4. Eine Einführung in Konzept und Arbeitsweise genetischer Algorithmen

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1 4. Eine Einführung in Konzept und Arbeitsweise genetischer Algorithmen 4.1 Evolution und Genetik Lernprozeß Evolution Die Natur hat es geschafft, aus Milliarden denkbarer Eiweißmoleküle gerade diejenigen herauszufinden, die organisches Leben ermöglichen. Die Evolution hat schließlich zur Entstehung der DNS (Desoxyribonucleinsäure) geführt, die allem Leben (auf der Erde) als Bauplan zugrundeliegt. Die DNS eines Menschen enthält etwa 3,8 Milliarden Nukleotidbasen 1. Die Entwickling kann kein reiner Zufallsprozeß gewesen sein. Evolution kann vielmehr nur durch einen kollektiven Lernprozeß erklärt werden, wobei erfolgreiche Innovationen gespeichert und erfolglose vergessen werden. Die Evolution stützt sich auf das Prinzip der natürlichen Selektion und die Vererbung von Eigenschaften und Merkmalen. Unter Selektion versteht man das Fortbestehen der Individuen, die am besten an die Umwelt angepaßt sind und das Aussterben der schlechter angepaßten Individuen. Die stärkeren Individuen haben die Möglichkeit, sich fortzupflanzen und ihre Eigenschaften an die nächste Generation weiterzugeben. Chromosomen und Gene Chromosome sind Träger der Gene, der kompletten Erbinformation eines Lebewesens. Die Chromosomen bestehen aus Nukleinsäuren und Proteinen. Die wichtigste Nukleinsäure ist die DNS. Gene stellen bestimmte Abschnitte der DNS dar. Am Aufbau der DNS sind 4 Basen beteiligt: Adenin (A), Cytosin (C), Guamin (G), Thymin (T). Diese Basen bilden die Grundlage für die gesamte genetische Information eines Lebewesens, die als Sequenz der Buchstaben eines genetischen Alphabets A, C, G und T wie bspw. in...-c-c-t-g-a-g-g-a-g-... notiert werden kann. Das bezeichnet man als den sog. Genetischen Code, der als Programm verstanden werden kann, das die Entwickling eines neuen Individuums festlegt. Grundlegende Mechanismen der Vererbung Es liegt bspw. das Chromosom g mit 10 Genen g 1 bis g 10 vor. g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 10 Abb.4.1-1: Chromsom mit 10 Genen 1 Kettenglieder der DNS

2 Jedes Gen ist durch seine Position im Chromosom bestimmt und kontrolliert eine ganz bestimmte Eigenschaft bzw. ein bestimmtes Merkmal eines Lebewesens wie bspw. seine Augenfarbe. So hat das Gen g 4 bspw, den Wert blau. Die Gesamtheit der Gene g = (g 1, g 2, g 3, g 4, g 5, g 6, g 7, g 8, g 9, g 10 ) bezeichnet man als den Genotyp des Individuums und meint damit das Erbbild. Das Individuum selbst, der sog. Phänotyp, ist die konkrete Ausprägung der Merkmale. Der Phänotyp muß sich im Kampf um dasein behaupten. Neue Individuen (bzw. neue Chromosomen) entstehen durch Rekombinationsverfahren. Das vorherrschende Verfahren in der Natur ist die Paarung, die zur Kreuzung der Erbinformation und damit zu neuen Ausprägungen führt. 4.2 Prinzip genetischer Algorithmen Zufällig erzeugte Lösungen des Suchraums der Problemstellung bilden die Ausganspopulation. Sie wird im Verlauf eines Genetischen Algorithmus durch einen Evolutionsprozeß verbessert. Bei der Suche nach besseren Lösungen kombinieren Genetische Algorithmen das Überleben der tauglichen Individuen einer Population mit einem Austausch der genetischen Information zwischen den einzelnen Individuen. Die Individuen werden mit einer ihrer relativen Tauglichkeit (Fitneß) entsprechenden Wahrscheinlichkeit ausgewählt. Besonders taugliche Individuen erhalten bevorzugt die Möglichkeit zur Weitergabe der Lösungsinformation ( survival of the fitest ). GA führen einen zufallsgesteuerten Suchprozeß durch, der durch die Nutzung populationsspezifischer Eigenschaften gesteuert wird. Der evolutionäre Such- und Optimierungsprozeß beruht auf 3 grundlegenden Prinzipien: Auslese (Selektion), Veränderung (Rekombination, Mutation) und Vervielfachung (Reproduktion) von Individuen. Die Grundprinzipien werden bei genetischen Algorithmen durch spezielle Genmanipulationen verwirklicht. Das erfolgt natürlich nicht auf biologischen Chromosomen, sondern auf Strings, die bei GA für die Problemlösungen (Gesamtheit der Individuen) stehen. In der Regel sind die Strings binär kodiert, d.h. Jedem Gen einspricht ein Bitwert (Allel) 0 oder 1. 2

