Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre

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1 Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre

2 Klaus Schier Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre 101 Anwendungsfälle zur Modellbildung 1 C

3 Klaus Schier Littaustr Sinn Deutschland dr.schier@t-online.de ISBN e-isbn DOI / Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 V Vorwort Das Berechnungswerkzeug Finite Elemente Methode ermöglicht Vorbestimmung und Überprüfung ingenieurtechnischer Erzeugnisse. Der Übergang vom realen Bauteil zum Finite Elemente Modell nimmt eine Schlüsselstellung ein und entspricht dem Anliegen des vorliegenden Lehr- und Arbeitsbuches. Berechnungen sind im Ablauf des Konstruktions- und Entwicklungsprozesses eines technischen Gebildes enthalten. In der Phase der Auslegung des Produktes werden äußere Lasten, Lagerungen und Randbedingungen bedeutungsvoll. Die Statik liefert Erkenntnisse über den Kraftfluss und die Größe der Kräfte. Die Festigkeitslehre erbringt Aussagen zur Ertragbarkeit der Beanspruchungen. Diese strukturelle Vorgehensweise wird im Buch aufgegriffen. Das Kapitel 2 zeigt Modellbildungen aus dem Bereich der Statik. In den Kapiteln 3 bis 7 wird anhand der 5 Beanspruchungsarten Zug, Druck, Biegung, Schub und Torsion die Modellierung im Bereich der Festigkeitslehre gezeigt. Schwerpunkte sind Modelle des Maschinenbaus und des Bauwesens. In Kapitel 1 werden neben den Grundlagen der Finite Elemente Methode auch Grundlagen der Technischen Mechanik behandelt. Für die Erläuterung des prinzipiellen Konzeptes der Finite Elemente Methode wird aus dem Gebiet der Strukturmechanik der Zug-Druck-Stab verwendet. Die Methodik des Buches berücksichtigt, dass FE-Lösungen durch eine Überschlagsrechnung verifiziert werden sollten. So sind den Kapiteln 2 bis 7 die klassischen Ansätze der Technischen Mechanik vorangestellt. Da vorausgesetzt wird, dass die Studierenden die Ausbildung in Mathematik, Technischer Mechanik, Festigkeitslehre und Werkstofftechnik abgeschlossen haben, erfolgt die Darstellung der Berechnungsgleichungen nur in zusammengefasster Form. Die Modelle werden in Berechnungstafeln dargestellt. Die Berechnungstafeln geben bei der Modellbeschreibung eine Befehlsfolge und eine Bildfolge vor. In der Befehlsfolge erscheinen die Abläufe zur Modellbildung in allgemeiner Form, so dass die Nutzung des Buches unabhängig vom verwendeten FEM-Programm ist. Der Anwender hat lediglich die allgemein gehaltenen Modellvorgaben an die jeweilige Programm- und Befehlsstruktur anzupassen. Die geometrischen Abmessungen der Modelle werden im kartesischen Koordinatensystem über die Eckpunkte definiert und nachfolgend zum Modell ausgebaut. Elementetyp, Werkstoff, Vernetzungsdichte und Randbedingungen sind angegeben. Die Bildfolge zeigt Darstellungen zu wichtigen Zwischenschritten. Neben der numerischen Auswertung werden dort auch die Ergebnisse in grafischer Form gezeigt. Es wird damit erreicht, dass unabhängig vom verwendeten FE-System ein Erfolgsvergleich gegeben ist.

5 VI Vorwort Die Finite Elemente Methode ist das wichtigste Berechnungsverfahren für alle Bereiche des ingenieurtechnischen Denkens. Das Optimieren von physikalisch-technischen Problemen erfolgt unter großer Praxisnähe. Es hat damit grundlegende Bedeutung für die Ausbildung an technischen Hochschulen. Das vorliegende Lehr- und Arbeitsbuch unterstützt den Lehr- und Lernprozess. Für den Lehrenden wird die Lücke zwischen der mathematisch-theoretischen und der programmspezifischen Literatur gefüllt. Der Schwerpunkt Modellbildung mit seiner konstruktiven Grundausrichtung ermöglicht vielfältige Erweiterungen und Vertiefungen. Für die Studierenden liegen durch die besondere Art der Anwendungsbeispiele Möglichkeiten des Selbststudiums vor. So können Fähigkeiten zum Verstehen des Lehrgebietes FEM entwickelt und Fertigkeiten dazu erlangt werden. Meiner Frau Ruth bin ich für ihre Liebe, Geduld und Unterstützung beim Schreiben dieses Buches besonders verbunden, ich bedanke mich ganz herzlich. Gießen, im Juni 2010 Klaus Schier

