Anfänger-Praktikum III. Praktikumsbericht: Heißluftmotor Kritischer Punkt

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1 Anfänger-Praktikum III Praktikumsbericht: Heißluftmotor Kritischer Punkt Michael Seidling Timo Raab Wintersemester 7. Januar 2013

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 4 2 Grundlagen Hauptsätze der Thermodynamik Hauptsatz der Thermodynamik Hauptsatz der Thermodynamik Hauptsatz der Thermodynamik Ideale Gase Reale Gase Van der Waals-Gleichung Kritischer Punkt Maxwell-Gerade Joule-Thomson-Effekt Inversionstemperatur Linde-Verfahren Kreisprozesse Carnot-Prozess Stirling-Prozess Leistung Wirkungsgrad Wärmeäquivalent Versuch Aufbau & Durchführung Heißluftmotor Kritischer Punkt Auswertung Heißluftmotor Stoffmenge pv-diagramme Energiebetrachtung bei der Kältemaschine Energiebetrachtung bei der belasteten Wärmemaschine Abhängigkeit von Drehzahl und Leistung Fehlerbetrachtung Auswertung Kritischer Punkt Bestimmung der van der Waals-Konstanten Fehlerbetrachtung Anwendung Fragen & Aufgaben 24 5 Anhang 28 Abbildungsverzeichnis

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis Literaturverzeichnis

4 2 GRUNDLAGEN 1 Einführung Die Versuche Heißluftmotor und Kritischer Punkt beschäftigen sich mit der Thermodynamik. Es wird das Verhalten von Gasen bei Veränderung von Druck, Temperatur und Volumen untersucht und welche Nutzen man daraus ziehen kann. 2 Grundlagen 2.1 Hauptsätze der Thermodynamik In der Thermodynamik wird Arbeit und Wärme mit dem Zustand eines Systems in Verbindung gebracht. Dies geschieht mithilfe der Zustandsgrößen wie beispielsweise Druck und Temperatur, aber auch Entropie und innerer Energie. Entropie Die Entropie ist ein Maß für die Ordnung des Systems. Je wahrscheinlicher ein Zustand des Systems, desto größer die Entropie. Definiert ist die Änderung der Entropie S als der Austausch der Wärmemenge Q R bei einem reversiblen Kreisprozesses mit der Wärmeübertragungstemperatur T. S = Q R T (1) Die Änderung der Entropie ist also nicht vom Weg im p/v -Diagramm abhängig sondern nur vom Start und Endpunkt. Innere Energie Unter innerer Energie versteht man die gesamte Energie in dem System, soweit sie vom Zustand abhängt. Im wesentlichen handelt es sich also um thermische, chemische und Kernenergie sowie den Binnendruck Hauptsatz der Thermodynamik Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass eine Änderung der inneren Energie U durch die Änderung der Wärmemenge Q und durch geleistete mechanische Arbeit W hervorgerufen wird: U = Q + W (2) Dadurch sind Perpetuum mobile 1. Art verboten, jedoch kann es noch Perpetuum mobile 2. Art geben, die in einem Kreisprozess bei einem kalten Wärmespeicher Wärme entnehmen, die dabei gewonnene Arbeit in Wärme umwandeln und dann dem wärmeren Energiespeicher zuführen. Dadurch würde der warme Speicher immer wärmer werden und der kalte immer kälter. 4

5 2.2 Ideale Gase 2 GRUNDLAGEN Hauptsatz der Thermodynamik Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass eine vollständige Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit in einem Kreisprozess nicht möglich ist. Somit ist ausgeschlossen, dass es eine Perpetuum mobile 2. Art gibt, das zum Beispiel zum Beschleunigen seine Umgebung abkühlt, aber durch die Reibung die Umgebung wieder erwärmt, dies wäre nach dem 1. Hauptsatz noch möglich. Mathematisch formuliert sagt man, dass die Änderung der Entropie S immer gilt: S 0 (3) Wobei das Gleichheitszeichen nur bei reversiblen Kreisprozessen gilt Hauptsatz der Thermodynamik Dieser Hauptsatz sagt aus, das der Absolutwert der Entropie am absoluten Nullpunkt auch 0 ist. 2.2 Ideale Gase Ein ideales Gas ist ein Gas, in dem es keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen gibt. Die Zustandsgleichung setzt die thermischen Zustandsgrößen, Druck p, Temperatur T, Volumen V und Stoffmenge n, in einen Zusammenhang: pv = nrt (4) Dabei ist R die universelle molare Gaskonstante: R = (8, ± 0, ) Im Folgenden wird diese aber als Fehlerfrei betrachtet. J mol K (5) 5

