Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main. Fachbereich Informatik. Seminarausarbeitung SS 2002 RDF MT

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1 Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main Fachbereich Informatik Seminarausarbeitung SS 2002 RDF MT Resource Description Framework Model Theory bei Herrn Prof. Zicari wiss. Mitarbeiter: Karsten Tolle vorgelegt von: Emir Blaževic

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Modell-Theorie Graph-Syntax Interpretationen Formale Notation Bedeutung der Graphen Vererbung Vererbungs-Lemmata Vokabular - Interpretationen RDF - Interpretationen RDFS - Interpretationen Vokabular - Vererbung und Hüllenbildung RDF-Vererbung und RDF-Hülle RDFS-Vererbung und RDFS-Hülle

3 1. Einführung Dieses Dokument knüpft direkt an die Arbeit von W3C. Diese wurde von RDF-Core Arbeitsgruppe produziert. Jetziger Status ist work in progress, bzw. hat den W3C-Status als Working Draft. Aus diesem Grund können in Zukunft geringfügige Änderungen am Dokument gemacht werden. Es kann auch sein, dass das Dokument teilweise oder sogar komplett ersetzt wird. Diese Sachlage entzieht sich jedoch komplett meinem Einfluss, und aus diesem Grund werde ich annehmen, dass dieses Dokument in seiner jetzigen Form unverändert bleibt. Diese Form ist der Entwurf vom Im WWW findet man sie unter: Modell-Theorie: RDF-MT bezeichnet die modell-theoretische Semantik für RDF und RDFS und einige Grundprinzipien der Vererbung. Modell-theoretische Semantik für eine bestimmte Sprache nimmt an, dass die Sprache mit dem Universum gleichzusetzen ist, und aufgrund dessen beschreibt sie minimale Bedingungen, die das Universum erfüllen muss, um eine passende Bedeutung für jeden Ausdruck in der Sprache zu bestimmen. Der, so bekommene Teil des Universums nennen wir eine Interpretation. Zu den Interpretationen werden wir im nächsten Kapitel explizit kommen Graph-Syntax: Jede semantische Theorie muss mit einer Syntax verknüpft werden, um diese erklären zu können. Wenn diese Syntax auch noch relativ einfach ist, ist es noch besser. Aus diesem Grund hat man sich für den RDF-Graph als Hauptsyntax entschieden. Jeder Graph, wie vorgestellt in RDF Model and Syntax Specification, 22 Feb 1999, besteht aus Knoten und Pfeilen. 3

4 Wir definieren, drei Arten von Knoten in jedem RDF-Graphen. Das sind: URI-Referenz (im folgenden abgekürzt durch: URI) Bezeichnet eine URI-Referenz definiert gemäß RFC 2396 URI Literal Kann entweder ein Bit, eine Zeichenkette oder eine Tag sein. In unserer Modelbetrachtung werden wir jedoch annehmen, dass es sich nur um Zeichenketten handelt, weil die anderen für theoretische Betrachtung nicht von Belangen sind. Blank (unbezeichnet) Bezeichnet anonyme Einheiten im Graph, welche keine Bezeichnung haben, sind jedoch immer eindeutig im Graphen Schließlich bestimmen wir, dass jeder Pfeil im RDF-Graph nur durch eine URI bezeichnet werden kann. Ein RDF-Graph besteht aus einer Menge der Tripel von Form <S, P, O>. Ein Beispiel mit möglichen Zuständen jedes Knoten und Pfeils ist in Abbildung 1 gezeigt. Anmerkung: Wenn der Objekt Knoten ein Literal ist wird es nicht in einem Oval gezeichnet, sondern in einem Rechteck. S (URI / Blank) P (URI) O (URI / Blank) oder S URI / Blank P (URI) O (Literal) Abbildung 1 4

