Fehlererkennung. Fehlererkennung

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1 Fehlererkennung Seite 1 Prof. Dr. W. Kowalk

2 Datenübertragung über physikalische Signale mehr oder minder hohe Anfälligkeit gegen Verfälschung der Signale Empfänger interpretiert Signal anders als von Sender gemeint durch äußere Störeinflüsse innere Unregelmäßigkeiten Zufall beträchtliches Problem bei zuverlässiger Datenübertragung Seite 2 Prof. Dr. W. Kowalk

3 Technische Systeme grundsätzlich nicht fehlerfrei Treten Fehler nur selten auf innerhalb eines Rechensystems in der Regel nicht berücksichtigt Treten Fehler sehr häufig auf Übertragung über stark gestörtes Medium Medium schwierig zu überprüfen Fehler nicht vorhersehbar angemessene Maßnahmen ergreifen Redundante Zusatzinformation Gemeinsame Berechnungsvorschrift Sender und Empfänger vergleichen Ergebnis Fehlerhafte Daten korrigieren oder wiederholt senden Seite 3 Prof. Dr. W. Kowalk

4 Was ist häufig? Wann ist Fehlererkennung/-korrektur notwendig? Fehlerhäufigkeit quantitativ erfassen Auftreten von Fehlern möglichst sicher erkennen Angemessene Reaktion bei Fehlern nächstes Kapitel Keine absolute Sicherheit in realer Welt! heute Korrigieren von Fehlern immer wichtiger Seite 4 Prof. Dr. W. Kowalk

5 Entstehung von Fehlern Fehler in elektrischen Systemen Empfänger eines Signals kann verschiedene Signalwerte nicht voneinander Rechnernetze unterscheiden 1 Thermische Elektronenbewegung in Halbleitern/Leitungen Elektromagnetische Einstrahlung Motoren Spulen von Zündanlagen Blitze Radioaktive Einstrahlung Höhenstrahlung natürliche/künstliche Radioaktivität Fehlerbündel (error burst) Seite 5 Prof. Dr. W. Kowalk

6 Entstehung von Fehlern beschränkte Übertragungskapazität einer Leitung Signal zu stark gedämpft Dämpfung frequenzabhängig unglückliche Rechnernetze Signalfolge kann Fehler erzeugen 1 Überlagerung mit anderen physikalischen Effekten elektrische Charakteristika ändern sich kurzfristig nicht Fehler meist nur sehr schwierig einzugrenzen Signalveränderungen treten selten und unregelmäßig auf einfache technische Maßnahmen häufig nicht ausreichend elektrische Abschirmungen Seite 6 Prof. Dr. W. Kowalk

7 Entstehung von Fehlern Zufällige Fehler Nicht vorhersehbar Kaum berechenbar Fehlererkennung Führen nicht immer zu Fehlern Geräte möglichst fehlerarm ausgelegt Messungen von Fehlern an realen System Einfache mathematische Modelle Seite 7 Prof. Dr. W. Kowalk

8 Fehlerbeschreibung statistische Darstellung für Auftreten falscher Werte einfaches Modell unabhängige Rechnernetze Fehlerwahrscheinlichkeit 1 Wahrscheinlichkeit für falsches Bit unabhängig von 'Vorgeschichte' (Auftreten des letzten Fehler) realistisches Modell zufällige Fehler treten nur einzeln auf nicht gerade Fehlerbursts ein erkanntes Bit kann verfälscht, aber richtig sein im Mittel jedes zweite 'falsche' Bit hat richtigen Wert Fehlererkennung von Fehlerbursts mit anderen Methoden Seite 8 Prof. Dr. W. Kowalk

9 Fehlerbeschreibung Aufwändigere Modelle: Markov-Modell n Fehler in Folge im Zustand n keine Fehler im Zustand 0 Wahrscheinlichkeit Rechnernetze z 1 n, im Zustand n zu sein z n = p z n-1 = p n z 0 = p n (1-p) Größere Anzahl von Bits einziehbar Sehr geringe Fehlerwahrscheinlichkeiten Seite 9 Prof. Dr. W. Kowalk

