Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Rechnernetze. Zusätzliche Übungen

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1 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Rechnernetze Zusätzliche Übungen

2 Hamming-Abstand d Der Hamming-Abstand d zwischen zwei Codewörtern c1 und c2 ist die Anzahl der Bits, in denen sich die beiden Codewörter unterscheiden. Beispiel : c c Hamming Abstand d( , ) = 3

3 Hamming-Abstand D eines vollständigen Codes C Der Hamming-Abstand D eines vollständigen Codes C = {c1, c2,..., cn} ist der minimale Hamming-Abstand d zweier Codewörter c1 und c2. D(C) = min{ d(c1, c2), c1, c2 C, c1 = c2}

4 Hamming-Abstand Code C: Distanzen d: Zeichen Codewort a b c d e Zeichen a b c d e a b c d e Hamming-Distanz D = 3 Anzahl garantiert korrigierbarer Bitfehler = 1

5 Hamming-Abstand Die Fähigkeit eines Hamming-Codes, Fehler zu erkennen und Fehler zu beheben, hängt von seinem Hamming-Abstand ab. Erkennen von n-bit Fehlern: Ein Abstand von n + 1 wird benötigt Beheben von n-bit Fehlern: Ein Abstand von 2n + 1 wird benötigt

6 Konstruktion eines Hamming-Codes Gegeben: Datenwörter von m-bit Länge Datenwörter sind durch eine Hammingcodierung so abzusichern, dass alle 1-Bit Fehler sicher korrigiert werden können Gesucht: Um r Redundanzbits angereicherte legale Codewörter der Länge n = m + r mit einem Hamming-Abstand D = 3

7 Konstruktion eines Hamming-Codes legale Codewörter = korrekt und ohne Fehler übertragene Codewörter illegale Codewörter = durch 1-Bit Fehler verfälschte Codewörter legale und illegale Codewörter müssen disjunkte Mengen bilden zu jedem illegalen Codewort gibt es höchstens ein legales Codewort mit Hamming-Abstand d = 1

8 Wieviel Redundanz braucht man? Das zu sichernde Datenwort bestehe aus m Bits. Das Codewort der Länge n besteht dann aus m Datenbits plus r Prüfbits: n = m + r, m Datenbits, r Prüfbits Frage: Wie viele Prüfbits werden benötigt, um jeden 1-Bit-Fehler beheben zu können?

9 Wieviel Redundanz braucht man? n = m + r, m Datenbits, r Prüfbits Es gibt 2 m legale Codewörter der Länge n Bits. Pro legalem Codewort gibt es mindestens n illegale Codewörter mit Hamming-Abstand 1. (Invertieren eines Bits soll zu einem illegalem Codewort führen.) 2 n ist die Gesamtzahl der darstellbaren Codewörter.

10 n = m + r, m Datenbits, r Prüfbits (n + 1) 2 m = 2 n = 2 m+r (n illegale + 1 legales Wort) (n + 1) = 2 r (m + r + 1) 2 r Das ergibt die untere Grenze für die erforderliche Anzahl der Prüfbits r

11 Wieviel Redundanz braucht man? Beispiele: Datenbreite Prüfbits Codebreite Prüfbits/Datenbits % % % % % % %

12 Konstruktion eines Hamming-Codes r Prüfbits ergeben 2 r verschiedene Prüfwerte Codewortbreite m + r ist auf jeden Fall kleiner als 2 r Ziel: Aus dem Prüfwert, also den r Prüfbits, auf einfache Art erkennen, ob ein Fehler bei der Übertragung aufgetreten ist und die Position des gekippten Bits ermitteln.

13 Konstruktion eines Hamming-Codes Der Hamming-Code besteht aus m Daten-Bits (D 0,D 1,...,D m 1 ) und r Redundanz-Bits (R 0,R 1,..R r 1 ), zusammen n = m + r Bits. Diese Bits werden von 1 (nicht von 0 an!) bis m wie folgt Durchnummeriert: Redundanzbit R i bekommt die Nummer 2 i Die Datenbits (D 0,D 1, D m 1 ) erhalten der Reihenfolge nach die jeweils freien Nummern, also D 0 die Nummer 3, D 1 die Nummer 5 usw. Diese Nummern entsprechen genau den n Bitpositionen im Codewort.

