Diplomarbeit. Lokal-adaptive Morphologie für Analyse und Modellierung von Mikrostrukturen. Marc Giertzsch

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1 Diplomarbeit Lokal-adaptive Morphologie für Analyse und Modellierung von Mikrostrukturen Marc Giertzsch

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3 Diplomarbeit Lokal-adaptive Morphologie für Analyse und Modellierung von Mikrostrukturen Abgabe: August 2007 Marc Giertzsch Fachhochschule Kaiserslautern Studiengang Ingenieurinformatik Betreuer (Fraunhofer ITWM): Dipl. -Inform. (FH) Michael Godehardt Betreuer (FH): Prof. Dr. Dipl. -Math Martin Böhm

4 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Kontext Ziele dieser Arbeit Theoretische Grundlagen Begriffsbildung und Notation Geometrische und topologische Kennwerte Distanztransformationen Morphologie Lokal-adaptive Morphologie Adaptive Morphologie Ein Status Quo Theoretische Grundlagen adaptiver Morphologie Distanzalgorithmen Raster Scan Edt Corner Edt Voronoi Edt Laufzeitvergleich von 3d Distanztransformationen Modifikation der Distanztransformationen zur Berechnung lokaladaptiver morphologischer Transformationen Modellierung zellulärer Materialien Beschreibung der Originalprobe und -aufnahme Ausgangspunkt und Zielsetzung Strukturelementgrößenbild Modellierung Diskussion und Ausblick Automatische Bestimmung des Strukturelementgrößenbildes Kugelzentren zufällig verteilter Kugeln Automatische Generierung des Strukturelementgrößenbildes Wasserglas Diskussion und Ausblick 59 A Algorithmen 61 A.1 Raster Scan Edt A.2 Corner Edt A.3 Voronoi Edt A.4 Adaptive Dilatation mittels Raster Scan Edt, 1d A.5 Adaptive Dilatation nach der Corner Edt

5 A.6 Adaptive Dilatation nach der Voronoi Edt B Laufzeitvergleich EDTs 68 C Ehrenwörtliche Erklärung 82 4

6 Abbildungsverzeichnis 1 Vorverarbeitung Klassifizierung Nachbarschaft Objekte in einem Binärbild Reflexion eines Bildes Beispiele distanztransformierter Bilder Klassische Dilatation Klassische Erosion Nicht adaptive Schließung Adaptive Schließung d Raster Scan Edt (Initialisierung) d Raster Scan Edt (Scan 1) d Raster Scan Edt (Scan 2) d Raster Scan Edt d Voronoi Edt (Initialisierung) d Voronoi Edt (Berechnung auf den einzelnen Zeilen) d Voronoi Edt (Berechnung auf den Spalten) Laufzeitvergleich 3d Edts Adaptive Dilatation, 1d Adaptive Erosion, 1d Adaptive reflektierte Dilatation, 1d Siliziumcarbidschaum Adaptive Dilatation einer Linie (Version 1) Adaptive Dilatation einer Linie (Version 2) Adaptive Dilatation einer Linie (Version 3) Adaptive Dilatation verschieden langer Linien Bestimmung der Parameterbereiche Granulometrien zur Verifikation des Parametersatzes Vergleich von Probe und Modell (Scheibenansicht) Vergleich von Probe und Modell (Volumenansicht) Artefakte im Modell Kugelförmige Objekte deren Radius von links nach rechts steigt Nicht adaptive Erosion Adaptive Erosion Testbild mit vier Kugeln Adaptive Erosion (Statisch) Testbild mit mehreren Kugeln Adaptive Erosion (Quad Trees) Adaptive Erosion (Voronoizerlegung) REM Aufnahme Wasserglas Binarisierung Adaptive Öffnung

7 43 Nicht adaptive Öffnung Nicht adaptive Öffnung Laufzeitvergleich (Testbild 1) Laufzeitvergleich (Testbild 2) Laufzeitvergleich (Testbild 3) Laufzeitvergleich (Testbild 4) Laufzeitvergleich (Testbild 5) Laufzeitvergleich (Testbild 6) Laufzeitvergleich (Testbild 7)

8 Vorwort Zunächst möchte ich mich beim Fraunhofer ITWM, Abteilung MAB für die Bereitstellung des Themas bedanken. Meinem FH-Betreuer Martin Böhm habe ich die Zeit am Fraunhofer ITWM überhaupt erst zu verdanken. Für die Erstellung einer Arbeit wie der hier vorliegenden ist vieles notwendig. Außer Zeit, Geduld, Nerven und viel Kaffee sind das viele Leute und die sind sogar wichtiger als der Kaffee die mit Rat und Tat beseite stehen. Deshalb möchte ich hier die Personen erwähnen, ohne die diese Arbeit unmöglich gewesen wäre. Zuerst möchte ich mich bei meinem Betreuer Michael Godehardt bedanken. Er hat in wöchentlichen Sitzungen immer wieder gute Nerven gezeigt und mir mit seiner Erfahrung und seinen Tips sehr viel geholfen beim Programmieren, sowie beim Schreiben. Auch bei Oliver Wirjadi möchte ich mich bedanken. Er hat sich sehr viel Zeit für mich genommen und immer wieder beim Auffinden von Fehlern geholfen, sowie meine vorliegende Ausarbeitung unzählig oft durchgelesen. Dank bin ich auch Alexandra Velichko von der Universität Saarbrücken schuldig, die die Fib-nt Aufnahmen für Kapitel 5 erstellt und die Veröffentlichung dieser Aufnahmen genehmigt hat. Der Tag in Saarbrücken war sehr interressant. In diesem Zusammenhang möchte ich mich auch beim Institut für Verbundwerkstoffe (IVW), und dort besonders bei Hermann Giertzsch, für die Proben und die Genehmigung zur Veröffentlichung der Aufnahmen bedanken. Ein besonderes Dankeschön geht an die komplette Abteilung Modelle und Algorithmen der Bildverarbeitung (MAB). Ohne das sehr gute Arbeitsklima und das ausgezeichnete Teamgefühl dort hätte die Arbeit nur halb so viel Spass gemacht und wäre nicht halb so gut geworden (ohne meine Arbeit bewerten zu wollen). Zum Schluss möchte ich mich bei meiner Familie und bei meinen Freunden bedanken. Diese hatten oft darunter zu leiden, dass ich viel und lang beschäftigt war und manchmal mussten sie mich in stressigen Situationen ertragen. Danke nochmal an alle. 7

9 1 Einleitung 1.1 Motivation Die Bildverarbeitung ist eine interdisziplinäre Wissenschaft. Schon bevor Kameras existierten, wurden Bilder von Hand aufgezeichnet, um wissenschaftliche Beobachtungen zu dokumentieren. Beispielsweise sind in der Biologie, Astronomie und Geographie Bildaufzeichnungen üblich und auch sinnvoll. Durch die ersten, analogen, Kameras wurde die Nutzung von Bildern zur Unterstützung wissenschaftlicher Erkenntnisse weiter verbreitet. Jedoch bestand die Möglichkeit die Bilder nach der Aufnahme zu verbessern oder gar auszuwerten nur beschränkt. Diese Einschränkungen wurden durch die Entwicklung digitaler Kameras beseitigt. Heute werden digitale Bilder in weitaus mehr Bereichen eingesetzt, so zum Beispiel in der Qualitätssicherung, in der Verkehrsüberwachung oder zur Personenüberwachung auf Flughäfen. Aber auch in den klassischen Gebieten werden nach wie vor bildgebende Methoden eingesetzt. Nachfolgend werden die Begriffe Bildgebung, Bildverarbeitung und Morphologie näher erläutert. Bildgebung Digitale Bilder können nicht nur durch die Verwendung von Digitalkameras entstehen. Moderne bildgebende Methoden sind zum Beispiel Wärmebildkameras oder Interferometer. Wärmebildkameras werden unter anderem eingesetzt um Energiefresser wie zum Beispiel undichte Fenster in Gebäuden aufzufinden, aber auch zur Qualitätssicherung. Mögliche Problemstellungen sind dort zum Beispiel das Auffinden von Lackierungsfehlern oder die Aufzeichnung von Motortemperaturen während Motorenlauftests. Interferometer werden zum Beispiel in der Geographie eingesetzt. Dort werden mit Hilfe der Interferometrie Plattenbewegungen, ebenso wie Gletscherbewegungen vermessen, aber auch Untersuchungen von Gesteinsschichten durchgeführt. Dies sind nur einige Beispiele und Anwendungsmöglichkeiten von bildgebenden Methoden. Die bisher genannten Verfahren sind allesamt zweidimensional, erzeugen also zweidimensionale Bilder. Manchmal werden aber dreidimensionale Bilder benötigt, um zusätzliche Informationen zu gewinnen. Beispielsweise besteht in der Medizin die Notwendigkeit dreidimensionaler Bilder. So können zum Beispiel Tumore besser beobachtet werden. Aber auch in der operativen Medizin werden dreidimensionale Bilder eingesetzt. Auch in der Materialforschung, in der Geographie und in vielen anderen Gebieten werden dreidimensionale Bilddaten benötigt. Dreidimensionale Bilder werden zum Beispiel mit Hilfe von Tomographen, Laserscanning-Mikroskopen oder Rasterkraftmikroskopen erzeugt. Bei der 8

10 Röntgentomographie entstehen die Bilder durch Rekonstruktion zweidimensionaler Röntgenbilder. Aufgrund des verwendeten multimodalen Röntgenstrahls gelangt dieses Verfahren im hohen Nanometerbereich an seine Grenzen. Eine Verbesserung ist durch die Verwendung sogenannter Synchrotronstrahlung möglich. Solche Aufnahmen sind jedoch teuer. In Deutschland sind nur wenige Einrichtungen vorhanden, die Synchrotronquellen besitzen. Die bekanntesten sind ANKA (Karlsruhe) und DESY (Hamburg und Zeuthen). Laserscanning-Mikroskope gewinnen die 3d-Information durch die Berechnung der Phasenlaufzeit des Laserstrahls. Bei der Rasterkraftmikroskopie wird eine Nadel, die an einem sogenannten Cantilever - einer Blattfeder - befestigt ist, in Scans über die Probe bewegt. Aufgrund der Auslenkung des Cantilevers, die durch ein Kraftfeld entsteht, ergibt sich ein dreidimensionales Bild. Auch durch Schichtung zweidimensionaler Bilder können dreidimensionale Bilder erzeugt werden. So kann zum Beispiel mit einem Lichtmikroskop ein Bild einer Probe aufgenommen werden, danach die Probe etwas abgetragen und erneut ein Bild aufgenommen werden. In dieser Arbeit werden als bildgebende Verfahren REM, FIB-nt und µct genutzt. REM ist die Abkürzung für Raster Elektronen Mikroskopie. In englischsprachiger Literatur wird meist die Abkürzung SEM für Scanning Electron Microscopy verwendet. Bei der Rasterelektronenmikroskopie wird eine Probe mit Elektronen, den sogenannten Primärelektronen beschossen. Aufgrund der hohen Energie der Primärelektronen lösen sich sogenannte Sekundärelektronen aus der Probe, welche dann detektiert werden. Anhand dieser Detektion lässt sich dann ein zweidimensionales Bild rekonstruieren. Die Rasterelektronenmikrosokopie erreicht Auflösungen bis in den Nanometerbereich. Details zur REM-Technik sind in [1] beschrieben. FIB-nt ist die Abkürzung für Focused Ion Beam - nano tomography. Diese Technik erlaubt dreidimensionale Bilder mit Auflösungen im Nanometerbereich. Diese Technik ist im Gegensatz zur REM-Technik zerstörend. Die Probe wird mittels eines Ionenstrahls Schicht für Schicht abgetragen. Nach jedem Abtragevorgang wird eine REM-Aufnahme der neuen Oberfläche erzeugt. So ensteht ein Bildstapel mit mehreren hundert Schichten. Details zu FIB-nt sind in [9] zu finden. Bei der µct, Mikro Computer Tomographie, wird ein dreidimensionales Bild aus Röntgenaufnahmen rekonstruiert. Zur Aufnahme dieser Röntgenbilder wird die Probe aus verschiedenen Richtungen von einer Röntgenquelle durchsetzt. Ein Sensor detektiert die transmittierte Strahlung, woraus dann das Bild rekonstruiert wird. Aus den einzelnen Aufnahmen, in der Praxis können dies über 1000 sein, wird dann mittels gefilterter Rückprojektion die dreidimensionale Aufnahme rekonstruiert. Mit der µct sind Auflösungen im Bereich einiger Mikrometer möglich. Eine genauere Beschreibung der Aufnahmeprinzipien, sowie des Rekonstruktionsverfahrens ist in [10] zu finden. 9

11 (a) Rauschglättung (b) Korrektur von Grauwertschwankungen Abbildung 1: Vorverarbeitung digitaler Bilder Bildverarbeitung Ziel der Bildverarbeitung ist die Auswertung von Bildern, ob zweidimensional oder dreidimensional, bezüglich bestimmter Kennwerte. Zum Beispiel sind Häufigkeiten, Richtungsverteilungen oder Objektgrößen von hoher Relevanz. Diese Auswertung erfolgt meist nicht in einem Schritt sondern vielmehr als Kette von Verarbeitungsschritten, welche in etwa wie folgt aufgebaut ist: Ausgangspunkt: Digitales Bild, Vorverarbeitung, Segmentierung, Klassifizierung, Berechnung von Merkmalen der klassifizierten Objekte. Bei der Vorverarbeitung wird das Bild für die anschließende Auswertung vorbereitet. Dabei wird zum Beispiel Rauschen, welches zwangsläufig durch die Bildgebung entsteht, vermindert (siehe Abbildung 1 a). Möglicherweise sind die Bilder auch durch die Aufnahmegeometrie verzerrt. Oftmals werden in der Vorverarbeitung auch Ausleuchtungsfehler korrigiert (siehe Abbildung 1 b) oder Kontraste im Bild verbessert. In der Segmentierung werden die im Bild befindlichen Objekte getrennt. Der erste Schritt dazu ist meist die sogenannte Binarisierung, bei der das Bild in Vorder- und Hintergrund aufgeteilt wird. Desweiteren besteht die Möglichkeit jedem Objekt eine eigene Objektnummer zuzuordnen, dies wird meist über den Grauwert des Objekts codiert. Zusammenhängende Objekte, die aber eigentlich nicht zusammengehören, können voneinander getrennt werden. Dies ist meist der komplizierteste Schritt in dieser Verarbeitungsphase und gelingt nicht immer. Die Objekttrennung hängt stark von der Bildgebung, Vorverarbeitung und der Binarisierung ab. 10

12 Abbildung 2: Klassifizierung: Filterung bezüglich der Ausrichtung der Linien (Objekte) Die Klassifizierung ordnet die vorher segmentierten Objekte in Objektklassen ein. Dies geschieht durch Auswertung bestimmter Merkmale der Objekte, wie zum Beispiel Größe, Ausrichtung oder Rundheit. Die Klassifizierung kann Methoden der künstlichen Intelligenz nutzen, und wird so zu einem sehr umfangreichen und komplexen Gebiet innerhalb der Bildverarbeitung. In Abbildung 2 ist als Beipiel eine Filterung von Linien bezüglich deren Ausrichtung zu sehen. Meistens steht am Ende der Auswertungskette die Berechnung konkreter Merkmale der Objekte. Grösse, Umfang und Ausrichtung zählen zu den wichtigsten Kennwerten. Aber auch Häufigkeits- oder Positionsverteilungen sind von großer Relevanz. Zudem existieren viele Merkmale, die nur für gewisse Materialien notwendig sind, so zum Beispiel die Porosität bei Schäumen (siehe Kapitel 4). Morphologie Morphologie bedeutet Formlehre. Sie wird in vielen wissenschaftlichen Bereichen eingesetzt, so zum Beispiel in der Biologie, der Geologie oder sogar in der Linguistik. Die vorliegende Arbeit behandelt die mathematischen Morphologie [19]. Dies ist eine Klasse mengentheoretischer Transformationen, die zur Bestimmung von Charakteristika zufälliger, abgeschlossener Mengen eingesetzt wird. Solche Charakteristika sind zum Beispiel Form, Größe und Ausrichtung der einzelnen Objekte. In der Bildverarbeitung wenden wir diese Transformationen auf eine Menge von Pixeln an, und berechnen Charakteristika von Realisierungen zufälliger, abgeschlossener Mengen. Morphologische Operationen werden aber nicht nur für Berechnungen von Objektcharakteristika eingesetzt. Vielmehr können sie in allen Phasen der Bildverarbeitung, siehe 1.1, eingesetzt werden. In der Vorverarbeitung von Bildern werden mittels morphologischer Operationen Grauwertschwankungen beseitigt, Kanten gefunden und Rauschen vermindert. In der Phase der Segmentierung werden mittels Morphologie Objekte getrennt. Auch für viele andere Anwendungen im Bereich der Bildverarbeitung ist die Morphologie 11

13 eine geeignete Methode. Die mathematische Morphologie basiert in der klassischen Variante auf einer Testmenge mit der gearbeitet wird. Diese Testmenge wird nicht verändert, insbesondere besteht also nicht die Möglichkeit große Objekte anders zu behandeln als kleine. Besteht die Aufgabe zum Beispiel darin, Rauschen in einem Bild zu entfernen, welches aber verschieden große Objekte enthält, so können kleine Objekte fälschlicherweise als Rauschen interpretiert werden, oder umgekehrt. Wird nicht mit einer global unveränderlichen Testmenge, sondern mit einer veränderlichen gearbeitet, so ist von lokal adaptiver mathematischer Morphologie die Rede. Mit dieser neuen Art der Morphologie besteht die Möglichkeit verschiedene Regionen des Bildes unterschiedlich zu behandeln. Die lokal adaptive mathematische Morphologie findet überall dort Anwendung, wo Strukturen in verschiedenen Regionen des Bildes größenmäßig variieren. Dies ist zum Beispiel bei Gradientenwerkstoffen oder Schaumstoffen der Fall. Details hierzu werden in Kapitel 4 und 5 beschrieben. 1.2 Kontext Diese Arbeit basiert auf der adaptiven Morphologie nach Cuisenaire, siehe [4]. Deshalb wird hier nur die Größe der Testmenge verändert. In [18] beschreibt Roerdink die sogenannte Gruppenmorphologie. Bei dieser Art von Morphologie wird die Invarianz bezüglich Gruppen betrachtet. Mehrere Veröffentlichungen von Roerdink behandeln solche Gruppen, bzw. arbeiten auf diese Theorie hin. In [13] wird die Form des Strukturelementes verändert. In Abschnitt 3.1 werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Ansätzen näher erläutert. Das Konzept veränderlicher Testmengen ist auch außerhalb der Morphologie anwendbar, siehe [8]. Darauf wird hier jedoch nicht genauer eingegangen. 1.3 Ziele dieser Arbeit Die von Cuisenaire in [4] diskutierten Algorithmen für lokal adaptive mathematische Morphologie sollen zunächst für den zweidimensionalen Fall umgesetzt werden. Dazu wird zuerst die Raster-Scan Edt [6] realisiert und diese dann durch Modifikation für die Morphologie verwendet. Zur Umsetzung im dreidimensionalen wird dann die Corner Edt [17] verwendet. Auch diese kann durch eine Modifikation für die lokal adaptive mathematische Morphologie genutzt werden. Die Corner Edt ist jedoch langsam, so dass diese Methode für große Bilder unpraktikabel ist. Als Verbesserung wird die in [3] von Cuisenaire vorgeschlagene Voronoi Edt [14] eingesetzt. Dieser Algorithmus ist wesentlich schneller, wenngleich er nicht so leicht auf andere Distanzmaße umzuschreiben ist wie die Corner Edt. 12

14 Nach der algorithmischen Umsetzung wird die praktische Anwendbarkeit demonstriert. Als eine mögliche Anwendung wird die Rekonstruktion eines Schaumstoffes mittels lokal adaptiver mathematischer Morphologie aufgezeigt. Auch Kugelpackungen kommen in der Realität oft vor, zum Beispiel bei Sintermaterialien und Granulaten. Hier soll die Anwendbarkeit zunächst anhand eines simulierten Datensatzes gezeigt werden, bei dem ein kontinuierlicher Größenverlauf der Kugeln im Bild vorliegt. Die Generierung des Strukturgrößenbildes, siehe 3.2, ist in der Regel nicht trivial. Daher ist dies der aufwändigste Schritt bei der Verwendung lokal adaptiver Morphologie. Dieser muss bisher von Hand durchgeführt werden, was sehr zeitintensiv sein kann. Auch Cuisenaire erwähnt dieses Problem in [4]. Für den Fall von Kugelpackungen wird ein Algorithmus entwickelt, welcher diese Strukturelementgrößenbildgenerierung automatisch durchführt. 13

15 2 Theoretische Grundlagen In diesem Kapitel werden die für die folgenden Kapitel notwendigen Grundlagen erarbeitet. Algorithmen werden hier nicht behandelt, sondern erst in den folgenden Kapiteln (insbesondere in Kapitel 3). Dieses Kapitel ist wie folgt untergliedert: In Unterkapitel 2.1 werden die für dieses Kapitel notwendigen Begriffe und Schreibweisen definiert. In Unterkapitel 2.3 wird allgemein die Distanztransformation erläutert. Eine umfassendere Einführung kann der Doktorarbeit von Cuisenaire, siehe [2], entnommen werden. Mithilfe dieser können morphologische Transformationen umgesetzt werden. Auf grundlegende morphologische Transformationen, siehe [19], und deren Verwirklichung mittels Distanztransformationen wird in Unterkapitel 2.4 eingegangen. In Unterkapitel 3.2 wird die lokal adaptive Morphologie [2, 3] dargelegt und mit Beispielen veranschaulicht. Unterkapitel 2.2 beschreibt die in Kapitel 4 zur Charakterisierung von Schäumen benötigten Kennwerte. 2.1 Begriffsbildung und Notation Ein Bild ist eine Abbildung f von einem Definitionsbereich D f Wertebereich W f. in einen f : D f Z n W; D endlich und nichtleer, n N (1) In der vorliegenden Arbeit sind die Bilder zwei- bzw. dreidimensional und quantisiert, d.h. D f Z 2 beziehungsweise D f Z 3. Bilder werden nicht nur bezüglich der Dimension unterschieden, sondern auch bezüglich deren Wertevorrat. Folgende Bildtypen sind die geläufigsten: n, m N f : D f Z n {0, 1} Binärbild, (2) f : D f Z n N ganzzahlgiges Graustufenbild, (3) f : D f Z n R reelles Graustufenbild, (4) f : D f Z n N m vektorielles Bild. (5) Bilder werden durch die Funktionsgraphen der sie definierenden Abbildungen repräsentiert. G(f) = {(x, w) D f W f w = f(x)} (6) Ein Bild ist also eine Menge von Wertepaaren bestehend aus einer Ortsinformation und einer Werteinformation, welche zum Beispiel ein Grauwert, ein Farbwert oder ein Vektor sein kann. Ein solches Wertepaar wird in der Bildverarbeitung Bildpunkt genannt. Die Bildpunkte werden im Fall zweidimensionaler Bilder Pixel und im Fall dreidimensionaler Bilder Voxel genannt. 14

16 Abbildung 3: 4-Nachbarschaft: Alle grauen Pixel sind Nachbarn des schwarzen Zentralpixels Bei einem Binärbild nennen wir die Menge aller Bildpunkte deren Wert eins ist Vordergrund, die Menge der Bildpunkte deren Wert null ist nennen wir Hintergrund. Bei Grauwertbildern kann eine Unterscheidung zwischen Vordergrund und Hintergrund nicht so einfach getroffen werden. Dann benötigen wir eine Transformation, die ein Graustufenbild in ein Binärbild transformiert. Diese Bild-zu-Bild-Tranformation wird Binarisierung genannt und wird hier mit T bezeichnet. [T t (f)] (x) = { 0 f(x) < t 1 f(x) t t W f (7) Soll nur ein bestimmter Grauwertbereich als Vordergrund interpretiert werden, häufig ist dies bei multitonalen Bildern der Fall, so wird folgende Binarisierung verwendet: { 1 t 1 f(x) t 2 [T t1,t 2 (f)] (x) = t 1, t 2 W f (8) 0 sonst Werden die Positionen der Pixel als Knoten eines Graphen angesehen, so können für die Kanten dieses Graphen verschiedene Nachbarschaftsbeziehungen eingeführt werden. Im zweidimensionalen Fall sind die 4-Nachbarschaft und die 8-Nachbarschaft die wichtigsten. Die 4-Nachbarschaft ist in Abbildung 3 zu sehen. Bei der 8-Nachbarschaft sind auch die weiß gezeichneten Pixel als direkte Nachbarn anzusehen. Für dreidimensionale Bilder sind die 6-Nachbarschaft und die 26-Nachbarschaft die geläufigsten. Dabei ist die 6-Nachbarschaft in 3d das Analogon zur 4-Nachbarschaft in 2d und die 26- Nachbarschaft in 3d das Analogon zur 8-Nachbarschaft in 2d. Wir nennen eine Sequenz von Pixeln p 0,..., p n einen Pfad, wenn jeweils p i und p i+1 benachbart sind. Die Länge des Pfades entspricht der Anzahl der Kanten entlang des Pfades. 15

17 Abbildung 4: Objekte in einem Binärbild: Weiß sei der Hintergrund, Schwarz der Vordergrund Zwei Pixel heißen zusammenhängend, wenn sie den gleichen Grauwert besitzen und zwischen Ihnen ein Pfad existiert dessen Pixel ebenso den gleichen Grauwert besitzen. Ob zwei Pixel zusammenhängend sind ist also abhängig von der gewählten Nachbarschaft. Ein Objekt ist für Binärbilder definiert als die Menge aller zusammenhängenden Pixel. In Abbildung 4 ist ein Bild zu sehen, das zwei Objekte enthält, wenn die 8-Nachbarschaft verwendet wird (Vordergrund und Hintergrund) und drei Objekte, wenn die 4-Nachbarschaft verwendet wird (Hintergrund, das kleine Quadrat und das große Quadrat). Unter dem Komplement eines Binärbildes wird genau die Invertierung verstanden, Vordergrundpixel werden zu Hintergrundpixeln und umgekehrt. Wir kennzeichnen das Komplement mit dem Operator C. { 0 f(x) = 1 [C(f)] (x) = (9) 1 f(x) = 0 Die Reflexion einer Menge von Pixeln ist definiert als deren Spiegelung bezüglich ihrem Ursprung, also dem Pixel mit der Koordinate (0, 0). Dies ist beispielhaft in Abbildung 5 zu sehen. Der Operator R für die Reflexion ist wie folgt definiert: [R(f)] (x) = f( x) (10) 2.2 Geometrische und topologische Kennwerte In diesem Abschnitt werden einige geometrische und topologische Kennwerte definiert. Weiterführende Informationen zu diesem Thema sind zum Beispiel in [15] zu finden. Die hier eingeführten Kennwerte werden in Kapitel 4 benötigt. 16

18 Abbildung 5: Reflexion eines Bildes: Links ist das Originalbild, rechts das reflektierte Bild zu sehen. Das mit x gekennzeichnete Pixel stellt den Ursprung dar Eulerzahl (χ(x)): Eine topologische Invariante, welche den Zusammenhang des Materials beschreibt. Im Zweidimensionalen gilt χ(x) = {Zusammenhangskomponenten} {Löcher}. Im Dreidimensionalen gilt χ(x) = {Zusammenhangskomponenten} {Tunnel} + {Höhlen}. Volumendichte (V d (X)): Porosität (P(X)): V d (X) = {x X} {x D f } P (X) = 1 V d (X) Oberflächendichte (S d (X)): Oberfläche des Objetes X normiert auf das Gesamtvolumen des Bildes. Integral der mittleren Krümmung (M(X)): Die Krümmung eines Kreises ist definiert als die Umkehrung des Radius dieses Kreises. Nun wird für ein Oberflächenelement ds eines Objektes ein Kreis angelegt und einmal um seine Achse gedreht. Daraus werden die minimale und maximale Krümmung dieses Oberflächenelementes bestimmt und arithmetisch gemittelt. Dann wird über die Oberflächenelemente integriert. M(X) = 1 2 ( 1 r 1 (s) + 1 r 2 (s) ) ds Dichte des Integrals der mittleren Krümmung (M d (X)): Das Integral der mittleren Krümmung bezogen auf das Gesamtvolumen des Bildes. Integral der totalen Krümmung (K(X)): K(X) = 1 r 1 (s)r 2 (s) ds 17

19 Dichte des Integrals der totalen Krümmung: Das Integral der totalen Krümmung bezogen auf das Gesamtvolumen des Bildes. Granulometrie: Die Granulometrie stellt die lokalen Dicken dar. Zur Visualisierung wird an jeder Stelle die Dicke der größtmöglichen eingeschriebenen Kugel als Grauwert codiert dargestellt. Das Histogramm dieses Grauwertbildes entspricht der Größenverteilung des Objektes. 2.3 Distanztransformationen Die Distanz d zweier Bildpunkte ist wie folgt definiert: d = x y ; x, y D f (11) Die Distanztransformation D X bezüglich dem Vordergrund X eines Bildes f bildet jede Pixelkoordinate auf die minimale Distanz zum Vordergrund ab. [D X (f)] (p) = min x X ( p x ) (12) Für eine Distanztransformation sind alle Normen zulässig, jedoch sind folgende drei Normen die geläufigsten: a, b f. d 1 = a b 1 = i a i b i Manhattan Norm (13) d 2 = a b 2 = (a i b i ) 2 Euklidische Norm (14) i d = a b = max a i b i Schachbrettnorm (15) i In Abbildung 6 ist zu sehen wie sich die Verwendung verschiedener Normen auf das Distanzbild auswirkt. Der schwarz gezeichnete Bildpunkt ist Abbildung 6: Beispiele distanztransformierter Bilder: Links wurde die Schachbrettnorm verwendet, in der Mitte die Manhattan Norm und rechts die Euklidische Norm. 18

20 Abbildung 7: Beispiel einer morphologischen Operation (Dilatation) in allen drei Bildern der einzige Vordergrundbildpunkt, somit ist die Distanz in diesem Bildpunkt gleich 0. Bei Verwendung der Schachbrettnorm entspricht die Distanz der Pixel a und b der Länge des kürzesten Pfades bei 8-Nachbarschaft zwischen ihnen. Bei Verwendung der Manhattan Norm entspricht die Distanz der Pixel a und b der Länge des kürzesten Pfades bei 4-Nachbarschaft zwischen ihnen. 2.4 Morphologie Die Morphologie ist eine Klasse von Bild zu Bild Transformationen. Sie basiert auf der Mengentheorie. Dabei erfolgt die Abbildung vom Originalbild auf das transformierte Bild mittels einer Operation auf einer Testmenge, genannt Strukturelement, welche über das Originalbild bewegt wird. In Abbildung 7 ist ein Beispiel für eine morphologische Transformation gezeigt. Die Vordergrundbildpunkte sind in schwarz gezeichnet. Links ist das Originalbild zu sehen mit einem einzigen Vordergrundbildpunkt. Daneben ist das Strukturelement zu sehen. Dieses wird auf das Originalbild gelegt und darüberbewegt (drittes Bild). Im transformierten Bild wird dann jedesmal an der Stelle des Zentrums des Strukturelementes (in der Abbildung mit einem X gekennzeichnet) der maximale Wert der Werte des Originalbildes im Bereich des Strukturelementes eingetragen. So entseht das transformierte Bild (ganz rechts). Diese Transformation wird Dilatation genannt und kann auch wie folgt definiert werden: Seien nachfolgend immer: X der Vordergrund des Bildes f. ( ) C bezeichne das Komplement der jeweiligen Menge in f. S sei das Strukturelement. X S = {x + h x X, h S} (16) Eine weitere grundlegende morphologische Transformation ist die Erosion, sie ist wie folgt definiert: 19

21 Abbildung 8: Beispiel einer Erosion durch Komplementbildung X S = ( X C S ) C = {x + h x X C, h S} C (17) In Abbildung 8 ist diese Formel noch einmal veranschaulicht. Links ist das Originalbild zu sehen, wobei die schwarzen Pixel die Vordergrundpixel sind. Das Strukturelement ist daneben zu sehen. Durch Komplementbildung des Originalbildes entsteht das Bild rechts daneben. Dieses Bild wird dann dilatiert, so entsteht das Bild ganz rechts. Durch Komplementbildung dieses Bildes entsteht schließlich das erodierte Bild. Durch Hintereinanderausführung dieser elementaren Transformationen können weitere generiert werden. Sei Š das reflektierte Struktrurelement X S = ( X Š) S Schließung (18) X S = ( X Š) S Öffnung (19) Im folgenden wird für das Strukturelement eine Kugel einer beliebigen Metrik angenommen. B r = {h h < r} (20) Durch Anwendung der bisher eingeführten Definitionen kann die Dilatation 20

22 wie folgt umgeschrieben werden: X B r = {x + h x X D f, h B r }, = {x + h x X D f, h < r}, = {y D f x X D f, y x < r}, = {y D f min x X D f { y x } < r}, = {y D f [D X (f)] (y) < r}. (21) Die Dilatation eines Bildes f mit einem kugelförmigen Strukturelement kann also mit einer Distanztransformation und anschließender Binarisierung mit dem Radius des Strukturelementes berechnet werden. Auch die Erosion kann so berechnet werden: X B r = ( X C B r ) C, = {x + h x X C D f, h B r } C, = {y D f x X C D f, y x < r} C, = {y D f x X C D f, y x r}, = {y D f min x X C D f { y x } r}, = {y D f [D X C (f)] (y) r}. (22) 21

23 3 Lokal-adaptive Morphologie In diesem Kapitel wird die adaptive Morphologie erläutert. Dieses Kapitel ist wie folgt untergliedert: Im ersten Unterkapitel wird die hier verwendete adaptive Morphologie mit ähnlichen Ansätzen verglichen. Danach werden die theoretischen Grundlagen für die adaptive Morphologie diskutiert. Im dritten Abschnitt werden verschiedene Distanztransformationsalgorithmen besprochen. Durch leichte Modifikationen können diese Algorithmen zur Berechnung morphologischer Transformationen verwendet werden. Wie diese Modifikationen aussehen wird im letzten Abschnitt erläutert. 3.1 Adaptive Morphologie Ein Status Quo Nach Abschnitt 2.4 hängt das Ergebnis einer morphologischen Transformation wesentlich von dem Strukturelement ab. Die Parameter des Strukturelements sind Größe, Form und Ausrichtung. Dieser Arbeit liegt als Strukturelement eine Kugel festgelegter Metrik zugrunde. Der sich ändernde Parameter ist die Größe, also der Radius, des Strukturelements. Dies ist die adaptive Morphologie nach Cuisenaire. Eine übergeordnete Klasse ist die Gruppenmorphologie nach Roerdink. Dort wird die Invarianz des Strukturelements beibehalten, jedoch bezüglich ü- bergeordneter Gruppen im Sinne der Gruppentheorie. Ein Sonderfall ist die sogenannte Invarianz bezüglich Ähnlichkeitstransformationen. Bei einer Kugel als Testmenge führt also die Änderung deren Radius nicht zu einer Varianz bezüglich dieser Gruppe, jedoch aber zu einer Varianz bezüglich der Translationsgruppe. So wird eine Transformation geschaffen, die zwar translationsvariant ist, jedoch aber invariant bezüglich anderen Gruppen. Aufgrund dieser Invarianz werden alle Eigenschaften der klassischen Morphologie erhalten. Viele dieser Gruppen sind zwar für die Praxis interressant, jedoch existieren bisher keine Algorithmen für deren praktische Anwendung. Ein, auf den ersten Blick, gänzlich anderer Ansatz findet sich in [13]. Diese Art der adaptiven Morphologie arbeitet direkt auf Grauwertbildern. Das Strukturelement ändert seine Form in Bezug auf das Bild. Dabei reagiert das Strukturelement auf Grauwertgradienten, also besonders auf Kanten. Dies wird durch die Berechnung von Pfadlängen aufgrund von Grauwertdistanzen, beispielsweise der Grauwertdifferenz zweier benachbarter Bildpunkte, erreicht. Die Ähnlichkeit zu der von Cuisenaire beschriebenen adaptiven Morphologie besteht also darin, dass der Abstand vom Ursprung des Strukturelements zum Rand überall gleich ist. Dadurch sind auch schon die mathematischen Eigenschaften morphologischer Transformationen nach [13] gesichert. Kann also eine effiziente Implementierung der Grauwertdistanz eines Pfades gefunden werden, so ist dies eine interressante Erweiterung für die Morphologie nach Cuisenaire. Anwendung finden die Amöben hauptsächlich in der Rauschfilterung. Da sie die Kanten eines Bildes nicht 22

24 überschneiden, werden diese nicht verwischt. Dies ist ein Vorteil gegenüber den gewöhnlichen Methoden, da Kanten meist eine wichtige Rolle spielen. Zur Objekttrennung eignen sich die Amöben aber nicht, denn dafür ist ein Strukturelement notwendig, welches über Kanten hinweg geht. 3.2 Theoretische Grundlagen adaptiver Morphologie Die Morphologie wie sie im Abschnitt 2.4 beschrieben wurde ist translationsinvariant. Dies ist dann von Nachteil, wenn verschieden große Objekte in dem Bild enthalten sind. In Abbildung 9 ist zu sehen, wie sich eine nicht adaptive Schließung auf ein Bild verschieden großer Kugeln auswirkt. Das Originalbild ist so zu bearbeiten, dass die Einschlüsse in den Objekten geschlossen werden. Wird jetzt ein kleiner Radius für das strukturierende Element gewählt so werden zwar die Lücken der kleinen Objekte geschlossen, jedoch bleiben die Einschlüsse der großen Kugel so gut wie unberührt. Wird hingegen ein großer Radius gewählt werden zwar die Einschlüsse der großen Kugel gut geschlossen, jedoch verschmelzen die beiden kleinen Kugeln aufgrund der Dilatation mit dem großen Strukturelement. In diesem Kapitel wird das Konzept der Morphologie auf translationsvariante Morphologie erweitert. Diese Art von Morphologie heißt dann lokal adaptiv. Im vorherigen Kapitel wurde erläutert wie morphologische Transformationen mittels Distanztransformationen umgesetzt werden können. Nun wird anstatt eines konstanten Strukturelementes ein veränderliches verwendet. In dieser Arbeit wird die Größe des Strukturelementes verändert. Auch Veränderungen in Form und Ausrichtung des Strukturelementes sind, wie im vorigen Abschnitt beschrieben wurde, möglich. Zur Speicherung des Radius des Strukturelementes ist ein zweites Bild notwendig, das sogenannte Strukturelementgrößenbild. Dieses Bild ist genau so groß wie das Originalbild. Abbildung 9: Schließung verschieden großer Kugeln mit nicht adaptiver Morphologie. Links: Originalbild, Mitte: Closing mit kleinem Radius, Rechts: Closing mit großem Radius, diese Bilder sind dem Artikel [4] entnommen 23

25 Jeder Pixelwert repräsentiert den Strukturelementradius der für die Transformation des Originalbildes in diesem Pixel gewählt wurde. Die Kugel, die im Pixel x als Strukturelement verwendet wird, bezeichnen wir mit B S(x). Der Radius dieser Kugel ist gegeben durch den Grauwert des Pixels x im Strukturelementgrößenbild S(x). X B S(x) = {x + h x X D f, h B S(x) } = {x + h x X D f, h < S(x)} = {x + h x X D f, h S(x) < 0} = {y D f [D X,S (f)] (y) < 0} (23) Wobei die modifizierte Distanztransformation D X,S wie folgt definiert ist: [D X,S (f)] (p) = min x X Df { p x S(x)}; p D f (24) Wie auch schon in dem vorherigen Kapitel ergibt sich die Erosion über folgende Komplementbeziehung: X S = (X C S) C. (25) Allerdings lässt sich kein reflektiertes Strukturelementgrößenbild erzeugen, so dass eine Umsetzung von Opening und Closing nicht direkt ersichtlich sind. Jedoch kann eine reflektierte Dilatation wie folgt definiert werden: X ˇ S = {y y h X D f, h < S(y)} (26) Dann gilt für Opening und Closing: X S = (X ˇ S) S Closing, (27) X S = (((X) C ) S ) C Opening (28) In Abbildung 10 ist zu erkennen wie sich ein adaptives Closing auswirkt. Wieder ist das Ziel die Beseitigung der Einschlüsse in den Objekten. Das Strukturelementgrößenbild wurde mit von links nach rechts linear abfallenden Werten erzeugt, was für die zugehörigen Strukturelemente einen zunehmend kleiner werdenden Radius bedeutet. Schon mit dieser recht einfachen Funktion werden, wie rechts zu sehen ist, gute Ergebnisse erzielt. 3.3 Distanzalgorithmen In diesem Unterkapitel werden drei Distanzalgorithmen besprochen, die verwendet werden können um morphologische Transformationen umzusetzen. Eine detailliertere Beschreibung von Distanztransformationen und Algorithmen gibt Cuisenaire in seiner Doktorarbeit [2]. Hier wird stets von der Verwendung der Euklidischen Distanz ausgegangen, was zu Euklidischen Distanztransformationen, kurz Edt, führt. Jedoch sind Raster Scan Edt und Corner Edt leicht für andere Distanzmaße umzuschreiben. 24

26 Abbildung 10: Schließung verschieden großer Kugeln mit adaptiver Morphologie. Links: Originalbild, Mitte: Strukturelementgr ßenbild (hellere Pixel besitzen höhere Grauwerte), Rechts: Adaptives Closing, diese Bilder sind dem Artikel [4] entnommen Raster Scan Edt Die Raster Scan Edt [6] ist eine Distanztransformation für zweidimensionale Bilder. Algorithmus 4 beschreibt den Algorithmus in einer vereinfachten Form für eindimensionale Bilder. In den Abbildungen 11 bis 13 ist ein Beispiel für eine eindimensionale Distanztransformation nach der Raster Scan Edt zu sehen. Zuerst wird das Distanzbild initialisiert (siehe Abbildung 11 (b)) mit unendlich für Hintergrundpixel und mit Null für Vordergrundpixel. Die Raster Scan Edt benötigt noch ein zweites Bild, welches die Koordinaten des jeweils nächsten Vordergrundpixels hält. Dieses Vektorbild wird mit unendlich für Hintergrundpixel initialisiert und mit der jeweiligen Koordinate für Vordergrundpixel (siehe Abbildung 11 (c)). Nach der Initialisierung folgt der erste Scan (siehe Abbildung 12). Dieser scannt das Bild von links nach rechts. Dabei wird eine sogenannte Updatemaske über die Pixel geschoben. Diese Updatemaske besteht im eindimensionalen Fall aus zwei Pixeln in Abbildung 12 (b) grün gezeichnet. Das rot umrandete Pixel der Updatemaske ist das Referenzpixel, das andere Pixel ist das aktuelle Pixel. Ist der Wert des Referenzpixels unendlich, so bedeutet dies, dass dort noch kein nächstes Vordergrundpixel für das aktuelle Pixel gefunden wurde. In Abbildung 12 (b) ist das nächste Vordergrundpixel das Pixel mit der Koordinate sechs. Das aktuelle Pixel hat die Koordinate sieben, somit ist der Abstand zu diesem eins. Dies wird in das Distanzbild an der Stelle des aktuellen Pixels eingetragen. Da dieser Abstand derjenige zu dem Pixel mit der Koordinate sechs ist, wird diese Koordinate ins Vektorbild an der Stelle des aktuellen Pixels eingetragen. Wie das Distanzbild und das Vektorbild nach dem ersten Scan aussehen, ist in Abbildung 12 (c) und (d) zu sehen. Für den zweiten Scan wird die Updatemaske umgedreht, d.h. das Referenz- 25

27 (a) Originalbild (Vordergrundpixel in Schwarz) (b) Initialisiertes Distanzbild (c) Initialisiertes Vektorbild Abbildung 11: Prinzip der Raster Scan Edt (Initialisierung) (a) Originalbild (b) Updatemaske (c) Distanzbild nach erstem Scan (d) Vektorbild nach erstem Scan Abbildung 12: Prinzip der Raster Scan Edt (Scan 1) pixel ist rechts neben dem aktuellen Pixel, und der Scan wird von rechts nach links durchgeführt. Wieder wird für jedes Pixel die Distanz zum nächsten Vordergrundpixel berechnet. Wird eine Distanz berechnet, die kleiner ist als der bisherige Eintrag im Distanzbild, so wird die Distanz neu eingetragen, sowie auch die Koordinate des nächsten Vordergrundpixels neu eingetragen wird. Das Ergebnis dieses Scans ist in Abbildung 13 zu sehen. Nach diesem Scan ist das Distanzbild fertig berechnet. Die zweidimensionale Raster-Scan-Edt, siehe Algorithmus 5 und Abbildung 14, funktioniert ähnlich der eindimensionalen Variante. Für jede Bildzeile, von oben nach unten, wird ein Scan von links nach rechts durchgeführt und umgekehrt. Danach wird das Bild von unten nach oben gescannt, wobei dann jede Zeile von rechts nach links und umgekehrt gescannt wird. Die Updatemasken sind jeweils in Abbildung 14 zu sehen. In der ersten Phase, also beim 26

28 (a) Originalbild (b) Distanzbild nach zweitem Scan (c) Vektorbild nach zweitem Scan Abbildung 13: Prinzip der Raster Scan Edt (Scan 2) (a) Scan 1: Abwärtsscan nach rechts (b) Scan 2: Abwärtsscan nach links (c) Scan 3: Aufwärtsscan nach links (d) Scan 4: Aufwärtsscan nach rechts Abbildung 14: Die 4 Scans der zweidimensionalen Raster Scan Edt. Das graue Pixel ist jeweils das aktuelle Pixel. Die schwarzen Pixel sind jeweils die Referenzpixel. Scannen des Bildes von oben nach unten, muss beim Rückwärtsscan nicht nochmal das oberhalb des aktuellen Pixels liegende Pixel geprüft werden, da dieses schon im Vorwärtsscan geprüft wurde und somit von dort keine Aktualisierung folgen kann. Analog gilt dies für die zweite Phase, also das Scannen des Bildes von unten nach oben Corner Edt Die Corner Edt [17], siehe Algorithmus 6 und 7, ist eine Verallgemeinerung der Raster Scan Edt. Damit die Corner Edt leicht auf beliebige Dimensionen erweiterbar ist, wird nicht berücksichtigt wann keine Aktualisierung der Distanz erfolgen kann. Somit besteht die Updatemaske immer aus allen direkten Nachbarpixeln die entgegen der aktuellen Scanrichtung liegen. Wie oft die Prozedur check() aufzurufen ist, hängt somit von der gewählten Nachbarschaft ab. In vorliegender Variante wurde die 6-Nachbarschaft verwendet. Im Falle dreidimensionaler Bilder sind acht Scans notwendig. 27

29 3.3.3 Voronoi Edt Die Voronoi Edt [14], siehe Algorithmus 8, basiert auf Dimensionsreduktion. So wird die Berechnung der Edt für beliebige Dimensionen reduziert auf die Berechnung von eindimensionalen Edts. Die Voronoi Edt benötigt das mathematische Konzept der Voronoi Zellen (weiterführende Informationen hierzu sind z.b. in [5] zu finden). Für die Menge aller Vordergrundpixel X eines Bildes f ist eine Voronoizelle, für den Fall einer Verteilung nach einem Punktprozess, wie folgt definiert: C = {p x i X : x i p < x j p ; i j, x j X}. (29) Die Voronoi Edt besteht aus drei Schritten. Zuerst wird das Distanzbild initialisiert. Danach werden eindimensionale quadrierte Edt s berechnet. Zum Schluss wird in jedem Bildpunkt die Wurzel gezogen, wobei dieser Schritt nicht zwangsläufig zum Algorithmus gehört, sondern auch später noch ausgeführt werden kann. Die Initialisierung des Distanzbildes erfolgt mit null für den Vordergrund, und mit unendlich für den Hintergrund. Im zweiten Schritt erfolgt die Dimensionsreduktion. Hier werden zuerst einzelne Zeilen bearbeitet, danach werden einzelne Spalten bearbeitet. Im Falle dreidimensionaler Bilder würden danach noch einzelne Linien in z-richtung bearbeitet. Geometrisch gesehen funktioniert die Verarbeitung der Linien so, dass die Zentren der Voronoizellen, die Einfluss auf diese Linie haben, berechnet und abgefragt werden. Das Zentrum ist hierbei nicht immer das tatsächliche Zentrum der Voronoizelle dieses kann ja auf einer anderen Linie liegen wohl aber der Bildpunkt der diesem Zentrum am nächsten liegt. Zur Berechnung der Distanz für jeden Bildpunkt werden die Abstände zu den Voronoizentren berechnet. Liegt das eigentliche Zentrum der Voronoizelle auf einer anderen Linie, so muss noch der Abstand zu dieser Linie hinzugenommen werden. Die Berechnung der Wurzel über dem Bild erfolgt dann Bildpunkt für Bildpunkt. In den Abbildungen 15 bis 17 ist ein Beispiel für die Berechnung der Edt auf einem zweidimensionalen Bild mit der Voronoi Edt zu sehen. Abbildung 15 zeigt die Initialisierung des Distanzbildes. Im Algorithmus, siehe Algorithmus 8, wird dies durch einen simplen Bilddurchlauf erledigt. In Abbildung 16 ist zu sehen, wie Zeile für Zeile die quadrierte Edt berechnet wird. Für jede Zeile werden die Listen g und h erzeugt. Diese halten die Informationen zu den Voronoizellen. In der Liste h steht dabei die Koordinate. In der Liste g steht die Distanz zum tatsächlichen Zentrum dieser Voronoizelle. Für die erste Zeile sind diese Listen beispielhaft in Tabelle 1 links zu sehen. Anhand der Einträge dieser Liste werden dann die quadrierten Distanzen berechnet. 28

30 Abbildung 15: Prinzip der Voronoi Edt (Initialisierung). Links: Originalbild(Vordergrundpixel in schwarz), Rechts: Initialisiertes Distanzbild Abbildung 16: Prinzip der Voronoi Edt (Berechnung auf den einzelnen Zeilen) Links: Zeile eins nach der Initialisierung, Rechts: Zeile eins nach der Berechnung auf dieser Zeile Zeile 1 g h 0 5 Spalte 1 g h Tabelle 1: Hilfsvariablen zur Berechnung der Voronoi Edt 29

31 Abbildung 17: Prinzip der Voronoi Edt (Berechnung auf den Spalten) Links: Spalte eins nach der Zeilenberechnung, Rechts: Spalte eins nach der Berechnung auf dieser Spalte Als nächstes wird die Edt auf den einzelnen Spalten berechnet. Wie in Abbildung 17 und Tabelle 1 zu sehen ist, werden dafür schon die, bei der zeilenweisen Berechnung erzeugten Werte benutzt. In Algorithmus 8 wird in der mit * markierten while-schleife überprüft, ob die aktuelle Voronoizelle die zuvor gefundene Zelle, oder sogar mehrere, überdeckt. Da in diesem Fall die zuvor gefundene Voronoizelle für die Distanzberechnung keine Rolle spielt, kann sie überschrieben werden Laufzeitvergleich von 3d Distanztransformationen Die zuvor besprochenen Distanztransformation für dreidimensionale Bilder sollen nun auf ihre Laufzeit hin überprüft werden. Als Referenz wird noch die Disanztransformation nach Saito und Cuisenaire hinzugezogen. Diese wird zwar nicht für die adaptive Morphologie eingesetzt werden, jedoch wird im Verlauf der Arbeit auch die Euklidische Distanztransformation an sich benötigt. Grundlage für den Laufzeitvergleich sind mehrere Testbilder verschiedener Größe. Als Testbilder wurden Realisierungen zufälliger Punktverteilungen in verschieden Dichten und ein Bild zufällig großer, zufällig verteilter Kugeln verwendet. Die Laufzeitmessungen erfolgten auf Clusterknoten der Woodcrest Architektur mit 8 GB RAM und 4 CPU-Cores mit je 2,33 GHz CPU-Frequenz. Je Bild und Größe wurden fünf Messungen durchgeführt um verlässliche Ergebnisse zu erhalten. Diese Ergebnisse sind in Anhang B komplett in Tabellenform zu finden. Dort sind ebenfalls die daraus berechneten Mittelwerte und entsprechende Visualisierungen angehängt. Die Corner Edt ist zwar einfach zu implementieren, jedoch ist sie für dreidimensionale Bilder ungeeignet. Die Laufzeit der Corner Edt ist wesentlich höher als die der Voronoi Edt bzw. der Edt nach Saito und Cuisenaire, siehe Abbildung 18 und Anhang B. Im Falle zweidimensionaler Bilder ist die 30

32 Abbildung 18: Grafische Darstellung der Laufzeiten von Corner Edt in rot, Voronoi Edt in blau und Edt nach Saito und Cuisenaire in grün. Als Testbild wurde die zufällige Punktverteilung mit der größten Dichte verwendet. 31

33 Laufzeit der Corner Edt noch erträglich. Neben der einfachen Implementierbarkeit der Corner Edt liefert diese auch ein Vektorfeld mit dem nächsten Vordergrundpixel, was zum Beispiel in Kapitel 5.2 für zweidimensionale Bilder genutzt wird. Die Voronoi Edt ist für Bilder mit zufälligen Punktverteilungen die schnellste der drei getesteten Distanztransformationen. Dementsprechend sollte sie immer dann Anwendung finden, wenn das Bild nur einzelne Vordergrundpixel enthällt, wie dies zum Beispiel in Kapitel 4 der Fall ist. Für die adaptive Morphologie sollte ebenfalls die Voronoi Edt verwendet werden, da die Edt nach Saito und Cuisenaire für diesen Fall ungeeignet ist. Die Edt nach Saito und Cuisenaire sollte eingesetzt werden, wenn das Bild große Vordergrundbereiche enthält, da sie für diesen Fall die schnellste der drei getesteten Distanztransformationen ist, siehe Anhang B. 3.4 Modifikation der Distanztransformationen zur Berechnung lokal-adaptiver morphologischer Transformationen Sowohl die Raster Scan Edt, die Corner Edt, als auch die Voronoi Edt können so modifiziert werden, dass mit ihnen adaptive morphologische Transformationen berechnet werden können. Bei der Corner Edt ist diese Modifikation sehr einfach. In der Prozedur check muss nun die modifizierte Distanz aus Kapitel 3.2 berechnet werden und die Initialisierung des Distanzbildes muss mit -S(p) für Vordergrundpixel und mit 0 für Hintergrundpixel erfolgen. Anschließend muss nur noch eine Schwellwertbildung mit t=0 erfolgen alle Pixel deren Grauwert kleiner 0 ist, gehören zu der dilatierten Menge. In Algorihmus 9 ist dargestellt, wie die eindimensionale Raster Scan Edt benutzt wird, um die adaptive Dilatation eines eindimensionalen Signals zu berechnen. Abbildung 19 zeigt die einzelnen Schritte dieser adaptiven Dilatation an einem eindimensionalen Beispielbild. Das Originalbild Init mit dem Objekt X und das Strukturelementgrößenbild S sind die Eingaben für den Algorithmus. Mit D Init ist das Distanzbild nach der Initialisierung bezeichnet. Jetzt wird in jedem Pixel der Abstand zum nächsten Vordergrundpixel berechnet. Diese Distanz abzüglich der Strukturelementgröße des zugehörigen nächsten Vordergrundpixels wird dann in das Distanzbild geschrieben, wobei alle positiven Ergebnisse als 0 geschrieben werden. Dies ist zulässig, da danach sowieso eine Binarisierung mit t = 0 erfolgt. Alle Pixel, deren zugehöriger Distanzwert kleiner als 0 ist, gehören zu der dilatierten Menge. Die Erosion wird durch die Komplementbeziehungen erreicht. Abbildung 20 veranschaulicht dies. Hier wird auch klar, warum für Öffnungen und Schließungen eine reflektierte Dilatation definiert werden muss. Der Grund dafür ist, dass bei der Erosion für ein Pixel ein anderes Pixel des Strukturelementgrößenbildes benutzt wird als bei der Dilatation. Dies ist der Fall, weil bei 32

34 Abbildung 19: Dilatation eines eindimensionalen Signals mit Zwischenschritten. Input: Eingabebild. S: Strukturelementgrößenbild. D Init: Initialisiertes Distanzbild. D X,S: Distanzbild nach beiden Scans. X dil S: Dilatiertes Bild der Erosion mit der komplementierten Menge gearbeitet wird. Die reflektierte Dilatation nach Abschnitt 3.2 wird umgesetzt durch die Berechnung der Distanztransformation auf dem Vordergrund und einer anschließenden pixelweisen Binarisierung des Distanzbildes mit dem Strukturelementgrößenbild. Alle Pixel bei denen der Distanzwert kleiner als der Pixelwert des Strukturelementgrößenbildes an dieser Stelle gehören zu der dilatierten Menge. Abbildung 21 zeigt die reflektierte Dilatation eines eindimesnionalen Bildes. Für den mehrdimensionalen Fall ist in Algorithmus 10 die Dilatation mithilfe der Corner Edt dargestellt. Bei Benutzung der Voronoi Edt muss sogar nur die Initialisierung geändert werden. In Algorithmus 11 ist dabei M eine obere Schranke der Strukturelementgrößen in S(p). Die Algorithmen für die reflektierte Dilatation ergeben sich durch Berechnung der jeweiligen Distanztransformation nach 7 bzw. 8 und anschließender pixelweiser Binarisierung, 33

35 Abbildung 20: Erosion eines eindimensionalen Signals mit Zwischenschritten. Input: Eingabebild. Input C : Komplement des Eingabebildes. S: Strukturelementgrößen bild. D X,S: Distanzbild nach beiden Scans. X C dil S: Dilatation des Komplements des Eingabebildes. (X C dils) C : Erosion des Originalbildes. also einer Abfrage D X (p) < S(p). Mithilfe geeigneter Datenstrukturen ist die adaptive Morphologie basierend auf der Voronoi Edt auf beliebige Dimensionen erweiterbar. Eine Erweiterung auf Grauwertbilder ist ebenfalls möglich, jedoch ist mit schlechten Laufzeiten zu rechnen insbesondere bei drei oder mehr Dimensionen. 34

36 Abbildung 21: Reflektierte Dilatation eines eindimensionalen Signals mit Zwischenschritten. Input: Eingabebild. S: Strukturelementgrößen bild. D: Distanzbild nach beiden Scans. XdilS: ˇ Reflektierte Dilatation des Originalbildes. 35

