Kapitel 5. Kapitel 5 Fehlererkennende Codes

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1 Fehlererkennende Codes Inhalt Grundlagen: Was Was sind sind Vehler? Vertuaschungsfehler Der Der ISBN-Code Der Der EAN-Code ( Strichcode ) Seite 2

2 5.1 Grundlagen: Was sind Vehler? Bei Bei der der Speicherung und und Übertragung von von Daten (Texten, Zahlen) entstehen Fehler: Zeichen können verändert werden, vertauscht werden, wegfallen usw.: Vehler, Feler, Fehlerrr, Definition: Ein Ein Fehler eines Textes (d.h. (d.h. Buchstaben oder oder Zahlenfolge) besteht (für (für uns) uns) darin, dass dass ein ein oder oder mehrerer Zeichen verändert werden (d.h. (d.h. zu zu anderen Zeichen werden). Ziel: Ziel: Der Der Empfänger soll soll erkennen können: ob ob ein ein (oder mehrere) Fehler passiert sind sind (Fehlererkennung) wie wie die die Originalzeichen aussehen (Fehlerkorrektur). Seite 3 Die Methode Grundidee: Man Man fügt fügt der der Nachricht etwas hinzu, eine eine Kontrollinformation, die die dazu dazu dient, eventuelle Übertragungsfehler zu zu erkennen. Beispiele: Namen buchstabieren ( Emm o enn enn enn ennte tea ge ) ge ) Buchstabieralphabete ( A ( A wie wie Anton, B wie wie Berta,... )... ) Natürliche Sprachen sind sind redundant (haben überflüssige Information): man man vrsteht alls, alls, auc aucwnn wnneinge Bchstbn fhln. fhln. Selpst wen wen groppe recktscreib Felr Felrauftren, ged geddr drßinn ßinnnich nichfärlohn. Seite 4

3 Die Prüfziffer Beispiel: Wir Wir wollen 4-stellige Zahlen übermitteln. Der Der Empfänger soll soll merken, ob ob die die Daten korrekt sind. sind. Da Da man man dies dies an an den den Daten selbst nicht nicht erkennen kann, fügt fügt man man eine eine Ziffer Ziffer hinzu (man (man erhält also also eine eine 5-stellige Zahl), und und zwar zwar so, so, dass dass die die Quersumme dieser Zahl Zahl eine eine Zehnerzahl ist. ist. Die Die Ziffer an an der der hinzugefügten Stelle heißt heißt Prüfziffer. Konkret: man man bestimmt die die Summe der der ersten vier vier Ziffern und und ergänzt diese Summe durch die die Prüfziffer zur zur nächsten Zehnerzahl. Beispiel: Wenn die die Daten die die Zahl Zahl sind, sind, so so ist ist die die Prüfziffer 0; 0; der der Datensatz hat hat die die Prüfziffer Übermittelt wird wird dann dann die die Folge bzw. bzw Seite 5 Code Man Man spricht von von einem Code. Im Im Beispiel ist ist der der Code die die Menge aller aller 5-stelligen Zahlen, deren Quersumme durch teilbar ist: ist: C = {a {a 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a a i i {0, {0, 1, 1,...,..., 9}, 9}, a 1 +a 1 +a 2 +a 2 +a 3 +a 3 +a 4 +a 4 +a 5 ist 5 ist durch teilb.}. Die Die Elemente eines Codes nennt man man Codewörter. Der Der Empfänger akzeptiert eine eine Nachricht nur, nur, wenn sie sie ein ein Codewort ist. ist. Konkret: Der Der Empfänger summiert die die Ziffern (inklusive der der Prüfziffer). Er Er akzeptiert die die Nachricht nur, nur, wenn dies dies eine eine Zehnerzahl ist. ist. Beispiel: wird wird akzeptiert nicht. Seite 6

4 Definition eines Paritätscodes Definition. Man Man bezeichnet die die Menge C = {a {a 1 a a n n a i i {0, {0, 1, 1,...,..., 9}, 9}, a a a n ist n ist durch teilbar} als alsparitätscode der derlänge n zur zur Basis Satz: Jeder Paritätscode erkennt Einzelfehler. Beweis. Sei Sei a 1 a a 2...a n ein n ein Codewort. Dann ist ist a 1 +a 1 +a a n durch n teilbar. Es Es sei sei ein ein Fehler der der ersten Stelle aufgetreten. D.h. D.h. a 1 1 wurde in in eine eine andere Ziffer Ziffer a 1 ' 1 ' a 1 verwandelt. 1 Angenommen, auch auch a 1 a 1 a 2...a 2...a n wäre n wäre ein ein Codewort. Dann wäre wäre auch auch a 1 +a 1 +a a...+a n durch n teilbar. Seite 7 Beweis (Fortsetzung) Dann ist ist (2.1.1) auch auch die die Differenz (a (a a a n ) n ) (a (a 1 ' 1 ' + a a n ) n ) = a 1 1 a 1 1 durch teilbar. Da Da a 1 und 1 und a 1 1 Ziffern aus aus {0, {0, 1, 1,...,..., 9} 9} sind, sind, muss gelten: 9 9 a 1 1 a Die Die einzige Zahl Zahl in in diesem Bereich, die die durch teilbar ist, ist, ist ist Also Also folgt: folgt: a 1 1 a 1 1 = 0, 0, d.h. d.h. a 1 = 1 a Das Das ist ist ein ein Widerspruch, also also ist ist a 1 a 1 a 2...a 2...a n kein n kein Codewort. Seite 8