3 4.3 Phasen eines genetischen Suchalgorithmus Modellierung Durch Bestimmen einer geeigneten Codierung werden Lösungen des Suchraums im Rahmen einer geeigneten Abbildung über Zeichenketten (häufig Bitstrings) modelliert. Die Strings, die zur Darstellung der zulässigen Lösungen gebildet werden, sind die Genotypen einer Population. Die zulässigen Lösungen bezeichnet man als Phänotypen. Ein Phänotyp stellt das äußere Erscheinungsbild eines Individuums dar, das der Informationsgehalt des Genotyps durch Dekodierung bestimmt Konfigurierung Elemetare genetische Operatoren sind: Selektion Sie besteht in der Auswahl von Individuen, gemessen anhand ihres Tauglichkeitsgrads. Alle ausgewählten Individuen werden bei der Generierung von nachkommen berücksichtigt. Crossover Elternpaare werden zufällig aus ausgewählten Individuen gebildet und daraufhin Nachkommen generiert, die eine genotypische Ähnlichkeit zu den jeweiligen Eltern aufweisen. Die Ähnlichkeit der Individuen wird durch einen Informationsaustauch zwischen den Genotypen der Eltern erreicht. Aus 2 Genozypen werden wieder Kinder (Crossover) gebildet, die dann in eine neue Pupulation eingetragen werden. Die alte Population (Eltern-) bleibt unverändert. Beim Crossover tauschen die Elterm Teile ihres Gen-Strings miteinander aus. Die Stelle, ab der getauscht wird, wird durch Zufall ermittelt. Dazu wird die Zeichenkette des einen Eltermteils an beliebiger Stelle getrennt. An der gleichen Stelle wird auch die Zeichenkette des anderen Elternteils gespalten. Die 4 Teilstücke werden über Kreuz (Crossover) verbunden. Der vordere Teil des einen mit dem hinteren Teil des anderen Strings. Die so erzeugten Kinder werden dann in die Population der Nachkommen eingetragen. Mutation Sie tritt nur gelegentlich bei der Verarbeitung der Zeichenkette auf und bewirkt eine kleine Veränderung des Genotyps. Der Zweck der Mutation besteht in der Vermeidung einer vorzeitigen Spezialisierung der Individuen einer Population. Die Mutation verändert willkürlich Gen-Strings. Startpopulationen werden mit dem Zufallszahlengenerator gebildet. Es kann vorkommen, daß in der kompletten Population kein Gen-String existiert, der einer vom Problem her vorgegebenen 3

