Capacitor. Teil 4 Kapazität und Energie. field in plate capacitor. field in plate capacitor. one dimensional problem Laplace equation

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1 Capacitor Teil 4 Kapazität und Energie = F A * = J J A H E A * = J J A H E A EXII 204 field in plate capacitor field in plate capacitor one dimensional problem Laplace equation d 2 φ =0 φ(x) =ax b dx2 N one dimensional problem Laplace equation d 2 φ =0 φ(x) =ax b dx2 N andbedingungen boundary condition φ x=0 = φ = b φ x=d = φ 2 = ad φ (x) = 2 d ~ E = U d x = U d x E = σ ϵ 0 = ϵ 0 A = U d C = U (x) = 2 d C = ϵ 0 A d x = U d x

2 field & Capacity Capacitors E = ϵ 0 A = σ ϵ 0 [ ] Coulomb =[Farad] V olt N typical range ff pf nf µf mf F for A =cm 2 and d =mmwehavec pf C = U = CU Volt electrons andom Access Memory (AM) memory: capacitor it D G S C Word C = ϵ 0 A d V=. V C = 0 femtof d = 0 nm A = µm electrons SpeicherZeile SpeicherZelle SAM static DAM dynamic (refresh) SDAM synchronous DD SDAM double data rate DD2 4bit DD3 8bit LPDD3 low power it Leitung Word Leitung

3 @ Defibrillation flash for photography ei lebensbedrohlichen Herzrhythmusstörungen kann durch starken Stromstoß (2 ms) normale Herzaktivität wiederhergestellt werden. 200 J aus 400 µf bei 000 V W el = 2 CU2 Entladung in ms 500 V Marx generator increase distance between capacitor plates : capacity decreases C = U U0 U0 E = U d or avalanche diodes (breakdown at 300 V) is constant Uc rises E constant Uo constant rises E decreases

4 4 H H field of a charged hollow sphere homogeneous distribution of charge thin sphere carries the total charge I spherical capacitor two concentric spheres with radii ri and ra and charges and Gesamtladung: =4π 2 σ E = ϵ 0 ρ H φ i = f c r i H E H = for r < we have : E ds =0 S 4 H H 4 H φ(r) =f c r 3 3 E(r >r i )=f c r 2 ê spherical capacitor capacity of a sphere potential difference ( U = φ i φ a = f c ) r i r a H E H = radius of external sphere grows to infinity C = U = φ i φ a = f c r i r a r a r i 3 3 C = U = φ i φ a = f c r i r a r a r i r i = r i r a C = f c 2 d = ϵ 0 A d C =4πϵ 0 r a

5 @ 4 ) circuit of capacitors parallel: parallel: gleiche Spannung same tension liegt an on each der Summe capacitor der Flächen C ges = i C i C = ϵ 0 A d U U energy storage (charged sphere) dw = d (φ φ )=d φ difference in potential energy φ 3 φ = f c in series : same charge on each capacitor U W = f c d = 4πϵ = 2 2 C C ges = i C i stored energy W el = 2 2 C = 2 CU2 C = ϵ 0 A/d U = E d volume of capacitor energy density Volumen des Kondensators A d = V W el = 2 CU2 = 2 ϵ 0E 2 Ad = 2 ϵ 0E 2 V volume & electric field energy density valid for arbitrary field distribution in vacuum : w el = W el /V = 2 ϵ 0E 2 W el = 2 CU2 = 2 ϵ 0E 2 Ad = 2 ϵ 0E 2 V stored energy W el = 2 2 C = 2 CU2 [w el ]= W s m 3 = J m 3

6 @ ) force between capacitor plates w el = W el /V = 2 ϵ 0E 2 Platten sind entgegengesetzt geladen ( und ) Sie ziehen sich mit einer Kraft F an F d = 2 ϵ 0E 2 A d force x path plates are charged with opposite polarity they attract each other with the force F rise in volume F = 2 ϵ 0E 2 A = 2 E E = σ ϵ 0 = ϵ 0 A electrodes for guiding and focusing Willemdd from nl wikipedia Hochspannungen esondere Vorsicht ist bei Arbeiten mit Hochspannung angebracht. Verkabelungen sollten vor Inbetriebnahme von einer zweiten Person geprüft werden. Stolperdrähte sind zu vermeiden. Es sind nur Verkabelungen mit hochspannungstauglichen Kabeln und Steckern, safety welche entsprechend issues isoliert sind, zugelassen. Versuchsaufbauten mit blanken Drähten oder hochspannungsfreien Stellen sind verboten. Die Verkabelungen sind übersichtlich zu halten. Der Erdung ist besondere eachtung zu schenken. Lieber einmal zu viel als einmal zu wenig kompetente Hilfe Lethal beiziehen. electrical Diecurrents Werkstatt hilft lieber beim Verkabeln, als dass sie nachher defekte Geräte flickt Zudem sind Arbeiten 5 ma mitickles Hochspannung zu unterlassen, wenn sich nur eine Person im Labor befindet, insbesondere nachts> und 50 ma an Wochenenden. potentially fatal Vorsicht: (nerve signals auch nach may freeze) Ausschalten des Geräts liegt manchmal für einige Zeit noch eine hohe Spannung an (Kondensator). Dauerversuche mit Hochspannung sind für Dritte klar zu kennzeichnen mit Namen und Erreichbarkeit. internal resistance in human body ereich : ereich 2: ereich 3: ereich 4: Widerstand trockener resistance of Haut skin ( 20kΩ) Wechselströme in diesem ereich werden von den meisten Menschen gar nicht wahrgenommen. Es ist ein Kribbeln zu spüren, auch schmerzhafte Verkrampfungen sind möglich. Direkte Schäden sind kaum zu befürchten. Die Stromquelle kann auf Grund von Muskelverkrampfung nicht mehr losgelassen werden. Schwere Schädigung und häufig tödliche Stromwirkung, z.. durch Herzkammerflimmern. ESD (Electro Static Discharge): natural radioactivity Jeder Mensch lädt sich durch ewegung cosmic schnell rays mal auf mehrere 000V auf. Oft reichen wenige Volt Spannung aus, aktive elektrische auteile zu zerstören. Dies kommt auch schon mal vor, wenn man mit der Hand ohne 8 erührung in die Nähe des auteils kommt. 8 eim Arbeiten mit hochempfindlichen Messgeräten oder elektrischen auteilen aller Art ist grundsätzlich ein Erdungsband zu tragen. Das einfache Tragen eines Erdungsbandes verhindert teure eparaturarbeiten. Gift / Chemikalien Volt Stromweg Körperwiderstand resistance path (minimal) Hand hand Hand hand Hand hand Fuß leg Hand Füße Hände Füße electrical power of source is determining factor»alle Dinge sind Gift, und nichts ist ohne Giftigkeit; allein die Dosis macht, daß ein Ding kein Gift ist.«chemikalien mit sehr giftigen, giftigen oder gesundheitsschädlichen Eigenschaften earth surface earth surface T T Xn A A Grundsätze zum Umgang mit Chemikalien: Keine Stoffe verwenden, wo ich mir über die Giftigkeit nicht im Klaren bin. conductivity: earth s electric field σ 0 Sicherheitshinweise auf den Etiketten Ohm meter beachten E 00 Volt /meter Kapellen benutzen ca. 650 " ca. 300 " ca. 95 " ca. 650 " Der Hautwiderstand beträgt einige Tausend Ohm, kann bei hohen Spannungen aber bis auf Null absinken. natural charge density 0 ions / cm Chemikalien mit ätzenden oder reizenden Eigenschaften C Xi

