Simulation der Kraftübertragung in dynamisch hoch belasteten

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1 Simulation der Kraftübertragung in dynamisch hoch belasteten Pressverbindungen Berechung der Schubspannungsverteilungen und örtlichen Gleitbewegungen als Funktion der Bauteilgeometrie, der Pressungsverteilung und der Lastwechselzahl Dipl.-Ing. Christian Meißner, Prof. Dr.-Ing. Peter Tenberge TU Chemnitz Pressverbindungen werden als Welle-Nabe-Verbindungen mit enormer Kraftdichte im Maschinenbau eingesetzt. Ihr Kostenvorteil gegenüber formschlüssigen Verbindungen macht sie attraktiv. Bei der Auslegung von Pressverbindungen gehen die bisherigen Methoden von konstanten Reibwerten in der Pressfuge aus und berücksichtigen nicht die Entstehung von Gleitzonen bei dynamischen Belastungen. Pressverbindungen versagen aber häufig bei dynamischen Belastungen durch Reibdauerbruch aufgrund von Tribokorrosion in Gleitzonen. Mit dem im Folgenden vorgestellten Berechnungsmodell auf Basis eines verformungsabhängigen Reibwertansatzes in einem schubelastischen Verband können erstmals viele aus Versuchen bekannte Effekte rechnerisch beschrieben werden. Dazu gehören u. a. die Berechnung der Schlupfwege, der Schlupftiefen (Gleitzonenlängen), der Hystereseschleifen und der Erhöhung der Übertragungsfähigkeit mit zunehmender Lastwechselzahl. Frühere Versuchsergebnisse untermauern bereits die bisherigen qualitativen Aussagen. Weitere spezielle Versuchsaufbauten sollen später einen quantitativen Abgleich des Modells ermöglichen. 1 Einleitung Pressverbindungen werden als kostengünstige Welle-Nabe-Verbindungen in vielen Bereichen des Maschinenbaus eingesetzt. Ihre einfache Herstellung, Montage, enorme Kraftdichte und Zuverlässigkeit haben diesem Maschinenelement zum Markterfolg verholfen. Vor allem bei wechselnder Belastung sind kraftschlüssige Verbindungen gegenüber formschlüssigen vorteilhaft, neigen aber bei großen Belastungsamplituden zu Mikroschlupfbewegungen. Überschreiten diese einen zulässigen Wert, kommt es mit zunehmender Lastwechselzahl zur Ausbildung von Gleitzonen an den Rändern der Pressfuge. Hier kann dann verstärkt Tribokorrosion auftreten. Dabei besteht die Gefahr einer von außen nicht sichtbaren Rissentstehung, die auch noch nach sehr hohen Lastwechselzahlen bis zum Reibdauerbruch und somit zum Bauteilversagen fortscheiten kann. Zur Vermeidung von Gleitzonen leitete Häusler aus umfangreichen experimentellen Untersuchungen Gestaltungsregeln für Welle und Nabe ab, welche z. T. in der für die Auslegung von Pressverbindungen gültigen Norm DIN 7190 angeführt sind [9]. Auch Gropp erforschte das Übertragungsverhalten von Pressverbänden sehr tiefgründig durch eine enorme Anzahl von Versuchen [4, 7]. Dabei zeigte er u. a. gestalterische und werkstofftechnische 1

2 Möglichkeiten zur Reduzierung der Tribokorrosionsneigung trotz des Vorhandenseins von Gleitzonen auf. So verringerte er z.b. durch Oberflächenbeschichtungen in zahlreichen Versuchen die Auswirkungen des Mikroschlupfes. Ziel seiner Forschungsarbeiten war außerdem die Definition noch zulässiger Gleitzonenlängen. Auf theoretischem Gebiet leitete Müller bereits 1961 Gleichungen zur Beschreibung des Spannungszustandes in Welle und Nabe unter der Aufteilung der Pressfuge in einen schlupfenden und einen nicht schlupfenden Teil her [10]. Leidich untersuchte dieses Phänomen in seiner Dissertation auf Basis von zahlreichen FE-Rechnungen [6]. Bei den heute üblichen Berechnungs- und Auslegungsvorschriften wird fast immer von einem sowohl über der Fugenlänge als auch über der Zeit konstanten Reibwert ausgegangen. Vor allem die Ausbildung von Gleitzonen und die von Gropp untersuchte Erhöhung des Rutschmomentes bei dynamischer Belastung oberhalb des schlupflosen Grenzmomentes können aber mit den bisherigen Methoden nicht rechnerisch beschrieben werden. Ein neuer Berechnungsansatz für die Kraftübertragung in statisch und dynamisch belasteten Pressverbindungen soll helfen, die Entstehung von Gleitzonen zu beschreiben. Das in diesem Berechnungsansatz hinterlegte Reibwertmodell soll dann so modifiziert werden, bis die z.b. von Gropp experimentell bestimmten Gleitzonenlängen und Schlupfwege rechnerisch vorhergesagt werden können. 2 Dynamisch belastete Pressverbindungen und der Ansatz des schubelastischen Verbandes Eine Ursache für Tribokorrosion ist das Wechselgleiten zweier Kontaktflächen mit einer Amplitude oberhalb eines noch zulässigen Grenzschlupfweges. Je nach Belastungsart können dabei mehrere Gleitzonen entstehen. Bild 1: Ausbildung von Gleitzonen bei dynamischer Belastung [4] 2