5 2. Interpretationen Eine Interpretation weist eine Bedeutung den Symbolen in einem bestimmten Vokabular oder einer URI zu. Es kann sein, dass manche Interpretationen spezielle Bedeutung den Symbolen in einem bestimmten Namensraum zuweisen. Diese Symbole werden wir reserviertes Vokabular nennen. Weiterhin werden wir zwei solche reservierte Vokabulare in diesem Dokument benutzen. Das von RDF und das von RDFS. Interpretationen, die sich zu einem bestimmten Vokabular beziehen, werden wir nach dem Namensraum nennen (Bsp. rdf-interpretation). Diese bekommen jedoch eigenständiges Kapitel. Hier betrachten wir Interpretationen mit leerem Vokabular. Eine Interpretation liefert gerade genug Informationen über eine mögliche Welt, um den Wahrheitsgehalt jedes RDF-Graphen, des Universums, zu bestimmen Formale Notation: Alle Interpretationen sind relativ zu einem Vokabular. Das Vokabular besteht aus reservierten Wörtern (hier: leere Menge) und der Menge der URIs. Eine einfache Interpretation I vom Vokabular V ist wie folgt definiert: 1) Nicht leere Menge IR von Resourcen, genannt Domain oder Universum von I 2) Abbildung IEXT von IR nach IR x (IR U LV), das heißt die Menge der Paare <x,y> wobei x aus IR und y aus IR vereinigt mit der Menge aller möglichen Literale 3) Abbildung IS von V nach IR IEXT(x) ist eine Menge der Paare welche die Argumente identifizieren, für welche die Eigenschaft als wahr gilt. Es ist üblich eine Untermenge IP von IR zu definieren. Das ist die Menge der Eigenschaften, die als Untermenge der Resourcen zu betrachten ist. 5

6 2.2. Bedeutung der Graphen: RDF hat zwei Arten der Bedeutung bzw. Bezeichnung. Knotennamen bedeuten Dinge, und die Menge der Tripel bedeuten Wahrheitswerte. Die Bedeutung eines RDF-Graphen in I ist rekursiv durch folgende Regeln gegeben: 1) I(Literal) = Literal 2) I(URI) = IS(URI) Abbildung URI x IR 3) I(<s,p,o>) = true, wenn <I(s),I(o)> in IEXT(I(P)) 4) I(Graph) = false, wenn <s,p,o> Graph, I(<s,p,o>) = false Als nächstes sehen wir uns ein Beispiel, um das Zusammenspiel dieser Regel zu veranschaulichen: V = {ex:w3c, ex:uni, ex:seminar} IR = {Autor, Website} IEXT = Autor {<Website, Website>} IS: ex:w3c Website, ex:uni Website, ex:seminar Autor true : <ex:w3c> <ex:seminar> <ex:uni> <ex:uni> <ex:seminar> <ex:w3c> false: <ex:w3c> <ex:uni> <ex:seminar> <ex:seminar> <ex:w3c> <ex:uni> Meine Festlegung bei diesen Definitionen war nur eine bestimmte Reihenfolge der Resourcen zuzulassen. Nämlich so, dass man es lesen könnte: Auf einer bestimmten Website befindet sich eine Seminararbeit zu einer anderen Website. Indem ich die IEXT nur vom Autor aus definiere, lege ich fest, dass nur solche Ausdrücke, wo ex:seminar (wegen der Abbildung ex:seminar Autor) als Prädikat vorkommt gültig sind. Durch Abbildung nach <Website, Website> lege ich auch fest, dass als Subjekt bzw. Objekt nur die Resourcen in Frage kommen, die im IS nach Website abgebildet werden. Konkret sind das ex:w3c und ex:uni. 6