6 2.3 Reale Gase 2 GRUNDLAGEN 2.3 Reale Gase In einem realen Gas wechselwirken die Teilchen im Gegensatz zu einem idealen Gas. Das bedeutet beispielsweise, dass es unter einer gewissen Temperatur bei einer Volumenerniedrigung zur Verflüssigung kommt. Auf dieses Phänomen wird im Kapitel genauer eingegangen. Deshalb wurde die Zustandsgleichung der idealen Gase zur sogenannten Virialgleichung erweitert. Hier spielt die Wechselwirkung der Teilchen bei der Kompression des Gases eine Rolle. Bei kleinem Druck verhält sich ein reales Gas nahezu ideal, bei hohen Drücken jedoch wird die Kompression erschwert. Deshalb wurde der Kompressionsfaktor Z eingeführt, der sich aus den temperaturabhängigen Virialkoeffizienten ergibt. pv = ZnRT (6) Z = 1 + B(T ) V + C(T ) V Hier ist B(T ) der zweite und C(T ) der dritte Virialkoeffizient. Diese können experimentell für jedes Gas bestimmt werden Van der Waals-Gleichung Aufgrund der Unanschaulichkeit der Virialgleichung, machte van der Waals eine anschaulicherer Näherung. Er betrachtete die Moleküle als feste Kugeln, die einander nicht durchdringen können. Deshalb können die Teilchen sich nur in einem Volumen der Größe V nb frei bewegen. Dabei ist b eine van der Waals-Konstante, die eine Teilcheneigenschaft ist. Die Anziehungskraft bei sehr niedrigem Druck ist mit einer anderen van der Waals-Konstanten a verbunden. Durch diese Kräfte ist der Druck geringer als bei idealen Gasen. Deshalb wird es über den Druck mit einbezogen und ist proportional zu ( n V )2. Daher gilt für die van der Waals-Gleichung: ( ( n ) ) 2 p + a (V nb) = nrt (7) V nb bezeichnet man als Kovolumen und a ( ) n 2 V als Binnendruck. Die damit zusammenhängenden Konstanten werden über Regressionsgeraden bestimmt und sind stoffspezifisch, jedoch temperaturunabhängig Kritischer Punkt Bei realen Gasen kommt es zu einer Verflüssigung, wenn man unter einer bestimmten Temperatur das Volumen verringert. In diesem Bereich, dem 2-Phasengebiet, ist der Druck konstant. Verringert man das Volumen dann weiter, steigt der Druck stark, da Flüssigkeiten nahezu inkomressibel sind. Der Punkt, welcher das 2 Phasengebiet nach oben abschließt wird Kritischer Punkt genannt. Dieser Punkt ist invariant für jedes Gas und ist bei einem charakteristischen Druck p K, charakteristischer Temperatur T K und einem charakteristischen molaren Volumen V K,m. Oberhalb dieser Temperatur ist keine 6

7 2.3 Reale Gase 2 GRUNDLAGEN Verflüssigung mehr festzustellen. Dieses Gemisch nennt man definitionsgemäß Gas, aber es kann eine viel größere Dichte haben als man es von Gasen erwartet. Deshallb nennt man es auch überkritisches Fluid. Der Kritische Punkt stellt einen Wendepunkt der Isotherme dar. So kann man bei der Kenntnis dieses Punktes die van der Waals- Konstanten bestimmen. p = RT V b a (8) ( ) V 2 p RT 0 = = V m (V K,m b) + 2a (9) 2 ( ) 2 p 0 = V 2 m T K T K = V 3 K,m 2RT (V K,m b) 3 6a V 4 K,m 3 Multipliziert man Gleichung (9) mit ( V K,m ) und setzt es mit Gleichung (10) gleich, erhält man: 3RT K (V K,m b) 2 V K,m = (10) 2RT K (V K,m b) 3 (11) V K,m = 3b (12) Mit dem Ergebnis geht man wieder in Gleichung (9) und erhält: 0 = RT K 4b 2 T K = 8a 27Rb + 2a 27b 3 (13) Mit diesen Erkenntnissen kann man in die van der Waals-Gleichung (8) gehen und erhält: p K = R 8a 27Rb a (15) 2b 9b p K = a (16) 27b 2 Damit kann man auch die van der Waals-Konstanten bestimmen: (14) b = RT K 8p K (17) a = 27 R 2 TK 2 64 p K (18) Maxwell-Gerade Die van der Waals-Gleichung ist im 2-Phasengebiet für p(v ) leider falsch. Deshalb wurde von Maxwell eine Korrekturgerade vorgeschlagen, die sogenannte Maxwell- Gerade. Dabei wird eine Gerade durch die Funktion 3. Grades gelegt, sodass der Bereich zwischen Funktion und Gerade nach oben und nach unten Gleich groß ist, wie in Abbildung (1) gezeigt. 7

8 2.4 Joule-Thomson-Effekt 2 GRUNDLAGEN Abbildung 1: Skizze eines PV-Diagramms 2.4 Joule-Thomson-Effekt Dehnt sich ein reales Gas aus, ist dies mit einer Temperaturänderung verbunden. Dieser Effekt wird Joule-Thomson-Effekt genannt. Dies geschieht ohne eine Änderung des Drucks. Der Grund dafür ist, dass bei einer Volumenvergrößerung der mittlere Abstand zwischen den Molekülen vergrößert wird. Da gegen die Kräfte, die zwischen den Molekülen wirken, gearbeitet wird, sinkt die Temperatur. Jedoch ist dies nicht immer der Fall. Ist die Temperatur am Anfang unter einer gewissen Temperatur, der Inversionstemperatur, dann erwärmt sich das Gas bei einer Volumenvergrößerung Inversionstemperatur Die Inversionstemperatur T I ist für jedes Gas verschieden. Man kann sie aus der Gleichung (8) und der inneren Energie U (aus Demtröder Seite 345) herleiten, indem man beachtet, dass die Enthalpie H konstant bleibt, da es sich um einen adiabatischen, d.h. δq = 0, Vorgang handelt. H = U + pv (19) = f 2 RT a ( RT V + V b a ) (20) V 2 dh = H H dv + dt = 0 (21) V T dt = H dv V H T (22) brt 2a ( f + 1) dv (23) RV 2 2 Der Nenner ist immer positiv, somit ist der Zähler ausschlaggebend für das Vorzeichen. Ist also 2a > brt ist die Temperaturänderung negativ, für 2a < brt positiv. Die Inversionstemperatur ist demnach also: T I = 2a br (24) 8