3 Bild 1a zeigt eine Pressverbindung bei reiner Drehmomentbelastung. In Experimenten konnten eine längere Gleitzone I und eine schmalere Gleitzone II festgestellt werden. Häufig bildet sich aber auch nur eine Gleitzone I aus. Bei rein axial belasteten Verbindungen (Bild 1b) und rein biegebelasteten Verbindungen (Bild 1c) entstehen die Gleitzonen nur an der Stelle des Eintritts der Welle in die Nabe. Bei reiner Drehmomentbelastung und reiner Axialkraftbelastung kann man davon ausgehen, dass in einem Radialschnitt die Pressungen und Schubspannungen an allen Stellen der Fuge gleich sind. Die Fugenpressungen und die Schubspannungen hängen dann nur von der x-koordinate in Längsrichtung der Fuge ab. Dies vereinfacht die mathematische Modellierung erheblich. Weil zudem in den meisten Anwendungen Drehmomente übertragen werden, soll hier vorerst nur die reine Torsionsbelastung betrachtet werden. Die dabei gewonnenen Erkenntnisse können später z. T. auf axialkraft- und biegebelastete Verbindungen übertragen werden. Die Kraftübertragung in der Pressfuge erfolgt über Reibung. Ein coulombscher Reibungsansatz reicht aber für die Beschreibung aller gemessenen Effekte nicht mehr aus. Die Pressfuge soll nun als schubelastischer Verband modelliert werden, dessen Funktion sich sehr schön durch ein Bürstenmodell nach Gropp [11] beschreiben lässt. Dabei kann man die Borsten der Bürsten durchaus als die Rauhigkeitsspitzen der Oberflächen von Welle und Nabe auffassen und die Bewegungen der Borsten als elastische Bewegungen von Oberflächenzonen bis in eine gewisse Materialtiefe verstehen. Bild 2: Bürstenmodell 3

4 In Bild 2a sitzen die Oberflächenbürsten von Welle und Nabe so aufeinander, dass die Borsten gerade ineinander stecken. Die so übertragene Schubspannung ist Null oder sehr gering. Damit die Borsten Tangentialkräfte übertragen können, muss man die beiden Bürsten gegeneinander verschieben. Die Schubspannung verändert sich mit der Verschiebung, wobei das Verformungsgesetz sehr nichtlinear sein kann (Bild 2b). Bleibt die Verschiebung kleiner als ein Grenzwert, so behalten die Borsten den gleichen Kontaktpartner. Die Borsten verformen sich nur elastisch. Dieser elastische Anteil soll heißen. Bei größeren Verschiebungen springen die Borsten um eine als plastisch bezeichnete Verschiebung weiter (Bild 2c). Die Gesamtverschiebung teilt sich dann in einen elastischen und in einen plastischen Anteil auf: Die übertragenen Schubspannungen hängen in erster Linie nur von der elastischen Verschiebung ab. Geht danach die Verschiebung zurück, verschwindet die Schubspannung bei der durch die plastische Verschiebung gekennzeichneten Bürstenposition (Bild 2d). Auf Basis dieser Überlegungen wurde der Ansatz des schubelastischen Verbandes gewählt. Dabei wird der Kontakt als eine infinitesimal kleine Zwischenschicht mit nichtlinearem elastischem Materialverhalten modelliert. Der dafür erforderliche Zusammenhang zwischen der auf die örtliche Pressung bezogenen Tangentialspannung und der Oberflächenverschiebung wird im Folgenden als Ansatzfunktion bezeichnet. Bild 3: Beispielhafte Ansatzfunktionen für den schubelastischen Verband Im Bild 3a ist deren Verlauf für eine Werkstoffpaarung dargestellt, bei der schon kleine Oberflächenverschiebungen zu einer relativ hohen Schubspannung bzw. einem hohen ausgenutzten Reibwert führen. Im weiteren Verlauf steigt der Reibwert weiter an und fällt danach wieder ab. Die Ansatzfunktion nach Bild 3b beschreibt Oberflächen, die erst nach einer Verschiebung von 2 µm nennenswerte Schubspannungen übertragen können. Bei einer weiteren Verschiebung steigt der Reibwert zunächst wieder stark an und fällt danach wieder ab. Die Ansatzfunktion nach Bild 3c beschreibt Oberflächen, die schon bei geringen Verschiebungen Schubspannungen übertragen. Der Reibwert ist aber geringer als nach der Ansatzfunktion a. Mit zunehmender Oberflächenverschiebung steigt der Reibwert hier langsam und stetig an. Die tatsächliche Ansatzfunktion wird von der Werkstoffpaarung, der Oberflächenrauhigkeit und eventuellen Beschichtungen abhängen. Sie kann aus Vergleichen von Rechen- und Versuchsergebnissen 4