7 3. Vererbung Gemäß der konventionellen Terminologie können wir sagen: I erfüllt E, wenn I(E) = true. Weiterhin können wir sagen, dass eine Menge der Ausdrücke S (einfach) vererbt an E, wenn jede Interpretation, welche jedes Mitglied von S erfüllt auch E erfüllt. Mit anderen Worten: Wenn A vererbt an B, dann jede Interpretation, die für A gilt, gilt auch für B. Also die Bedeutung von B ist auch enthalten in der Bedeutung von A. Wir haben oben die Definition der einfachen Vererbung angegeben. Wir werden später im anderen Kapitel auf die spezielle Vererbung eingehen. Diese wird nach selben Regeln bestimmt, allerdings ist der Unterschied, dass die Definition der Vererbung, nicht wie hier auf einfache Interpretation bezogen wird, sonder auf die spezielle (rdf-, bzw. rdfs-interpretation) Vererbungs-Lemmata: Jetzt wollen wir uns vier Lemmata ansehen, die für die Vererbung eine wichtige Rolle spielen. Subgraph Lemma: Ein Graph vererbt an alle seine Subgraphen. Beweis: Ein Subgraph eines RDF Graphen ist eine Untermenge der Tripel im Graphen. Definition von Vererbung haben wir schon gesehen. Wenn Graph in I für beliebiges A wahr ist, dann sind alle seine Tripel in [I+A] wahr, so dass jede Untermenge von Tripeln in I wahr ist. QED Graph Subgraph Subgraph 2 7

8 Instance Lemma: Ein Graph wir von jeder seiner Instanzen beerbt. Beweis: Eine Instanz eines RDF Graphen ist der Graph selbst, in dem einige Blanks durch andere Knoten ersetzt wurden. Angenommen I erfüllt E, wobei E eine Instanz von E ist. Dann [I+A] erfüllt jedes Tripel in E, für gewisse Abbildung A auf einem Blank von E. Für jedes Blank b in E, definiere B(b)=[I+A](c), wobei c ist ein Blank oder für b ersetzter Name in E, oder c=b wenn für b nichts ersetzt wurde. Dann [I+B](E)=[I+A](E )=true, so dass I erfüllt E. Weil I willkürlich ist, E erbt an E. QED Beispiel: Sei ein Graph mit folgenden Tripeln gegeben: <ex:a> <ex:b> <ex:c> <ex:a> <ex:d> _:xxx Eine mögliche Instanz wäre: <ex:a> <ex:b> <ex:c> <ex:a> <ex:d> <ex:e> Merging Lemma: Vereinigung der Graphen aus Menge S wird beerbt von S und vererbt an jedes Mitglied von S. Beweis: Die Vereinigung der Graphen wird gemacht indem man die Menge der Tripel vereinigt und diese als den neuen Graphen definiert. Wegen dieser Definition und der über Vererbung ist dieses Lemma offensichtlich. Alle Mitglieder von S sind wahr, wenn und nur wenn alle Tripel in der Menge von S wahr sind. QED Mitglieder von S Vereinigung von S 3 1 8

9 Interpolation Lemma: S vererbt an Graph E, wenn und nur wenn ein Subgraph von Vereinigung von S eine Instanz von E ist. Beweis: wenn ist die direkte Konsequenz von merging- und instance-lemmata. Um das und nur wenn zu zeigen, werden wir die Umkehrung zeigen. Angenommen, dass kein Subgraph der Vereinigung von S eine Instanz von E ist, d.h. dass alle Subgraphen der Vereinigung von S keine Instanzen von E sind. Das Heißt, dass E von der Vereinigung von S trennbar ist. Dann vererbt die Vereinigung von S nicht an E. So, nach merging-lemma, S vererbt auch nicht an E. QED Instanz von E U (S) E Nutzen dieses Lemmas: Um zu bestimmen, ob zwischen zwei Mengen von RDF-Graphen Vererbungsbeziehung besteht oder nicht. 9

