COMPUTERSIMULATIONEN. Ein Überblick

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Erich Melsbach
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1 COMPUTERSIMULATIONEN Ein Überblick

2 Ziel: Vorhersage der makroskopischen Eigenschaften eines Systems. Geht das? Newton: Ja: F=m a gibt an, wie sich das System mit der Zeit entwickelt Laplace: Im Prinzip wenn wir die Position, Geschwindigkeit und Wechselwirkung aller Teilchen wissen Boltzmann: Ja: Bestimmung des Phasenraumintegrals.

Laplace: Im Prinzip wenn wir die Position, Geschwindigkeit und

3 Problem: Anzahl der Teilchen Anzahl der Teilchen macht Berechnungen (fast) unmöglich einfache Modelle ( molekulares Lego ): J.D. Bernal außer man hat einen Computer Watson & Crick

4 Computer immer schneller Immer komplexere Berechnungen möglich!

5 Warum Simulationen? theoretische Physik experimentelle Physik nicht viele Systeme exakt lösbar nicht alle Konditionen realisierbar nicht alle Prozesse direkt beobachtbar Interpretation computational physics : Simulationen

6 Warum Simulationen? Nachahmung der echten Welt Eigenschaften von (neuen) Materialien Extreme Bedingungen (Temperatur, Druck) Phänomene auf molekularer Skala verstehen Modellsysteme Theorie an einfachen Systemen testen Schlecht verstandene Phänomene: Reduktion auf essentielle Physik Modell testen durch Reproduktion bekannter Phänomene

Bedingungen (Temperatur, Druck) Phänomene auf molekularer Skala verstehen

7 Nachahmung der echten Welt Materialeigenschaften: z.b. Kohlenwasserstoffe Berechnung d. Phasengleichgewichts

8 Nachahmung der echten Welt Extreme Bedingungen: Kohlenstoff-reiche weiße Riesen oder Gasplaneten wie Uranus & Neptun: hoher Druck im Inneren: Kristallisation von Diamanten? Bedingungen auf Erde nicht experimentell realisierbar Simulationen zeigen: Nukleation extrem selten Ghiringhelli, Mol. Phys. (2010)

9 Nachahmung der echten Welt Molekulare Prozesse verstehen: Strukturelle Änderung von Proteinen Empirische Potentiale Beispiel: Dobson (2003)

10 Einfache Modelle Vorhersagen 1950er: attraktive Wechselwirkung für Kristallbildung? Bernie Alder: Computersimulationen von harten Kugeln Konferenz 1957: Abstimmung endet unentschieden! Experimentelle Bestätigung an Kolloiden harte Kugeln frieren bei hohen Dichten Yethiraj, Nature (2003)

Bernie Alder: Computersimulationen von harten Kugeln Konferenz 1957:

11 Einfache Modelle Essentielle Physik & Testen des Modells Proteinfaltung ist sehr komplex Gittermodel hilft zu generellem Verständnis

12 nm μm mm Limits von Simulationen Standard Simulationen können nicht alle Skalen von mikroskopic (nm,ps) and makroskopisch (Zellen, Menschen, Planeten) überbrücken. Verschiedene Level der Beschreibung nötig + Input von Experimenten Limits von Experimenten fs ps ns μm ms s Experimente genieren mehr Daten, als von Menschen analysiert werden können: Simulationen können bei Analyse helfen

Verschiedene Level der Beschreibung nötig + Input von Experimenten Limits von Experimenten fs ps

13 Computersimulationen Ziel von Computersimulationen: Berechnung physikalischer Eigenschaften durch geeignete Mittelwertbildung im Phasenraum Molekulardynamik: Berechnet Zeitmittelwerte (deterministisch; endliches T) Monte Carlo: Berechnet Ensemblemittelwerte (stochastisch; endliche Abtastung von G) Ergodenhypothese!

Molekulardynamik: Berechnet Zeitmittelwerte (deterministisch; endliches T)

14 Molekulardynamik 1956: Molekulardynamik von 32 harten Kugeln Bernie Alder, Mary-Ann Mansigh, Tom Wainwright (Uni California) 1964: Rahman & Verlet: MD von Lennard-Jones System ~1970: Simulationen beginnen sich durchzusetzen

(Uni California) 1964: Rahman & Verlet: MD von

15 Molekulardynamik Basiert auf Newtons Bewegungsgleichungen i = 1,, N Die Kraft F ist der Gradient des Potentials V: Wenn das Potential V gegeben ist: Integration der Trajektorie x(t) des Systems als Funktion der Zeit

16 Molekulardynamik: Diskretisierung N-Körper Problem, kann meist nur numerisch gelöst werden: Diskretisierung der Zeit: t = i t, i=1,, N T t ~ s (systemabhängig) 1ms Simulationsdauer N T ~ 10 9 (auch systemabhängig) und: Naïve Näherung: Aber: nicht zeit-reversibel Volumen im Phasenraum nicht konstant Energie-Erhaltung nicht gegeben

1ms Simulationsdauer N T ~ 10 9 (auch systemabhängig) und: Naïve Näherung: Aber:

17 Molekulardynamik: Verlet-Algorithmus Verlet Algorithmus: 1 v t ~ x t + t r(t t) 2 t zeitreversibel erhält Phasenraumvolumen Energie = konstant

18 Molekulardynamik: andere Algorithmen Es gibt auch andere Algorithmen z.b. Velocity-Verlet Unterscheiden sich in Stabilität, numerischer Aufwand, Genauigkeit [z.b. Fehler in Geschwindigkeiten in Verlet: O( t 2 )] Wie wirkt sich die endliche Genauigkeit aus?

