Buch dazu anregen, die dargelegten heuristischen Prinzipien noch zu ergänzen und zu vertiefen; ferner sie auch an anderen mathematischen Disziplinen zu studieren! Neustadt/Weinstraße im November Josef Hermann Weinadtt v

5 Inhaltsverzeichnis Seite Einführung 1 I. Verstehen der Aufgabe "Mache Dir eine sorgfältige, übersichtliche Figur!"... 3 "Stelle klar und zergliedert alles Wesentliche heraus!"... 5 "Prüfe sorgfältig jedes wesentliche Wort auf seinen begrifflichen Inhalt!" 5 "Prüfe, ob die Aufgabe einen Sinn hat und eindeutig formuliert ist!" Entwerfen des Lösungsplans... 7 Allgemeines... 7 Das funktionale Denken... 7 Die Rolle der Phantasie, die Bedeutung der Analogie... 7 Die Auswertung einer Analogie... 8 Der Sinn einer Lösung... 9 Allgemeine Richtlinien für einen Lösungsplan VI 1: Erstellung und statische Erkundung einer Figur Beispiel. Flächenverhältnis zweier Dreiecke - 2 Lösungen Beispiel. Satz des Menelaos - 2 Lösungen Beispiel. Satz des Ceva - 2 Lösungen Beispiel. Peripheriewinkel im Kreis Beispiel. Satz des Pappus Beispiel. Gleiche Abschnitte auf einer Kreissehne erzeugt durch die Schenkel eines Peripheriewinkels - 4 Lösungen Beispiel. Schwerpunktskonfiguration eines Tripels gleichseitiger Dreiecke über den Seiten eines beliebigen Dreie,cks - 2 Lösungen und Erweiterung Beispiel. Satz des Ptolemäus und Erweiterung des Satzes von Simson - 2 Lösungen Beispiel. Einbeschreibung eines gegebenen Dreiecks in ein anderes gegebenes Beispiel. Trigonometrische Vermessungsaufgabe. Die elegante Lösung - 3 Lösungen Beispiel. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch Auswertung einer formalen Analogie Beispiel. Eine Konfiguration nach Beispiel 7 soll drei vorgegebene Punkte als freie Ecken haben. Die scharfsinnige Lösung... 35

6 Seite Zusammenfassung von Beweggründe zum Ziehen von Hilfslinien : Die dynamische Erkundung einer Figur Allgemeines dazu Beispiel. Reflexion eines Lichtstrahls aus gegebenem Punkt in einen andern an einer gegebenen Geraden - 3 Lösungen. Sinn einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden Beispiel. Dreieck kleinsten Umfangs einem gegebenen Dreieck einbeschrieben (Fejer) Beispiel. Neue, Lösung von Beispiel 6. Zwei Beweise hierzu Beispiel. Problem des Apollonius. Erste Lösung Beispiel. a) Problem des Apollonius. Zweite Lösung Beispiel. b) Spitzbogenfensteraufgabe. Drei Lösungen Beispiel. Die Drehstreckung Transversalenteilungsaufgabe eines Dreiecks - 2 Lösungen Transversale vorgegebenen Teilverhältnisses durch vier gegebene Gerade Neue Lösung zu Beispiel Zweite Art von Drehstreckung Beispiel. Die Seiten eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben ist, sollen zu drei gegebenen GeradEm parallel sein Beispiel. Kreissehne mit gegebenem Teilverhältnis durch gegebenen Punkt - 6 Lösungen Beispiel. Verwandlung eines Vierecks Beispiel. Ein Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenen Richtungen der beiden anderen Seiten einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben - 2 Lösungen Beispiel. Dritte Lösung zu Beispiel 7 und Erweiterung desselben durch stetige überführung Beispiel. Das Kriterium für Gemeinsamkeit des Schwerpunkts zweier Dreiecke - 2 Lösungen Beispiel. Schiffskursaufgabe nach Polya... ; Zusammenfassung zu Einzelfall, Spezialfall, Grenzfall, Erweiterungsfall Spezialfälle vom Rang einer vollkommenen Analogie Sonstige Abänderungsmöglichkeiten einer Figur Die speziellen Bedingungen eines Problems als Ausgangspunkt jeder Problemlösung Beispiel. Gemeinsame Tangenten an gegebene Parabel und gegebenen Kreis um deren Brennpunkt. Erweiterung der Aufgabe : "Ändere das Problem ab!" Beispiel. Lösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten VII

7 Seite 28. Beispiel. Diophantische Gleichung Beispiel. Lösung der Gleichung vierten Grades Beispiel. Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Höhen - 2 Lösungen Beispiel. Konstruktion eines Sehnenvierecks aus seinen vier Seiten Beispiel. Ein Kreis soll auf zwei Seiten eines Dreiecks Sehnen gleicher gegebener Größe auf der dritten eine andere Sehne gegebener Länge ausschneiden Beispiel. I. Drei von einem Punkt ausgehende Strahlen sollen einen gesuchten Kreis in einem Durchmesser und zwei Sehnen gegebener Länge schneiden II. Eine Strecke auf einer gegebenen Geraden soll von zwei gegebenen Punkten aus unter gegebenem Winkel erscheinen Beispiel. Einem gegebenen Kreise ein Sehnenviereck aus zwei gegebenen Gegenseiten und der Summe der beiden andern einzubeschreiben Beispiel. Eine Transversale in einem Dreieck ist so lang wie jeder der beiden "untern" Abschnitte auf den begrenzenden Seiten Beispiel. Aufgabe über elliptisches Kreisbüschel - 2 Lösungen Beispiel. Satz von Desargues Beispiel. Tangente und Fläche einer Ellipse durch Projektion eines Kreises Zentralprojektion, allgemeine Abbildung und Inversion Beispiel. Steinerscher Schließungssatz Beispiel. Grenzbetrachtung zu 30. Beispiel Die geometrische Deutung arithmetischer Verhältnisse Beispiel. Die Gleichung: a cos q; + b sin q; - c = 0-2 Lösungen Beispiel. Lage der komplexen Nullstellen der Ableitung einer ganzen algebraischen Funktion Zusammenstellung zu : "Löse geometrische Probleme auf algebraischem Wege" Allgemeines Die Aufstellung von Gleichungen Die Lösung mit Zirkel und Lineal Beispiel. Vierte Lösung zu Beispiel Beispiel. Verallgemeinerung des 11. Beispiels Beispiel. Dreieck aus seinen drei Winkelhalbierenden Durchführung des Lösungsplans, Rückblick, Ausblick VIII