Die MOS-Struktur und der MOS-Kondensator

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1 Kapitel 7 Die MOS-Struktur und der MOS-Kondensator 7.1 Aufbau Abbildung 7.1: (a) Ein MOS-Kondensator mit positiver Spannung. (b) Planarer n-kanal Feldeffekttransistor mit high-k-dielektrikum als Isolator, s. R. Suri: rsuri/ Die MOS-Struktur (MOS = metal-oxide-semiconductor) wurde zuerst im Jahre 1959 von Moll, Pfann und Garret vorgeschlagen: Auf einem Halbleitersubstrat, für gewöhnlich Silizium, wird ein stark isolierendes Oxid, für gewöhnlich Siliziumdioxid, aufgebracht und darauf ein metallisches Top Gate (s. Abb. 7.1 (a)). Das Halbleitersubstrat ist dotiert, wobei in diesem Kapitel der Fall der p-dotierung behandelt wird. Der Fall der n-dotierung verläuft analog. Der MOS-Kondensator entsteht aus der MOS-Struktur durch Anlegen einer Spannung U zwischen dem Top Gate und einem zusätzlich auf der Substratrückseite angebrachten Back Gate. Ist diese Gatespannung positiv und ausreichend groß, bildet sich an der Trennfläche zwischen 1

2 2 KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR dem isolierenden Oxid und dem Halbleiter eine Schicht von sogenannten Inversionselektronen. Diese Inversionselektronenschicht ist der Leitungskanal des in Abb. 7.1 (b) Feldeffekttransistors. Der Leitungskanal trägt den Drainstrom zwischen Source- und Drainkontakt, welcher durch die Gatespannung gesteuert werden kann. In Feldeffekttransistoren der neuesten Generation wird an Stelle von S io 2 das sogenannte high k dielectric H f O 2 mit einer besonders hohen Dielektrizitätskonstanten verwendet. Wie an Hand von Gln. (7.29) und (7.3) diskutiert, ermöglichen high k dielectrics die Verwendung von breiteren Oxidschichten bei sonst vergleichbaren elektrostatischen Eigenschaften des MOS-Kondensators. Dieses vermindert die bei sehr kleinen Transistoren auftretenden sch dlichen Tunnelströme vom Top Gate in den Kanal hinein.

3 7.2. ENERGIEDIAGRAMM EINER IDEALEN MOS-STRUKTUR Energiediagramm einer idealen MOS-Struktur Die Abbildung 7.2 enthält die Energiediagramme der isolierten Systemkomponenten - Metall, Oxid und p-dotierter Halbleiter. Hier ist χ die Elektronenaffinität des Halbleiters und Φ m die Austrittsarbeit des Aluminium Top Gates. Abbildung 7.2: Energiediagramm des isolierten Systemkomponenten - Al, S io 2 und p S i - mit dem Vakuumniveau als gemeinsamer Referenz (s. [1]). Eine ideale MOS-Struktur wird wie folgt definiert: 1 Die Austrittsarbeiten der Top-Gate Metallisierung Φ m und des Halbleiters werden als identisch angenommen. Es fließt daher keine Ladung, wenn der Kontakt zwischen diesen Materialien hergestellt wird. 2 Unabhängig von der Bespannung der MOS-Struktur können nur Ladungen im Halbleiter oder in eine Oberflächeladungsschicht an der Metall-Isolatorgrenze existieren. 3 Der Widerstand des Isolators ist so groß, dass unabhängig von der angelegten Spannung U kein Gleichstrom fließt. 4 Die Dielektrizitätskonstante im Halbleiter und im Isolator wird gleich κ gesetzt.

