2.5 Backtracking. 1 Ausgang. Beispiel: ungerichteter Graph: Ausweg aus einem Labyrinth suchen, modelliert als. Sackgasse. Ecken. Kanten 2.

Transkript

1 2.5 Backtracking Beispiel: Ausweg aus einem Labyrinth suchen, modelliert als ungerichteter Graph: 2 0 Sackgasse Ecken 5 Kanten 1 Ausgang 2.5 1

2 Vorgeschichte: Man hat sich ins Labyrinth begeben, geht einen Gang entlang und möchte jetzt das Labyrinth verlassen. Suche Ausweg: gehe zum Ende des Gangs; if(ausgang) Halt; for( alle abzweigenden Gänge ) suche Ausweg; gehe den Gang zurück. Backtracking Rekursion Beachte: Abbruch mit Halt bedeutet Erfolg, reguläre Beendingung bedeutet Misserfolg! 2.5 2

3 Achtung! Wie vermeidet man, dass man im Kreis geht? Ariadne-Faden verwenden (Theseus im Labyrinth des Minotaurus!) oder Markierungen anbringen (Tom Sawyer!) - und wenn man auf bereits besuchte Ecke stößt, wie Sackgasse behandeln! 2 0 Sackgasse Ausgang 2.5 3

4 2.5.1 Labyrinth-Suche als Programm Graph mit n Ecken wird dargestellt durch Adjazenzmatrix, d.i. - eine Boole sche, symmetrische n n-matrix, - a ij bedeutet zwischen den Ecken i und j existiert eine Kante Z.B. für das oben angegebene Labyrinth: T 1 T 2 T T T 3 T T T 4 T T T 5 T T T T T T

5 Benötigte Daten: boolean gang[][]; boolean ausgang[]; boolean marke[]; // anfangs false, // für dynamische Markierungen void sucheausweg(int i, int j){ // auf Weg von i nach j if(!gang[i][j] marke[j]) return; marke[j] = true; if(ausgang[j]) ausgabeundstop(); for(int k=0; k<gang.length; k++) sucheausweg(j,k); marke[j] = false; // damit nur der Lösungsweg // markiert bleibt! Beispiel: sucheausweg(4,2); 2,3,5,6,1 Übung: So erweitern, dass der Weg direkt als Folge von Ecken zusammengestellt wird und so ausgegeben werden kann! 5

6 2.5.2 Das 8-Damen-Problem (N. Wirth, 1971) Gegeben: Ein Schachbrett und 8 (!) Damen (auch verallgemeinerbar für n>8). Gesucht: Positionen der 8 Damen derart, dass keine eine andere bedroht. Lösungsversuch mit schrittweiser Verfeinerung: 2.5 6

7 final int n = 8; boolean a[][] = new boolean[n+1][n+1]; // benutzt werden die Indizes 1..n void versuche(int zeile, int spalte) { if(bedroht(zeile,spalte) return; setzedame(zeile,spalte); if(spalte==n) abschließen(); for(int x=1; x<=n; x++) versuche(x,spalte+1); entfernedame(zeile,spalte); Vergleiche dies mit sucheausweg(s. 5)! Benutzung: versuche(i,0) mit beliebigem i, sofern für alle z -!bedroht(z,0) - setzedame(z,0) effektfrei - entfernedame(z,0) effektfrei 2.5 7

8 Alternativer Entwurf: Erfolgsfall reguläre Beendigung Nichterfolg Ausnahme melden (z.b. bei n=3) void setzedamen(int zeile, int spalte) throws Exception { if(bedroht(zeile,spalte)) throw new Exception(); setzedame(zeile,spalte); if(spalte==n) return; for(int x=1; x<=n; x++) try { setzedamen(x,spalte+1); return; catch(exception e) { entfernedame(zeile,spalte); throw new Exception(); 2.5 8

9 2.5.3 Syntaxanalyse mit Backtracking Zur Erinnerung: Syntaxanalyse = Prüfung, ob eine vorgegebene Zeichenkette ein syntaktisch korrektes Wort einer Sprache ist. Z.B. enthält jeder Übersetzer einen Analysierer (parser). Ergebnis der Analyse: Syntaxbaum (intern geeignet dargestellt) zur weiteren Verarbeitung oder lediglich Boole sches Ergebnis

10 Beispiel ohne Backtracking Expression: Term: Term Term AddOp Expression Atom ( Expression ) AddOp: + - Atom:..... [ beginnt nicht mit ( oder + oder - oder. ] Z.B. korrekt: (2-3) 1-2+(3-(4-5))+6 Nicht korrekt: () (2+(3-4)

11 class Text { static String text; // zu analysierender Text static char next; // nächstes zu prüfendes Zeichen static int pos; // Position dahinter static void scan() { // weiterlesen next = pos==text.length()? '.' // Endemarkierung : text.charat(pos++); static boolean ok(string text) { this.text = text; pos = 0; scan(); return expression() && next=='.'; static boolean expression() {... static boolean term() {... static boolean atom() {... // static boolean addop() {... // entbehrlich - s.u

12 boolean expression() { // Syntaxanalyse durch // rekursiven Abstieg (recursive descent) if(term()) switch(next) { case '+': case '-': scan(); return expression(); default : return true; else return false; boolean term() { if(next=='(') { scan(); if(expression() && next==')') { scan(); return true; else return false; else return atom(); boolean atom() { // hier vereinfacht: nur 'x' erlaubt if(next=='x') { scan(); return true; else return false;

13 Beispiel mit Backtracking Expression: Term Term AddOp Expression Term: Atom ( Expression ) ( Condition Expression Expression ) Condition: Expression = Expression ( Condition ) Z.B. korrekt: (a=b/x+y/x-y) (a-(x=y/b/c)) Nicht korrekt: (a=b/c) (a/b/c)

14 Gleiche mögliche Anfänge von Term und Condition machen Backtracking erforderlich! Dafür weitere Hilfsroutinen: boolean get(char c) { // versucht, c zu lesen if(next==c) { scan(); return true; else return false; void setpos(int p) { // setze pos und next pos = p; next = text.charat(pos-1);

15 boolean condition() { int p = pos; // aktuelle Position merken if(expression() && get('=') && expression()) return true; else{setpos(p); // Position zurücksetzen return get('(') && condition() && get('('); boolean term() { if(next=='(') { scan(); int p = pos; // aktuelle Position merken if(expression() && get(')') return true; else{setpos(p); // Position zurücksetzen return condition() && get(' ') && expression() && get(' ') && expression() && get(')'); else return atom();

16 Unterschiede zur Labyrinth-Suche und zum 8-Damen-Problem: verschränkte statt einfacher Rekursion, Zurücksetzen zwischen den rekursiven Aufrufen, Boole sche Methoden statt Ausnahmen

17 2.5.4 Backtracking-Muster... für viele Backtracking-Verfahren identisch: Problem p; Solution s;... boolean solve(arg a) { if(legal(a)) { forwards(a); if(complete(a)) return true; else for(all branches b) if(solve(b))return true; backwards(a); return false; Übung: void solve(arg a) throws Exception {

18 ... und wenn alle Lösungen gewünscht sind: void solve(arg a) { if(legal(a)) { forwards(a); if(complete(a)) solutions.add(s); else for(all branches b) solve(b); backwards(a);! Dies ist sogar die einfachste aller Varianten!