grundzüge der informatik - tutorium 4/2 - arnaud moreau mittwoch

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1 grundzüge der informatik - tutorium 4/2 - arnaud moreau mittwoch

2 fahrplan polynomdivision polynomcodes codieren decodieren zahlensysteme zahlendarstellungen

3 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)= 1. schritt: nach fallendem grad ordnen

4 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)= 2. schritt: erstes glied des dividenden durch das erste glied des divisors teilen

5 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2 -x 4 + x 2 (x 2-1)x 2 = x 4 -x 2 3. schritt: ergebnis mit dem divisor mulitiplizieren und vom dividenden subtrahieren solange bis der grad des restdividenden kleiner ist als der grad des divisors

6 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2 -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2

7 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2-4x -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2-4x(x 2-1)=-4x 3 +4x

8 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2-4x -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2 +4x 3-4x

9 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2-4x -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2 +4x 3-4x +5x 2-5

10 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2-4x+5 -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2 +4x 3-4x +5x 2-5 (x 2-1)5=5x 2-5

11 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2-4x+5 -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2 +4x 3-4x +5x x

12 polynomdivision (x 4-4x 3 +4x 2 +4x-5):(x 2-1)=x 2-4x+5 -x 4 + x 2-4x 3 +5x 2 +4x 3-4x FERTIG!!! +5x x Rest

13 polynomdivision mod = 0 1+(-1)= 0 => -1 = 1!!!!!!! (x 4 +x+1):(x 2 +1)=

14 polynomdivision mod = 0 1+(-1)= 0 => -1 = 1 (x 4 +x+1):(x 2 +1)=x 2 -x 4 -x 2

15 1 + 1 = 0 1+(-1)= 0 => -1 = 1 polynomdivision mod 2 (x 4 +x+1):(x 2 +1)=x x 4 -x 2 +x 2 -x 2-1

16 polynomdivision mod = 0 1+(-1)= 0 => -1 = 1 (x 4 +x+1):(x 2 +1)=x x 4 -x 2 +x 2 -x 2-1 x Rest

17 polynomcodes darstellung des zu übertragenden wortes w als polynom M(x) (grad = wortlänge, einzelne bits bilden koeffizienten) generatorpolynom G(x) mit grad r gegeben multiplikation von M(x) mit x r : anhängen von r nullen an W division (mod 2) von x r M(x) durch G(x), es bleibt rest R(x) x r M(x) - R(x) ist zu übertragendes codewort wenn empfänger T(x)/G(x) 0 erhält, wurde übertragung gestört

18 polynomcodes welches wort wird durch die polynomcodierung (G(x)=x 4 +x+1) erzeugt, wenn das zu übertragende (unverschlüsselte) wort W= ist?

19 polynomcodes 1. schritt: bilde produkt von M (x) mit x 4 für das wort M(x) = x 5 + x 4 + x M(x)*x 4 = x 9 + x 8 + x 6 + x 4 =

20 polynomcodes 2. schritt: division durch G(x) (x 9 +x 8 +x 6 +x 4 )/(x 4 +x+1) =

21 polynomcodes 2. schritt: division durch G(x) (x 9 +x 8 +x 6 +x 4 )/(x 4 +x+1) = x 5 -x 9 -x 6 x 5

22 polynomcodes 2. schritt: division durch G(x) (x 9 +x 8 +x 6 +x 4 )/(x 4 +x+1) = x 5 +x 4 -x 9 -x 6 x 5 +x 8 +x 5 -x 8 -x 5 -x 4

23 polynomcodes 2. schritt: division durch G(x) (x 9 +x 8 +x 6 +x 4 )/(x 4 +x+1) = x 5 +x 4 -x 9 -x 6 x 5 +x 8 +x 5 -x 8 -x 5 -x 4 0 Rest

24 polynomcodes 3. schritt: M(x)-R(x) berechnen x r M(x) 0 = x r M(x)

25 polynomcodes zu übertragendes codewort:

26 polynomcodes decodieren sie unter verwendung der polynomcodierung das wort (G(x)=x 4 +x+1)! stellen sie fest, ob das wort richtig übertragen wurde.

27 polynomcodes 1. schritt: dividieren des empfangenen wortes durch G(x) =x 9 +x 7 +x 6 +x 4 +x 2 +x (x 9 +x 7 +x 6 +x 4 +x 2 +x):(x4+x+1)=

28 polynomcodes 1. schritt: dividieren des empfangenen wortes durch G(x) (x 9 +x 7 +x 6 +x 4 +x 2 +x):(x 4 +x+1)= x 5 -x 9 -x 6 -x 5

29 polynomcodes 1. schritt: dividieren des empfangenen wortes durch G(x) (x 9 +x 7 +x 6 +x 4 +x 2 +x):(x 4 +x+1)= x 5 +x 3 -x 9 -x 6 -x 5 +x 7 +x 5 -x 7 -x 4 x 3