5 5.2 Vertuaschungsfehler Definition. Wir Wir sagen: Ein Ein Code C erkennt Vertauschungsfehler, falls falls für für jedes Codewort a 1 a a i a i i+1...a i+1...a n gilt: n gilt: Die Die durch Vertauschung der der Elemente a i und i und a i+1 (mit i+1 (mit a i i a i+1 ) i+1 ) erzeugte Folge a 1 a a i+1 a i+1 i...a i...a n ist n ist kein keincodewort. Die Die bisherigen Paritätscodes erkennen keine Vertauschungsfehler. Da Da = ist, ist, kann kann man man nicht nicht erkennen. Wunsch: Die Die einzelnen Stellen sollen unterschiedlich stark in in die die Quersumme eingehen. Idee: Idee: Jede Jede Stelle wird wird mit mit einem Gewicht versehen. Die Die entsprechende Ziffer Ziffer wird wird mit mit diesem Gewicht multipliziert, bevor sie sie in in die die Quersumme eingeht. Seite 9 Beispiel (Kontonummern, Loknummern...)...) (Konto)nummer ohne ohne Prüfziffer: Gewichtung Produkte (Ziffer Gewicht) Dann wird wird die die Summe S dieser Produkte bestimmt; es es ergibt sich sich S = = Diese Zahl Zahl wird wird durch die die Prüfziffer zur zur nächsten Zehnerzahl ergänzt. Die Die Prüfziffer ist ist also also gleich 8, 8, und und die die vollständige Kontonummer lautet Seite 10

6 Code 1 Wir Wir beschreiben diesen Code ( Code 1 ) 1 ) formal: C 1 = 1 {a {a 1 a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 5 a 5 6 a 6 7 a 7 8 a teilt teilt a a 2a a a 2a a a 2a a a 2a a 9 }. 9 }. Vorteil: In In diesem Code 1 können wir wir prinzipiell Vertauschungsfehler erkennen, da da benachbarte Stellen verschieden gewichtet werden. Nachteil: Code 1 erkennt nicht nicht alle alle Einzelfehler! Wenn an an einer einer mit mit 2 gewichteten Stelle die die Zahl Zahl 8 mit mit der der Zahl Zahl 3 vertauscht wird, wird, so so liefert die die 8 den den Beitrag 16, 16, die die Zahl Zahl 3 den den Beitrag 6 zur zur Summe S; S; also also ergibt sich sich die die gleiche Prüfziffer. Ebenso werden 7 2, 2, 6 1, 1, 5 0 und und 9 4 nicht nicht erkannt. Seite 11 Code 2 Kontonummer ohne ohne Prüfziffer: Gewichtung Produkte (Ziffer Gewicht) Quersummen dieser Produkte Dann wird wird die die Summe S dieser Quersummen bestimmt: S = = Diese Zahl Zahl wird wird durch die die Prüfziffer zur zur nächsten Zehnerzahl ergänzt. Die Die Prüfziffer ist ist also also 5, 5, und und die die vollständige Kontonummer lautet Seite 12

7 Code 2 erkennt Einzelfehler Satz. Der Der Code 2 erkennt alle alle Einzelfehler. Beweis. Stellen, die die mit mit 1 gewichtet sind: sind: o.k. o.k. (vergleiche ) Wir Wir betrachten eine eine mit mit 2 gewichtete Stelle. Zu Zu zeigen: Die Die Quersummen des des Doppelten der der Ziffern sind sind verschieden. (Das (Das ist ist der der Beitrag, der der von von dieser Stelle in in die die Summe S eingeht. Wenn diese Zahlen alle alle verschieden sind, sind, dann dann werden alle alle Einzelfehler erkannt.) Ziffer Ziffer Produkt (Ziffer Gewicht) Quersumme des des Produkts Seite Der ISBN-Code ISBN = Internationale Standard Buch Nummer Jede Jede ISBN hat hat zehn zehn Stellen, die die in in vier vier Gruppen eingeteilt sind. sind. Erste Gruppe: Sprachraum (0, (0, 1: 1: englisch, 2: 2: französisch, 3: 3: deutsch,...,..., 88: 88: italienisch,...)...) Zweite Gruppe: Verlag (528: Verlag Vieweg) Dritte Gruppe: Nummer des des Buches (z.b. (z.b : In In Mathe war war ich ich immer schlecht... ).... ). Vierte Gruppe: Prüfsymbol. Seite 14