9 2.5 Linde-Verfahren 2 GRUNDLAGEN 2.5 Linde-Verfahren Das Linde-Verfahren ist ein Verfahren, das dazu dient, Gase zu verflüssigen. Dazu wird der Aufbau nach Abbildung 2 verwendet. Abbildung 2: Schematischer Aufbau zur Realisierung des Linde-Verfahrens (Quelle: Demtröder) Der Kolben presst die Luft, die durch das Ventil 2 gekommen ist in den Trockner und wird im Kühler weiter gekühlt. Danach wird die Luft durch ein Drosselventil gepresst, wo sich die Luft aufgrund des Joule-Thomson-Effekts weiter abkühlt. Die Luft, die nun unterhalb der Sidetemperatur ist, verflüssigt sich und wird in dem Behälter gesammelt. Der Rest der gekühlten Luft strömt über einen Gegenstromkühler wieder über das Ventil 2 in den Kolben und der Kreislauf beginnt erneut. 9

10 2.6 Kreisprozesse 2 GRUNDLAGEN 2.6 Kreisprozesse Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik wirkt eine Wärmemaschine immer zwischen zwei Wärmespeichern. Dabei wird der kältere immer wärmer und der wärmere immer kälter. Jedoch wird ein Teil der Wärme nach dem 1. Hauptsatz in Mechanische Arbeit umgewandelt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten Wärme, in mechanische Arbeit umzuformen, am sinnvollsten sind jedoch Kreisprozesse Carnot-Prozess Der Carnot-Prozess besteht aus 4 Schritten, die in Abbildung (3) veranschaulicht werden. Abbildung 3: p-v-diagramm und T-S-Diagramm mit isothermen und adiabatischen Stufen Isotherme Expansion(Zustand 1 2) Ein Gasbehälter ist in Kontakt mit dem warmen Wärmespeicher T w. Das Gas im Wärmespeicher expandiert in den Behälter und nimmt dabei die Wärmemenge Q w von dem Wärmespeicher auf. Dadurch sinkt der Druck von p 1 auf p 2. Die Entropie steigt dabei um den Wert: S = Q w T W (25) Adiabatische Expansion(Zustand 2 3) Der Gasbehälter wird von dem Wärmespeicher getrennt und ist dadurch dann thermisch isoliert. Das Gas in dem Behälter kühlt sich also bei der Expansion ab. V 3 wird dabei so gewählt, das die Temperatur auf die des Wärmespeichers T k fällt. 10

11 2.6 Kreisprozesse 2 GRUNDLAGEN Isotherme Kompression(Zustand 3 4) Der Gasbehälter wird mit dem Wärmespeicher T k verbunden. Das Gas gibt bei der Kompression die Wärmemenge Q k ab, dadurch nimmt die Entropie um der Wert (26) ab. S = Q k T k (26) Adiabatische Kompression(Zustand 4 1) Der Behälter wird wieder thermisch isoliert und dann wird das Gas weiter komprimiert, sodass die Temperatur des Wärmespeichers T w erreicht wird, und der Kreislauf beginnt erneut. Bei diesem Prozess wird die Wärme Q w bei hoher Temperatur T w aufgenommen und die Wärme Q k bei der Temperatur T k abgegeben. Die Differenz Q w Q k = A wird als mechanische Arbeit von der Wärmekraftmaschiene abgegeben. Wird der Kreislauf rückwärts durchlaufen, also , wird mit dem Aufwand A die Wärme Q k dem Wärmespeicher T k entnommen und dem Wärmespeicher T w die Wärme Q w = A + Q k zugeführt. Das ist das Prinzip einer Kältemaschine Stirling-Prozess Abbildung 4: p-v-diagramm mit isothermen und isochoren Stufen Der Stirling-Prozess hat ebenso 4 Schritte wie der Carnot- Prozess. Jedoch sind die beiden adiabaten Prozesse isochore Prozesse. Da aber bei beiden isochoren Prozessen keine mechanische Arbeit verrichtet wird, da dass Volumen konstant bleibt, muss die zugeführte und abgeführte Wärmemenge identisch sein. Man sieht auch in Abbildung 11

12 2.7 Leistung 2 GRUNDLAGEN (4), dass das Volumen bei den isochoren Prozessen konstant bleibt und sich der Druck ändert. Technisch umsetzen kann man das wie in Bild (5) gezeigt. Dabei ist der Verdrängerkolben um 90 dem Arbeitskolben voraus. Der Verdrängerkolben schiebt die Luft abwechseln von dem oberen warmen Teil in den unteren kalten teil des Motors. Bei dem Durchgang der Luft durch den Wärmespeicher, der aus Metallspänen besteht, wird die Wärme gespeichert (2 3) bzw. abgegeben (4 1). Abbildung 5: Die technische Realisierung eines Stirling-Motors (Quelle: Demtröder ) 2.7 Leistung Leistung ist ein Maß dafür, wie viel Arbeit W pro Zeiteinheit t verrichtet worden ist. Die mechanische Leistung P m berechnet sich bei einer Drehung über die Drehzahl ν und dem Drehmoment M. Die elektrische Leistung P e aus der Spannung U und der Stromstärke I, bzw. mit dem elektrischen Widerstand R: P = W t (27) P m = 2πMν (28) P e = UI = U 2 R (29) 12

13 2.8 Wärmeäquivalent 2 GRUNDLAGEN Wirkungsgrad Der Wirkungsgrad η ist das Verhältnis von erhaltener Leistung P a und der dazu benötigten Leistung P b : η = P a P b (30) Dieser Wert ist liegt immer zwischen 0 und 1 und ist ein Maß für die Effizienz. Carnot-Maschine Bei der Carnot-Maschine gilt: S = Q w T w = Q k T k (31) Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses ist demnach also: η = Q w Q k Q w = T w T k T w (32) Für die Stirling-Maschine ist der Wirkungsgrad identisch, da die isothermen Prozesse identisch ablaufen. 2.8 Wärmeäquivalent Das Wärmeäquivalent ist ein historisch bedingter Umrechnungsfaktor zwischen den der elektrischen und mechanischen Energieeinheit Joule und Energieeinheit der Wärmemenge Kalorien. 1 J = 0,239 cal (33) 13

14 3 VERSUCH 3 Versuch 3.1 Aufbau & Durchführung Heißluftmotor Für den Versuch Heißluftmotor wird das Computerprogramm CASSY R Lab benötigt. Damit kann man die Signale des Sensors aufnehmen und speichern. Zudem wird der Umgebungsluftdruck p Lab im Labor benötigt. Kältemaschine Nach der Kalibrierung des Sensors, nimmt man den Stirling-Motor in Betrieb, dabei achtet man darauf, das dieser als Kältemaschine fungiert. Sobald die Temperaturen (T 1 und T 2 ) an den Sensoren konstant sind, misst man diese sowie die Drehzahl ν und notiert sich aus dem pv -Diagramm die Extrema von Druck (p min und p max ) und Volumen (V min und V max ). Anschließend wird die Betriebsspannung des Elektromotors U und der Strom I gemessen. Wärmekraftmaschine Der Stirling-Motor wird nun als Wärmekraftmaschine verwendet und die Sensoren werden neu kalibriert. Zudem ersetzt man im vorherigen Aufbau den Motor durch eine Skala zur Drehmomentmessung. Man notiert sich den Füllstand des Brenners, damit man zusammen mit der gemessenen Betriebszeit, den durchschnittlichen Verbrauch des Brenners bestimmen kann. Der Brenner wird so positioniert, dass er den Kolben erhitzt. Mit der Messung kann erst wieder begonnen werden, wenn die Temperaturen (T 1 und T 2 ) wieder konstant sind. Gemessen wird neben der Drehzahl ν auch das Drehmoment M. Ebenso werden wieder aus dem pv -Diagramm die Extrema von Druck (p min und p max ) und Volumen (V min und V max ) notiert. Anschließend wird die Abhängigkeit des Drehmoments M von der Drehzahl ν untersucht. Dazu misst man für mindestens 10 verschiedene Werte von ν das Drehmoment M. Danach wird die von der Drehzahl abhängige elektrische Leistung des Motors gemessen. Hierzu misst man bei verschiedenen Widerständen R die Drehzahl ν und die Spannung U Kritischer Punkt Man nimmt für 10 verschiedene Temperaturen im Bereich 0 C < T i < 55 C die p(v )- Kurven von Schwefelhexafluorid SF 6 auf. dabei wählt man im Bereich der Kritischen Temperatur T K = 45 C kleinere Abstände. Zudem beobachtet man das Verhalten des Gases. 14

15 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH 3.2 Auswertung Heißluftmotor Der Stirling-Prozess des Heißluftmotors wurde im Versuch drei mal gemessen. Einmal als Kältemaschine, einmal unbelastet und einmal belastet. Zur Umrechnung der Messwerte in die realen Größen benötigt man folgende Umrechnungen: Volumen V in cm 3, gemessen U A in mv: Druck p in hpa, gemessen U B in mv: 0V ˆ=32 cm 3 (34) V U A = 1 cm3 50 mv Temperatur T in K gemessen in T C in C: Stoffmenge (35) 0V ˆ=p Labor = 996,7 hpa (36) V = 1 hpa U B 2 mv (37) T ˆ=T C + 273, 15 (38) Nach der Umrechnung kann man die daran beteiligte Stoffmenge aus der Gleichung (4) mit dem Fehler, nach Gleichung (40) bestimmen: n = pv RT δn = V RT δp + p RT (39) pv δv + δt (40) RT 2 Man kann so für jeden der 3 Vorgänge jeweils auf 2 Varianten die Stoffmenge bestimmen: (T max, V min, p max ) (T min, V max, p min ) Da wir mehrere Messungen dieser Größen vorgenommen haben wurde über diese gemittelt und die Standardabweichung als Fehler genommen. q = 1 N q i (41) N i=0 δ q = 1 N ( q q i ) N 1 2 (42) i=0 15