10 Fehlerhäufigkeit Beispiel Sei Fehlerwahrscheinlichkeit 10-8 in Ethernet-Systemen im Mittel je Sekunde ein Fehler für praktische Rechnernetze Anwendungen viel zu 1großer Wert in fast jeder übertragenen Datei ein fehlerhaftes Bit Mehrfache Übertragung vergrößert Anzahl der Fehler schnell Übertragungsfehler unbedingt erkennen und korrigieren! Seite 10 Prof. Dr. W. Kowalk

11 Fehlerentdeckung durch Redundanz Grundlegende Methoden zur Fehlerentdeckung fasse mehrere Bits in Blöcke zusammen fügen jedem Block ein oder mehrere Kontrollbits hinzu Anzahl übertragener Bits größer als Nutzinformation Quantifizieren durch Redundanz relative zusätzliche Information zur Fehlererkennung Redundanz= Anzahl der übertragenen Bits 1 Anzahl der Nutdatenbits auch andere Definition (Informationstheorie) Zur Fehlerkorrektur mindestens zwei Verfahren Falsche Blöcke werden noch einmal gesendet (ARQ) Fehlerkorrigierende Verfahren Seite 11 Prof. Dr. W. Kowalk

12 Fehlerentdeckung durch Redundanz ARQ-Verfahren Sender kennt richtige Nachricht Sende Nachricht bei Fehler noch einmal Übliches Verfahren in klassischen Anwendungen Nicht geeignet beim Lesen von verfälschten Datenträgern Fehlerkorrektur Füge ausreichend Redundanz zur Nachricht hinzu Wichtig bei stark fehlerhaften Kanälen Drahtlose Kommunikation Bluetooth FEC (forward error correction) Wichtig bei Speicherung von Daten falsche Daten bleiben falsch CD-Kodierung Seite 12 Prof. Dr. W. Kowalk

13 Beispiel 1 Sende jeden Datenblock zweimal. Redundanz je Datenblock R= 2 1 1=1 Fehlerwahrscheinlichkeit je Datenblock P [ mindestens ein Fehler in einem Block]= = ,5 Jeden sten Block zweimal senden Redundanz für Datenübertragung: Redundanz= Anzahl der übertragenen Bits Anzahl der Nutdatenbits 1=1,0001 Seite 13 Prof. Dr. W. Kowalk

14 Beispiel 2 Sende jeden Datenblock dreimal. Redundanz je Datenblock R= 3 1 1=2 Entscheider- oder Schiedsrichterverfahren (arbiter) Bei Fehler entscheidet 'Mehrheit' Fragestellungen Wahrscheinlichkeit eines unerkannten Fehlers bei zweimaligem Senden des Datenblocks Kosten für Fehlererkennung Kosten bei Nichterkennung von Fehlern Abhängigkeiten von Fehlerwahrscheinlichkeiten Seite 14 Prof. Dr. W. Kowalk

15 Fehlerkorrektur Hamming-Codes selbstkorrigierender Code (error correcting code) Zusatzinformation um auftretende Fehler entdecken zugleich korrigieren Hamming-Codes Mathematiker Hamming (ca. 1950) Verfahren zur Konstruktion eines Hamming-Codes Seite 15 Prof. Dr. W. Kowalk

16 Fehlerkorrektur Hamming-Codes Information mit k Bits kodierbar Alphabet umfasst höchstens 2 k verschiedene Zeichen Zusätzlich r Bits Redundanz-Information wie viele Redundanz-Bits Rechnernetze mindestens? 1 Fehler von s Bits in Nachricht erkennen und korrigieren im folgenden nur s=1 (ein 1-Bit-Fehler) b 1 b 2...b k p 1 p 2..p r Codewort mit k Nutzdatenbit und r Prüfbit Hamming-Abstand zwischen zwei Codewörtern Anzahl von Stellen mit verschiedenen Bits / = = = = = / = => Hamming-Abstand ist 2 Seite 16 Prof. Dr. W. Kowalk