7 field mill ( otationsvoltmeter ) selfexcited electrostatic machines since late th century current sources were not yet invented exploit statistical fluctuation of charge balance segmented conductors Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach. (MIT OpenCourseWare). selfexcited electrostatic machines selfexcited electrostatic machines Kelvin s water dynamo conducting disks on an insulating wheel Leyden jar Δϕ Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach. (MIT OpenCourseWare). Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach. (MIT OpenCourseWare).

8 electrical dipole Teil 5 ELEKTISCHE DIPOL '$ () & '% & " # dipole moment p = d %# dipole EXII SS204 () '$ " & ' $ = fc ~ ~ d/2 ~ ~ d/2 HHelm, EXII 204 electrical dipole equipotential lines '$ () & '% & (x, z) " # Z () '$ " & ' $ %# dipole = fc ~ ~ d/2 ~ ~ d/2 equipotential lines actually : equipotential surfaces

9 electrical dipole expansion in first order for d exact ± d/2 = d ± d dipole = f c d ± 2 dipole = f c ~ ~d ~ ~p 3 = f c 3 ~ ~ d/2 ( d ) 2 2 ±... = f c p cos 2 ~ ~ d/2 approximation d dipole = f c ~ ~d ~ ~p 3 = f c 3 = f c p cos 2 Nabla Operator Nabla in polar coordinates = { ê x x, ê y variation for small steps } y, ê z z small steps nach Osten ändert sich nur ϕ, der Weg = sin θ dϕ z y sin d d d d direction of step ê ê 2 =ê 3, ê 2 ê 3 =ê, ê 3 ê =ê 2 nach Süden ändert sich nur θ, der Weg = dθ nach Oben ändert sich nur, der Weg = d d x orthonormal

10 Nabla in polar coordinates Nabla in polar coordinates unit vectors z sin d d d unit vectors z sin d d d d d y y d d ê = { sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ } ê = { sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ } x x Projection along x Projection along y ê ϕ = { sin ϕ, cos ϕ, 0 } Nabla in polar coordinates Spherical coordinates unit vectors z sin d d d d Z q Z q d dq ê θ = { cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ } y sinq dj ê = { sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ } d j Y j Y x ê ϕ = { sin ϕ, cos ϕ, 0 } HHelm, EXII 204

11 @ 4 Nabla in polar coordinates electric field of a dipole { = ê, ê θ { E = φ dipol =, θ, ê ϕ sin θ θ, sin θ } ϕ } φ dipol ϕ E = f c 2p cosθ 3 E θ = f c p sinθ 3 E ϕ =0 θ E = f c 2p cosθ 3 E θ = f c p sinθ rotational symmetry E ϕ =0 zachse Dipole in external field force on a dipole potential energy W pot = (φ φ 2 ) = d φ = p E

12 @ 4 electrical quadrupole electrical multipoles φ = φ dipol ( a/2) φ dipol ( a/2) molecular dipoles (permanent) induced dipole deflection of proton as it passes an oxygen atom induced dipole ~p = ~ E V (r) = ~p ~E V (r) = f c e 2 r 4

13 equipotential lines equipotential lines equipotential lines actually : equipotential surfaces actually : equipotential surfaces conducting surface conducting surface The field is such as if an image charge of opposite sign is situated behind the conducting surface, at a distance such that the field lines end perpendicularly on the surface. conducting surface method of images (line charges) equipotential surfaces are squeezed ellipsoids method of images (point charges) conducting surface conducting surface The field is such as if an image charge of opposite sign is situated behind the conducting surface, at a distance such that the field lines end perpendicularly on the surface. equipotential surfaces are cylinders method of images