16 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH Dabei ist q i ein beliebiger Messwert, N die Anzahl der Messungen und q der gemittelte Wert. Man erhält die in Tabelle 1 angegebenen Werte. T V max p max n (Tmax,Pmax,V min ) n (Tmin,P min,v max) in K in cm 3 in hpa in mmol in mmol Kältemachine max 291,2 ± 0,2 44,20 ± 0, ± 2 1,472 ± 0,002 1,501 ± 0,001 min 302,8 ± 0,4 32,02 ± 0, ± 2 unbelastet max 338,8 ± 0,3 44,19 ± 0, ± 1 1,136 ± 0,001 1,258 ± 0,002 min 408,5 ± 0,2 32,017 ± 0, ± 1 belastet max 335,4 ± 0,3 44,18 ± 0, ± 1 0,983 ± 0,001 1,260 ± 0,002 min 425,6 ± 0,4 32,016 ± 0, ± 1 Tabelle 1: Stoffmengen bei verschiedenen Betriebsarten der Wärmekraftmaschine Über diese 6 auf verschiedene Weise errechneten Stoffmengen wird arithmetisch gemittelt. Als zusätzlichen Fehler wird hier die Standardabweichung angenommen: δ n = δn ( n n i ) 5 2 (43) Es ergibt sich eine am Kreislauf beteiligte Stoffmenge von 1, 27 ± 0, 4 mmol pv-diagramme Bei der Durchführung wurde mit CASSY R Lab das pv -Diagramm aufgenommen. Bei den verschiedenen Betriebsarten hat man unterschiedliche Umlaufsinne und wie man in den Abbildungen (6) sieht, auch leicht verschiedene Kurven. Das hängt damit zusammen, das der Flächeninhalt eines geschlossenen Umlaufs die verrichtete oder aufgenommene Arbeit ist. i=0 16

17 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH (a) Ka ltemachine (b) Wa rmemaschine unbelastet (c) Wa rmemaschine belastet (d) Idealer Strirling-Prozess im Vergleich zu unseren Messungen Abbildung 6: Aufgenommene pv -Diagramme des Stirling-Motors Zu beachten ist, das der Umlaufsinn in Diagramm (6(a)) gegen den Uhrzeigersinn verla uft, somit der Stirling-Motor also Energie aufnimmt und in den anderen beiden Fa llen Energie abgibt. Man sieht auch, das die Fla che in den geschlossenen Kurven in allen drei Fa llen unterschiedlich ist. Zudem sieht man, dass im Idealfall mehr Arbeit verrichtet wird. Die isochoren Prozesse sind bei unseren Messungen nicht so perfekt wie sie sein sollten Energiebetrachtung bei der Ka ltemaschine Zuna chst berechnen wir die Energiemenge, die der Motor, der den Stirling-Motor antreibt, pro Umlauf aufwendet: 60 Wel = U It = U I (44) ν δwel = I δu + U δi + U I 2 δν (45) ν ν ν Dabei ist U die Spannung die an dem Motor anliegt, I der Strom und ν die gemessene Drehzahl. Es ergibt sich eine Elektrische Leistung von Wel = 0, 74 ± 0, 02J. Idealer Stirling-Prozess Betrachtet man den Stirling-Prozess theoretisch, kann man die Volumenarbeit WV aus der Stoffmenge n, den Temperaturen T und der Volumina Vmin, Vmax berechnen. Vmax WV = nr T ln (46) Vmin 17

18 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH Mit dem Fehler: δw V = R T ln V max δn + nr ln V max (δt min + δt max ) + nr T δv max + nr T δv min V min V min V max V min (47) Es ergibt sich eine Arbeit von W V = 0, 04 ± 0, 01J, die also aufzubringen ist, sodass die Kältemaschine läuft. Des weiteren ist interessant, wie viel Wärmemenge Q t pro Umlauf der kalten Seite entzogen wird. Man erhält: Mit dem Fehler: Q t = nrt min ln V max V min (48) δq t = RT min ln V max V min δn + nr ln V max V min δt min + nrt min V max δv max + nrt min V min δv min (49) Man erhält eine Wärmemenge von Q t = 1, 0 ± 0, 3J. Womit diese Wärmemenge also dem Kalten Wärmespeicher entzogen wird. Experimentelle Bestimmung dieser Größen Mit unseren Aufzeichnungen aus CAS- SY R Lab können wir mittels eines Applets Stirling-Calculator durch nummerische Integration diese Größen bestimmen. Über alle Messungen wird gemittelt und neben der Standardabweichung nehmen wir zusätzlich einen Fehler von 1% an denn die Messung konnte nicht unter Idealbedingungen durchgeführt werden, beispielsweise hatte die Temperatur leichte Schwankungen während den Messungen. Das Programm errechnete eine Arbeit von W = ( 0,146 ± 0,002) J und eine Wärmemenge von Q = ( 1,12 ± 0,02) J. Man erkennt, dass die real aufgebrachte Arbeit um einiges größer ist als die theoretisch benötigte Arbeit. Dies liegt an der Betrachtung der Vernachlässigung von Reibungseffekten in der Theorie. Jedoch ist die transportierte Wärmemenge in der Theorie und Praxis fast identisch. Berechnet man die sich daraus ergebenden Wirkungsgrade, mittels: Erhält man: η = Q W (50) δη = δq W + QδW W 2 (51) η ideal = Q t W V = 25 ± 13 (52) η real = Q = 7, 6 ± 1, 4 W (53) η el = Q = 1, 51 ± 0, 07 W el (54) (55) 18