17 Fehlerkorrektur Hamming-Codes Hamming-Abstand eines Alphabets minimaler Abstand zweier verschiedener Codewörter in diesem Alphabet konstruiere fehlerkorrigierenden Code zu Alphabet mit k Bit-Wörtern, d.h. 2 k Wörtern Seite 17 Prof. Dr. W. Kowalk

18 Fehlerkorrektur Hamming-Codes Codewort C der Länge n=k+r Bits genau ein Codewort mit Hammingabstand 0 (C) zu C genau n Codewörter mit Hamming-Abstand 1 genau eines der n Bits von C komplementiert 2 k Zeichen, jedes belegt n+1 Codewörter (n+1) 2 k Codewörter mit n Bits darstellbar (n+1) 2 k = (k+r+1) 2 k 2 n = 2 k+r k+r+1 2 r (Hamming-Bedingung) r Prüfbits zur Sicherung von k Datenbits Seite 18 Prof. Dr. W. Kowalk

19 Fehlerkorrektur Hamming-Codes Beispiel k=4, r=3: k+r+1=4+3+1=8 2 r =2 3 = 8. Regel ordne Rechnernetze Prüfbit r (=1,2,3) Bits mit 1 Nummer q zu, wenn in q r-tes Bit gesetzt ist. Ist Bit q falsch, so sind die Paritäten der Prüfgruppen {p i }=P falsch, wobei: q= i P 2 i Auf längere Bitfolgen erweiterbar! Im Prinzip auch für 2-Bitfehler Aufwand! Prüfgruppen P P Fehlerhaftes Bit Nr Paritätsfehler in Gruppe(n) 1 2 1,2 3 1,3 2,3 1,2,3 Seite 19 Prof. Dr. W. Kowalk

20 Hamming-Codes Beispiel k=4, r=3: Fehlerkorrektur k+r+1=4+3+1=8 2 r =2 3 = 8. Prüfgruppen P P Gruppe Gruppe Gruppe Fehlerhaftes Bit Nr Paritätsfehler in Gruppe(n) 1 2 1,2 3 1,3 2,3 1,2,3 Seite 20 Prof. Dr. W. Kowalk

21 Fehlerkorrektur Korrektur von Fehlerbursts Bitfehlerfolgen maximalen Länge m korrigieren. m Codewörter in einem Block zusammenfassen zunächst erste Bits der m Codewörter sodann zweite Bits übertragen usw. Fehlerfolge nicht länger als m höchstens ein Bit falsch lässt sich natürlich korrigieren Redundanz sehr hoch Seite 21 Prof. Dr. W. Kowalk

22 Fehlerkorrektur Korrektur von Fehlerbursts Redundanz verringern durch Erhöhung der Bits je Codewort Höchstens ein Fehlerburst je Block! Im folgenden nur noch Fehlererkennung (Ausnahme: CRC) Seite 22 Prof. Dr. W. Kowalk

23 Fehlerwahrscheinlichkeiten Nutzdatenlänge k Bits Übertragungsdatenlänge n Bits Differenz r=n-k Länge der Prüfinformation Redundanz R= n k k Blockfehlerwahrscheinlichkeit Block der Länge n Bitfehlerwahrscheinlichkeit p genau s fehlerhafte Bits bei Binomialverteilung p s = n s p s 1 p n s Seite 23 Prof. Dr. W. Kowalk

24 Blockfehlerwahrscheinlichkeit Blocklänge n Bitfehlerwahrscheinlichkeiten p Bitfehler in Block s, mindestens ein Fehler im Block Seite 24 Prof. Dr. W. Kowalk

25 Blockfehlerwahrscheinlichkeit 10-8 W. Bitfehler zu übersehen: Blocklänge 128 Bits, wenn 1 Bitfehler erkennbar Blocklänge 1000 Bits, wenn 1+2 Bitfehler erkennbar Blocklänge Bits, wenn Bitfehler erkennbar Seite 25 Prof. Dr. W. Kowalk

