Informatik II Übung 02. Benjamin Hepp 8 March 2017

Transkript

1 Informatik II Übung 02 Benjamin Hepp 8 March 2017

2 Nachbesprechung U Informatik II - Übung 01 2

3 Nachbesprechung U1.1 f(a,b) = a x b = a) Induktionsbeweis ueber a nicht moeglich Fuer b > 0 wird f mit immer groesserem a aufgerufen. Daher ist eine Reduktion auf einen Induktionsanfang nicht moeglich b) Fuer b > 0 muss b zwangslaeufig b = 1 erreichen. Somit terminiert der Algorithmus Informatik II - Übung 02 3

4 Nachbesprechung U1.1 c) Terminierung bei b == 0 f(a,b) = a x b = Der Induktionsanfang erfolgt nun fuer b == 0 à f(a, 0) = 0. Der Induktionschrit bleibt aehnlich (bis auf b/2 \in {0, 1,...} etc.) Die ganzzahl-division 1 / 2 ergibt 0. Da wir gezeigt haben, dass b zwangslaeufig den Wert 1 erreicht, erreicht b auch zwangslaeufig den Wert 0. Damit terminert der Algorithmus weiterhin Informatik II - Übung 02 4

5 a) Nachbesprechung U1.2 public static boolean gerade( int x ){ if( x == 0 ) return true; return!gerade( x-1 ); } x public static int verdopple( int x ){ if( x == 0 ) return 0; return 2 + verdopple( x-1 ); } x public static int halbiere( int x ){ if( x == 0 ) return 0; if( x == 1 ) return 0; return halbiere( x-2 ) + 1; } x/ Informatik II - Übung 02 5

6 Nachbesprechung U1.2 b) Aufrufe der drei Methoden in Abhaengigkeit von a und b Falls b!= 0 werden alle drei Methoden einmal aufgerufen: 3 + b + a + [b/2] ~= 3 + a + 3 b/2type equation here Informatik II - Übung 02 6

7 Nachbesprechung U1.2 c) Gesamtzahl Methodenaufrufe N(a, b) ~= 3 + a + :; + N(2a, ; ) < < = 3 + a + :; a + :; + N(4a, ; ) < > > = a + 2 A a + :; + :; + N(4a, ; ) < B < C > = a + 2 A a + 2 < a + + ( :; = HIA GJ@ 2 G a + H :; GJA < K + 3k Rekursionsende wenn b == 0. Dies ist der Fall nach log < b + 1 Aufrufen. + :; + :; < B < C < E + ) Informatik II - Übung 02 7

8 Nachbesprechung U1.2 c) Geometrische Reihe fuer q < 1 V S a q H = HJ@ a 1 q N(a, b) ~= 3 + a + :; + N(2a, ; ) < < = 3 + a + :; a + :; + N(4a, ; ) < > > = a + 2 A a + :; + :; + N(4a, ; ) < B < C > = a + 2 A a + 2 < a + + ( :; = HIA GJ@ 2 G a + H :; GJA < K + 3k Rekursionsende wenn b == 0. Dies ist der Fall nach log < b + 1 Aufrufen. + :; + :; < B < C < E + ) Informatik II - Übung 02 8

9 Nachbesprechung U1.3 /** * This function implements the ancient Egyptian multiplication. * a must be a positive integer b must be a positive integer the product of a and b IllegalArgumentException */ public static int mult(int a, int b) throws IllegalArgumentException { if (a < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter a must be a positive integer but is " + a); if (b < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter b must be a positive integer but is " + b); return f(a, b); } Informatik II - Übung 02 9

10 Nachbesprechung U1.3 Aufruf einer Funktion die eine Exception wirft public static int function(int a, int b) { try { int prod = mult(a, b); } catch (IllegalArgumentException e) { // Handle exception } } Informatik II - Übung 02 10

11 Hinweise zu U2 8 March 2017 Informatik II - Übung 01 11

12 Hinweise U2 1. Wurzelbäume 2. Rekursives Sortieren 3. Binärbäume als Arrays Informatik II - Übung 02 12

13 Hinweise U2.1 Baum: Kreisfreier Graph Wurzelbaum: Ein gerichteter, kreisfreier Graph, so dass jeder Knoten von der Wurzel aus erreichbar ist Verschiedene Darstellungen moeglich Was ist die Hoehe eines Baumes? Was ist ein Pfad? A B E C D Informatik II - Übung 02 13

14 Hinweise U2.2 Array im Konstruktor initialisieren! numbers = new int[length]; Zufallszahlen im Konstruktor erzeugen: import java.util.random;... Random r = new Random(); int n = r.nextint(maxvalue); Informatik II - Übung 02 14

15 Hinweise U2.2 Sortieren mittels Rekursion Annahme: Array enthaelt bereits die until - 1 groessten Elemente in den until - 1 ersten Stellen Wir suchen das groesste Element im uebrigen Array und tauschen, falls groesser, mit dem Element an der Stelle until - 1 -> Array enthaelt nun die until groessten Elemente in den until ersten Stellen Wenn until == length dann ist das Array absteigend sortiert Beispiel: Informatik II - Übung 02 15

16 Hinweise U2.3 A int father(int node) {... } B C int leftchild(int node) {... } D F E int rightchild(int node) {... } Informatik II - Übung 02 16

17 Hinweise U2.2 Sortieren mittels Rekursion void recursivesort(int until) {... } Rekursionsabbruch: until == 0 Sonst rekursiver Aufruf mit until - 1 Achtung: Wenn until == numbers.length nach dem rekursiven Aufruf fertig. Ansonsten Tausch des Elements bei until - 1 mit dem groessten Element im uebrigen Array Schreibt eine extra Methode fuer das Tauschen eines Elements void swap(int i, int j) {... } Informatik II - Übung 02 17

18 Hinweise U2.3 Ein Wurzelbaum bei dem jeder Knoten zwei Nachfahren hat Der Nachfahre eines Knotens kann auch der leere Knoten sein Darstellung als Array sinnvoll wenn maximale Tiefe bekannt ist und schneller Zugriff erwuenscht Die Ebenen des Baumes werden nacheinander im Array angeordnet Informatik II - Übung 02 18

19 Hinweise U2.3 tostring() rekursiv implementieren Also String tostring(int node, String indentation) {... } Erster Aufruf: public String tostring() { return tostring(0, ); } Achtung, Sonderfaelle beachten: Leerer Baum checktree() Prueft fuer jeden Knoten der kein leerer Knoten ist, ob sein Vater existiert. Ignoriert leere Knoten Informatik II - Übung 02 19