Informatik II - Tutorium 2

Transkript

1 Informatik II - Tutorium 2 Vincent Becker vincent.becker@inf.ethz.ch Vincent Becker

2 Übungsblatt 1 Vincent Becker

3 U1.A1 f(a, b) = a x b = a) Induktionsbeweis über a möglich? Induktion über a ist nicht möglich. Der Induktionsanfang schlägt bereits für b > 1 fehl! a ist eine stetig wachsende Grösse kein Rückschluss auf bereits bewiesene Fälle möglich und keine Induktionsannahme formulierbar Vincent Becker

4 U1.A1 f(a, b) = a x b = b) Terminiert der Algorithmus? Ja, wenn man b auf 1 zurückführen kann Ist das der Fall? Ja! Weil b immer halbiert wird gilt: Nach log 2 (b) Schritten wird b=1 sein! Vincent Becker

5 U2.A2 c) Wie ändert sich der Beweis, wenn der kleinste Fall b=0 ist? Die Definition der Funktion sieht wie folgt aus: f(a, b) = a x b = Induktionsanfang: b = 0, f(a, b) = 0 = a x 0 Induktionsannahme: Induktionsschritt: Der Induktionsschritt ist ähnlich wie im Original, da Die Ganzzahldivision von 1 durch 2 ergibt 0 In 1b) haben wir gezeigt, dass es immer zu b=1 kommt, also es kommt auch immer zu b=0. Wir müssen den Beweis also im Wesentlichen nicht ändern. Vincent Becker

6 U1.A2a: Methodenaufrufe gerade(int x) public static boolean gerade( int x ){ if( x == 0 ) return true; return!gerade( x - 1 ); } verdopple(int x) public static int verdopple( int x ){ if( x == 0 ) return 0; return 2 + verdopple( x - 1 ); } halbiere(int x) public static int halbiere( int x ){ if( x == 0 ) return 0; if( x == 1 ) return 0; return halbiere( x - 2 ) + 1; } x (oder x+1) x (oder x+1) x/2 (oder x/2 +1) Vincent Becker

7 U1.A2b Ein einzelner Aufruf von f: private static int f(int a, int b) { if (b == 0) return 0; if (gerade(b)) return f(verdopple(a), halbiere(b)); else return a + f(verdopple(a), halbiere(b)); } In jedem Fall wird gerade(b), verdopple(a) und halbiere(b) gerufen. Der Anzahl der Aufrufe (mit Ergebnissen aus Teil A2a) ist also höchstens b+1 + a+1 + b/2 +1 a + 3b/2 + 3 Vincent Becker

8 U1.A2c Gesamtanzahl der Methodenaufrufe: Es ist nicht (# Aufrufe von f) * (# Aufrufe einer einzigen Instanz von f) Mit dem Ergebnis aus 2b) ergibt sich: Vincent Becker

9 U1.A2c Wie gross ist k? Die Rekursion endet, wenn b=0 ist. Das ist der Fall nach k = log 2 b + 1 Aufrufen, da b in jedem Schritt halbiert wird. Am Ende erhält man 2ab - a + 3b Vincent Becker

10 U1.A3 /** * This function implements the ancient Egyptian multiplication. * a must be a positive integer b must be a positive integer the product of a and b IllegalArgumentException */ public static int mult(int a, int b) throws IllegalArgumentException { if (a < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter a must be a positive integer but is " + a); if (b < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter b must be a positive integer but is " + b); return f(a, b); } try catch (- finally) ausserhalb der Funktion, die Ausnahme wirft! Vincent Becker

11 Statistik Vincent Becker

12 Ausblick: Übungsblatt 2 Vincent Becker

13 Bäume Was ist ein Baum? Wurzel Vincent Becker

14 Bäume Vincent Becker

15 Bäume Was ist ein Baum? Bestehen aus Knoten und Kanten (d.h. sie sind Graphen ) 1. Jede Kante verbindet genau 2 Knoten 2. Zwischen je 2 Knoten gibt es höchstens eine Kante 3. Anzahl der Knoten = 1 + Anzahl der Kanten 4. Sind zusammenhängend, d.h. von jedem Knoten kann man jeden anderen (evtl. indirekt) über einen Kantenzug erreichen Oder Von der Wurzel gibt es genau einen Pfad zu jedem Knoten Vincent Becker

16 Was ist ein Baum? Vincent Becker

17 U2.A1: Darstellung eines Baumes - Baum: zusammenhängender, gerichteter Graph aus Knoten und Kanten, ohne Zyklen - Binärbaum: jeder Knoten besitzt höchstens zwei Kindknoten - Geordneter Baum: kein Rechtblatt allein - Voller Baum: kein Halbblatt existiert - Vollständiger Baum: alle Blätter haben die selbe Tiefe - Entarteter Baum: jeweils 0 oder 1 Kind Liste - Höhe A - Baum geht von der Wurzel zu den Blättern (nicht zurück) gerichteter Graph B E Aufgabe: Umgang mit verschiedenen Darstellungen C D Vincent Becker

18 U2.A1: Darstellung eines Baumes Grafische Darstellung: Klammerdarstellung: 5(8(2, 4), 3) Eingerückte Darstellung: Arraydarstellung (für Binärbäume) Vincent Becker

19 U2.A1: Darstellung eines Baumes (A) a) Klammerdarstellung und eingerückte Form von (A) gesucht b) Graph und eingerückte Form von (B) gesucht c) Sind Bäume (A) und (B) aus der Klammerdarstellung eindeutig rekonstruierbar? d) Höhe, Längste Pfade, Blätter von (A) und (B) gesucht (B) Vincent Becker

20 U2.A2: Sortieren Gerüst auf der Webseite: u2a2.randomarray Konstruktor Array mit Zufallszahlen erzeugen Klasse Random verwenden (package java.util) //RandomGenerator erzeugen: Random r = new Random(); //Array erzeugen... // eine random number generieren: r.nextint(1000); tostring() (Format in Javadoc vorgegeben) String s = ""; for ( int i = 0; i < array.length, i++ ) return s; * Example: the string-representation of * int array[] = {1,2,3} is '[1, 2, 3]' Vincent Becker

21 U2.A2: Sortieren recursivesort(int until) Zuerst nachdenken, dann programmieren.. Aufruf aus sort() mit array.length Kernidee der Rekursion: Reduzieren einer Probleminstanz auf eine kleinere Probleminstanz. Gegeben: Liste mit n Elementen Um eine Liste absteigend zu sortieren, brauche ich nur die ersten (i 1) Elemente absteigend sortieren... das grösste Element im Rest der Liste suchen... und an Stelle i setzen Die leere Liste ist bereits sortiert... ;-) 1) Erst denken, dann programmieren! Beispiele auf dem Papier durchführen 2) Wichtige Aufgabe für den Rest des Semesters: Viel Rekursion! Vincent Becker

22 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Animation von Simon Mayer recursivesort(4) recursivesort(3) recursivesort(2) recursivesort(1) recursivesort(0) Ist sortiert! 9 <- findlargest(0,3) Swap 5 <- findlargest(1,3) Swap 2 <- findlargest(2,3) Swap Kein swap mehr noetig... Liste absteigend sortiert! Vincent Becker

23 U2.A3: Binärbaum als Array Binärbäume kann man leicht in einem Array speichern, wenn dieses geeignet interpretiert wird. Die Idee besteht darin: Die Wurzel an Index 0 des Arrays zu setzen Die beiden direkten Nachfolger von i an den Positionen 2i + 1 und 2i + 2 zu speichern Vincent Becker

24 Binärbäume als Arrays Vincent Becker

25 Binärbäume als Arrays Wie gross ist das Array, welches den Binärbaum speichert? 2 Höhe array.length 2 Höhe+1-1 Vincent Becker

26 U2.A3: Beispiel char[] tree = new char[7]; D B A F C E tree[0] = A ; tree[1] = B ; tree[2] = C ; tree[3] = D ; tree[4] = ; tree[5] = F ; tree[6] = E ; Vincent Becker

27 1) Einrückung schwierig: erst zeichnen, dann U2.A3: tostring()-methode programmieren! 2) Helper-Funktion hilfreich tostring() (Framework nicht ändern!) Idee: tostring() ruft tostring(int node, String identation)auf z.b. tostring(0, ); Schwierigkeit: Einrückung viele Möglichkeiten denkbar. 1) Rekursiv: Knoten printen, einmal einrücken, rekursiver Aufruf, und wieder ausrücken. 2) Nichtrekursiv: Zahl der Einrückungen merken und erhöhen/vermindern 3) Nichtrekursiv: Aktuelle Einrückung als String speichern Vincent Becker

28 U2.A3: checktree()-methode checktree() Idee: Wurzel an Index 0 Direkte Nachfolger von i an 2i + 1 und 2i + 2 Prüfen ob das für das übergebene Array erfüllt ist Teste: Jedes Element braucht einen Vater (Wurzel ist eigener Vater) Was passiert mit leeren Knoten? Beispiele: [ A, B, ] gültig [ A, B ] gültig [ A, B] throw IllegalArgumentException() [ ] throw IllegalArgumentException() Schaut auf die Unit Tests! Vincent Becker

29 viel Spass! Vincent Becker