10 4. Vokabular Interpretationen Bis jetzt haben wir uns mit der logischen Form von Vererbung von RDF-Graphen beschäftigt. Jetzt werden wir eine spezielle Betrachtung abhängig vom Vokabular anwenden. Noch mal zur Erinnerung: Eine Vokabular-Vererbung ist eine Vererbung abhängig von der Menge der Interpretationen, welche die zusätzlichen semantischen Bedingungen auf reserviertem Vokabular erfüllen. Also jede RDF(S)-Interpretation ist auch eine einfache Interpretation (das reservierte Vokabular war leere Menge) mit zusätzlichem Vokabular RDF - Interpretationen: RDF hat ein kleines reserviertes Vokabular, welches wir im weiteren rdfv bezeichnen werden. RDF reserviertes Vokabular rdf:type rdf:property Eine RDF-Interpretation vom Vokabular V ist eine Interpretation I auf (V vereinigt rdfv) mit folgenden Einschränkung: IP beinhaltet I(rdf:type) Wenn x in IP, dann IEXT(I(rdf:type)) beinhaltet <x,i(rdf:property)> Das erzwingt jede rdf-interpretation Dinge, welche als type von Eigenschaften interpretiert werden können zu beinhalten. Man könnte die Zweite Bedingung so sehen, dass sie IP als Menge der Resourcen im Interpretations-Universum, welches den Wert I(rdf:Property) von der Eigenschaft I(rdf:type) hat, definiert. Dieser Art der Bildung von Untermengen vom Universum werden wir bei RDFS-Interpretationen verstärkt begegnen. Abschließend werde ich das Beispiel aus Kapitel 2.2 um das rdf-vokabular erweitern. Die Neuerungen sind rot gekennzeichnet. 10

11 V = {ex:w3c, ex:uni, ex:seminar, rdf:type, rdf:property} IR = {Autor, Website, PPT, Bericht} IEXT = Autor {<Website, Website>}, PPT {<Website, Autor>, <Autor, Bericht>} IS: ex:w3c Website, ex:uni Website, ex:seminar Autor, rdf:type PPT, rdf:property Bericht Diese Regel lassen folgende Tripel wahr sein: <ex:w3c> <ex:seminar> <ex:uni> <ex:uni> <ex:seminar> <ex:w3c> <ex:uni> [rdf:type] <ex:seminar> <ex:seminar> [rdf:type] [rdf:property] 4.2. RDFS - Interpretationen: RDFS hat ein größeres reserviertes Vokabular, welches komplexere semantische Zwänge auferlegt. Wir werden dieses Vokabular im Weiteren rdfsv bezeichnen. RDFS reserviertes Vokabular rdf:type rdf:property rdfs:domain rdfs:range rdfs:resource rdfs:literal rdfs:class rdfs:subclassof rdfs:subpropertyof Notiz: Wörter mit kleinen Buchstaben bezeichnen Eigenschaften Wörter mit großen Buchstaben bezeichnen Klassen Obwohl nicht notwendig, ist es üblich RDFS Semantik in Termen vom neuen semantischen Konstruktor class anzugeben. Wir wollen dafür eine neue zusätzliche Abbildung ICEXT wie folgt definieren: ICEXT(x) = { y <y,x> ist in IEXT(I(rdf:type)) } 11

12 RDFS-Interpretation von V ist einfache Interpretation von (V vereinigt rdfsv) mit folgenden semantischen Einschränkungen: x is in ICEXT(y) iff <x,y> is in IEXT(I(rdf:type)) IC = ICEXT(I(rdfs:Class)) ICEXT(I(rdfs:Resource)) = IR IP is a subset of ICEXT(I(rdf:Property)) IC contains: I(rdfs:Resource), I(rdf:Property), I(rdfs:Class), I(rdfs:Literal), I(rdf:Seq), I(rdf:Bag), I(rdf:Alt), I(rdf:Statement) IP contains: I(rdf:type), I(rdfs:domain), I(rdfs:range), I(rdfs:subPropertyOf), I(rdfs:subClassOf), I(rdf:subject), I(rdf:predicate), I(rdf:object), I(rdf:member), I(rdf:_1), I(rdf:_2),... IEXT(I(rdfs:domain)) contains: <I(rdfs:domain), I(rdf:Property)>, <I(rdfs:range), I(rdf:Property)>, <I(rdf:type), I(rdfs:Resource)>, <I(rdf:subject), I(rdf:Statement)>, <I(rdf:predicate), I(rdf:Statement)>, <I(rdf:object), I(rdf:Statement)> IEXT(I(rdfs:range)) contains: <I(rdfs:domain), I(rdfs:Class)>, <I(rdfs:range), I(rdfs:Class)>, <I(rdf:type), I(rdfs:Class)> if <x,y> is in IEXT(I(rdfs:range)) and <u,v> is in IEXT(x) then v is in ICEXT(y) if <x,y> is in IEXT(I(rdfs:domain)) and <u,v> is in IEXT(x) then u is in ICEXT(y) if <x,y> is in IEXT(I(rdfs:subClassOf)) then ICEXT(x) is a subset of ICEXT(y) if <x,y> is in IEXT(I(rdfs:subPropertyOf)) then IEXT(x) is a subset of IEXT(y) 12