8 Berechnung des Prüfsymbols Sei Sei a 1 a 1 2 a a 9 a 9 10 eine 10 eine ISBN (also (also ist ist a 10 das 10 das Prüfsymbol). Dieses wird wird so so bestimmt, dass dass die die Zahl Zahl 10 a 10 a a 9 a a 8 a a 7 a a 6 a a 5 a a 4 a a 3 a a 2 a a 1 a eine eine Elferzahl ist. ist. Das Das bedeutet: Man Man bestimmt die die Zahl Zahl S = 10 a 10 a a 9 a a 8 a a 7 a a 6 a a 5 a a 4 a a 3 a a 2 a 9 9 und und ergänzt diese durch das das Prüfsymbol a 10 zur 10 zur nächsten Elferzahl. Welche Werte kann kann a 10 annehmen? 10 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...,..., 9 oder oder Wenn sich sich ergibt, so so schreibt man man X (römische Zehn). Seite 15 Qualität des ISBN-Codes Formale Beschreibung des des ISBN-Codes: C ISBN = ISBN {a {a 1 a a 2...a teilt teilt 10 a 10 a a 9 a a 8 a a 7 a a 3 a a 2 a a 1 a 10 }. 10 }. Dass Dass der der ISBN-Code super ist, ist, sagt sagt der der folgende Satz: Satz. (a) (a) Der Der ISBN-Code erkennt alle alle Einzelfehler. (b) (b) Der Der ISBN-Code erkennt alle alle Vertauschungsfehler sogar an an beliebigen Stellen. Seite 16

9 Beweis Beweis. (a): (a): Übungsaufgabe. (b) (b) Wir Wir zeigen, dass dass der der ISBN-Code jede jede Vertauschung der der ersten beiden Stelle erkennt. Sei Sei dazu dazu a 1 a 1 2 a a 9 a 9 10 eine 10 eine ISBN. Also Also ist ist 10 a 10 a a 9 a a 8 a a 7 a a 6 a a 5 a a 4 a a 3 a a 2 a a 1 a eine eine durch teilbare Zahl. Zahl. Nun Nun mögen die die ersten beiden Ziffern vertauscht werden; es es entsteht also also die die Folge a 2 a 2 1 a a 9 a Wir Wir können a 1 1 a 2 voraussetzen. 2 Angenommen, auch auch dies dies wäre wäre ein ein Codewort. Dann wäre wäre auch auch 10 a 10 a a 9 a a 8 a a 7 a a 6 a a 5 a a 4 a a 3 a a 2 a a 1 a eine eine durch teilbare Zahl. Zahl. Seite 17 Beweis (Fortsetzung) Zusammen folgt folgt mit mit 2.1.2, dass dass auch auch folgende Zahl Zahl teilt: teilt: 10 a 10 a a 9 a 2 2 (10 a (10 a a 9 a 1 ) 1 ) = a 1 1 a Nun Nun argumentieren wir wir wie wie im im Beweis von von 3.4.1: Da Da a 1 und 1 und a 2 beide 2 zwischen 0 und und 9 liegen, ist ist die die Differenz a 1 1 a 2 eine 2 eine Zahl Zahl zwischen 9 9 und und Die Die einzige durch teilbare Zahl Zahl in in diesem Bereich ist ist aber aber Daher ist ist a 1 1 a 2 = 2 0, 0, das das heißt heißt a 1 = 1 a Dieser Widerspruch zeigt, dass dass der der ISBN-Code Vertauschungen der der ersten beiden Stellen 100%ig erkennt. Seite 18

10 5.4 Der EAN-Code EAN EAN = Europäische Artikel Nummer Ziele: (a) (a) Schutz gegen Einzelfehler und und (in (in geringerem Umfang) gegen Vertauschungsfehler (b) (b) Nummer sowohl menschen- als als auch auch maschinenlesbar. Methoden: (a) (a) Prüfziffer (b) (b) Strichcode (Barcode) (für (für Lesbarkeit durch einen Scanner) Konsequenz: In In den den Strichen steckt die die gleiche Information wie wiein in den den Ziffern ; darin darin ist ist keine Geheiminformation verborgen. Seite 19 EAN Eine Eine EAN EAN hat hat (oder, bei bei kleinen Artikeln, 8) 8) Stellen, die die in in vier vier Gruppen eingeteilt sind. sind. Erste Gruppe (2 (2 Ziffern): Land Land der der Herstellung (00-09: U.S.A., Canada, 30-37: Frankreich, 40-43: Deutschland, 50: 50: U.K., U.K., 54: 54: Belgien, 57: 57: Dänemark, 76: 76: Schweiz, 80-81: Italien, 90-91: Österreich,...)...) Zweite Gruppe (5 (5 Ziffern): bundeseinheitliche Beztriebsnummer Dritte Gruppe (5 (5 Ziffern): Herstellespezifische Artikelnummer Vierte Gruppe (1 (1 Ziffer): Prüfziffer Seite 20