5 hergeleitet werden. Im Rechenmodell selbst werden darüber hinaus die Oberflächen als glatt angesehen. Untersuchungen von Gropp haben gezeigt, dass sich die Oberflächen im Kontaktbereich mit der Lastwechselzahl verändern, was sich stark auf das Übertragungsverhalten auswirken kann. So kann beispielsweise das Rutschmoment einer Pressverbindung ansteigen, wenn diese im Belastungsbereich des örtlichen Gleitens eingesetzt wird (Bild 4). Bild 4 Erhöhung der Drehmomentübertragungsfähigkeit mit MoS 2 -Ölpaste gefügter Längspressverbindungen nach dynamischer Belastung mit rein wechselnden Drehmomenten bezüglich der Rutschmomente [4] Mit den bisherigen Rechenmethoden, ausgehend von einem konstanten Reibwert, kann dieser Effekt nicht beschrieben werden. Dies gelingt aber mit dem Modell des schubelastischen Verbandes, wenn dort der Reibwert noch von den örtlich aufsummierten Schlupfwegen abhängt. 3 Beschreibung des Rechenmodells Der Fügeprozess und die Kraftübertragung in einer Welle-Nabe-Verbindung führen zu einer Verformung der Bauteile, zur gegenseitigen Anlage der Rauhigkeitsspitzen im Kontaktbereich mit anschließender elastischer Deformation und gegebenenfalls zu Gleitbewegungen der Oberflächen. Zur Berücksichtigung der komplexen Bauteilgeometrien erfolgt die Modellierung der elastischen Festkörperdeformation nach dem -Verfahren. Dabei werden die Geometrien von Welle und Nabe in einem CAD-Programm dreidimensional modelliert und in ein FE-Programm übertragen. Dort erfolgt die Aufteilung der Fugenlänge in eine endliche Anzahl von Abschnitten. Deren Abstand wird am Rand, 5

6 dort wo Gleitzonen entstehen können, geringer gewählt, als in der Fugenmitte. Dabei stellen die Bereichsmitten die für die späteren Berechnungen notwendigen Stützpunkte i, k dar (Bild 5). Bild 5: Aufteilung der Fugenlänge in Abschnitte Der variable Stützpunktabstand ermöglicht die bessere Beschreibung der Pressungsüberhöhung am Rand und lässt genauere Aussagen zur Schlupftiefe zu. Jeweils für Welle und Nabe wird auf jede so entstandene Ringfläche k in separaten Lastfällen ein Einheitsmoment von z.b. 1Nm aufgebracht. Mittels FE-Rechnungen werden die Verschiebungen an allen Stützpunkten i ermittelt. Das Zusammenfassen der Rechenergebnisse liefert die Einflussmatrizen EM =. Damit können zu jeder beliebigen Drehmomentverteilung M k durch Superpositionierung der Einzelverschiebungen die Bauteildeformationen an den Oberflächen von Welle und Nabe bestimmt werden, und zwar jeweils relativ zu einer Bezugslinie des Bauteils abhängig von dessen Einspannbedingung. In Bild 6 ist eine belastete Pressverbindung mit Welle und Nabe im Längsschnitt dargestellt. Aufgrund der Torsionsbelastung des Gesamtsystems und der Bauteilelastizitäten kommt es zu einer Verdrehung des Koordinatensystems der Welle relativ zu dem der Nabe. Mit dem Fugendurchmesser resultiert daraus eine Relativverschiebung, welche in der Skizze als Abstand der Bezugslinien von Welle und Nabe dargestellt ist. Bei einer neu gefügten und unbelasteten Verbindung sind diese beiden Bezugslinien deckungsgleich. Die für die Kraftübertragung nach dem Bürstenmodell erforderliche Oberflächenverschiebung ergibt sich nach Bild 6 zu 6

7 Bild 6: Bauteildeformationen und Oberflächenverschiebungen im Kontaktbereich Diese kann, wie in Bild 7 in einem Stirnschnitt der Verbindung an einem Stützpunkt k dargestellt, in einen elastischen (schlupflosen) Anteil und in einen plastischen (schlupfbehafteten) Anteil unterteilt werden. Dabei kann der elastische Anteil nach dem Bürstenmodell einen Grenzwert nicht überschreiten. Bild 7: Deformation von Welle und Nabe 7