6 VII Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Grundlagen der Finite Elemente Methode Das Wesen der Methode Begriffsinhalte Elementebeschreibung Modellbildung Problemstellungen der Technischen Mechanik Grundlagen der Technischen Mechanik Statik Kräftesysteme in der Ebene Gleichgewicht für Kräftesysteme in der Ebene Festigkeitslehre Beanspruchungsarten Zur linearen Elastizitätstheorie Theorie der Finite Elemente Methode Grundbegriffe der Matrizenrechnung Herleitung einfacher finiter Elemente Zug-Druck-Stab Fachwerke Allgemeine FE-Programmierung Berechnungstafeln Musterablauf am einfachen Stabmodell Statik starrer Körper Tragwerke mit einem Grundelement Träger mit Festlager und schrägem Loslager Träger mit Streckenlasten Einseitig eingespannter Träger Träger mit Hebel Gekrümmter Träger... 87

7 VIII Inhaltsverzeichnis 2.2 Tragwerke mit mehreren Grundelementen Träger mit Pendelstütze Scheibe mit Pendelstützen Träger mit Verbundgelenk Stabsysteme Stäbe im Stabwerk Stäbe im Kniehebeltrieb Stäbe im Fachwerk Zugbeanspruchungen Beanspruchung nach elementarer Festigkeitslehre Zugspannungen, Verformungen, Temperatureinfluss Berechnungen zum prismatischen Zugstab Modellbildung Flach- und Rundstab Balkenelemente bei konstantem Querschnitt Scheibenelemente bei konstantem Querschnitt Volumenelemente bei konstantem Querschnitt Modell Flachstab mit Querschnittsänderung Flachstab mit Rille Flachstab mit Bohrung Modell Rundstab mit Querschnittsänderung Rundstab mit Rille Rundstab mit Bohrung Modell Temperatureinfluss Druckbeanspruchungen Beanspruchung nach elementarer Festigkeitslehre Druck Berührungsspannungen Berechnungen zum Druck Berechnungen zu Berührungsspannungen Modellbildung Druck Reiner Druck am prismatischen Druckstab Reiner Druck am allgemeinen Druckstab Knickung Modellbildung Flächenpressung

8 Inhaltsverzeichnis IX Ebene Flächen HERTZsche Pressung Modellbildung Zapfen in Lagerschale Modellbildung Lochleibung Biegebeanspruchungen Biegung nach elementarer Festigkeitslehre Einachsige Biegemomente Mehrachsige Biegemomente Berechnungen zur einachsigen Biegung Berechnungen zur mehrachsigen Biegung Modelle mit einachsiger Biegung Anwendung von 2D-Balkenelementen Anwendung von Scheibenelementen Modelle mit mehrachsiger Biegung Anwendung von 3D-Balkenelementen Anwendung von 3D-Profil-Balkenelementen Anwendung von Schalenelementen Modelle mit Volumenelementen Schubbeanspruchungen Schub nach elementarer Festigkeitslehre Schubspannungen infolge Querkraft Berechnungen zum Schub infolge Querkraft Modelle zum Schub infolge Querkraft Kragträger mit Rechteck- und Kreisquerschnitt Durchlaufträger mit Rechteckquerschnitt Sandwich Träger Profile Abscheren nach elementarer Festigkeitslehre Scherspannungen Berechnungen bei Scherbeanspruchungen Modelle zur Scherbeanspruchung Schneiden mit einfachem Modellansatz Schneiden mit erweitertem Modellansatz Abscheren mit Biegung

9 X Inhaltsverzeichnis 7 Torsionsbeanspruchungen Torsion nach elementarer Festigkeitslehre Einteilung der Beanspruchungen Torsionsspannungen und Verdrehwinkel Berechnungen nach elementarer Theorie Verwölbungsfreie Querschnitte Nicht verwölbungsfreie Querschnitte Allgemeine Modellbildung Torsion Torsionsmomente und Randbedingungen Torsion mit Profil-Balkenelementen Erweiterte Modellbildung Torsion Torsion mit Scheibenelementen (achsensymmetrisch) Torsion mit Schalenelementen Torsion mit Volumenelementen Verzeichnis der Berechnungstafeln Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis