Aufgabe 1 - Tricks mit linearen Gleichungen

Transkript

1 Institut für Informatik Visual Computing Prof. Dr. Michael Wand & M.Sc. Sebastian Brodehl Sommersemester 2018 Modellierung I Übungsblatt 4: LGS, Vektorräume und Inverse Probleme Letzte Änderung: 10:20 Uhr, 26 May 2018 Abgabe bis: 7. Juni 2018, 10 Uhr Aufgabe 1 - Tricks mit linearen Gleichungen Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem (LGS) A R d d, b R d sowie einer Unbekannten Ax = b x R d mit gegebenen Konstanten. Wir nehmen an, dass sehr groß ist. Wir haben die Aufgabe, dieses Gleichungssystem immer wieder zu lösen. Jedes Mal ändert sich jedoch nur ein einziger Eintrag b i, i = 1 d gegenüber der vorherigen Iteration. 1 Beschreiben Sie einen Algorithmus, der nach einer (eventuell recht aufwendigen) Vorberechnung, dieses Problem sehr schnell löst (im Wesentlichen mit einer Vektorskalierung und Addition).

2 Aufgabe 2 - Abstrakte Vektorräume, Unterräume Ein Unterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die auch alle Axiome eines Vektorraums erfüllt. Das einzige, was hier schiefgehen kann, ist die algebraische Abgeschlossenheit (der Rest vererbt sich per Definition). Im Folgenden wollen wir für interessante algebraische Konstrukte beweisen, dass es sich um Unterräume handelt. Hierzu sollen wieder nur die abstrakten Eigenschaften von Vektorräumen und die bekannten Eigenschaften von reellen Zahlen benutzt werden. 0 R n 0 = 0 a) Beweisen Sie, dass jeder Vektorraum den Nullvektor enthalten muss. b) Beweisen Sie, dass die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein x V = R n, y W = R n A R m n Ax = y y x Unterraum des Bildraums ist. Hier sind die Details: Seien und eine Matrix. Dann ist die Gleichung ein LGS, wenn gegeben und unbekannt ist. Man kann dies auch schreiben als: y i = n j=1 a ij x i, mit A = a 11 a 1n a m1 a mn Vektoren Beweisen Sie nun, dass die Menge aller Lösungen von Vektorraumes V ist. Ax = 0 ein Unterraum des c) Man spricht von einem "affinen" Unterraum wenn wir eine Menge vorliegen haben, die alle Axiome eines Vektorraums erfüllt wenn man von jedem Element einen festen Vektor abzieht. Anders gesagt, ein affiner Vektorraum ist ein Vektorraum, der um einen konstanten Offset verschoben wurde (also nicht durch den Ursprung verläuft). Erklären Sie, warum die Lösung von Ax = y einen affinen Unterraum bildet.

3 Aufgabe 3 - Inverse Probleme Dieses Mal lösen wir unser erstes "richtiges" Problem! Wir rekonstruieren (mit einem zugegebenermaßen recht einfachen Ansatz) ein Modell zu gegebenen verrauschen Messdaten. Als Beispiel schauen wir uns den Klassiker der inversen Probleme an - die Rekonstruktion von tomographischen Daten mittels regularisierter Inversion der Radontransformation (effizientere Varianten dieser Methode werden tatsächlich in der der Praxis oft benutzt, insbesondere für tomographische Verfahren in der Medizin wie z.b. CT/MRI/PET etc.). Sie können natürlich wieder ein Tool Ihrer Wahl nutzen. Erläuterung: Wie funktioniert ein Computertomographiescanner (CT)? Das Gerät macht sehr viele Röntgenbilder eines Patienten, wobei sich der Scanner (also Röntgenquelle und Photodetektor) um den Patienten dreht. In jeder Schicht senkrecht zur Drehachse ergibt sich eine Situation ähnlich wie in Abbildung 1: Jeder Pixel im Röntgenbild misst die integrale Absorption entlang einer Linie (hier als parallel angenommen, zur Vereinfachung). Durch Bilden des Logarithmus, erhält man die Summen der logarithmierten Absorptionsdichten. Diese Transformation - von einer Dichtefunktion zu ihren Linienintegralen entlang aller möglichen Graden nennt man auch Radontransformation. Dies ist eine lineare Abbildung; ihr Inverses ist die inverse Radontransformation (Wer hätte das gedacht?), und die erlaubt uns, aus einem CT Scan Datensatz, die Dichte im Patienten zu rekonstruieren.