19 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH Man erkennt, dass die Wirkungsgerade sehr unterschiedlich sind. Es zeigt schön, dass die beiden experimentell bestimmten Wirkungsgrade um einiges kleiner sind als der Theoretische Wert, was auf die Vernachlässigung der Reibung in dem theoretischen Modell zurückzuführen ist. Ebenso zeigt es, dass die Arbeit, die der Motor in das System des Stirling-Motors bringt größer ist als die, die im System letztendlich ankommt Energiebetrachtung bei der belasteten Wärmemaschine Hierzu bestimmt man als Erstes die Leistung P B des Brenners, mit dem man den Stirling-Motor betreibt. Dazu wird der Heizwert H des verwendeten Heizmittels, Spiritus, benötigt, er beträgt H = 27 MJ. Zudem benötigt man die Massendifferenz m und die kg Zeit t, die er gebrannt hat. P B = H m δp B = Hδ m + H mδt (56) t t t 2 Man erhält eine Gesamtleistung des Brenners von P B = 233 ± 2W. Daraus errechnet man die zugeführte Energie pro Umlauf mit der Drehzahl ν: W = P ν Man erhält eine Arbeit von W B = (27,3 ± 0,8) J. (57) δw = δp ν + P δν ν 2 (58) Idealer Stirling-Prozess Zu beachten ist, dass im Vergleich zu der Kältepumpe hier diese Arbeit nicht zugeführt werden muss, sondern geleistet wird. Somit hat man im Vergleich zu Gleichung (46) ein anderes Vorzeichen. Der Fehler berechnet sich aber weiterhin nach Gleichung (47). W V = nr T ln V max V min (59) Es ergibt sich eine geleistete Arbeit pro Umdrehung von W V = (0,30 ± 0,01) J. Bei der Energiemenge betrachten wir nun die Wärmemenge Q t die dem Wärmespeicher Zugeführt wird. Es ergibt sich also: Mit dem Fehler: δ Q t = RT max ln V min V max δn + nr ln V min Q t = nrt max ln V min V max (60) V max δt max + nrt max V min δv min + nrt max V max δv max (61) Es wird, der warmen Seite, eine Wärmemenge von Q t = (1,4 ± 0,5) J zugeführt. 19

20 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH Experimentelle Bestimmung dieser Größen Wiederum können wir aus unseren Daten aus CASSY R Lab mittels dem Stirling-Calculator die Zugeführte Wärme Q und die im Prozess verrichtete Arbeit W bestimmen lassen. W = (0,138 ± 0,004) J Q = (1,26 ± 0,02) J Der Fehler wurde wie bei der Kältemaschine bestimmt. Aus dem gemessenen Drehmoment M, das am Motor anlag, kann man mit Hilfe der Kreisfrequenz ω bzw. der Drehzahl ν die Mechanische Leistung des Motors bestimmen: P M = Mω = 2πMν (62) δp M = 2πνδM + 2πMδν (63) Es ergibt sich eine Leistung P M = (0,27 ± 0,03) W. Daraus bestimmt man nach Gleichung (57) mit dem Fehler (58) die Arbeit W M = (0,032 ± 0,004) J. Daraus kann man verschiedene Wirkungsgerade bestimmen: η ideal = W V = 0, 22 ± 0, 08 (64) Q t η real = W = 0, 11 ± 0, 05 (65) Q η mech. = W M = 0, 025 ± 0, 004 Q (66) η therm. = W = 0, 0051 ± 0, 0003 W B (67) η gesamt = W M W B = 0, 0012 ± 0, 0002 (68) Man sieht hier schön, das der Wirkungsgrad stark davon abhängt, was man betrachtet. Idealerweise hätte der Stirling-Motor einen Wirkungsgrad η ideal von 22% mit den Reibungskräften nur noch von η real = 11%. Betrachtet man nun noch die Weiterverarbeitung in mechanische Arbeit hat man nur noch einen Wirkungsgrad von η mech. = 2, 5 %. Betrachtet man zudem noch wie viel Energie man wirklich benötigt hat um die Wärmemenge Q an den Stirling-Motor zu liefern, beträgt der Wirkungsgrad des Motors nun noch η therm. = 0, 51 % bzw. η gesamt = 0, 12 %. Der Motor hat dementsprechend in der Theorie einen hohen Wirkungsgrad, der aber in der Realisierung zu ziemlich hohen Verlusten führt Abhängigkeit von Drehzahl und Leistung Bei der Messung der mechanischen Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl muss uns ein Fehler unterlaufen sein. Die gemessenen Werte sind widersprüchlich und zeigen keinerlei Regelmäßigkeit. Vermutlich liegt das an der Durchführung der Messung des 20

21 3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH Drehmoments. Wir hatten Probleme mit dem fixieren des Drehmomentmessers am Motor, deshalb musste man ihn mit dem Finger diesen am Motor halten. Dabei muss der Motor vermutlich bei verschiedenen Drehzahlen unterschiedlich gedämpft worden sein. Deshalb wird im Folgenden nur die Messung der elektrischen Leistung beachtet. Für die Umrechnung von Spannung U und Widerstand R in Leistung P nimmt man: P = U 2 R δp = 2U R δu + U 2 (69) δr (70) R2 Wobei δu = 0,01 V und δr R = 1%. Das Ergebnis ist in Abbildung (7) abgebildet. Abbildung 7: Elektrische Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl Man sieht, dass der Motor eine ideale Drehzahl hat, an der er die höchste Leistung bringt. In unserem Fall wären das ca. 480 Umdrehungen in der Minute Fehlerbetrachtung Man sieht bei unseren Ergebnissen, dass die Idee einen solchen Motor zu realisieren möglich ist. Man stellt aber doch fest, dass die Vernachlässigung der Reibung in der Theorie in der Praxis einige Probleme darstellt. Der erwartet hohe Wirkungsgrad wird nicht erreicht. Aber vor allem als Kältemaschine hat der Stirling-Motor überzeugt. Abgesehen davon, dass die Messung der mechanischen Leistung gar nicht funktioniert hat, muss man noch sagen, dass es bei der Durchführung zu kleineren Problemen kam. Beispielsweise konnten wir in unserem Brenner keine größere Flamme einstellen, da sonst der Docht nicht mehr in dem Spiritus gewesen wäre. Wahrscheinlich hätten wir dann größere elektrische Leistungen erzielen können und die Messung bis zu einem Widerstand von 10 Ω durchführen können. Besser für den experimentell bestimmten Wirkungsgrad wäre gewesen, wenn man den Brenner besser positioniert hätte. 21