19 Molekulardynamik: Chaos Systeme sind chaotisch Lyapunov Instabilität

20 Molekulardynamik: Schattentheorem Schattentrajektorie Gute Algorithmen generieren numerische Trajektorien die nahe an einer echten Trajektorie des Systems sind numerische Trajektorie reale Trajektorie

21 Molekulardynamik: Pseudocode

22 Molekulardynamik: Potentiale empirischen Kraftfeldern : O(N 2 ); 2 vs. Mehrkörper-Kräfte semi-empirischen Methoden quantenmechanischen Methoden ( ab-initio ): zeitintensiv: O(N 3 ); aber akurat QM/MM (Quantenmechanik/Molekulare Mechanik) Methode Coarse graining Reduzierung von Details Implizite/explizite Lösungsmittel Abeln (2008)

23 Molekulardynamik: Ensembles Molekulardynamik simuliert das mikrokanonische Ensemble E ges konstant, Austausch zw. kinetischer und potentieller Energie Temperatur fluktuiert Andere Ensembles: Thermostate reskalieren die Geschwindigkeiten; unphysikalisch Halten dadurch T konstant -> simulieren kanonisches Ensemble Barostate (-> isobar-isothermes Ensemble)

24 Molekulardynamik: Mittelwerte Berechnung von Mittelwerten: z.b.: 3Nk B

25 Monte Carlo Idee von Enrico Fermi, 1930er 1. Implementation: ~1946 S. Ulam & J. von Neumann; Metropolis, Rosenbluth, Teller,... in Los Alamos; Codename Monte Carlo ; lief auf ENIAC unabhängig auch von B. Alder, J. Kirkwood und S. Frankel erfunden 1957: Wood & Parker: Lennar Jones System

26 Monte Carlo In Monte Carlo Simulationen werden zur Berechnung von Observablen Ensemblemittelwerte ausgewertet z.b. im kanonischen Ensemble Zentrale Frage: wie wählt man die {z i }? In Monte Carlo: gemäß einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung {p i } ausgewählt;

27 Monte Carlo Anschauliches Beispiel fuer die Wahl von {p i }: brute force vs. importance sampling

28 Monte Carlo: Importance sampling Die {p i } werden gemäß der Verteilungsfunktion r(z) ausgewählt, die das Ensemble charakterisiert, also p i r (z i ) konkret für das kanonische Ensemble gilt somit und folglich: Wie kann man nun die Zustände a priori so wählen, sodaß ihre Wahrscheinlichkeiten p i gemäß verteilt sind?

29 Monte Carlo: Markov Prozeß Ausgehend von einem Zustand z o wird ein neuer, zufälliger Zustand z n erzeugt Die Wahrscheinlichkeit, daß aus z o ( o ) der Zustand z n ( n ) erzeugt wird: π(o n) mit n π o n = 1 Wiederholte Anwendung des Markov Prozesses = Markov Kette In Monte Carlo Simulationen werden durch speziell konstruierte Markov Ketten Folgen von Zuständen erzeugt Wie garantiert man, daß die Wahrscheinlichkeiten dieser Markov Kette 'im Gleichgewicht' nach einer kanonischen Verteilungsfunktion verteilt sind?

30 Monte Carlo: Gleichgewicht Die Regeln, nach denen wir Teilchen bewegen, dürfen das Gleichgewicht nicht stören Konzept der detailed balance : WS, in Zustand o zu sein p p mit: WS, von o nach n zu wechseln WS, aus o n zu generieren WS, n zu akzeptieren

31 Monte Carlo: Metropolis Algorithmus ir Wählen WS, aus o n zu generieren Dann im kanonischen Ensemble: und: p p WS, n zu akzeptieren H H p p p p β H n H(o) = min 1, e

32 Monte Carlo da die zeitliche Entwicklung bei Monte Carlo Simulationen keine Rolle spielt, werden in den z i (also n, o ) die Impulse weggelassen: H(z i ) Beispiel f. Mittelwert Im kanonischen Ensemble E = 1 N k E z N i und k i=1 E 2 = 1 N k E 2 z N i k i=1 Und E 2 E 2 k B T 2 = C V

33 Monte Carlo: Algorithmus (NVT) separate Equilibrierungs & Produktionsphase!

34 Monte Carlo: Ensembles Implementierung unterschiedlicher Ensembles relativ leicht Kanonisch: N, V, T = const; Teilchen-Moves Isobar-Isotherm: N, P, T= const; Teilchen und Volums-Moves Großkanonisch: μ, V, T = const; Teilchen-Moves & -Erzeugung/-Vernichtung Stärke: unphysikalische Moves können implementiert werden, solange sie detailed balance erfüllen: Simulationen schneller Potentiale (coarse grained, etc) analog zur Molekulardynamik Monte Carlo: dynamische Größen können generell nicht berechnet werden Nichtgleichgewichtssimulationen

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