4 4 KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR The energy band diagram when the materials are in contact and under no applied bias (U = ) is shown in Fig. 7.3 for a p-type semiconductor. Because of conditions 1-3 the energy-band diagram of the insulated p-semiconductor results and we can choose in Eq. (2) of the previous chapter for the elecrostatic energy V(x) =. Abbildung 7.3: Energy-band diagram of an ideal MOS at U = (flat band) for a p-type semiconductor. The band discontinuity in the conduction band (red) is equivalent to a nearly perfect tunneling barrier in the conduction band. For the holes band there is an equivalent discontinuity in the valence band leading to qn nearly perfect tunneling barrier as well. As we have shown in the chapter about the effective mass approximation the discontinuities in the conduction band are equivalent to a potential for the electrons in the conduction band that varies in space. The big jump big between EL ox and E L means a nearly ideal repulsive potential barrier. Because of the negative effective mass in the valence band the big drop between Ev ox and E v means a nearly ideal repulsive potential barrier for the electrons in the valence band as well. We now consider an ideal MOS diode with the gate electrode biased with a positive or negative voltage while the p-semiconductor is grounded as shown in Fig. (7.1). In principle, when a bias is applied the equillibrium theory we have derived is not applicable any more, there cannot be a constant electrochemical potential in the hole device. Because there is now particle exchange across the barrier the drop of the electrochemical potential, which is identical with the applied voltage times the elementary charge, is assumed to occur solely over the oxide. In the grounded p-semicontor we set the electrochemical potential as equal to the chemical potential µ p of the host material, φ(x > ) = µ p φ (7.1)

5 7.2. ENERGIEDIAGRAMM EINER IDEALEN MOS-STRUKTUR 5 Four regimes of appied voltage can be distinguished which are illustrated in Fig. 7.4 for a p-type semiconductor: Abbildung 7.4: Energiediagramme eines idealen MOS-Kondensators (a) Flachband, wenn U =, (b) in Akkumulation für negative Spannung, (c) Verarmung bei schwacher positiver Spannung, wenn das elektrochemische Potenzial an der Grenzfläche in der Lückenmitte liegt und (d) Inversion, wenn die Substratsminoritätsträger an der Grenzfläche die Majoritätsträger stellen. 1. Flat band, U = : Because the electrochemical potential in the metal and in the p-type semiconductor are assumed to be equal no charge flow occurs upon contact. Then in the semiconductor no space charge builts up, ρ(x > ) =, and because of Poisson s equation 2 Ψ(x) = e ρ(x) = Ψ(x) = ev(x) = (7.2) x 2 ɛ κ is constant. Here κ is the dielectric constand of the semiconductor which is taken to be equal for the insulator for simplicity. Since Ψ = there is no bending of the energy levels, i. e. E V (x) = E V. We obtain p = N V e φ E V = N V e µp E V = p, (7.3) where p ist the hole density in the isolated p-semiconductor. Analogeously one obtains n(x) = n. 2. Accumalation: Applying a negative voltage (U <, definition of the polarization s. Fig. 7.1) means lowering the electrostatic potential V(x) and the potential energy for positive charges at the interface. In consequence one finds an accumulation of the majority carriers (holes) in the p-semiconductor.