8 Fasst man die lokalen Umfangskräfte F u aller Stützpunkte zu einem Vektor zusammen, können die örtlichen Oberflächenverschiebungen von Welle und Nabe leicht als Vektoren berechnet werden: In Verbindung mit der aus der Verdrehung der Bezugssysteme von Welle und Nabe unter Belastung hervorgehenden Verschiebung kann man die Oberflächenverschiebung im Kontaktbereich bestimmen: In dieser Gleichung gibt es noch viele Unbekannte. und hängen von den örtlich übertragenen Umfangskräften F uk ab. ergibt sich erst aus dem gesamten Kräftegleichgewicht. Wie kann man trotzdem die Schubspannungsverteilung in der Pressfuge und alle örtlichen Deformationen berechnen? Nur in einem einzigen Betriebspunkt sind alle Deformationen, und bekannt. Das ist der Zustand der neu und verspannungsfrei gefügten unbelasteten Verbindung. Hier sind. Von diesem bekannten Zustand aus startet das Rechenmodell und verdreht Welle und Nabe um einen sehr kleinen Wert.. Wären jetzt und immer noch Null, so wäre bekannt. Mit erhält man über die Ansatzfunktion des schubelastischen Verbandes Mit dieser Umfangskraftverteilung lassen sich nun nach den Gleichungen 5.1 und 5.2 und berechnen. Damit erhält man einen neuen, etwas anderen Verschiebungsvektor nach Gleichung 6 und damit wieder eine etwas andere Umfangskraftverteilung F u nach Gleichung 8. Tatsächlich konvergiert dieser Prozess sehr schnell, wenn die Änderung der Gesamtverschiebung klein und die ausgenutzten Reibwerte klein sind. Um diesen Rechengang auf ein lineares Gleichungssystem zurückzuführen, ist es nötig, die Ansatzfunktion an einem Arbeitspunkt nach einer gekürzten TAYLOR-Reihe zu linearisieren. Der örtliche Reibwert ist damit: 8

9 Durch Substitution des vom Arbeitspunkt abhängigen linearen Gliedes und des ebenfalls vom Arbeitspunkt abhängigen absoluten Gliedes erhält man: Dieser Zusammenhang ist in Bild 8 grafisch dargestellt. Bild 8: Linearisierung der Ansatzfunktion an einem Arbeitspunkt Mit dem bekannten coulombschen Zusammenhang kann die am Stützpunkt i übertragene Schubspannung als Funktion der örtlichen Pressung p i und der sich im Kontaktbereich ergebenden elastischen Oberflächenverschiebung angegeben werden als: Mit der Zusammenfassung der Steifigkeitsmatrizen und den Gleichungen 3, 4, 5.1 und 5.2 erhält man die Darstellung: Wird diese Formel auf jeden Stützpunkt angewendet, kann in Verbindung mit Gleichung 7 ein lineares Gleichungssystem hergeleitet werden. Exemplarisch sei dies für den ersten von in diesem Beispiel nur 3 Stützpunkten gezeigt, wobei die Abhängigkeit der Linearisierungskoeffizienten und von dem Arbeitspunkt der Übersichtlichkeit wegen nicht mit dargestellt wird: 9

10 Dabei ist zu erkennen, dass die Umfangskraft F u auf beiden Seiten der Gleichung auftritt. Durch das Ausklammern und Ausschreiben der Matrizenmultiplikation erhält man: Nach der Division durch und dem Zusammenfassen ergibt sich: Das kann in Matrizenschreibweise dargestellt werden als: In dieser Gleichung ist C die Gesamtsteifigkeitsmatrix, die sich von der Einflussmatrix nur in den Elementen auf der Hauptdiagonale unterscheidet: Die rechte Seite RS ist: Dieses Gleichungssystem kann man nun nach der gesuchten Umfangskraftverteilung in der Pressfuge, mit der das Drehmoment durch die Verbindung übertragen wird, auflösen. Das Rechenmodell geht also von einer Anfangsverteilung der Deformationen aus. Mit den Gleichungen 19 bis 21, 5.1 und 5.2 wird für eine vorgegebene erste kleine Verdrehung der Bezugssysteme auf eine tatsächliche Deformationsverteilung und und eine zu diesem Deformationszustand gehörige Drehmomentverteilung M i in der Verbindung geschlossen. Das Rechenmodell berücksichtigt dabei die tatsächliche Pressungsverteilung in der Fuge und mittels der aus FE-Rechnungen erzeugten Einflusszahlenmatrizen auch die komplexen Wellen- und Nabengeometrien. Der für die Berechnung so eines Zwischenergebnisses nötige Iterationsvorgang konvergiert in den meisten Fällen sehr schnell. 10

