SAGE, ein open source CAS vor allem für die diskrete Mathematik?

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1 SAGE, ein open source CAS vor allem für die diskrete Mathematik? Institut für Informatik & Automation, IIA Fakultät E&I, Hochschule Bremen, HSB Mathematik für Ingenieure,

2 Agenda 1 Einführung Was ist 2 von SAGE SAGE ausprobieren und einsetzen

3 Gemeinsamkeiten SAGE = System for Algebraic and Geometric experimentation vs MATLAB (= Octave+GinaC) beide CASs (incl. Symbolic Math Toolbox), command line oriented, programmierbar, Problem-orientiert, erweiterbar usw. graphische Ausgaben, verschiedene workspaces, interpretiert, precompiled, OO etc Unterschiede SAGE lokale Implementatierung & web interface Python viele vordefinierte Datentypen objects modules open source MATLAB lokale Implementatierung m-files wenig vordefinierte Datentypen handles toolboxes proprietary

4 Weiterführung Was ist Sage is free open source math software that supports research and teaching in algebra, geometry, number theory, cryptography, and related areas. Both the Sage development model and the technology in Sage itself are distinguished by an extremely strong emphasis on openness, community, cooperation, and collaboration: we are building the car, not reinventing the wheel. SAGE umfaßt CASs [14] wie z.b. GAP Maxima PARI R Singular

5 algebraische von SAGE I symbolisches Rechnen ist enthalten (keine extra Symbolic Math Toolbox) 3 Symbolic Calculus S D Graphics S D Graphics S Games S Graph Theory S Basic Structures S.645 (abstract base class, coercion etc, interfaces, databases, grid computing) 17 Cryptography S.1203 (incl AES etc) 18 Combinatorics S.1363

6 algebraische von SAGE II 21 Category Theory S Monoids S Groups S General Rings, Ideals, and Morphisms S Standard Commutative Rings S Algebraic Number Fields S p-adics S Polynomial Rings S Power Series Rings S Algebras S Quaternion Algebras S Matrices and Spaces of Matrices S Modules S Combinatorial Geometry S Homology of Simplicial Complexes S L-Functions S.3847

7 41 Schemes S.3859 von SAGE III 42 Elliptic and Plane Curves S Hyperelliptic Curves S Coding Theory S Arithmetic Subgroups of SL 2 (Z) S General Hecke Algebras and Hecke Modules S Modular Symbols S Modular Forms S Modular Abelian Varieties S Miscellaneous Modular-Form-Related Modules S.4595 s.a. mehr als 5000 Seiten Dokumentation Anwendung siehe z.b. [13]

8 Fehler-korrigierende [15] Def. Ein [n, k, d] linearer Code C über F = GF q ist ein k dimensionaler Unterraum von GF n q, d.h. C GFn q, GF k q u ug C für eine Generator-Matrix G oder gleichermaßen c C Hc = 0 für eine Paritätsmatrix H mit HG = 0. d = min{d(c, c )} : C c c C ist dabei der minimale Hamming-Abstand von C, wobei d(c, c ) = {i : c i c i } den Hamming-Abstand von c, c C bezeichnet. Bem. C korrigiert bis zu (d 1)/2 Symbol-Fehler, d.h. Fehler in GF q.

9 Def. Der [7, 4, 3]-Hamming-Code ist etwa durch die Generator-Matrix G = oder durch eine zugehörige Paritätsmatrix H = mit c C Hc = spezifiziert.

10 Kodierung eingebettet etwa in das Modell [15] Quelle & -Kodierung u Kanal-Kodierung Fehler c Kanal Kanal y Kanal-Dekodierung ĉ,û Senke & -Kodierung Kodierung für den [7, 4, 3]-Hamming-Code def encode(u,g): return u*g;

11 Dekodierung Dekodierung für den [7, 4, 3]-Hamming-Code def decode(y,h): s = H*transpose(y); # flip bit in position given by syndrome s p = 4*int(s[0,0])+2*int(s[1,0])+int(s[2,0]); # p is position of error if p==0: return y; p=p-1; y[p]=y[p]+1; return y; z.b. den SAGE-code GFC_coding auf auf etwa dem server sage.informatik.hs-bremen.de ausführen