37 4 Modellierung zellulärer Materialien In Natur und Technik kommen sehr oft zelluläre Materialen vor. Knochen, Bienenwaben und der mikroskopische Aufbau von Pflanzen sind zellulär. In der Technik werden zelluläre Materialen für Bauschäume, in der Luftund Raumfahrt, im Leichtbau, in der Filtertechnik sowie in vielen anderen Bereichen verwendet. Die weite Verbreitung zellulärer Materialien in technischen Disziplinen hat mehrere Gründe, die je nach Einsatzgebiet variieren. Durch ihre Struktur sind solche Materialien zugleich leicht und stabil, was vor allem beim Leichtbau wichtig ist. Zelluläre Materialien bieten zudem bei geringem Volumen eine große Oberfläche, was besonders für Filtermaterialien eine zentrale Eigenschaft ist. Die Auswahl des Materials erfolgt je nach Anwendung. Sollen beispielsweise in der Raumfahrttechnologie möglichst leichte Materialien mit großer Oberfläche eingesetzt werden, wie dies z.b. für die Kühlung der Außenzelle von Space Shuttles der Fall ist, so muss das entsprechende zelluläre Material genau diesen Anforderungen entsprechen. Zumeist werden für solche Hitech-Anwendungen neue Materialien entwickelt. Diese Entwicklung ist jedoch nach der klassischen Methode des Prototypings zeitaufwändig und teuer. Beim sogenannten virtuellen Materialdesign werden computergestützte Modelle für die Materialien erzeugt. Mit diesen Modellen können dann Computersimulationen durchgeführt werden. Die Ergebnise dieser Simulationen führen zu Modelländerungen des Materials. Die Phase von iterativer Computersimulationen und Modelländerungen wird nachfolgend als Modelloptimierung bezeichnet. So kann ein Material komplett ohne Herstellungskosten für Prototypen entwickelt werden. Ausgangspunkt im virtuellen Materialdesign ist eine bestehende Probe. Diese wird dann mithilfe geeigneter Methoden, beispielsweise µct, abgebildet und steht dann als digitale Aufnahme als eine Referenz für ein erstes Modell zur Verfügung. Die Übereinstimmung dieses ersten Modells mit der Aufnahme des Originals ist von großer Bedeutung, da alle Änderungen in der nachfolgenden Modelloptimierung von diesem Modell ausgehen. Ist hier von einem falschen Modell ausgegangen worden, so ist jede Optimierung hinfällig. Zelluläre Materialien können mittels zufälliger Mosaike modelliert werden. Eine detaillierte Beschreibung dieser Methodik ist in [11] zu finden. Jedoch bestand bisher nicht die Möglichkeit, die Stege und Facetten so aufzudicken, dass dies der beobachteten Form entspricht und somit weitere Kenngrößen angepasst werden können. In diesem Kapitel wird gezeigt wie Stege und Facetten so aufgedickt werden können, dass dies der beobachteten Form entspricht. Wie in Unterkapitel 4.1 zu sehen sein wird, ist dazu adaptive Morphologie notwendig. Nach einer Beschreibung der bestehenden Aufnahmen der Originalproben, ebenfalls in Unterkapitel 4.1, und einer kurzen Beschreibung des stochastischen Mo- 36

38 saikmodells in Unterkapitel 4.2 wird eine automatische Strukturelementgrößenbildgenerierung entwickelt, siehe Unterkapitel 4.3. Die zur Strukturelementgrößenbildgenerierung notwendigen Parameter werden zunächst anhand von Diagrammen grob geschätzt, siehe Unterkapitel 4.4. Anschließend wird in einer Rastersuche mittels Kenngrößenanpassung des Modells an das Original, ebenfalls in Unterkapitel 4.4, der geeignetste Parametersatz bestimmt. Zum Schluss werden in Unterkapitel 4.5 mögliche Erweiterungen und Verbesserungsmöglichkeiten diskutiert. Eine Beschreibung der kompletten Modellierung, also inclusive des Mosaikmodells, ist in [12] zu finden. 4.1 Beschreibung der Originalprobe und -aufnahme Der gegebene Schaum wird als Gießfilter in der Herstellung von Gussteilen im Maschinen- und Automobilbau verwendet. Dabei dienen diese Filter zur Entschlackung und zur Filterung von Formsand, sowie nichtaufgelöster Impfmittel. Diese unterstützen die Entstehung von Kristallisationskeimen in der Gussschmelze. Zur Herstellung dieses Werkstoffes wird ein Polymerschaumstoff mit Keramikschlamm beschichtet, wobei als Rohstoff Siliziumcarbid verwendet wird. Dazu wird der Träger in ein Keramikbad gepresst. Der Keramikschlamm lagert sich an die Stege des Schaumstoffes, wobei sich an den Knotenpunkten mehr Material als an den Stegen anlagert. Nach der Beschichtung wird das Material aus dem Keramikbad genommen und wieder auseinandergezogen. Dadurch entstehen die späteren Wände des Schaumes in einer Vorzugsrichtung. Der mit Keramikschlamm beschichtete Polymerträger wird nun gebrannt. Dabei verhärtet sich die Keramik, und der Trägerschaumstoff wird verdampft, wodurch hohle Stege im keramischen Material entstehen. All diese Effekte sind in Abbildung 22 zu erkennen. Links ist der Polymerträger und rechts der gebrannte Siliziumcarbidschaum abgebildet. Die Proben wurden am Fraunhofer EZRT mittels µct aufgenommen. Bei einer Bildgröße von Voxeln und isotropen Voxelabmessungen von je µm Kantenlänge entspricht dies einer Probengröße von etwa 47.5 mm 47.5 mm 19.1 mm. 4.2 Ausgangspunkt und Zielsetzung Ausgehend von einem gegebenen stochastischen Mosaikmodell aus [11] soll der in Kapitel 4.1 beschriebene Silizimcarbidschaum modelliert werden. Als Ausgangspunkt für die adaptive Morphologie ist eine Diskretisierung einer Realisierung des gegebenen stochastischen Mosaikmodells gegeben. Diese besteht aus folgenden drei Komponenten: Knotenbild (F 0 ) enthält die Knotenpunkte der Stege, 37

39 Abbildung 22: Links: Polymertra ger, Rechts: Siliziumcarbidschaum Kantenbild (F1 ) entha lt die Stege, Facettenbild (F2 ) entha lt die Zellwa nde. Ausgehend von diesem Modell mu ssen nun die Stege so nachgebildet werden, dass sie ihre maximale Dicke an den Knotenpunkten erreichen und die minimale Dicke in der Mitte der Stege liegt. Die Zellwa nde sollen ebenfalls mit gro ßer werdendem Abstand zu den Knoten du nner werden. auch Das Ziel ist eine mo glichst gute U bereinstimmung mit den in Kapitel 2.2 beschriebenen Kennwerten. Die Granulometrie auf dem dilatierten Modell wird zur Verifikation genutzt. 4.3 Strukturelementgro ßenbild Nach Kapitel 3.2 ist fu r adaptive morphologische Transformationen ein sogenanntes Strukturelementgro ßenbild notwendig. In diesem Kapitel wird eine Funktion eruiert, mit der dann das Strukturelementgro ßenbild automatisch generiert werden kann. Diese Funktion entsteht aufgrund der beobachteten Eigenschaften des Siliziumcarbidschaums. Da die Stegdicke und die Sta rke der Zellwa nde vom Abstand zu den Knoten abha ngt, ist eine Verwendung des Knotenbildes als Ausgangspunkt sinnvoll. Die Euklidische Distanztransformation des Knotenbildes ergibt in jedem Pixel die Distanz zum na chsten Knotenpunkt. Da die Stege, und Zellwa nde, mit zunehmendem Abstand zu den Knoten du nner werden, muss die Euklidische Distanztransformation invertiert werden. Als Strukturelement ergibt sich somit zuna chst folgende Funktion: h i h i S1 (p) = max{ DXEdt (F0 ) } DXEdt (F0 ) (p); p Df (30) 38

40 (a) Originalbild (b) Endpunkte (c) Strukturbild (d) Adaptive Dilatation Abbildung 23: Adaptive Dilatation einer Linie mit S 2 (p) Um das Maximum der Stegdicken, welches in den Knoten auftritt, nachzubilden, muss noch eine Normierung durchgeführt werden. Dabei wird durch die Division mit dem Maximalwert der Euklidischen Distanztransformation ein Wertebereich von null bis eins erreicht. Durch zusätzliche Multiplikation mit der maximalen Stegdicke, diese ist äquivalent der Knotendicke, wird die in der Probenaufnahme beobachtete Knotendicke erreicht. S 2 (p) = (max{[ DX Edt(F 0) ] } [ DX Edt(F 0) ] (p)) K max{ [ DX Edt(F 0) ] ; p D f, K := Knotendicke } (31) In Abbildung 23 ist am Beispiel einer Linie nochmal zu sehen wie das Prinzip der Modellierung funktioniert. Zunächst sind als Ausgangspunkt die Linie, beim Schaum entspräche dies dem Bild F 1, und die Endpunkte, respektive das Knotenbild F 0, gegeben. Aus dem Knotenbild wird dann die Edt berechnet. Diese wird komplementiert und normiert. Das Ergebnisbild ist das Strukturelementgrößenbild für die nachfolgende adaptive Dilatation von F 1. Die Stegdicke in der Mitte der adaptiv dilatierten Linie ist zu dick, was beim Beobachten der Probenaufnahme auffällt, und ist außerdem nicht beeinflussbar. Die bisher erläuterte Methode kann also nicht für die Modellierung eingesetzt werden, die Stegdicken müssen besser gesteuert werden können. Das Problem der bisherigen Variante ist, dass das Minimum der Edt auf der Linie zu groß ist. Um die Dilatation besser steuern zu können, sollten die Werte der Edt auf dieser Linie in einen Wertebereich von 0 bis 1 transformiert werden. Dies geschieht wie nachfolgend beschrieben: 1. Ausgangspunkt ist wieder das Bild F 0, 2. Edt auf diesem Bild berechnen, 3. Ergebnissbild mit F 1 maskieren (M := [ D Edt X (F 0) ] F 1 ), 4. Maximalwert von M bestimmen, 5. komplementieren und erneut maskieren, 39

41 (a) Originalbild (b) Endpunkte (c) Strukturbild (d) Adaptive Dilatation Abbildung 24: Adaptive Dilatation einer Linie mit S 3 (p) 6. Ergebnisbild durch Maximalwert teilen. Anschließend können dann minimale und maximale Stegdicke (lte min für minimal local thickness of edges, bzw. lte max ) durch Multiplikation und Addition nachgebildet werden. 0; F 1 (p) = 0 S 3 (p) = max{m} M(p) max{m} (lte max lte min ) + lte min ; F 1 (p) = 1 (32) In Abbildung 24 ist das Ergebniss der adaptiven Dilatation mit der neuen Variante zu sehen. Als Parameter wurden lte min = 0 und ltf max = 10 gewählt. Durch eine Transferfunktion t e kann auch noch die Form der Stege beeinflusst werden. Letztendlich ergibt sich mit p D f für das Strukturelementgrößenbild folgende Funktion: 0; F 1 (p) = 0 S 4 (p) = [ ] te max{m} M(p) max{m} (ltemax lte min ) + lte min ; F 1 (p) = 1 (33) Das Ergebniss einer Dilatation nach S 4 (p) ist in Abbildung 25 zu sehen. Weder in dem realen Schaum, noch bei dem Modell sind alle Kanten gleich lang. Dies führt dazu, dass die Kanten stärker aufgedickt werden als gewollt. Dies liegt daran, dass der maximale Wert des Bildes M gerade in der Mitte der längsten Kante auftritt. Resultierend tritt beim Komplementieren nur in dieser Kante der Wert null auf. Alle anderen Kanten besitzen größere Minimalwerte, was dazu führt, dass sie stärker aufgedickt werden. Um diesen Effekt zu verhindern muss die Strukturelementgröße in jedem Pixel gleichermaßen um l verringert werden. 40

42 (a) Originalbild (b) Adaptive Dilatation Abbildung 25: Adaptive Dilatation einer Linie mit S 4 (p) und den Parametern lte min = 3, lte max = 10 und t e = ( ) 2 (a) Originalbild (b) Adaptive Dilatation (c) Adaptive Dilatation Abbildung 26: Adaptive Dilatation verschieden langer Linien mit S 5 (p) 0; F 1 (p) = 0 S 5 (p) = [ max{m} l M(p) max{m} l F 1 (p) = 1 ] te (ltemax lte min ) + lte min ; (34) Damit bei einer typischen Kante gerade die minimale Stegdicke lte min auftritt, muss in Gleichung 34 l = max{m} 1/2 tel tel := typical edge length gelten. Zur adaptiven Dilatation der Facetten wird ebenso vorgegangen. Somit ergeben sich dann noch die Parameter: 4.4 Modellierung ltf min, ltf max, w, t f. Aufgrund physikalischer Gegebenheiten des Herstellungsprozesses verändert sich die Porosität von außen nach innen. Jedoch ist sie ab einem gewissen Abstand vom Rand der Probe homogen. Zur Vereinfachung wird im folgenden nur dieser homogene Teil der Probe verwendet. 41

43 P(X) S d (X) M d (X) K d (X) Original 0,7644 0,0481 0, ,00019 Tabelle 2: Kennwerte des Originalbildes Abbildung 27: Diagramme zur Bestimmung der Parameterbereiche für das Strukturelementgrößenbild. Links: Diagramm zur Bestimmung von l, Mitte: Diagramm zur Bestimmung von w, Rechts: Diagramm zur Bestimmung von lte min, lte max und ltf min In Tabelle 2 sind die vier Kenngrößen des Originals aufgelistet, die in dem Modell angepasst werden sollen. Die Modellierung ist, bei gegebenem stochastischen Modell, in drei Teilaufgaben unterteilt: 1. Auswahl der Parameterbereiche, 2. Auswahl eines Parametersatzes mittels Rastersuche, 3. Verifikation des ausgewählten Parametersatzes. Zur Erzeugung der Strukturelementgrößenbilder für die Kanten und Facetten sind nach Unterkapitel 4.3 folgende Parameter notwendig: t e, lte min, lte max, l, t f, ltf min, ltf max, w. Hier soll ltf max = lte max und t f = t e = 2 gelten. Diese Annahmen sind sinnvoll und reduzieren den nachfolgend zu durchsuchenden Parameterraum. Wenn in der Rastersuche jeder Parameter mit drei konkreten Werten getestet werden soll, so ergeben sich 3 5 = 243 anstatt 3 8 = 6561 einzelne Modellierungen. 42

44 P(X) S d (X) M d (X) K d (X) Original 0,7644 0,0481 0, ,00019 Modell 0,7603 0,0522-0, ,00009 Tabelle 3: Vergleich der Kennwerte von Original und dilatiertem Modell. In Abbildung 27 sind im Diagramm links die halben Kantenlängen des stochastischen Modells aufgetragen. Das Diagramm ergab sich durch folgende Schritte: 1. Berechnung der Edt auf F 0 2. Maskieren mit F 1 3. Bestimmung der lokalen Maxima 4. Berechnung des Histogramms In dem Diagramm werden maximale und typische Kantenlänge abgelesen, woraus sich der Parameterbereich von l ergibt. Das gleiche Prinzip wird für den Parameterbereich von w verwendet, siehe Abbildung 27 mitte. Mithilfe des Diagramms aus Abbildung 27 rechts werden die restlichen drei Parameterbereiche abgelesen. Das Diagramm entstand durch Auftragen der Eulerzahl des mit Radius r erodierten Orginalbildes. Wenn die Eulerzahl ihr Minimum erreicht hat kann dort lte min abgelesen werden, da anschließend Stege durchgeschnitten werden. Bei Erreichen des Maximums ist lte max ablesen, da bei größerem Strukturelementradius Knoten entfernt werden. Der Wendepunkt vor dem Minimum entspricht der typischen Facettendicke, welche dann für die Modellierung als ltf min angenommen wird, da Streuungen nicht berücksichtigt werden sollen. Um für die Modellparameter jeweils einen konkreten Wert aus den zuvor bestimmten Bereichen auszuwählen wird eine Rastersuche durchgeführt, bei der für jeden Parameter drei Werte aus dessen Parameterbereich getestet werden. Alle Modelle werden anschließend auf die Porosität hin überprüft. Alle Modelle, deren Porosität weniger als ein Prozent vom Original abweicht, werden auf die anderen drei Kenngrößen hin untersucht. Die Kenngrößen des ausgewählten Modells sind in Tabelle 3 gegenüber dem Original aufgelistet. Für das ausgewählte Modell wurden folgende Parameter verwendet: t e = t f = 2, lte min = 3,33 Pixel, ltf min = 2,33 Pixel, lte max = ltf max = 8,33 Pixel, l = 43,33 Pixel, w = 29,33 Pixel. Zum Schluss wird der ausgewählte Parametersatz mithilfe der Granulometrieverteilung verifiziert. Die Granulometrien, siehe Abbildung 28, zeigen starke Formunterschiede zwischen Original und Modell. Diese entstehen 43

45 durch die Determiniertheit der adaptiven Dilatation z.b. sind alle Knotenpunkte gleich stark aufgedickt, was dann zu dem starken Peak rechts (ca. bei 9) in der Granulometrie des Modells führt. Dass dieser Peak nicht bei 8,33 liegt, ist durch Überlappungseffekte zu erklären insbesondere, wenn mehrere Knoten dicht beisammen liegen. In der Kurve des Modells sind die Parameter klar sichtbar. Die zu lte min und lte max korrespondierenden Peaks liegen leicht hinter den Parameterwerten. Die Kurve des Modells liegt insgesamt etwas höher als die Kurve des Originals, jedoch ist der Unterschied nach Tabelle 3 zu erwarten und stimmt Quantitativ überein. 4.5 Diskussion und Ausblick In den vorhergehenden Unterkapiteln wurde gezeigt, wie die lokal adaptive mathematische Morphologie eingesetzt werden kann, um Schäume zu modellieren. Die Parameter Porosität, Oberflächendichte und die Dichten der Integrale der mittleren und totalen Krümmung wurden auf Genauigkeiten unter einem Prozent an die Werte des Originals angepasst. Dies ist eine Genauigkeit die bisher nicht erreichbar war. Die zur adaptiven Dilatation des Mosaikmodells notwendigen Parameterbereiche können mithilfe nur weniger Diagramme ermittelt werden. Das Strukturelementgrößenbild wird automatisch generiert. Dies bedeutet eine wesentliche Verbesserung der Anwendbarkeit der lokal adaptiven Morphologie, denn in theoretischen Abhandlungen, z.b. [4], über die lokal adaptive Morphologie ist die Auffindung des Strukturelementgrößenbildes als wesentlicher Punkt für zukünftige Forschungsaktivitäten aufgeführt. Trotz dieser guten Ergebnise kann die Methode noch verbessert werden. In Abbildung 29 sind bei dem Modell zackenförmige Artefakte zu sehen. In Abbildung 31 sind diese nochmal hevorgehoben. Die Artefakte können möglicherweise durch Glättung des Ergebnisbildes selbst oder des Strukturelementgrößenbildes vermindert werden. Wenn die Parameter t e und t f unterschiedlich gewählt würden kann eine weitere Verbesserung erfolgen, falls bei dem gegebenen Schaum in Kanten und Facetten solche Unterschiede beobachtet werden. Jedoch führt dies zu einem weiteren Parameter für die Rastersuche und somit zu einer wesentlich größeren Laufzeit. Gleiches gilt für die Parameter lte max und ltf max. Dabei ist zu beachten, dass dann die Parameter t e und t f so zu wählen sind, dass keine Knicke in den Übergängen von Kanten zu Facetten entstehen (möglicherweise sind jedoch genau solche in dem Original zu beobachten). In Kapitel 4.4 wurde beschrieben, dass sich die Steg- und Facettendicken des Schaums von außen nach innen verändern. Auch dieser Effekt könnte für die Generierung des Strukturelementgrößenbildes mit berücksichtigt werden. Dazu muss das Originalbild schrittweise verkleinert, also zugeschnitten, und jeweils die Porosität bestimmt werden. Durch eine Interpolation dieser 44

46 Abbildung 28: Granulometrien zur Verifikation des ausgewählten Parametersatzes. Oben links: Granulometrie des morphologisch geschlossenen Originals in grau und geglättet in schwarz. Oben rechts: Granulometrie des Modells in grau und geglättet in schwarz. Unten links: Granulometrie des Modells mit eingezeichneten Parameterwerten ltf min, lte min und lte max. Unten rechts: Vergleich der geglätteten Granulometriekurven von Original in schwarz und Modell in grau 45

47 Abbildung 29: Vergleich einer Scheibe der gegebenen Probe (links) mit dem Modell (rechts) Abbildung 30: Vergleich der Volumenansicht der gegebenen Probe (links) mit dem Modell (rechts) 46

48 Abbildung 31: Artefakte im Modell. Links: Komplette Scheibe, Rechts: Detail Werte kann eine Funktion erstellt werden, nach der die Größe des Strukturelementes dann zusätzlich vergrößert wird. Eine weitere Annäherung an das Original ist erreichbar, durch eine zusätzliche, additive und zufällige Komponente, die dem Strukturelementgrößenbild zugeschlagen wird. Die Größenordnung dieser Zufallskomponente sollte je nach den Größenunterschieden des Originalschaums gewählt werden. Durch Verwendung der Euklidischen Metrik entsteht die Einschränkung, dass das Mosaik in jede Raumrichtung gleichermaßen aufgedickt wird. Dies muss jedoch nicht immer gewollt sein. Durch Verwendung anderer Metriken für das Strukturelement, z.b. einer elliptischen Metrik, kann eine Aufdickung in Abhängigkeit von der Raumrichtung erzeugt werden. 47

49 5 Automatische Bestimmung des Strukturelementgrößenbildes In diesem Kapitel wird eine Methode entwickelt, die automatisch zu dem Strukturelementgrößenbild führt. Die Algorithmen werden am Beispiel kugelförmiger Objekte entwickelt, gelten aber mit kleinen Modifikationen auch für Objekte anderer Form. Das Prinzip beruht auf der Schätzung lokaler Objektgrößen. In Unterkapitel 5.1 wird zunächst die Problematik der Auffindung des Strukturelementgrößenbildes aufgezeigt. Dies geschieht mit Bildern bei denen die Kugelgrößen linear ansteigen, z.b. in x-richtung. In Unterkapitel 5.2 wird diese Einschränkung aufgegeben und drei Algorithmen zur automatischen Generierung des Strukturelementgrößenbildes vorgestellt. Dabei wird zunächst ein einfacher Ansatz vorgestellt und dann schrittweise verbessert. In Unterkapitel 5.3 wird der zuletzt entwickelte Algorithmus in einer konkreten Anwendung eingesetzt. 5.1 Kugelzentren zufällig verteilter Kugeln Zunächst soll eine Aufnahme kugelförmiger Objekte betrachtet werden, bei der die Kugeln im Bild von links nach rechts kontinuierlich größer werden. Dies ist ein einfaches Modell für Filter und Schüttungen. In Abbildung 32 ist ein Bild einer Realisierung eines Modells einer solchen Schüttung zu sehen. Ziel ist hier die Auffindung der Kugelzentren. Dies kann morphologisch durch eine Erosion erreicht werden. Bei der klassischen Morphologie ergibt sich aufgrund der translationsinvarianz des Strukturelements das Problem, dass die kleinen Kugeln wegfallen, da sie kleiner als das Strukturelement sind, beziehungsweise dass bei den großen Kugeln nicht die Zentren gefunden werden. In Abbildung 33 ist zu sehen, dass dieses Problem unabhängig davon auftritt, wie groß das Struk- Abbildung 32: Kugelförmige Objekte deren Radius von links nach rechts steigt. 48

50 Abbildung 33: Translationsinvariante Erosion. Links: Kleiner Radius des Strukturelementes. Rechts: Größerer Radius des Strukturelementes. Abbildung 34: Adaptive Erosion. Die Strukturelementgröße wurde von links nach rechts linear vergrößert. turelement gewählt wird. Das Ziel wird durch adaptive Morphologie erreicht, indem die Größe des Strukturelements von links nach rechts größer gewählt wird. Um das optimale Strukturelementgrößenbild zu finden, welches zur in Abbildung 34 gezeigten Lösung führt, ist jedoch viel Zeit und Erfahrung notwendig. In den nächsten Kapiteln wird ein Algorithmus entwickelt, der das Strukturelementgrößenbild für Kugelpackungen automatisch erstellt. 5.2 Automatische Generierung des Strukturelementgrößenbildes In diesem Kapitel wird ein Algorithmus entwickelt welcher für Kugelpackungen automatisch ein Strukturelementgrößenbild generiert. Dies führt zur Anwendbarkeit der adaptiven Morphologie in diesem Bereich. Nicht immer werden die Kugeln einer Kugelpackung stetig kleiner oder größer. Vielmehr sind die Kugelgrößen zufallsbestimmt. Dies muss in dem Algorithmus beachtet werden. In Abbildung 35 ist ein einfaches Bild mit vier Kugeln zu sehen. Anhand 49

51 Abbildung 35: Testbild mit vier Kugeln als Objekte. Abbildung 36: Adaptive Erosion (rechts) des Originalbildes (links) mit Strukturelementgrößenbild nach Algorithmus 1 dieses Bildes wird nun ein erster Algorithmus entwickelt. Zur automatischen Strukturelementgrößenbildgenerierung wird zunächst die Euklidische Distanztransformation auf dem Vordergrund, also den Kugeln, berechnet. Das Ergebnisbild wird in vier gleich große Bereiche aufgeteilt und in jedem Bereich wird der Maximalwert bestimmt. Das Strukturelementgrößenbild ist ebenso in diese vier Bereiche aufgeteilt. Jedem Bereich wird nun der zuvor gefundene Maximalwert des Edt-Bildes dieses Bereichs zugewiesen. Mit diesem Strukturelementgrößenbild würden bei einer Erosion die Kugeln gerade so verschwinden, deshalb wird noch eine Konstante C von dem Strukturelementgrößenbild abgezogen. Lautet das Ziel, wie bei uns, die Kugelzentren zu finden, so ist die Wahl C = 1 sinnvoll. In Algorithmus 1 ist die automatische Strukturelementgrößenbildgenerierung nach der eben beschriebenen Methode noch einmal als Algorithmus dargestellt. Das Ergebniss einer Erosion mit dem von diesem Algorithmus erzeugten Strukturelementgrößenbild ist in Abbildung 36 zu sehen. Die bisherige Variante erfüllt jedoch in den meisten Fällen nicht ihren Zweck. In Abbildung 37 werden bei einer Erosion drei Objektzentren verloren gehen, da das Strukturelement in diesen Bereichen größer als die Objekte selbst ist. Um dieses Problem zu beheben ist eine Erhöhung der Bereiche allein nicht 50

52 Algorithmus 1 Automatische Strukturelementgrößenbildgenerierung Version 1 function max = findregmax(startx, endx, starty, endy) max = 0 for x = startx:endx for y = starty:endy if(e(x,y) > max) max = E(x,y) return max procedure fill(startx, endx, starty, endy, value) if(value < 1) value = 1 // Dies verhindert unsinnige // Strukturelementgroessen kleiner 1 Pixel for x = startx:endx for y = starty:endy SEImage(x,y) = value procedure structelementgeneration() E = calcedt(inputimage) deltax = sizex(inputimage)/2 deltay = sizey(inputimage)/2 maxul = findregmax(0,deltax-1,0,deltay-1) maxur = findregmax(deltax,sizex-1,0,deltay-1) maxll = findregmax(0,deltax-1,deltay,sizey-1) maxlr = findregmax(deltax,sizex-1,deltay,sizey-1) fill(0,deltax-1,0,deltay-1,maxul-c) fill(deltax,sizex-1,0,deltay-1,maxur-c) fill(0,deltax-1,deltay,sizey-1,maxll-c) fill(deltax,sizex-1,deltay,sizey-1,maxlr-c) 51

53 Abbildung 37: Testbild mit mehreren Kugeln Abbildung 38: Adaptive Erosion (rechts) des Originalbildes (links) mit Strukturelementgrößenbild (mitte) nach Algorithmus 2 ausreichend, bzw. würde sogar zu Fehlern führen. Vielmehr ist eine dynamische Bereichsaufteilung notwendig. Dazu empfiehlt sich eine Bereichseinteilung mittels Quad-Trees [7]. Hierbei wird ein Rechteck in vier Rechtecke unterteilt, wenn ein gewisses Kriterium erfüllt ist. In Algorithmus 2 muss als Kriterium der Radius des größten Objekts dieses Bereichs kleiner als ein viertel der Länge der längsten Seite sein. Denkbar sind aber auch Kriterien, welche die Fläche berücksichtigen. Die Qualität dieses Algorithmus hängt wesentlich von der Wahl des Kriteriums ab. In Abbildung 38 ist das Ergebnis einer adaptiven Erosion mit dem Algorithmus Dynamische Bereichsaufteilung mittels Quad Trees zu sehen. Eine wesentliche Verbesserung erfolgt, wenn das Bild nicht in Rechtecke zerlegt wird, denn dabei kann die Grenze zweier Gebiete genau auf einem Objekt liegen. Im folgenden Algorithmus, siehe Algorithmus 3, wird eine Voronoizerlegung für die Gebietsaufteilung benutzt. Wieder wird zuerst die Edt auf dem Vordergrund berechnet. Von dem Ergebnisbild werden die lokalen Maxima bestimmt. Dieses Bild dient dann als Eingabe der Raster Scan Edt, wobei jetzt nicht das Distanzbild berechnet wird, sondern das Vektorbild V. In diesem Bild ist in jedem Pixel die Koordinate des nächsten Vordergrundpixels hinterlegt, was genau der Voronoizerlegung des Bildes entspricht. In 52

54 Algorithmus 2 Automatische Strukturelementgrößenbildgenerierung Version 2 function max = findregmax(startx, endx, starty, endy) max = 0 for x = startx:endx for y = starty:endy if(e(x,y) > max) max = E(x,y) return max procedure fillarea(startx, endx, starty, endy, value) if(value < 1) value = 1 // Dies verhindert unsinnige // Strukturelementgroessen kleiner 1 Pixel for x = startx:endx for y = starty:endy SEImage(x,y) = value procedure fill(startx, endx, starty, endy) value = findregmax(startx, endx, starty, endy) fillarea(startx, endx, starty, endy, value) deltax = endx - startx; deltay = endy - starty; maxdelta = max(deltax, deltay) if(value < maxdelta/4 && value > 1) fill(startx, (startx+endx)/2, starty, (starty+endy)/2) fill((startx+endx)/2, endx, starty, (starty+endy)/2) fill(startx, (startx+endx)/2, (starty+endy)/2, endy) fill((startx+endx)/2, endx, (starty+endy)/2, endy) procedure structelementgeneration() E = calcedt(inputimage) fill(0, sizex-1, 0, sizey-1) SEImage = meanfilter(seimage) 53

55 Algorithmus 3 Automatische Strukturelementgrößenbildgenerierung Version 3 procedure fill() for x = 0:sizeX-1 for y = 0:sizeY-1 SEImage(x,y) = E(V(x,y)) procedure structelementgeneration() E = calcedt(inputimage) R = regionalmaxima(e) M = mask(r, E) T = binarize(m, K) // Binarisiere M mit dem Schwellwert K V = getvoronoipartition(m) // Mithilfe der Raster Scan Edt fill() Abbildung 39: Adaptive Erosion (rechts) des Originalbildes (links) mit Strukturelementgrößenbild (mitte) nach Algorithmus 3 der Prozedur fill() wird das Strukturelementgrößenbild gefüllt, wobei die zuvor berechnete Voronoizerlegung verwendet wird. Die Binarisierung mit vorgegebenem K kann als Abfrage auf eine Mindestgröße des Strukturelementes angesehen werden. K ist abhängig von der Anwendung zu wählen, siehe nächstes Unterkapitel. Das Ergebnis einer adaptiven Erosion mit dem Algorithmus Dynamische Bereichsaufteilung mittels Voronoizerlegung und K = 1 ist in Abbildung 39 zu sehen. 5.3 Wasserglas In diesem Abschnitt wird die im vorigen Abschnitt entwickelte Methode zur automatischen Generierung des Strukturelementgrößenbildes auf einen realen Datensatz angewendet. Die Probe wurde vom Institut für Verbundwerkstoffe (IVW) Kaiserslautern gestellt. Die Aufnahmen wurden mittels Fib-nt an der Universität Saarbrücken aufgenommen. 54

56 Abbildung 40: REM Aufnahme der Wasserglasprobe vom IVW Beschreibung der Probe und Entstehung der Aufnahmen Die Probe enthält kugelförmige Einschlüsse aus Wasserglas in einer Matrix aus Harz. Die Einschlüsse sind typischerweise 3 bzw. 9 Mikrometer groß, jedoch sind auch Streuungen zu erwarten. Die Hauptanwendungsgebiete solcher Werkstoffe sind der Bau wasserfester Pipelines und Leitungsröhren, sowie deren Reparatur. In Abbildung 40 ist eine Rasterelektronenmikroskopische Aufnahme dieses Werkstoffes zu sehen, welche vom IVW gestellt wurde. Die im nächsten Abschnitt benutzten Aufnahmen wurden mittels Fib-nt erstellt. Dabei entsteht ein Stapel zweidimensionaler Bilder, welcher dann zu einem dreidimensionalen Bild zusammengesetzt werden kann. Die Funktionsweise der Bildgebung mit Fib-nt ist in Abschnitt 1.1 erläutert. Einsatz adaptiver Morphologie beim Preprocessing In Abbildung 41 (links) ist ein Slice der Fib-nt Aufnahmen zu sehen. Von diesem soll eine Größenverteilung, sowie eine Partikelzählung berechnet werden. Dafür müssen zunächst die Objekte, also die Kugeln, voneinander getrennt werden. Zur Objekttrennung kann eine morphologische Öffnung verwendet werden. Behandelt wird hier nur die Vorverarbeitung, nicht aber die Partikelzählung und die Größenverteilung. Als Ausgangspunkt für die adaptive Öffnung wird ein Binärbild benötigt. Das Ausgangsbild erhält horizontale, linienartige Artefakte, entstanden durch das sogenannte Curtaining beim Ätzen des Materials mit dem Ionenstrahl. Diese würden bei einer direkten Binarisierung auf dem Originalbild zu Fehlern bei der Binarisierung führen. Eine gute Binarisierung ist aber wichtig für die nachfolgenden Verarbeitungs- und Analyseschritte. Daher wurde das Originalbild zuerst mit einem Medainfilter geglättet. In Abbildung 41 (mitte) ist zu sehen, dass die Curtaining-Effekte abgeschwächt wurden. Eine 55

57 Abbildung 41: Binarisierung: Links ist das Originalbild zu sehen. Dieses Bild wurde mit einem Medianfilter Mitte für die anschließende Binarisierung Rechts vorbereitet. Abbildung 42: Adaptive Öffnung. Links: Originalbild. Mitte: Strukturelementgrößenbild nach Algorithmus 3. Rechts: Adaptive Öffnung. stärkere Glättung ist nicht empfehlenswert, da dabei die Kanten des Bildes verwischt würden. Eine Verbesserung würde hier wahrscheinlich der Einsatz einer Amöbe nach [13] bringen. Ausgehend von diesem Bild wurde mithilfe des Otsu Schwellwerts [16] die Binarisierung berechnet. Das Ergebnis der Binarisierung ist in Abbildung 41 (rechts) zu sehen. Ausgehend von diesem Binärbild wurde nun die adaptive Öffnung nach Algorithmus 3 berechnet. In Abbildung 42 ist zu erkennen, dass dadurch einige Objekte getrennt und kleine Störbereiche entfernt wurden. Dies wurde durch eine angemessene Wahl des Parameters K in Algorithmus 3 erreicht. Natürlich wird beim Entfernen dieser Bereiche nicht der dreidimensionale Zusammenhang berücksichtigt, jedoch dient dieses Beispiel hier nur zum prinzipiellen Verständnis dieses Algorithmus. 56

58 Abbildung 43: Histogramm des Strukturelementgrößenbildes Abbildung 44: Nicht adaptive Öffnung 57