11 Basierend auf diesem Zwischenergebnis wird die Welle relativ zur Nabe leicht weiter verdreht, was wieder durch die weitere Erhöhung des Offsetwertes um einen kleinen Betrag geschieht. Im Grunde entspricht das einer Anhebung des Belastungsmomentes. Zu jedem dieser Offsetwerte wird eine neue Momentverteilung ermittelt. Die eben beschriebenen Schritte werden solange wiederholt, bis die Summe aller örtlichen Momente gleich dem vorgegebenen äußeren Belastungsmoment ist (Bild 9). Bild 9: Vereinfachte Struktur des gesamten Berechnungsprogramms Eine geschickte Wahl des Offsetinkrementes der Grenzwerte zum Abbruch der Iterationen und weiterer Parameter des numerischen Lösungsalgorithmus wirken sich positiv auf die Rechengeschwindigkeit und die Rechengenauigkeit aus. Wie kann dieses Modell Schlupf und Gleitwege von elastischen Oberflächenverschiebungen unterscheiden? Schlupf tritt nach dem Bürstenmodell dann auf, wenn die elastische Oberflächenverschiebung die schlupflose Verschiebungsgrenze überschreitet. Ist dies an einem Stützpunkt i der Fall, führt das zur Erhöhung des Schlupfvektorelements um die Differenz.. Wird das Belastungsmoment anschließend verringert, kann erst einmal nur der schlupflose Anteil abgebaut werden, was bei vollständiger Entlastung zu einer inneren Verspannung des Kontaktes führt. Erst beim Überschreiten des Deformationsgrenzwertes in negativer Richtung findet ein Zurückgleiten der Oberflächen statt. Wie kann man nun noch dynamische Belastungen und Glättungseffekte berücksichtigen? 11

12 Die Simulation eines einzelnen Lastwechsels aus einem dynamischen Lastzyklus erfolgt durch aufeinander folgendes Anfahren einzelner Punkte auf dem zeitlichen Verlauf des Belastungsmoments. Dabei werden die Ergebnisse eines Rechenganges als Startwerte für den nächsten verwendet. Der während eines Lastwechsels zurückgelegte örtliche Schlupfweg ergibt sich dabei aus der Summe aller Einzelschlupfwege an dieser Stelle und führt zum Abbau der Rauhigkeitsspitzen, wodurch die örtliche Pressung leicht abnimmt. Der dafür gewählte exponentielle Ansatz richtet sich nach den Angaben der DIN 7190, wonach 80 % der Rauhigkeit von Welle und Nabe zum Übermaßverlust führen (Bild 10). Der Faktor f ps ist dabei ein Maß für die Ableitung der örtlichen Pressung nach der gesamten Schlupfwegsumme bei einer neuen Verbindung ( =0). Bild 10: Exponentieller Ansatz für die Verringerung der örtlichen Pressung mit Zunahme der Schlupfwegsumme Neben der Verringerung des Fugendruckes kann Glättung zur Erhöhung der Adhäsion führen. Mit dem Bürstenmodell wäre das mit der Reduzierung der Borstenlänge durch Abnutzung und der damit verbundenen Erhöhung der Steifigkeit zu erklären. Dadurch können trotz Pressungsabbau die örtlichen Schubspannungen ansteigen. Dieser Zusammenhang wird durch eine Ansatzfunktion nach Gleichung 2 berücksichtigt, die den örtlich aufsummierten Schlupfweg mit einbezieht und sich somit von Lastwechsel zu Lastwechsel leicht verändert. Für ausreichende Genauigkeit braucht man die Ansatzfunktion aber nur in großen Lastwechselschritten zu verändern. 12

13 4 Berechnungsbeispiele Als Grundlage für die folgenden Berechnungen wurde eine Pressverbindungsgeometrie gewählt, zu der von Gropp zahlreiche Versuchsergebnisse vorliegen. Die ersten Untersuchungen werden an Proben mit einer glatten Welle durchgeführt. Der dabei entstehende Schlupfweg ist in der Regel größer als der von abgesetzten Wellen. Als Grundlage für die folgenden Berechnungen wurde eine Pressverbindungsgeometrie gewählt, zu der von Gropp zahlreiche Versuchsergebnisse vorliegen. Die ersten Untersuchungen werden an Proben mit einer glatten Welle durchgeführt. Der dabei entstehende Schlupfweg ist in der Regel größer als der von abgesetzten Wellen. Die Ein- und Ausleitung des Drehmomentes erfolgt axial auf den gegenüberliegenden Seiten der Pressverbindung (Bild 11). Die von Gropp gewählte spezielle Nabengeometrie minimiert den Einfluss der Einspannvorrichtung auf das Übertragungsverhalten der Pressverbindung. Bild 11: Abmessungen und Momentangriffsflächen der verwendeten Pressverbindung Mikroschlupfbewegung Das Auftreten von Mikroschlupf äußert sich in einer inneren Verspannung der Welle-Nabe-Verbindung bei vollständiger Entlastung. Bild 12 stellt den schlupflosen (1) und den schlupfbehafteten Anteil (2) der Oberflächenverschiebung über der Fugenlänge zu verschiedenen Belastungssituationen dar. Beginnend bei einem Torsionsmoment von Null (Bild 12a) wird die Belastung schrittweise erhöht. Wird das schlupflose Grenzmoment M h dabei nicht überschritten, d.h. die elastische Oberflächenverschiebung (Kurve 1) überschreitet den Grenzwert nicht, findet kein Mikroschlupf statt (Bild 12b). Die plastische Oberflächenverschiebung bleibt weiterhin an allen Stellen Null (Kurve 2). Nach dem Überschreiten des Grenzwertes kommt es zu Gleitbewegungen in der Pressfuge (Bild 12c). Der elastische Anteil kann dabei maximal den Wert erreichen. In diesem Beispiel ist =4. Bei einer Verringerung der Belastung wird zuerst der elastische Anteil abgebaut (Bild 12d, Kurve 1). Die Oberflächenverschiebung aufgrund des Mikroschlupfes bleibt erhalten (Kurve 2). 13