4 Bedingung entspricht. Selektion und Crossover können Zeichenketten manipulieren, nicht an entscheidender Stelle zugleich verändern. Eine zu häufige Mutation ist aber schädlich, da sie ja auch gute Strings zum Schlechten hin verändern kann. Daher läßt man die Mutation mit nur einer geringen wahrscheinlichkeit auftreten (z.b. 0.1% aller Fortpflanzungen). Welches Gen des Gen-String geändert wird, bleibt dem Zufall überlassen. Nach Selektion, Crossover und Mutation besitzt die Nachkommen-Population zwei neue Mitglieder. Da die Populationsgröße konstant bleiben muß, wird diese Kette von Operatoren eines GA so oft durchgeführt, bis die neue Population vollständig mit Kinder besetzt ist. Damit ist ein Iterationsschritt oder auch ein Generationswechsel beendet und die Eltern-Population wird nicht mehr benötigt. Die Nachkommen-Population wird zur Elternpopulation. Für jedes Element der Population wird wieder die Fitneß ermittelt. Danach bildet man nach der beschriebenen Weise eine neue Nachkommen-Population, etc. Optimierung mit genetischen Algorithmen Die Ausgangssituation wird durch eine mit dem Zufallsgenerator benötigte Anzahl von Gen-Strungs festgelegt. Die Selektion bestimmt, welche Mitglieder der Population (Startpopulation) sich fortpflanzen dürfen. Zur Vermeidung von Inzucht ist aber auch weniger geeigneten Mitgliedern (im bescheidenen Maße) die Fortpflanzung erlaubt. Eine gute Selektion erreicht man mit dem Roulette-Verfahren. Dieses Bewirkt, daß die Wahrscheinlichkeit mit der ein Genstring bei der Selektion ausgewählt wird, proportional zu seiner Güte ist. Die Anzahl der Fächer im Roulette- Rad entspricht der Anzahl seiner Genotypen in einer Population. Der Genotyp mit höchster Qualität bekommt das größte Feld zugewiesen. Die Aufteilung geht abwärts bis zum schlechtesten Gen-String, der das kleinste Feld zugewiesen bekommt. Genotyp 4 Genotyp 5 Genotyp 1 Genotyp 2 Abb : Roulette-Rad Genotyp 3 Genotyp 6 Je höher die Tauglichkeit eines Lebewesens ist, desto breiter ist das Fach und umso wahrscheinlicher ist es, daß die Roulette-Kugel in einem solchen Fach hängenbleibt. Alle Tauglichkeitswerte werden aufsummiert und daraus der mittlere Gütewert ermittelt. Ein guten Lebewesen (Genotyp) erzeugt einen Gütewert über dem Mittelwert. Die Gesamtgüte geteilt durch den Gütewert eines Genotyps ergibt dessen Wahrscheinlichkeit. Mit einem Zufallszahlengenerator kann dann die Selektion für einen Genotyp vorgenommen werden. In der Regel wird die Optimierung nach einer vorher festgelegten, als ausreichend angesehen Anzahl von Generationen abgebrochen. Wählt man aus der letzten 4

5 Population den Genotyp aus, der die höchste Güte besitzt, hat man meistens ein brauchbares Ergebnis der Optimierung. Noch besser ist es, bei jeder erzeugten Population den jeweils besten Genotyp herauszusuchen und festzuhalten. Wird in einer späteren Generation eine besserer Genotyp gefunden, so wird dieser gespeichert. Eine Alternative besteht darin, sich ebenfalls den besten Genotyp einer Population zu merken und über eine bestimmte Anzahl von Populationen zu beobachten. Stellt man dabei keine Verbesserung des jeweiligen besten Genstrings fest, dann kann die Optimierung beendet werden Die Realisierungsphase Sie umfaßt alle Arbeiten zur Umsetzung des Entwurfs in ein lauffähiges Optimierungsverfahren (Implementierung, Bestimmen von Werten für externe Parameter). Bsp.: Bestimme das Maximum der Funktion f(x)=x 2 für x-werte, die zwischen 0 und 31 liegen. 1. Codierung des Eingabebereichs über einen binären String (durch eine 5 Bit umfassende Binärzahl). 2. Zufällige Auswahl einer Ausgangspopulation. 3. Berechnung der Fitness. 4. Aus dem Roulette-Rad werden die aktuellen Elternpaare ermittelt, die die neue Population erzeugen sollen. Zeichenkette Anfangs- x-wert f(x)=x 2 Nr. Population Summe 1170 Durchschnitt 293 Max 576 Es wurden ermittelt: String 1 wird einmal kopiert String 4 wird einmal kopiert String 2 wird zweimal kopiert String 3 wird überhaupt nicht kopiert 5. Crossover a) Die Zeichenketten werden zur Paarung zufällig ausgewählt b) Ausgewählte Paare werden an zufällig ausgewählten Punkten gepaart. Im vorliegenden Bsp. werden String 1 und String 2 an Punkt 4 gekreuzt, String 3 und String 4 an Punkt Mutation Die Wahrscheinlichkeit für eine Mutation soll hier sein. Über die 20 Bitpositionen ergibt das einen Erwartungswert vom 20 * = 0.02 bits für eine Mutation währen einer Generationenfolge. Hier würde keine Bitposition von einer Änderung betroffen sein. 5