13 5. Vokabular Vererbung und Hüllenbildung Vokabular-Vererbung ist eine Vererbung relativ zu der Menge der Interpretationen welche die zusätzlichen semantischen Bedingungen auf reserviertem Vokabular erfüllen. Definition: S rdf-vererbt (rdfs-vererbt) an E, wenn jede rdf- (rdfs-) Interpretation, welche jedes Mitglied von S erfüllt, auch E erfüllt. Bemerkung: Definition ähnlich zu der über einfache Vererbung allerdings Unterschied, weil Bezug auf rdf- (bzw. rdfs-) und nicht auf einfache Interpretation. Bildung der Hülle: Die Hülle eines RDF-Graphen wird durch Bezug zu der Menge der semantischen Bedingungen gebildet. Nutzen der Hülle: Sie ermöglicht uns das Erkennen der Vererbung für jedes beliebige reservierte Vokabular. Im folgenden werde ich einige wichtige Lemmata angeben. Beweis werde ich wegen der Komplexität auslassen. Diese sind jedoch in der Arbeit von W3C zu finden. RDF (RDFS) Entailment-Lemma: Ein Graph A rdf-vererbt (rdfs-vererbt) an Graphen B dann und nur dann, wenn die Hülle des Graphen A einfach vererbt an den Graphen B. RDF (RDFS) Closure-Lemma: Jede rdf- (rdfs-) Interpretation, welche E erfüllt, erfüllt auch die rdf- (rdfs-) Hülle von E. Und jede minimale, einfache Interpretation, welche die rdf- (rdfs-) Hülle von E erfüllt, erfüllt auch die rdf- (rdfs-) Interpretation von E. Minimality Lemma: Wenn I eine minimale Interpretation, die E erfüllt ist, dann erfüllt I kein Tripel, welches keine Instanz in E hat. 13

14 5.1. RDF Vererbung und RDF Hülle: Die rdf-hülle vom RDF Graph E wird gebildet durch hinzufügen der Tripeln, gemäß folgenden zwei Regeln: 1) Füge folgendes Tripel hinzu: [rdf:type] [rdf:type] [rdf:property] 2) Wende folgende Regel rekursiv an, bis keine der Regel mehr angewendet werden kann, oder bis der Graph nicht mehr geändert wird. Notation: xxx und yyy stehen für URI, Blank oder Literal aaa steht für URI if E contains then add rdf1 xxx aaa yyy aaa [rdf:type] [rdf:property] 5.2. RDFS Vererbung und RDFS Hülle: Die rdfs-hülle vom RDF Graph E wird gebildet durch hinzufügen der Tripeln, gemäß folgenden drei Regeln: 1) Füge folgende Tripel hinzu, welche in jeder rdfs-interpretation wahr sind. Diese weisen Klassen, Domänen und Ranges den Eigenschaften im rdfs-vokabular zu. Es gibt noch viele andere Tripel, welche in jeder rdfs-interpretation wahr sind, allerdings werden sie von diesen hier durch andere Regel generiert. [rdfs:resource] [rdf:type] [rdfs:class] [rdfs:literal] [rdf:type] [rdfs:class] [rdfs:class] [rdf:type] [rdfs:class] [rdf:property] [rdf:type] [rdfs:class] [rdf:seq] [rdf:type] [rdfs:class] [rdf:bag] [rdf:type] [rdfs:class] [rdf:alt] [rdf:type] [rdfs:class] [rdf:statement] [rdf:type] [rdfs:class] 14