14 Selbst bei der vollständigen Entlastung fand kein Zurückgleiten der Oberflächen statt (Bild 12 e). Damit dennoch die Summe aller Einzelmomente Null ist, ergibt sich zwangsläufig eine innere Verspannung der Welle-Nabe-Verbindung. Das ist deutlich an dem Schnittpunkt der Kurve 1 mit der Abszisse zu erkennen. Erst beim Überschreiten des Grenzwertes in negativer Richtung findet ein Zurückgleiten statt (Bild 12f). Deutlich erkennbar ist auch die Tatsache, dass der Mikroschlupf auch dann immer am Welleneinlauf beginnt. Die weitere Erhöhung des Momentes in negativer Richtung führt bei einer rein wechselnden Belastung zum gleichen Schlupfweg wie bei einer positiven Belastung (Bild 12g). Als Ansatzfunktion wurde dabei eine Kurve ähnlich wie Bild 3c verwendet. Diese Simulationsergebnisse stimmen qualitativ mit Versuchswerten überein. Bild 12: Innere Verspannung bei Belastung oberhalb des schlupflosen Grenzmomentes und anschließender Entlastung Überlagerung von rein wechselnder Torsion mit einem statischen Moment Aus Versuchen ist bekannt, dass bei einer Überlagerung von einem statischen Moment mit rein wechselnder Torsion nur die Belastungsamplitude für die Ausbildung von Gleitzonen verantwortlich ist [2, 4, 6]. Diese Erkenntnis soll im Folgenden anhand von zwei Berechnungsbeispielen für eine Wechselbelastung und eine Schwellbelastung nachvollzogen werden. 14

15 Dazu wird eine Probe mit einem rein wechselnden Torsionsmoment von 300 Nm belastet (Bild 13) und eine zweite Pressverbindung mit einem statischen Moment von 150 Nm, überlagert mit einem wechselnden Moment von 150 Nm (Bild 14). Die dabei auftretenden Spitzenmomente sind in beiden Fällen gleich. Die rechte Darstellung kennzeichnet jeweils 20 Belastungspunkte, an denen im linken Diagramm der örtliche Mikroschlupf dargestellt ist. Bild 13: Mikrogleitbewegungen am Welleneinlauf bei rein wechselnder Torsion Bild 14: Überlagerung einer statischen Belastung mit einem wechselnden Moment (hier Schwellbelastung) Bei reiner Wechseltorsion bildet sich infolge oszillierender Gleitbewegungen eine deutliche Gleitzone mit der Länge l gi aus (Bild 13). Im Fall der hier dargestellten Schwellbelastung treten nach einer einmaligen Gleitbewegung keine weiteren auf (Bild 14), womit das Berechnungsmodell auch in diesem Punkt qualitativ mit Literaturangaben korreliert. Drehmomentverlauf in der Welle Müller setzte in seinen Untersuchungen eine konstante Pressungsverteilung voraus. Des Weiteren ging er davon aus, dass das Drehmoment in der Welle im Bereich der Gleitzone linear abnimmt und dann bis zum Ende der Fuge degressiv verläuft (Bild 15). 15

16 Bild 15: Idealisierter Drehmomentverlauf in der Welle (nach MÜLLER [10]) Dieser Verlauf lässt sich mit einer Ansatzfunktion nach Bild 3c reproduzieren (Bild 16b). In der rechten Darstellung ist zusätzlich noch die Tangente an den Drehmomentverlauf am Welleneinlauf eingezeichnet. Die Momentfunktion verlässt diese Tangente genau in dem Punkt, wo aus der linken Darstellung das Ende der Gleitzone ersichtlich ist. Auch darin stimmen die Ergebnisse des Berechnungsmodells qualitativ mit denen aus der Literatur überein. Bild 16: Berechneter Drehmomentverlauf in der Welle für eine idealisierte Verbindung Ausbildung einer zweiten Gleitzone am Wellenauslauf Bei sehr hohen wechselnden Belastungen und dickwandigen Naben kann auch am Wellenauslauf eine Gleitzone mit der Länge l gii auftreten. Bei der Simulation nach Bild 17 ergab sich am Wellenauslauf eine Gleitzone II, die deutlich geringer ausgeprägt ist als die am Welleneinlauf. Dieses aus der Praxis bekannte Phänomen wird ebenfalls von diesem Berechnungsmodell qualitativ richtig wiedergegeben. 16