4 Abbildung 1: Die Radontransformation - für jeden möglichen Winkel Integration entlang von (hier parallelen) Linien (Parameter f : [ 1, 1] 2 [0, 1] α wird eine 1D Projektion durch ) erzeugt. Eingabe ist ein 2D "Graustufen" Bild. Die Radontransformation liefert ein neues 2D Bild, dass für x α [0, π] x [ 2, 2] RT(f) jeden Winkel und Längsparameter das entsprechende Linienintegral liefert. Aufgabe Die Radontransformation a) Überlegen Sie sich, wie die Radontransformation genau funktioniert, und wie man diese (für Pixelbilder) mit Hilfe von numerischer Integration diskretisieren kann. b) Implementieren Sie eine 2D Radontransformation. Erzeugen Sie hierzu ein neues GeoX Experiment oder Tool, dass es erlaubt, ein Bild (Graustufen reichen) zu laden und dessen Radontransformation zu berechnen und Visualisieren. Das Prinzip der Transformation ist in Abbildung 1 dargestellt. c) Berechnen Sie nun die Matrix, die die Radontransformation (Abbildung von Pixeln auf die Werte der Linienintegrale) darstellt. Aufgabe Die Inverse Radontransformation a) Untersuchen Sie die Eigenschaften der Transformation indem Sie sich die SVD der Transformationsmatrix ansehen. Insbesondere ist es sehr aufschlussreich, sich das Singulärwertspektrum anzusehen (Plotten Sie das Spektrum mit Excel, GNUPlot, oder GeoX, je nach Mut...). Man stellt fest, dass die Radontransformation schlecht gestellt ("ill-posed") ist - die

5 Spreizung der Singulärwerte ist relativ stark, was eine naive Invertierung schwierig macht (unmöglich mit echten, verrauschten Messdaten). Historisch ist dies eines der Probleme, die zur Entwicklung der Theorie schlecht gestellter Probleme geführt hat. b) Visualisieren Sie den Kern der Radontransformation: Zeigen Sie einige Beispiel von Eingabebildern, die fast vollständig auf null abgebildet werden. Im Gegenzug, finden Sie Eingabebilder die kaum durch die Transformation abgeschwächt werden. Hinweis: Schauen Sie sich die Singulärvektoren (auf der richtigen Seite der Matrix) an. c) Berechnen Sie nun die inverse Radontransformation mit Hilfe einer (entsprechend angepassten) Pseudoinversen (also eine SVD-basierte Matrixinversion bei der kleine Singulärwerte passend abgeschnitten werden). Wenden Sie diese auf verschiedene Eingabebilder an, bei denen unterschiedlich viel Rauschen künstlich hinzugefügt wurde (um einen realen Messprozess zu simulieren). Anmerkungen: Die Invertierung via SVD ist sehr teuer (in der Praxis wird das daher auch in der Regel anders implementiert, mittels schneller Fouriertransformation o.ä.). Bildgrößen von ca Pixel ließen sich in meinen Experimenten noch mit halbwegs vertretbarem Aufwand invertieren. Beispiele (alle leicht vergrößtert):

6 Eingabebild Radontransformation Nach Invertierung σ (Schwellwert, kein zusätzliches Rauschen) [1] So etwas passiert zum Beispiel, wenn wir in der Computergraphik ein 3D Modell interaktiv dadurch verformen, dass einige Punkte des 3D Meshes festgehalten werden und der Rest sich (linearisiert) elastisch verformen soll. Wenn wir mit der Maus immer nur einen Endpunkt des Meshes verschieben, ist diese Optimierung möglich.