6 6 KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR The energy ev(x) of a negative charge is raised, so that Ψ(x) = ev(x) bends upward. For an ideal MOS diode no current flows in the structure, so the electrochemical potential remains constant in the semiconductor and still φ = µ p. With E V (x) = E V + Ψ(x) the accumulation of the holes can now be calculated from p(x) = N V e φ E V (x) = N V e µp E V e Ψ(x) k BT = p e Ψ(x) k BT. (7.4) 3. Depletion: When a small positive voltage (U > ) is applied, the bands bend downward, and the majority carriers are depleted (Fig. 7.4 (c)). At the depletion voltage we have at the interface at x = the relation Ψ s = Ψ() (µ i µ p ) Ψ B, (7.5) where µ i is the chemical potential of the isolated intrinsic semiconductor. It follows with (7.4) that p() = N V e µp E V e Ψ() k BT = N V e µp E V Since n i is very small the interface is depleted of mobile charge carriers. e µ i µp N V e µ i E V = p i = n i (7.6) 4. Inversion: When a large positive voltage is applied the energy bands bend even more downward so that φ Ψ s. From n(x) = N L e E L (x) φ = N L e E L µp e Ψ(x) k BT = n e Ψ(x) (7.7) and pn = n 2 i it results that at the interface n() p(). One thus obtains an inversion of the majority charge carriers with respect to the p-type host material were p n. 7.3 Quantitative Beschreibung der Ladungen an der Oxid-Isolator Grenzfläche Die Biegung der Bänder ergibt sich aus dem elektrostatischem Potenzial, welches durch die Poissongleichung bestimmt ist. Wie im letzten Kapitel über den pn-übergang schreiben wir die Poissongleichung unter Verwendung der potenziellen Energie Ψ der Elektronen im elektrischen Feld als d 2 Ψ(x) dx 2 = e2 [ N + ɛ κ D (x) (x) + p(x) n(x)]. (7.8) Weiterhin sind N D + und N A die Dichten der ionisierten Donatoren und Akzeptoren. Im p-dotierte Halbleiter ist N D = N D + =. Für die Konzentration der ionisierten Akzeptoren gilt N A = N A e φ E A (x). (7.9) Da in Depletion und Inversion E A (x) mit negativem Ψ erniedrigt wird, bedeutet Gl. (7.9), dass in diesem Regimen nahezu vollständige Ionisierung annehmen können, N A (x) N A. Im Fall der Akkumulation gilt (x) N A nicht, aber dieser Fehler ist unwichtig, weil bei Akkumulation p >> N A, n. Schließlich können wir schreiben d 2 Ψ(x) dx 2 = e2 [ + p(x) n(x) ]. (7.1) ɛ κ Im Inneren des Halbleiters, weit von der Grenzfläche, bleibt wegen der Erdung das p-halbleitersubstrat unverändert erhalten und es folgt aus der dortigen Ladungsneutralität N A = p n N A, (7.11)

7 7.3. LADUNGEN AN DER OXID-ISOLATOR GRENZFLÄCHE 7 wobei p Lochdichte des isolierten p-substrats ist und n seine Elektronendichte. Einsetzen von (7.11) in (7.1) liefert d 2 Ψ(x) = e2 [ p(x) p (n(x) n dx 2 ) ]. (7.12) ɛ κ Mit Gleichungen (7.4) und (7.7) wird Gl. (7.1) zu d 2 Ψ(x) e 2 ( ( Ψ(x) = [p dx 2 exp ɛ κ = e 2 ɛ κ N A (exp ( Ψ(x) ) ) ( ( 1 n exp Ψ(x) ) ) ( 1 n2 i exp N A ( Ψ(x) ) )] 1 ) 1). (7.13) Im letzten Schritt wurde p N A und n = n 2 i /p n 2 i /N A genähert. Wir multiplizieren beide Seiten von (7.13) mit dψ(x)/dx und verwenden für den den blauen Term die Identität dψ(x) d 2 Ψ(x) = 1 ( ) 2 d dψ(x) dx dx 2 2 dx dx sowie für den grünen Term die Identität [ ] [ ] d Ψ(x) dx Ψ(x) exp = d [ ] Ψ(x) dx exp. Die Gleichung (7.13) lässt sich damit umformen zu ( ) 2 1 d dψ(x) 2 dx dx (7.14) e 2 = ɛ κ N A d [ ( )] Ψ(x) dψ(x) exp N A + n2 i d [ ( exp Ψ(x) )] + n2 i dψ(x) dx dx N A dx N A dx. Es wird anschließend über x von Null bis Unendlich integriert mit dem Ergebnis = 1 2 ( ) 2 dψ(x) dx e 2 ɛ κ N A [ exp Aufgrund der Randbedingungen ( ) Ψ(x) 1 Ψ(x) ( + n2 i exp Ψ(x) ) + n2 i 2 N 2 A 1 Ψ(x) ]. (7.15) erhält man (Ψ s) 2 = e2 2N A ɛ κ mit Ψ s = Ψ(x = ) und Ψ s = (dψ(x)/dx) x=. Ψ(x ) = und Ψ (x ) = (7.16) ( e Ψs k BT Ψ ) ( s 1 + n2 i e Ψs 2 k BT + Ψ s ) 1, (7.17)