17 Bild 17: Ausbildung von zwei Gleitzonen bei hoher Belastung An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass exakte quantitative Aussagen zu den hier dargestellten Phänomenen erst nach dem Feintuning der Ansatzfunktionen im schubelastischen Verband über den Abgleich mit Versuchsergebnissen gegeben werden können. Hystereseschleife Zur Bewertung der Gleitvorgänge in dynamisch belasteten Pressverbindungen findet man in der Literatur häufig Hystereseschleifen. Dabei misst man die dynamische Verdrehung einer Bezugsebene der Welle zu einer Bezugsebene der Nabe. Dieser Verdrehwinkel beinhaltet somit im Wesentlichen die Verdrehung der Koordinatensysteme von Welle und Nabe. Diese setzt sich ja aus den örtlichen Deformationen von Welle und Nabe sowie der Verschiebung im schubelastischen Verband zusammen. In Bild 19 ist eine berechnete Hystereseschleife (a) im qualitativen Vergleich mit einer gemessenen Kurve (b) dargestellt. In der Simulationsgrafik erkennt man auch deutlich die verfahrensbedingte Neukurve. Dabei wurde die elastische Deformation der freien Welle infolge der Torsionsbelastung nach bekannten analytischen Gleichungen eliminiert. Der hier dargestellte Verdrehwinkel repräsentiert demnach die Relativlage einer auf der Welle unmittelbar vor dem Welleneinlauf montierten Messzunge in Bezug zur Einspannstelle der Nabe (Bild 18). 17

18 Bild:18 Schematische Darstellung der Pressverbindung zur Illustration des Drehwinkels Bild 19: a) berechnete und b) gemessene Hystereseschleife bei Wechseltorsion Aus dieser Darstellung ist ebenfalls zu erkennen, dass die Ergebnisse des Berechnungsmodells qualitativ gut mit denen aus der Literatur übereinstimmen. Einflüsse der Reibwertänderung über der Lastwechselzahl Eine Besonderheit dieses neuen Rechenmodells ist seine Fähigkeit, mehrere aufeinander folgende Lastwechsel mit unterschiedlichen Ansatzfunktionen für den schubelastischen Verband simulieren zu können. Mit einer Ansatzfunktion, die abhängig vom aufsummierten Schlupfweg den ausgenutzten Reibwert erhöht, kann damit die Erhöhung der Übertragungsfähigkeit mathematisch erfasst werden. In Bild 20 ist dies beispielhaft für eine Ansatzfunktion nach Gleichung 2 dargestellt. Mit steigendem Schlupfweg glätten sich die Oberflächen. Die zunehmende Adhäsion führt eventuell zu einer Reibwerterhöhung. Den gleichen Effekt würde man bei Oberflächen erhalten, die sich mit zunehmendem Schlupfweg stärker ineinander verhaken. 18

19 Bild 20: Hystereseschleife bei unterschiedlichen Lastwechselzahlen Die Pressverbindung wurde mit einem rein wechselnden Moment von 450 Nm belastet. Die Kurve 1 stellt die Hystereseschleife zu Beginn der Untersuchungen dar. Die eingeschlossene Fläche entsteht durch Mikroschlupf in der Pressfuge und ist ein Maß für die Gleitarbeit. Die Gleitbewegungen verändern die Oberfläche und führen zum Pressungsabbau und nach dem hier gewählten Ansatz zu einem Anstieg der örtlichen Reibwerte. Infolge dessen sind geringere Oberflächenverschiebungen erforderlich, um die gleiche Schubspannung zu übertragen. Dieser Steifigkeitsgewinn nach einigen Lastwechseln ist aus der Kurve 2 ersichtlich, da sich bei der Belastung mit dem Maximalmoment ein geringerer Verdrehwinkel einstellt als zuvor. Es ist ebenfalls zu erkennen, dass der Inhalt der eingeschlossenen Hysteresefläche mit der Lastwechselzahl abnimmt. Die geringfügige Abnahme der örtlichen Pressung infolge der Glättung würde bei konstantem Reibwert zu etwas größeren Gleitwegen führen. Durch die deutliche Erhöhung des örtlichen Reibwertes mit der Lastwechselzahl kommt es aber insgesamt zu einer Abnahme des Mikroschlupfes. Nach einigen 1000 Lastwechseln ist dieser Vorgang abgeschlossen, so dass sich kaum noch Änderungen ergeben (Kurve 3). 5 Ausblick Nachdem die bisherigen Ergebnisse dieses Rechenmodells qualitativ bereits gut mit den aus der Literatur bekannten Versuchsergebnissen übereinstimmen und zahlreiche an Pressverbindungen auftretende Phänomene korrekt wiedergegeben werden, wird ein Schwerpunkt weiterer Arbeiten die Ermittlung verbesserter Ansatzfunktionen für den schubelastischen Verband sein. Dazu sollen zahlreiche alte und neue Versuchsreihen mit diesem Rechenmodell ausgewertet werden. Zur Minimierung der Tribokorrosionsneigung existieren einige, z.t. auch in der DIN 7190 enthaltene konstruktive Maßnahmen [5] (Bild 21). 19