14 Beispiel: Datenwörter der Länge 8, also Daten-Bits (D 0,D 1,...,D 7 ). Es werden 4 Redundanz-Bits gebraucht ( = =16 ). Anordnung der Bits im Codewort Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 D 5 D 6 D 7

15 Jedes Redundanz-Bit wird nach dem even parity Verfahren berechnet unter Einbeziehung bestimmter Daten-Bits. Diese Datenbits befinden sich an bestimmten Bitpositionen im Codewort. Man sagt : Jedes Redundanz-Bit überwacht eine Reihe bestimmter Bitpositionen. Dabei gilt: Redundanz-Bit R i überwacht Bitposition k genau dann, wenn in der Binärdarstellung von k an Stelle i eine 1 ist. (Stellen werden beginnend mit 0 für das niederwertigste Bit gezählt.)

16 Beispiel 1: Bitposition 5 (Datenbit D 1 ) 5 10 = Eine 1 befindet sich an den Stellen 0 und 2. Position 5 wird also von den Redundanz-Bits R 0 und R 2 überwacht.

17 Beispiel 2: Redundanz-Bit R1 (Bitposition 2) Überwacht werden alle Bitpositionen mit einer 1 an Stelle 1 in der Binärdarstellung Das sind 00102, 00112, 01102, 01112, und 10112, also die Positionen 2, 3, 6, 7, 10 und und also 14 und 15 überschreiten die Codewortbreite, brauchen also nicht berücksichtigt zu werden.

18 Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 D 5 D 6 D 7 R R R R Binärdarstellung der Bitposition hier Position 510 =

19 Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 D 5 D 6 D 7 R R R R R 0 D 0 D 1 D 3 D 4 D 6 = 0 R 0 = D 0 D 1 D 3 D 4 D 6

20 Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 D 5 D 6 D 7 R R R R R 1 D 0 D 2 D 3 D 5 D 6 = 0 R 1 = D 0 D 2 D 3 D 5 D 6

21 Aufgabe 8 Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 D 5 D 6 D 7 R R R R R 2 D 1 D 2 D 3 D 7 = 0 R 2 = D 1 D 2 D 3 D 7

22 Aufgabe 8 Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 D 5 D 6 D 7 R R R R R 3 D 4 D 5 D 6 D 7 = 0 R 3 = D 4 D 5 D 6 D 7

23 Berechnung der Prüfbits R 0 = D 0 D 1 D 3 D 4 D 6 R 1 = D 0 D 2 D 3 D 5 D 6 R 2 = D 1 D 2 D 3 D 7 R 3 = D 4 D 5 D 6 D 7

24 Hamming-Code: Codierung Schritt 1: Berechne die Prüfbits R i Schritt 2 Setze die Daten- und Prüfbits an die entsprechenden Bitpositionen im Codewort

25 Hamming-Code: Decodierung Schritt 1 Überprüfen der Paritätsgleichungen Setze Testwert auf 0 Für alle R i : Ist R i falsch, addiere 2 i zum Testwert Schritt 2 Eventuell Korrektur vornehmen Ergibt sich ein Testwert von 0, war die Übertragung korrekt Ergibt sich ein Testwert ungleich 0, ist das Bit an der Position gekippt, welche dem Testwert entspricht, also invertiere dieses Bit Schritt 3 Extrahiere die Datenbits

26 Beispiel Codieren Sie folgende Datenblöcke (D 0,...,D 4 ) indem Sie die Redundanzbits (R 0,...,R 3 ) berechnen und an den entsprechenden Positionen einfügen (Die Positionen 1 bis 9 geben Sie bitte wie in der Tabelle von links nach rechts an): 1) (01101) :