22 3.3 Auswertung Kritischer Punkt 3 VERSUCH 3.3 Auswertung Kritischer Punkt Unsere Messwerte des Drucks in Abhängigkeit vom Volumen, bei verschiedenen Temperaturen, wurde in dem pv -Diagramm, Abbildung (8), dargestellt. Abbildung 8: pv -Diagramm Aus diesem Diagramm kann man die Daten des Kritischen Punktes ablesen. In unserem Fall sieht man, dass die Isotherme von 5 C bis 40,5 C jeweils einen Bereich haben, in dem der Druck bei abnehmendem Volumen näherungsweise Konstant ist.dies ist bei den Isothermen bei 43,8 C, 45,2 C und 46,5 C nicht mehr eindeutig bestimmbar, somit muss die Kritische Temperatur T K in diesem Bereich liegen. Aus diesen drei Kurven bestimmen wir jeweils den Wendepunkt in der Kurve und mitteln die X-Werte und die Y-Werte dieser Punkte sodass wir auf das kritische Volumen V K und den Kritischen Druck p k kommen. Für den Kritischen Punkt erhalten wir inklusive der Unsicherheiten folgende Werte: T K = (45,2 ± 0,9) C = (318,4 ± 0,9) K (71) V K = (0,20 ± 0,02) cm 3 = (0,20 ± 0,02) 10 3 l (72) p K = (39,5 ± 0,7) bar = (3,95 ± 0,07) 10 6 Pa (73) Bestimmung der van der Waals-Konstanten Aus den Gleichungen (18) und (17) kann man mittels der bestimmten Daten des Kritischen Punktes die van der Waals-Konstanten bestimmen. Außerdem lässt sich mittels der Beziehung, V K = 3bn (74) n = 3b V K (75) 22

23 3.3 Auswertung Kritischer Punkt 3 VERSUCH wobei n die Stoffmenge ist, selbige bestimmen. Für die Fehler gilt: ( δa = 27R2 2TK δt K + T ) K 2 δp 64 p K p 2 K K δb = R ( δtk + T ) K δp 8 p K p 2 K K ( δb δn = 3 + b ) δv V K VK 2 K (76) (77) (78) Es ergibt sich: a = (0,752 ± 0,004) m6 mpa mol 2 (79) 5 dm3 b = (8,4 ± 0,2) 10 mol (80) n = (1,26 ± 0,05) mol (81) Um die Dampfdruckkurve darzustellen wurde die Höhe der Maxwellgeraden bei den Isothermen bestimmt. Beim Ablesen der Höhe der Maxwellgeraden wurde ein Fehler von δp = 0, 4bar angenommen und die Temperatur hatte einen Fehler von δt = 0, 3 C. Die Messwerte sind in Abbildung (9) dargestellt. Abbildung 9: Dampfdruckkurve von SF 6 Des weiteren können wir aus den bisher bestimmten Werten die Inversionstemperatur von SF 6, mittels Gleichung (24), bestimmen. Für den Fehler gilt: δt I = 2 2a δa + δb (82) br b 2 R Somit erhält man eine Inversionstemperatur von T I = (2149 ± 57) K = (1875 ± 57) C. 23

24 3.4 Anwendung 4 FRAGEN & AUFGABEN Fehlerbetrachtung Vergleicht man unsere Messergebnisse mit den Literaturwerten aus vergleicht, stellt man fest, dass die Werte für Kritische Temperatur T Krit = 45,6 C und Kritischen Druck p Krit = 37,6 bar innerhalb unserer Genauigkeit liegen. Jedoch weicht das Kritische Volumen V krit,m = dm von unserer Messung deutlich ab. mol 3 Vermutlich liegt dies an der Eichung unserer Volumenskala wobei unser Startvolumen vermutlich zu klein ist. Dennoch kann man sagen, das die Messung trotz Problemen mit der Temperatureinstellung gut gelungen ist. Besser für unsere Messungen wäre allerdings gewesen, wenn die Temperatur genauer einstellbar und dann auf diesem Niveau konstant geblieben wäre. Zudem wäre die Genauigkeit besser, wenn wir bei unseren Messungen gesehen hätten, wann das Schwefelhexafluorid beginnt sich zu verflüssigen. So waren wir gezwungen unsere Volumenintervalle nach Gefühl zu wählen. 3.4 Anwendung Stirling-Motor Der Stirling-Motor wurde im 19. Jahrhundert für viele Anwendungen genutzt, wie als Motor für Drehbänke, Sägen und Ventilatoren. Am Anfang des 20. Jahrhunderts wurde er dann von Diesel- und Otto-Motoren ersetzt. Mitte des 20. Jahrhunderts wurde der Stirling-Motor in der Physik und Chemie als Tieftemperatur- Kältemaschine eingesetzt. Im Zuge des Umstiegs auf umweltfreundlichere Energiequellen kam das Prinzip in Kraft-Wärme-Kopplungs-Anlagen zum Einsatz. Kritischer Punkt Beispielsweise beruht der Benson-Kessel auf diesem Prinzip. Er arbeitet überhalb des Kritischen Punktes von Wasser und so wird verhindert, dass sich Wasser abscheiden kann. Zudem wird versucht den Verbrauch von Benzin- und Diesel-Motoren zu senken indem man überkritischen Treibstoff verwendet. Außerdem kann man überkritisches CO 2 benutzen um giftige organische Substanzen zu lösen, da sich in überkritischem CO 2 nahezu alle organischen Stoffe lösen. Ein Vorteil ist, dass man dies in einem Kreisprozess realisieren kann und zudem umweltfreundlich ist. 4 Fragen & Aufgaben Heißluftmotor 1 Heißluftmotors als Wärmepumpe und als Kältemaschine Beschreiben Sie anhand des pv -Diagramms die Funktionsweise des Welchen Umlaufsinn hat die durchlaufene Kurve jeweils? Ist im Grundlagenteil Kapitel geschehen 24