20 Bild 21: Entlastungskerben zur Verringerung von Gleitbewegungen nach DIN 7190 und [9] Bild 22: Gestaltminderungsfaktor für eine Welle mit Pressverbindung [9] Diese Konstruktionsvarianten verdrängen die Kraftflusslinien von der Nabenkante, woraus eine deutliche Verringerung der Schlupftiefe resultiert [9]. Die optimale Auslegung eines Wellenabsatzes wird nach Häusler auf einen minimalen Gestaltminderungsfaktor zurückgeführt (Bild 22). Dabei führt z.b. ein zu kleiner Radius zum Überschreiten der Dauergestaltfestigkeit der Welle aufgrund von Kerbwirkung und ein zu großer Radius wirkt sich in einem Reibdauerbruch aufgrund von Mikroschlupfbewegungen aus. Bei der Konstruktion ist daher besonderer Wert auf das richtige Verhältnis aller geometrischen Größen zu legen. Die unterschiedlichen Nabenüberstände und Wellengestaltungen nach Bild 21 wirken sich sowohl auf den Verlauf des Fugendruckes als auch auf die Einflussmatrix als Zusammenhang zwischen den örtlichen Oberflächenverschiebungen und den örtlichen Umfangskräften aus. Im weiteren Verlauf der Forschung sollen diese Konstruktionsvorschläge unter dem Gesichtspunkt der Gleitzonenbildung mit dem neuen Berechnungsmodell untersucht werden. 20

21 Darüber hinaus ist die Erweiterung des Modells auf Zugbelastung sowie kombinierte Torsion und Umlaufbiegung vorgesehen. Zusätzliche Biegung beeinflusst die Pressungsverteilung und macht viele Variablen sowohl von der Längskoordinate x als auch und einer Umfangskoordinate abhängig. Der Rechenaufwand wird dann voraussichtlich stark ansteigen. Quellen Der vorliegende Beitrag wurde auf dem Dresdner Maschinenelemente Kolloquium DMK 2005 (01. und 02. Dezember 2005) gehalten. [1] Gropp, H.; Wächter, K.; Klose, D.; Saed A.: Die Erhöhung der Übertragungsfähigkeit von Pressverbindungen und die Verhinderung von Tribokorrosion durch Pressflächenbeschichtung. VDI-Bericht Welle-Nabe-Vebindungen. Gestaltung, Fertigung, Anwendungen; Tagung Wiesloch November VDI-Verlag. [2] Smetana, T.: Untersuchungen zum Übertragungsverhalten biegebelasteter Kegel- und Zylinderpressverbindungen. Dissertation, Technische Universität Chemnitz. Shaker-Verlag [3] Gropp, H. Klose, D.: Grundlegende Ergebnisse experimenteller Untersuchungen zum Übertragungsverhalten dynamisch belasteter Preßverbindungen. VDI-Bericht Welle-Nabe-Vebindungen. Systemkomponenten im Wandel. Tagung Fulda April VDI-Verlag. [4] Gropp, H.: Das Übertragungsverhalten dynamisch belasteter Preßverbindungen und die Entwicklung einer neuen Generation von Preßverbindungen. Technische Universität Chemnitz. Habilitationsschrift [5] Kollmann, F. G.: Welle-Nabe-Verbindungen. Gestaltung, Auslegung, Auswahl. Springer-Verlag. Berlin [6] Leidich, E.: Beanspruchung von Pressverbindungen im elastischen Bereich und Auslegung gegen Dauerbruch. Technische Hochschule Darmstadt. Dissertation [7] Gropp, H.: Die Übertragungsfähigkeit von Längspreßverbindungen bei dynamischer Belastung durch wechselnde Drehmomente. Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt. Fakultät für Maschineningenieurwesen. Dissertation [8] Funk, W.: Der Einfluß der Reibkorrosion auf die Dauerhaltbarkeit zusammengesetzter Maschinenelemente. Technische Hochschule Darmstadt. Fakultät für Maschinenbau. Dissertation [9] Häusler, N.: Der Mechanismus der Biegemomentübertragung in Schrumpfverbindungen. Technische Hochschule Darmstadt. Dissertation [10] Müller, H. W.: Der Mechanismus der Drehmomentübertragung in Preßverbindungen. Technische Hochschule Darmstadt. Dissertation [11] Gropp, H.; Klose, D.: Experimentelle und numerische Untersuchungen zur Bestimmung der Länge von Gleitzonen sowie der Drehmomentübertragungsfähigkeit dynamisch belasteter Preßverbände bei 21

22 axialer Ableitung des Drehmomentes. Abschlußbericht zum experimentellen Teil des DFG- Forschungsvorhabens Ko 643/39-1. TU-Chemnitz. Fachbereich Maschinenbau I Autoren Dipl.-Ing. Christian Meißner TU Chemnitz Fakultät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. Peter Tenberge TU Chemnitz Fakultät Maschinenbau Reichenhainer Str. 70 Reichenhainer Str. 70 D Chemnitz D Chemnitz Tel.: +49 (0) 371/ Tel.: +49 (0) 371/ Fax: +49 (0) 371/ Fax: +49 (0) 371/ Internet: Internet: 22