15 [rdf:type] [rdf:type] [rdf:property] [rdf:type] [rdfs:domain] [rdfs:resource] [rdf:type] [rdfs:range] [rdfs:class] [rdfs:domain] [rdf:type] [rdf:property] [rdfs:domain] [rdfs:domain] [rdf:property] [rdfs:domain] [rdfs:range] [rdfs:class] [rdfs:range] [rdf:type] [rdf:property] [rdfs:range] [rdfs:domain] [rdf:property] [rdfs:range] [rdfs:range] [rdfs:class] [rdfs:subpropertyof] [rdf:type] [rdf:property] [rdfs:subpropertyof] [rdfs:domain] [rdf:property] [rdfs:subpropertyof] [rdfs:range] [rdf:property] [rdfs:subclassof] [rdf:type] [rdfs: Class] [rdfs:subclassof] [rdfs:domain] [rdfs:class] [rdfs:subclassof] [rdfs:range] [rdfs:class] [rdf:subject] [rdf:type] [rdf:property] [rdf:subject] [rdfs:domain] [rdf:statement] [rdf:predicate] [rdf:type] [rdf:property] [rdf:predicate] [rdfs:domain] [rdf:stetament] [rdf:object] [rdf:type] [rdf:property] [rdf:object] [rdfs:domain] [rdf:statement] 2) Füge alle Tripel von der Form, wie unten gezeigt hinzu, welche in jeder rdfs- Interpretation wahr sind. Das ist eine unendliche Menge, weil RDF-Container- Vokabular unendlich ist. Weil aber keins von diesen Tripeln an einen anderen vererbt, ist es in der Praxis lediglich ausreichend die Tripeln hinzuzufügen, die im aktuellen Graph auch vorkommen. [rdf:_1] [rdf:type] [rdfs:property] [rdf:_2] [rdf:type] [rdfs:property]... [rdf:_1] [rdfs:subpropertyof] [rdfs:member] [rdf:_2] [rdfs:subpropertyof] [rdfs:member]... 15

16 3) Wende folgende Regel rekursiv an, um alle legalen RDF Tripel zu generieren, bis keine der Regel mehr angewendet werden kann, oder bis der Graph nicht mehr geändert wird. Notation: xxx, yyy und zzz stehen für URI, Blank oder Literal aaa steht für URI uuu steht für URI oder Blank, aber NICHT für Literal if E contains then add rdf1 xxx aaa yyy aaa [rdf:type] [rdf:property] rdfs2 rdfs3 xxx aaa yyy aaa [rdfs:domain] zzz xxx aaa uuu aaa [rdfs:range] zzz xxx [rdf:type] zzz uuu [rdf:type] zzz rdfs4a xxx aaa yyy xxx [rdf:type] [rdfs:resource] rdfs4b xxx aaa uuu uuu [rdf:type] [rdfs:resource] rdfs5 rdfs6 aaa [rdfs:subpropertyof] bbb bbb [rdfs:subpropertyof] ccc xxx aaa yyy aaa [rdfs:subpropertyof] bbb aaa [rdfs:subpropertyof] ccc xxx bbb yyy rdfs7 xxx [rdf:type] [rdfs:class] xxx [rdfs:subclassof] [rdfs:resource] rdfs8 rdfs9 xxx [rdfs:subclassof] yyy yyy [rdfs:subclassof] zzz xxx [rdfs:subclassof] yyy aaa [rdf:type] xxx xxx [rdfs:subclassof] zzz aaa [rdf:type] yyy Für weitere Informationen oder für das Verfolgen der weiteren Entwicklung: 16