8 8 KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR We now evaluate the total charge Q in the host p-semiconductor in the cubic integration volume V as sketched in figure 7.5 (a). From Poisson s equation one finds Abbildung 7.5: (a) In Grün das kubische Volumen V für die Integration in Gl. (7.18). Die Gegenladung Q befindet sich in einer Deltaschicht an der Grenzfläche zwischen Metall und Isolator (blaues Gebiet). Bei x = x b wird das p-halbleitersubstrat erreicht, sodass das elektrische Feld verschwindet. (b) In Magenta das kubische Volumen V für den Gausschen Satz in Gl. (7.28). Q = V d 3 rρ(x) = ɛ κ e lim L x Ly Lz dy dz } {{ } A Lx We now calculate total charge per area A in the y z-direction Then Eq. (7.17) yields Q A = Q A = ɛ κ e Q A = ( 2N A ɛ κ e Ψs k BT Ψ ) s 1 } {{ } from holes For Ψ s > the +-sign holds and for Ψ s < the sign. dx d2 dx Ψ(x) = ɛ κ 2 e A d 2 Ψ(x). (7.18) dx2 d 2 dx Ψ(x) = ɛ [ ] κ d 2 e dx Ψ(x) = ɛ κ e Ψ s. (7.19) ( e Ψs k BT + Ψ ) s 1 } {{ } + n2 i 2 from electrons 1/2. (7.2)

9 7.3. LADUNGEN AN DER OXID-ISOLATOR GRENZFLÄCHE 9 A typical variation of the space-charge density q as a function of the surface potential Ψ s is shown in Fig Abbildung 7.6: Abhängigkeit der Ladungsträgerdichte von Ψ s für einen p-halbleiter (s. [1]) a) Flat band configuration, Q A =, d 2 Ψ dx 2 = no band bending in the idealized MOS-system at Ψ s = b) Accumulation For T = 3K, =.25eV, so that for Ψ s =.1eV, exp ( ) Ψ s = exp (4) 5. Because n 2 i / 2 1 only the first bracket on the right hand side of Eq. (7.2) remains, and the dominant term is the exponential function: ( ) Ψs Q A exp. (7.21) 2 c) Depletion: Ψ s 2Ψ B see Eq. (7.5) The electron concentration is still very small, so that we can neglect all terms with n2 i. Since Ψ 2 s < the dominant term in depletion comes from the second term in the first bracket on the right hand side of Eq. (7.2) for Ψ s > leading to Q A Ψ s (7.22) d) Inversion: Ψ s 2Ψ B The electron concentration in channel becomes large and dominant ( ) Ψs Q A exp. (7.23) 2

10 1 KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR 7.4 Kleinsignalkapazität Mit Gl. (21) kann formal eine Kleinsgnalkapazität des Halbleiters ( C H = dq A ɛ κ e Ψs k BT 1 + n2 i 2 = dψ s 2 [( ) e Ψs k BT Ψ s 1 + n2 i 2 definiert werden.dies ist jedoch nicht die gemessene Kapazität ) e Ψs k BT + 1 ( )] e Ψs 1/2. (7.24) k BT + Ψ s 1 C = dq A /du, (7.25) wobei U die gesamte angelegte Spannung ist (s. Abb. 7.1). Die Gesamtspannung an dem MOS-Kondensator zerfällt in zwei Teile, U = U o + Ψ s. (7.26) Hier ist U o is die über der Isolatorbarriere der Breite d abfallende Spannung U o = ee o d = e Q A d. (7.27) ɛ κ Abbildung 7.7: Die gesamte angelegte Spannung U fält ab über den Isolator, U o, und über den Halbleiter, Ψ s. Hier ist qualitativ ein Isolator mit großer Dielektrizitätskonstante ( high-k ) betrachtet. Innerhalb der Isolatorbarriere ist das elektrische Feld E o gemäß Gl. (7.28) klein und das Potenzial fällt nur langsam ab. Das konstante elektrische Feld E o kann mit dem Gaußschen Satz berechnet werden, Q ɛ κ = d f E = AE o E o = Q A V ɛ κ. (7.28) Hier ist V das in Abb. 7.5 (b) gezeigte Integrationsvolumen mit der Oberfläche V. Mit der Definition der messbaren Gesamtkapazität der MOS-Struktur (7.25) setzen wir dann an 1 C = du dq A = du o dq A + dψ s dq A = 1 C + 1 C H, (7.29)