26 mittlere Zeit bis zum nächsten Fehler mean time between error, MTBE Beispiel Ethernet Blöcke mit Bits Länge 10 MBit/s etwa 667 Blöcke je Sekunde jeder 8. falsch mittlere Zeit zwischen zwei Fehlern ca. 12 ms in jeder Sekunde über 80 Fehler Mittlere Zeit zwischen zwei unentdeckten Fehlern mean time between undiscovered error, MTBUE Seite 26 Prof. Dr. W. Kowalk

27 Fehlererkennung mit einem, zwei, drei Bitfehlern Wahrscheinlichkeit eines unentdeckten fehlerhaften Ethernetblocks maximaler Länge: 5, Zeit zwischen zwei unentdeckten fehlerhaften Blöcken ca Sekunden oder 3 Stunden Große Fehlerwahrscheinlichkeit Qualität erheblich verbessert Seite 27 Prof. Dr. W. Kowalk

28 hier Überblick über Art von Fehlern vertretbare Wahrscheinlichkeiten für unentdeckte Fehler in Praxis häufig Fehlern nicht unabhängig Fehler in Bündeln (burst) Entdeckung von Fehlerbursts gesondert behandeln nicht in jedem Fall ein realistischen Modell Anhaltspunkte für zu treffende Maßnahmen Seite 28 Prof. Dr. W. Kowalk

29 Prüfsummen Prüfinformation Fehlererkennung einfache algebraische Verfahren arithmetische Summe (i.d.r. modulo größerer Zahl) Prüfinformation in IP und TCP eingesetzt Unterschiedliche Art der Addition Einer- oder Zweierkomplementzahlen Im Internet Einerkomplement-Verfahren Seite 29 Prof. Dr. W. Kowalk

30 Prüfsummen Zweierkomplementzahlen ohne Überlauf Einfache Bitfehler werden mit Sicherheit erkannt Zweifache Bitfehler werden nicht alle erkannt = = Dreifache Bitfehler werden nicht alle erkannt = = Verfahren sehr schwach! Seite 30 Prof. Dr. W. Kowalk

31 Prüfsummen Einerkomplementzahlen In IP (Header) TCP (Ganzer Datenblock) UDP (optional) Einfache Bitfehler werden mit Sicherheit erkannt Zweifache Bitfehler werden nicht alle erkannt = = 0011 Dreifache Bitfehler werden nicht alle erkannt = = 0101 Verfahren sehr schwach! Sollte nach Prüfphase durch CRC ersetzt werden Bis heute nicht geschehen Seite 31 Prof. Dr. W. Kowalk

32 Paritätsprüfung sehr einfache Methode zur Fehlererkennung ein Bit Prüfinformation Anzahl aller 1-Bits gerade auch: Summe modulo 2 ist 0 auch: gerade Parität alternativ: ungerade Parität Prüfbit wird Paritätsbit genannt (parity bit) Redundanz 1/k erkennt jede ungerade Anzahl von Bitfehlern Verbesserungen jeweils m<k Bits durch Paritätsbit prüfen jeweils jedes m-te Bit durch Paritätsbit prüfen Seite 32 Prof. Dr. W. Kowalk

33 Paritätsprüfung von Datenblöcken VRC = Vertical Redundancy Check Vertikale Redundanz-Prüfsumme' LRC = Longitudinal Redundancy Check 'longitudinale Prüfsumme' Redundanz R= 2 k Jede ungerade Anzahl von Bitfehlern Zwei Bitfehler Die meisten geraden Bitfehler Verwendung Blockprüfung bei magnetischen Datenträgern X X X X X X X X P X X X X X X X X P X E X X E X X X P X X X X X X X X P X X X X X X X X P X E X X E X X X P X X X X X X X X P X X X X X X X X P P P P P P P P P Seite 33 Prof. Dr. W. Kowalk

34 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Cyclic Redundancy Check (CRC) Verallgemeinerung der Paritätsprüfung Heute allgemeine Rechnernetze Anerkennung 1 Vielfache Einsatzmöglichkeiten HDLC-LAPB LLC ATM Bluetooth Seite 34 Prof. Dr. W. Kowalk