30 polynomcodes 1. schritt: dividieren des empfangenen wortes durch G(x) (x 9 +x 7 +x 6 +x 4 +x 2 +x):(x 4 +x+1)= x 5 +x 3 +x -x 9 -x 6 -x 5 +x 7 +x 5 -x 7 -x 4 x 3 +x 5 +x 3 -x 5 -x 2 -x

31 polynomcodes 1. schritt: dividieren des empfangenen wortes durch G(x) (x 9 +x 7 +x 6 +x 4 +x 2 +x):(x 4 +x+1)= x 5 +x 3 +x -x 9 -x 6 -x 5 +x 7 +x 5 -x 7 -x 4 x 3 +x 5 +x 3 -x 5 -x 2 x x 3 Rest

32 polynomcodes 2. schritt: ist der rest, der in schritt 1 entsteht, gleich 0, so war die übertragung fehlerfrei, und das wort aus schritt 1 ist die decodierte nachricht. sonst liegen ein oder mehrere fehler vor. => fehlerhafte übertragung.

33 zahlensysteme/umwandlung quellsystem zielsystem zahl u, basis b zahl U, basis B u=(u k u 1 u 0.u -1 u -2 ) b U=(U k U 1 U 0.U -1 U -2 ) B rechnen im quellsystem ODER im zielsystem

34 rechnen im zielsystem vorgangsweise (u ganzzahlig): 1. umwandeln der ziffern u i in zieldarstellung B 2. umwandeln von b i in zieldarstellung B 3. berechnung u m b m + +u 1 b 1 +u 0 b 0 oder 2. umwandeln von b in zieldarstellung B 3. hornerschema (( (u m b+ u m-1 )b+ )b+u 1 )b+u 0

35 rechnen im zielsystem quelldarstellung: (210) 3 gesucht: zieldarstellung ( ) umwandlung der ziffern (2) 3, (1) 3, (0) 3 in zieldarstellung (2) 10, (1) 10, (0) umwandlung von (10) 3 in (3) hornerschema ( 2*3 + 1 )3 + 0 = (21) 10

36 rechnen im zielsystem quelldarstellung: ( ) 2 gesucht: zieldarstellung ( ) umwandlung der ziffern (1) 2, (0) 2 in zieldarstellung (1) 10, (0) umwandlung von (10) 2 in (2) hornerschema (((((1*2+1)2+0)2+0)2+1)2+0)2+0 = (100) 10 oder berechnung 1*2 6 +1*2 5 +1*2 2 = = 100

37 rechnen im quellsystem vorgangsweise (u ganzzahlig): 1. umwandeln der ziffer B in quelldarstellung b 2. berechnung U 0 = u mod B U 1 = u/b mod B U 2 = u/b /B mod B x = größte ganze zahl kleiner oder gleich x 3. abbruch bei u/b /B /B = 0

38 rechnen im quellsystem quelldarstellung: (21) 10 gesucht: zieldarstellung ( ) 3 4. umwandeln der ziffer (10) 3 in quelldarstellung (3) berechnung U 0 = 21 mod 3 = 0 U 1 = u/b mod B=21/3 mod 3=1 U 2 = 7/3 mod 3 = 2 2/3 = 0 => abbruch 6. lösung: (21) 10 = (210) 3

39 rechnen im zielsystem vorgangsweise (0.xxx): 1. umwandeln der ziffern u -i in zieldarstellung B 2. umwandeln von b -i in zieldarstellung B 3. berechnung u -1 b -1 u -2 b u -m b -m oder 2. umwandeln von b in zieldarstellung B 3. hornerschema (( (u -m /b+ u 1-m )/b+ )/b+u -1 )b

40 rechnen im zielsystem quelldarstellung: (0.1001) 2 gesucht: zieldarstellung (0. ) umwandlung der ziffern (1) 2, (0) 2 in zieldarstellung (1) 10, (0) umwandlung von (10) 2 in (2) hornerschema (((1/2 + 0)/2+0)/2+1)/2 = (0.5625) 10

41 rechnen im quellsystem vorgangsweise (u=0.xxx): 1. umwandeln der ziffer B in quelldarstellung b 2. berechnung U -1 = u*b U -2 = {u*b}*b U -3 = {{u*b}*b} {x} = x- x 3. abbruch bei {x}=0 oder gemäß vorgabe (falls keine endliche entwicklung)

42 rechnen im quellsystem quelldarstellung: (0.5625) 10 gesucht: zieldarstellung (0. ) 2 4. umwandeln der ziffer (10) 2 in quelldarstellung (2) berechnung U -1 = *2 = 1 U -2 = {1.125}*2 = 0 U -3 = {0.25}*2 = 0 U -4 = {0.5}*2 = 1 6. {1}= 0 => abbruch 7. lösung: (0.5625) 10 = (0.1001) 2