11 7.4. KLEINSIGLKAPAZITÄT 11 mit der Isolatorkapazität C = dq A du o = ɛ κ ed, (7.3) welche einem einfachen Plattenkondensator entspricht. Die Gleichung (24) hat die Form eine Reihenkapazität. Es hängt hier nur C = C (κ/d), nicht aber C H von den Eigenschaften der Isolatorbarriere ab. Die Ladungs- und Spannungsverhältnisse können daher bei alleiniger Veränderung der Barriere konstant gehalten werden, wenn C konstant und damit κ/d erhalten bleibt. Beim Übergang zu high k -Materialien, d. h. zu Materialien mit großem κ, kann daher die Oxiddicke d entsprechend vergrößert werden, ohne dass C sich ändert. Dadurch lassen sich die abträglichen Tunnelströme vom Gatekontakt in den Leitungskanal deutlich reduzieren. In Gl. (7.29) wird C H benötigt, welches in (7.24) nur als Funktion von Ψ s vorliegt, C H = C H (Ψ s ). Für die Konstruktion der C U-Kurve ausgehend von Gl. (7.29) wird in Gl. (7.24) die Relation Ψ s (U) gebraucht, sodass wir schreiben können C H = C H [Ψ s (U)] C H (U). Die Relation Ψ s (U) ergibt sich numerisch aus der Inversion der Beziehung U(Ψ s ). Die Relation U(Ψ s ) wiederum folgt aus Gln. (7.26), (7.27) und (7.2), U = U o + Ψ s = ed ɛ κ Q A + Ψ s ( = ed 2 ɛ κ ɛ κ e Ψs k BT Ψ s 1 ) ( + n2 i e Ψs 2 k BT + Ψ ) 1/2 s 1 + Ψ s. (7.31) Diese Gleichung wird explizit in Übung?? im Verarmungslimes ausgewertet. Hier diskutieren wir die numerischen Ergebnisse, die dem Niedrigfrequenzfall (5-1Hz) in Abb. 7.8 entsprechen. for negative voltages, U <, accumulation Q A exp( Ψ s ) C s exp( Ψ s ) 1 1/C 1/C ox C = C ox. for less negative gate voltages and for small positive gate voltages a depletion region which acts as a dielectric in series with the insulator is formed near the semiconductor surface. The capacitance goes through a minimum and increases again as the inversion layer of electrons forms at the surface. for large positive gate voltage, U >, when the inversion layer is formed, Q A exp( Ψ s ) C S i exp( Ψ s ) 1 1/C 1/C ox C = C ox.

12 12 KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR Abbildung 7.8: (a) Flächeladungsdichte Q A versus Ψ s in halblogarithmischer Auftragung aus Abb (b) C-U-Kurve eines idealen MOS-Kondensators (a) kleine Frequenz, (b) hohe Frequenz und (c) tiefe Verarmungsbedingungen nach [1]. Wegen der unterschiedlichen Austrittsarbeiten von Φ m im Gatemetall und von φ im Halbleitersubstrat tritt der Flachbandfall bei eu F = qφ m φ auf.

13 Literaturverzeichnis [1] S. M. Sze. Physics of Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, New York,