12 in Körper-Türmen Problematisch ist die Invertierung von Elementen endlicher Körper, GF(2 m ). [8] zitiert [1] mit einem auf erweitertem Euklid basierenden Algorithmus mit Flächen-Komplexität O(m), der 2m Schritte braucht. [8] rät, Arithmetik in GF(16) zu gebrauchen, um Elemente von GF(256) zu invertieren. Stelle GF(256) als GF(16)[x]/(x 2 + Ax + B) mit irreduziblem Polynom x 2 + Ax + B über GF(16) dar. Dann ist das Inverse eines Elements bx + c ( GF(16)[x]/(x 2 + Ax + B) ) 1 bx + c = bx + ba + c b 2 B + bca + c 2 Bew. um (bx + c) 1 (bx + c) 1 mod (x 2 + Ax + B) oder äquivalent (bx + c) 1 (bx + c) 1 0 mod (x 2 + Ax + B) zu zeigen, zeige (bx + c) 1 (bx + c) 1 ist Vielfaches von (x 2 + Ax + B).

13 SAGE Bew. 1 bx + c (bx + c) 1 = (bx + ba + c)(bx + c) b 2 B + bca + c 2 1 Invertierung = (bx + ba + c)(bx + c) (b2 B + bca + c 2 ) b 2 B + bca + c 2 = b2 x 2 + bcx + b 2 Ax + bca + bcx + c 2 b 2 B bca c 2 b 2 B + bca + c 2 = b2 x 2 + b 2 Ax + b 2 B b 2 = b 2 B + bca + c 2 b 2 B + bca + c (x 2 + Ax + B) 2 Bem. Der Beweis ist unabhängig von der speziellen Form der irreduziblen Polynome. Das Verfahren kann iteriert angewendet werden: in jedem Schritt wird die Ordnung halbiert! z.b. den SAGE-code GFC_inversion auf auf etwa dem server sage.informatik.hs-bremen.de ausführen

14 Invertierung Implementierung o.b.d.a. A = 1, w(b) klein A b 2, b c, c 2 links Nenner b 2 B + bca + c 2 = b 2 B + b c + c 2 rechts b + ca = b + c p = b/(b 2 B + bc + c 2 ) ist der Koeffizient zu x 1 q = (b+c)/(b 2 B+bc+c 2 ) ist der Koeffizient zu x 0 lating the inverse in GF(16) and performing some multiplications, and additions in GF(16). The inverse in GF(16) can be stored table. We use an optimal normal basis in order to simplify the o ations. The squaring operation is then a simple rotate (which is hardware) and the multiplication is rotation-symmetrical and sim over, we can use the freedom we have for the choice of A and B t equal to the unit element (denoted 1111) and B a value with low weight, say Figure 1 gives a schematic representation of th calculations. b c x 2 1 x 2 x 1 p q Figure 1: Schematic representation of a hardware-efficient calcula inverse in GF(2 8 ). In order to implement the Rijndael S-box, the mapping x

15 Mit SAGE SAGE einsetzen lassen sich Probleme in vielen Disziplinen der Mathematik angehen lassen sich Probleme numerisch und symbolisch lösen SAGE ist besonders stark in der diskreten Mathematik, wie die Beispiele aus Kodierung und Algebra haben zeigen sollen. SAGE eignet sich besonders für (Forschung und) Lehre da man keine software installieren muß SAGE ist auf Servern wie z.b. oder verfügbar! da SAGE open source ist und da es eine aktive user community gibt. SAGE ausprobieren und nutzen!

16 References I [1] H. Brunner, A. Curiger, M. Hofstetter: On computing multiplicative inverses in GF(2 m ); IEEE Transactions on Computers, Vol. 42, No. 8, August 1993, pp [2] J. W. Eaton: GNU Octave Manual; Network Theory Ltd [3] GiNaC is Not a CAS; [4] Jan Kiusalaas: Numerical Methods in Engineering with Python; Cambridge University Press, 2010 [5] MATLAB, the Language of Technical Computing; [6] NumPy/SciPy for Matlab Users; [7] Octave; [8] Vincent Rijmen: Effcient Implementation of the Rijndael S-box;

17 References II [9] SAGE home page; [10] SAGE web interface login page; und [11] SAGE tour & benchmarks; [12] SAGE reference; [13] : Goppa and the McEliece PKCS; 28 th Int. Conf. Science in Practice, Subotica, June 3 rd 4 th, [14] : SAGE, the CAS to end up all CASs?; 15 th SEFI MWG Seminar, Wismar, June 21 st 23 rd, [15] Ron M. Roth: Introduction to Coding Theory; Cambridge University Press 2006, corrigenda ronny/