11 Die Prüfziffer beim EAN-Code EAN EAN ohne ohne Prüfz.: Gewichtung Produkte Dann wird wird die die Summe S dieser Produkte bestimmt; es es ergibt sich sich S = = Diese Zahl Zahl wird wird durch die die Prüfziffer zur zur nächsten Zehnerzahl ergänzt. Die Die Prüfziffer ist ist also also gleich 0, 0, und und die die vollständige EAN EAN lautet Seite 21 Eigenschaften des EAN-Codes Satz. Der Der EAN EAN Code erkennt alle alle Einzelfehler Der Der EAN-Code erkennt nicht nicht alle alle (aber die die meisten) Vertauschungsfehler. Beweis: Übungsaufgabe Bemerkung: Da Da beim beim Lesen durch einen Scanner praktisch keine Vertauschungsfehler vorkommen, war war es es entscheidend, eine eine sehr sehr gute gute Einzelfehlererkennung zu zu gewährleisten. Seite 22

12 Der Strichcode Die Die Übersetzung einer einer EAN EAN in in den den maschinenlesbaren Strichcode erfolgt auf auf raffinierte Art Art und und Weise. Zusätzliche Ziele: Man Man muss erkennen könne, in in welcher Richtung die die Ziffern gelesen werden (von (von vorne nach nach hinten o.u.). o.u.) Man Man möchte zwei zwei Hälften aus aus 6 Ziffern haben; daher wird wird die die erste erste Ziffer implizit durch die die andern codiert. Konsequenz: Man Man braucht verschiedene Zeichensätze. Methode: Jede Jede Ziffer Ziffer wird wird in in eine eine Folge von von sieben weißen und und schwarzen Streifen gleicher Dicke übersetzt. (Diese Streifen fügen sich sich zu zu mehr mehr oder oder weniger dicken schwarzen und und weißen Streifen zusammen.) Siehe Tabelle auf auf der der nächsten Folien. Seite 23 Die Tabelle für die Strichcodes Seite 24

13 Prinzip des Strichcodes Beobachtung: Jedes Zeichen des des Zeichensatzes A hat hat eine eine ungerade Anzahl von von schwarzen Streifen, aber aber bei bei B und und C hat hat jedes Zeichen eine eine gerade Anzahl von von schwarzen Streifen. Tatsächlich ist ist C das das Komplement von von A. A. Wie Wie werden die die Ziffern a 1, 1, a 2, 2, a 3, 3,..., a 13 einer 13 einer EAN EAN in in Strichmuster codiert? Die Die Ziffern a 8, 8, a 9, 9,..., a 13 (also 13 (also die die zweite Hälfte) wird wird stets stets mit mit Zeichensatz C codiert. Die Die Ziffern a 2, 2, a 3, 3,..., a 7 werden 7 gemäß folgender Tabelle codiert. Durch die die Abfolge der der Zeichensätze wird wird a 1 automatisch 1 codiert. Seite 25 Zeichensätze für die Ziffern a 2,, a 3,,...,..., a 7 a 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a A A A A A A 1 A A B A B B 2 A A B B A B 3 A A B B B A 4 A B A A B B 5 A B B A A B 6 A B B B A A 7 A B A B A B 8 A B A B B A 9 A B B A B A Seite 26

14 Abschließende Bemerkungen Die Die langen Striche sind sind Trennzeichen : Der Der Scanner merkt, wann er er anfangen und und wann er er aufhören muss. Der Der Scanner erkennt die die Reihenfolge der der Zeichen: Das Das erste erste Zeichen (a (a 2 ) 2 ) wird wird in in jedem Fall Fall mit mit A, A, d.h. d.h. mit mit einer einer ungeraden Anzahl von von schwarzen Streifen codiert. Das Das letzte Zeichen (a (a 13 ) 13 ) wird wird dagegen immer mit mit Zeichensatz C, C, also also einer einer geraden Anzahl von von schwarzen Streifen codiert. Der Der Scanner zählt zählt die die schwarzen Streifen im im ersten Zeichen, welches er er liest, liest, und und weiß weiß dann, ob ob er er von von vorne nach nach hinten o.u. o.u. liest. liest. Seite 27