27 1) (D 0, D 1, D 2, D 3, D 4 ) = ( ) R 0 = D 0 D 1 D 3 D 4 = 0 R 1 = D 0 D 2 D 3 = 1 R 2 = D 1 D 2 D 3 = 0 R 3 = D 4 = 1 Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 (Codewort)

28 1) (D 0, D 1, D 2, D 3, D 4 ) = ( ) Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 (Codewort) x x 0 x x 1 Pos:R 3 R 2 R 1 R = = = Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 (Codewort)

29 Beispiel Decodieren Sie die folgende empfangenen Codewörter: 1) :

30 Aufgabe 13 2) ( ) Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 (Codewort) R 0 = D 0 D 1 D 3 D 4 = 1 richtig R 1 = D 0 D 2 D 3 = 0 falsch R 2 = D 1 D 2 D 3 = 1 falsch R 3 = D 4 = 0 richtig gekipptes Bit: = 6 10 ändere D 2 von 1 auf 0. Nachricht (D 0,D 1,D 2,D 3,D 4 ) = (10000) 30

31 1) ( ) Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 (Codewort) = = = = falsch 6 10 D 2 => 0 Nachricht (D 0,D 1,D 2,D 3,D 4 ) = (10000)

32 2) ( ) Bitposition Inhalt R 0 R 1 D 0 R 2 D 1 D 2 D 3 R 3 D 4 (Codewort) = = = korrekt Nachricht (D 0,D 1,D 2,D 3,D 4 ) = (10000)

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34 Bitfolgen interpretiert als Polynome Beispiel: entspricht dem Polynom : M(x) = 1 x x x x x x x x 0 = x 7 + x 4 + x 3 + x 1

35 polynomielle Arithmetik modulo 2 Koeffizienten entweder 0 oder 1 kein Übertrag zu berücksichtigen Addition und Subtraktion identisch, XOR

36 Wollen wir eine Bitfolge M(x) angereichert mit CRC-Information übertragen, senden wir eine um k Bits verlängerte Bitfolge M'(x), welche ohne Rest durch C(x) teilbar ist. 1. Multipliziere M(x) mit x k, d.h. hänge k Nullen an M(x) an. Sei T (x) dieses Produkt. 2. Teile T (x) durch C(x) und berechne den Rest R(x). 3. Subtrahiere den Rest R(x) von T (x). Das Ergebnis ist das gesuchte M'(x).

37 Was wird also übertragen, wenn gilt: 1) M (x) = C (x) = M' (x) =?

38 1) Was wird also übertragen, wenn gilt: M(x) = und C(x) = = 1 x x 2 +0 x 1 +1 x 0 => x 3 +x 2 +x 0 C(x) ist vom Grad 3, also an M(x) 3 Nullen anhängen. => T(x) =

39 T (x) : C (x) : : = Quotient Q(x) Rest R (x)

40 1) M(x) = und C(x) = C(x) ist vom Grad 3, also an M(x) 3 Nullen anhängen. => T(x) = R(x) = => M'(x) = T(x) R(x) = M'(x) =

41 T (x) : C (x) : : = Q(x) R (x)

42 Welche Fehler können mit CRC erkannt werden? Alle Einzelbitfehler, solange die Terme x k und x 0 Koeffizienten ungleich Null haben. Alle Doppelbitfehler, solange C(x) einen Faktor mit mindestens drei Termen hat. Jede ungerade Fehlerzahl, solange C(x) den Faktor (x + 1) enthält. Jeden Burstfehler, bei denen die Burstlänge weniger als k Bit beträgt.

43 Leichte Hardware-Implementation mittels Master-Slave Flip-Flops und XOR-Gattern XOR-Gatter vor Bit n, wenn im Generator der Term x n enthalten ist Nachricht bitweise einschieben Rest steht zum Schluß in Master-Slave-Flip-Flops Anzahl Flip-Flops : Anzahl Bits - 1, XOR-Gatter ( ) : vor jedem Term x n (Anzahl Einsen - 1) Beispiel: Generator x5 x 4 x 2 x 0 (110101) Es werden 5 Flip-Flops und 3 XOR Gatter benötigt.

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