35 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Darstellung einer Bitfolge als Polynom über Körper {+,, {0,1}} Beispiel: Polynom: F(X) = X 15 +X 12 +X 10 +X 8 +X 7 +X 6 +X 4 +X 2 +1 Körper {+, ; {0,1}}: 0+0=1+1=0, 1+0=0+1=1; 0 0=1 0=0 1=0; 1 1=1. Polynom-Rechenregeln ähnlich wie normale Rechenregeln. Jedoch: F(X)+F(X)=0 Seite 35 Prof. Dr. W. Kowalk

36 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Beispiel Division beim Sender Generator Rest Dividend Rechnernetze Sende: Seite 36 Prof. Dr. W. Kowalk

37 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Beispiel Division Generator Rest Dividend Rechnernetze Seite 37 Prof. Dr. W. Kowalk

38 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Generatorpolynom G(X) vom Grad r. Nachricht U(X) Sender dividiert Rechnernetze U(X)*X r durch G(X) 1Rest D(X) U(X)*X r = G(X) Q(X) + D(X). Sender übermitteltu(x) D(X) C(X) = U(X) X r + D(X) = G(X) Q(X). Fehlerpolynom E(X): R(X) = C(X) + E(X). Empfänger dividiert R(X) durch G(X) Rest nicht null Übertragungsfehler Seite 38 Prof. Dr. W. Kowalk

39 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Seite 39 Prof. Dr. W. Kowalk

40 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) 1. Jedes Generatorpolynom erkennt genau ein falsches Bit 2. Jedes Generatorpolynom mit gerader Anzahl von Termen erkennt alle Fehler mit ungerader Anzahl fehlerhafter Bits 3. Jedes Generatorpolynom vom Grad r erkennt jeden Fehlerburst, dessen Länge nicht größer als r ist; bei Fehlerburst mit Länge r+1 alle Fehler bis auf einen 4. Jedes Generatorpolynom vom Grad r erkennt sämtliche 2- Bit-Fehler, die nicht in einem Vielfachen des Periodenabstands des maximalen Generatorbitfilter zu G(X) liegen Seite 40 Prof. Dr. W. Kowalk

41 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Einige Generatorpolynome CRC-16 CRC-CCITT CRC-32 HEC Bluetooth X 16 +X 15 +X 2 +1 X 16 +X 12 +X 5 +1 X 32 +X2 6 +X 23 +X 22 +X 16 +X 12 +X 11 +X 10 +X 8 +X 7 +X 5 +X 4 +X 2 +X+1 X 8 +X 2 +X+1 X 5 +X 4 +X 2 +1 CRC-16 und CRC-CCITT im wesentlichen gleich gut Bitfilterlänge jeweils maximal (2 15-1=32767) Vielfach eingesetzt, z.b. HDLC-LAPB Blöcke bis zu 4095 Bytes optimal geschützt CRC-33 Ungerade Anzahl von Termen? Erkennt nicht (einmal) alle ungeraden Bitfehler? Seite 41 Prof. Dr. W. Kowalk

42 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Fehlerkorrektur Verschiedene 1 Bit-Fehler erzeugen verschiedene Reste 1 Bit- und 2 Bit-Fehler erzeugen verschiedene Reste HEC Bluetooth XRechnernetze 8 +X 2 +X+1 1 X 5 +X 4 +X 2 +1 HEC (Header Error Correction) Im ATM-Standard: Fehlerhafter Header wird korrigiert Bluetooth: 2/3 rate FEC 15 Bit-Hammingverfahren: 10 Datenbits + 5 Bit Prüfsumme Generator = Empfänger kann jeden einzelnen Bitfehler korrigieren Empfänger kann allen zweifachen Bitfehler erkennen Seite 42 Prof. Dr. W. Kowalk

43 Zyklische Redundanzprüfung (CRC) Schieberegister mit Generator Q(X) = X 16 + X 15 + X Einfaches Verfahren (on-the-fly) Gleiches Verfahren Rechnernetze bei Sender und 1Empfänger Preiswerte Hardware-Realisierung Seite 43 Prof. Dr. W. Kowalk