in der Mathematik-Ausbildung

Transkript

1 Fehler-korrigierende in der Mathematik-Ausbildung Institut für Informatik & Automation, IIA Fakultät E&I, Hochschule Bremen, HSB DMV-Jahrestagung, Erlangen

2 Agenda

3 Bedeutung ECC-Speicher HDD CD/DVD LAN/WLAN DECT Mobilfunk... Einbettung in Kodierung Kryptographie, s.a. [3] und puzzles.pdf in Kompression nicht ohne (lineare) Algebra! nicht ohne endliche Körper!

4 den, anknüpfen bit, bit-raten, Fehler-Raten, Kanal, (Block-) Beispiele: ISBN, Parität, Wiederholungscode, TMR Hamming-Abstand d mißt den Abstand zweier Code-Wörter d min := min u,v d(u, v) d min 1 Fehler detektierbar, dmin 1 Fehler korrigierbar 2 Fehler-Modell Arithmetik in GF(2) Shannon Euklidischer Abstand (Korrigier-) Kugeln in R n, C n Unabhängigkeit, Bernoulli Arithmetik in Q, R, C

5 lineare, binäre Block- C = V GF(2) n v = ug = u(i, P) mit span(g) = V (Zeilen-weise) systematisch G = (I, P) H = span(v ) v V vh = 0 j v jh ij = 0 mit GH = 0, H = ( P, I) ist Paritätsmatrix : lineare V, V sind die dualen Symmetrie V hat d min je d min 1 Spalten von H sind l.u. z.b. (erw.) Hamming Syndrom s=hy =He lineare (Unter-) Vektorräume, l.u., Basen Matrix-Multiplikation, Block- Matrizen, Gauß Permutationsmatrizen Skalarprodukt, V V Verbindung Rang(H) und Distanz d Äquivalenzrelation, LUT, N P block codes have a considerably better developed theory (than tree codes) (because they) are more closely related to established, well-understood mathematical structures, [2]

6 GF(2 m ), GF(2 m ) = GF(2 m ) \ {0} ist zyklisch z.b. H Hamming GF(2 4 ) = GF(2)[X]/(X 4 + X + 1) ergänzen liefert Code d min = 5 H = (α 0, α 2,..., α n k 1 ) mit Spalten/locators α GF n d min n k + 1 Singleton maximum distance separable code d min = n k + 1 z.b. Reed-Solomon ist MDS Euklid, Polynom-Division, (irreduzible) Polynome Dekodieren: quadratische Gleichung in GF(2 m ) lösen Vandermonde-Matrizen, Polynom-Interpolation Vandermonde-Determinante z.b. (verallgemeinerte) Reed-Solomon- auf CD, DVD

7 z.b. CRC in LAN, DECT zyklische C sind invariant unter (zyklischen) shifts z.b. parity, Wiederholung, RS Generator-Polynom minimalen Grades, Produkt- Darstellung Zeilen von G, H sind zyklisch g(x) (X n + 1) y(x) = a(x)g(x) + s(x) mit Syndrom s(x) liefert e(x) Fehlerbündel mit Struktur anreichern Minimalität, Wechsel der Darstellung Band-Matrizen Konstruktion (von ) Euklid, Schieberegister

8 Faltungscodes im digitalen Richtfunk, GSM, UMTS, usw. [5] un1 D1 D2 D3 semiinfinite Block-Band- Matrizen Zustandsautomat, FSM v = ug geht für endliche u in linearen Block-Code über Signalflußgraph, Netzdiagramm & Fundamentalwege Bewertung der Fundamentalwege durch d(u, 0), d(v, 0) und #Zustandsübergänge Viterbi + + vn2 Verzögerungskette mit Verschränkung und verschiedenen In- und Out-Takten Metrik TSP, maximum likelihood

9 Was fehlt? z.b. arithmetische, BCH-, CRC-, Golay-, Goppa-, Reed-Muller-, verallgemeinerte RS-, Trellis-... z.b. burst-error-correction, synchronisation recovery, additive white noise, erasure z.b. Implementierung mit Schieberegistern (LFSR) z.b. Schranken, Fehlerwahrscheinlichkeiten... unabdingbares Handwerkszeug (lineare) Algebra endliche Körper GF(2), GF(p), GF(2 m ) Wahrscheinlichkeitsrechnung Faltung, Z-Transformation...

10 Literatur [1] Wilfried Dankmeier: Codierung; Vieweg 2001 [2] W. Peterson, E. Weldon: Error-Correcting ; MIT Press 1972 [3] : Teaching Elliptic Curves Cryptography Reflecting Some Experiences; 24th Scientific Colloquium, Bremen [4] Ron M. Roth: Introduction to Coding Theory; Cambridge University Press 2006 [5] Martin Werner: Information und Codierung; Vieweg 2002