6 7. Test der neuen Population Population nach der Reproduktion Partner (zufällig ausgew.) Crossover Punkt Neue Population x-wert f(x)=x Implementierung 2 : #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <time.h> #include <math.h> // #define RAND_MAX 0x7FFFFFFF #define random(num) (rand()%(num)) #define randomize() srand((unsigned)time(null)) #define POPULATION_SIZE 10 #define CHROM_LENGTH 4 #define PCROSS 0.6 #define PMUT #define MAX_GEN 50 struct population int value; unsigned char string[chrom_length]; unsigned int fitness; ; struct population pool [POPULATION_SIZE]; struct population new_pool[population_size]; int selected[population_size]; int generations; // select select(double sum_fitness) double r, parsum; parsum = 0; r = (double)(rand() % (int)sum_fitness); for (int i = 0; i < POPULATION_SIZE, parsum <= r; i++) parsum += pool[i].fitness; return(-i); flip(double prob) double i; i = ((double)rand()) / RAND_MAX; if ((prob == 1.0) (i < prob)) 2 PR41010.CPP 6

7 return (1); else return (0); // crossover void crossover(int parent1, int parent2, int child1, int child2) int site; if (flip(pcross)) site = random(chrom_length); else site = CHROM_LENGTH - 1; for (int i = 0; i < CHROM_LENGTH; i++) if ((i <= site) (site == 0)) new_pool[child1].string[i] = pool[parent1].string[i]; new_pool[child2].string[i] = pool[parent2].string[i]; else new_pool[child1].string[i] = pool[parent2].string[i]; new_pool[child2].string[i] = pool[parent1].string[i]; // mutation void mutation() for (int i = 0; i < POPULATION_SIZE; i++) for (int j = 0; j < CHROM_LENGTH; j++) if (flip(pmut)) pool[i].string[j] = ~new_pool[i].string[j] & 0x01; else pool[i].string[j] = new_pool[i].string[j] & 0x01; // evaluate evaluate(int value) return(pow((double)value, 2.0)); // encode // (kodiert einen Integer-Wert in eine binaere Zeichenkette) void encode(int index, int value) for (int i = 0; i < CHROM_LENGTH; i++) pool[index].string[chrom_length i] = (value >> i) & 0x01; // decode // dekodiert eine binaere Zeichenkette in eine Ganzzahl decode(int index) int value = 0; for (int i = 0; i < CHROM_LENGTH; i++) 7

8 value += (int)pow(2.0,(double) i) * pool[index].string[chrom_length i]; return (value); // initialize_population // (erzeugt und initialisiert eine Population void initialize_population() randomize(); for (int i = 0; i < POPULATION_SIZE; i++) encode(i,random(2^chrom_length)); void statistics() int i, j; printf("\n; Generation: %d\n;selectedstrings\n;",generations); for (i = 0; i < POPULATION_SIZE; i++) printf("%d", selected[i]); printf("\n"); printf("\n;x\tf(x)\tnew_string\tx "); for (i = 0; i < POPULATION_SIZE; i++) printf("\n%d\t%u\t;", pool[i].value, pool[i].fitness); for (j = 0; j < CHROM_LENGTH; j++) printf("%d", pool[i].string[j]); printf("\t\t%d",decode(i)); void main(void) int i; double sum_fitness, avg_fitness, old_avg_fitness; generations = 1; avg_fitness = 1; initialize_population(); do old_avg_fitness = avg_fitness; sum_fitness = 0; // fitness evaluation for (i=0; i < POPULATION_SIZE; i++) pool[i].value = decode(i); pool[i].fitness = evaluate(pool[i].value); sum_fitness += pool[i].fitness; avg_fitness = sum_fitness / POPULATION_SIZE; for (i = 0; i < POPULATION_SIZE; i++) selected[i] = select(sum_fitness); for (i = 0; i < POPULATION_SIZE; i = i + 2) crossover(selected[i], selected[i+1],i,i+1); mutation(); statistics(); printf("\nimprovement: %f\n", avg_fitness / old_avg_fitness); while ((++generations < MAX_GEN) && ((avg_fitness / old_avg_fitness) > 1.005) ((avg_fitness / old_avg_fitness) < 1.0)); 8

9 4.3.4 Verfahrensbewertung bzw. Verfahrungsverbesserung Im Anschluß an eine Realisierung des Algorithmus sollte eine Verfahrensbewertung erfolgen sowie eine Verfahrensverbesserung, die sich von einer Verfahrenserweiterung bis hin zur erneuten Abarbeitung aller Phasen der Entwicklung eines GA erstrecken kann. 9