25 4 FRAGEN & AUFGABEN Heißluftmotor 2 Was versteht man unter einem perpetuum mobile zweiter Art? Formulieren Sie den II. Hauptsatz der Wärmelehre unter Verwendung der Begriffe perpetuum mobile zweiter Art bzw. Entropie. im Grundlagenteil Kapitel 2.1. Heißluftmotor 3 Wie hoch sind die typischen Wirkungsgrade gebräuchlicher Automotoren ( Otto-Motor, Diesel-Motor)? Vergleichen Sie diese mit dem Wirkungsgrad eines Stirling-Motors. Motor maximaler Wirkungsgrad ν in % Stirling 66 Otto 45 Diesel 50 Der Stirling-Motor kann wie in Kapitel theoretisch den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses erreichen. Jedoch entstehen in der Wirklichkeit Reibungsverluste und die idealen Temperaturen können nicht erreicht werden, sodass die Realisierung von Otto- und Dieselmotoren lukrativer ist. Heißluftmotor 4 Finden Sie einen Weg die Integrale aus W = pdv (83) V2 W 12 = pdv (84) V 1 auf die numerisch berechenbaren Integrale U y du x (85) Ux,max U x,min U y du x (86) zurückzuführen. Die Funktionen ( ) 1 U V = U x + V 0 (88) V ( ) 1 U p = U y + p Lab (89) V (87) 25

26 4 FRAGEN & AUFGABEN könnten dabei hilfreich sein. ( ) 1 U pdv = U y + p LabdV (90) V (( ) ) p V = U y + p Lab U U du x (91) p = U V U U yu x + (92) = p U V U p Lab V U du x } {{ } =0 U y U x (93) (94) Nahezu analog funktioniert das mit Gleichung (84) Heißluftmotor 5 Der Wirkungsgrad des Stirling-Motors kann mit einem technischen Trick maximiert werden. Im Idealfall nimmt er dann den Wirkungsgrad des Carnot- Prozesses an. Wie könnte der Trick funktionieren? Mit einer Kurbelwelle, siehe Grundlagenteil Kritischer-Punkt 1 Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen den kritischen Größen und den van der Waals-Koeffizienten. Leiten Sie ausgehend von der van der Waals- Gleichung (7) die folgenden Beziehungen her: Ist im Grundlagenteil Kapitel2.3.2 geschehen. T K = 8a (95) 27Rb p K = a (96) 27b 2 V K,m = 3b (97) Kritischer-Punkt 2 Berechnen Sie die innere Energie eines van der Waals-Gases in Abhängigkeit von Temperatur und Volumen bei konstanter Teilchenzahl. Zeigen Sie dann, dass insbesondere die isotherme partielle Ableitung der inneren Energie eines van der Waals -Gases nach dem Volumen gleich dem Binnendruck dieses Gases ist: ( ) U = a (98) V m Vm 2 T 26

27 4 FRAGEN & AUFGABEN Die Formel für die innere Energie, die in Gleichung 20 verwendet wurde leitet man partiell ab und erhält den gewünschten Zusammenhang: U(T, V m ) = frt 2 ( ) U V m T a Vm 2 = a Vm 2 (99) (100) Kritischer-Punkt 3 Leiten Sie eine Beziehung zwischen den van der Waals-Konstanten a und b und den beiden Inversionstemperaturen des Joule-Thomson-Effektes her. Siehe Grundlagenteil Kritischer-Punkt 4 Welchem Teil der van der Waals-Kurven entsprechen keine realen Zustände? Erläutern Sie die Bedeutung der Maxwell-Geraden. Im Grundlagenteil Kapitel

28 Literatur 5 Anhang Abbildungsverzeichnis 1 Skizze eines PV-Diagramms Schematischer Aufbau zur Realisierung des Linde-Verfahrens (Quelle: Demtröder) p-v-diagramm und T-S-Diagramm mit isothermen und adiabatischen Stufen p-v-diagramm mit isothermen und isochoren Stufen Die technische Realisierung eines Stirling-Motors (Quelle: Demtröder ) 12 6 Aufgenommene pv -Diagramme des Stirling-Motors Elektrische Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl pv -Diagramm Dampfdruckkurve von SF Tabellenverzeichnis 1 Stoffmengen bei verschiedenen Betriebsarten der Wärmekraftmaschine.. 16 Literatur Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung. Universität Konstanz, 2012 Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008 Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, de/ xml? f=templates$fn=default.htm$ der eiszeit.pdf

29 Literatur Literatur