Fluidmechanik Hydrostatik

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1 2 Hydrostatik Grundlagen Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten Druckeinheiten Hydrostatischer Druck Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) Saugwirkung Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes, BC) Oberflächenspannung und Kapillarwirkung Viskosität Folie 1 von 44

2 2 Hydrostatik 2.1 Grundlagen Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase Zustandsgrößen: Beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.b. Druck p Temperatur T Dichte bzw. spez. Volumen v 1 Thermodynamische Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.b. H 2 O) können in Abhängigkeit von zwei Zustandsgrößen beschrieben werden, z.b. v v p, T T T p, v p p v, T Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitig vorliegen Folie 2 von 44

3 Freiheitsgrade eines thermodynamischen Systems Thermische Zustandsgrößen, die unabhängig wählbar sind, um den Zustand eines Systems eindeutig zu beschreiben Gibbs'sche Phasenregel stellt Zusammenhang her zwischen - Anzahl der Feiheitsgrade f - Anzahl der chemischen Komponenten K - Anzahl der Phasen P, d.h. fest, flüssig oder gasförmig f K 2 P Bsp.: Siedendes Wasser Homogenes System (eine Komponente K = 1) mit zwei Phasen (flüssig + gasförmig P = 2) f f (Dampfdruckkurve p pt oder T T p Folie 3 von 44

4 Bsp.: Luft Homogenes System (eine Komponente K = 1) mit einer Phasen (gasförmig P = 1) f K 2 P f f (ideale Gasgleichung: p pv, T, T T v, p, v vp, T Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt, z.b. ideale Gasgleichung p v R T mit p Druck [Pa] v = V/m = 1/ spezifisches Volumen [m 3 /kg] R spez. Gaskonstante (Luft: R Luft = 287,05 J/kgK) T Temperatur [K] Folie 4 von 44

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6 2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten Allgemein Generell gilt für Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur p,t Definition der Kompressibilität Druckbelastung eines Volumenelements v Kompression um dv infolge dp Kompressibilität dv 1 v dp Folie 6 von 44

7 Kompressibilität Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar - Wasser T = [m²/n] - Luft T = [m²/n] bei p = 1 [bar] Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung - d Folie 7 von 44

8 Druckeinheiten Einheit A Multiplikationsfaktor SI - Einheit Pa = N/m² 1 Pa hpa = mbar 10 2 Pa MPa 10 6 Pa bar 10 5 Pa atm 1, Pa mm Wassersäule = mm WS 9,80665 Pa mm Quecksilber = mm Hg = Torr 133,32 Pa (760 mmhg = 1 atm) psi = lb/in² (1 in = 25,4 mm) 6894,757 Pa psf = lb/ft² (1 ft = 12 in = 0,3048 m) 47,88 = 6894,757/144 Pa Folie 8 von 44

9 2.1.3 Hydrostatischer Druck Druck ist eine ungerichtete Größe - Druckfeld = Skalarfeld - Geschwindigkeitsfeld = Vektorfeld Resultierende Druckkraft wirkt immer senkrecht auf die Oberfläche F G p z p 0 h g Folie 9 von 44

10 Bsp.: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser gefüllten Behälter geg.: h = 10 [m] (Füllhöhe) p 0 = 1 [bar] (Luftdruck) H2O = 10 3 [kg/m³] Folie 10 von 44

11 2.1.4 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon Folie 11 von 44

12 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon - Fluidstatischen Grundgesetz: p p h g 0 - Druck ist eine Funktion der Höhe h der Flüssigkeitssäule - Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüber befindlichen Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt - Das Volumen der Flüssigkeit hat keinen Einfluss auf die Belastung der Bodenplatte - Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F, F p A Folie 12 von 44

13 2.1.5 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) Folie 13 von 44

14 Hydraulische Presse (Anwendung auf der Basis verbundener Gefäße) Folie 14 von 44

15 Bsp.: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben 1. Welche Kraft F 1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit dem Kolben (2) anzuheben? 2. Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung? 3. Wie groß ist der Druck p 2 am Boden des Kolbens (2) Folie 15 von 44

16 2.1.6 Saugwirkung Arbeitsprinzip: Fluidstatischen Grundgesetz p p0 h g und Prinzip kommunizierender Röhren Folie 16 von 44

17 Maximale Ansaughöhe Bedingung: p S, abs p Da Saugdruck > Dampfdruck, Maximale, theoretische Ansaughöhe bei p S, abs p Da H S, th pb p g Da pb g pda g H b H Da Tatsächliche Saughöhe H S H S H S, th Dampfdruckkurve H Da = f(t) von Wasser Folie 17 von 44

18 Dampfdruckkurve und kritischer Punkt Kritischer Punkt = Gleichgewicht zwischen allen drei Phasen (H 2 O: T = 374,2 C, p =221,2 bar) Folie 18 von 44

19 Bsp.: Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe Temperatur T [ C] Dichte [kg/m³] Dampfdruck p Da [bar] Dampfdruckhöhe H Da [mws] 0 999,8 0,006 0, ,0 0,009 0, ,6 0,012 0, ,2 0,024 0, ,6 0,042 0, ,2 0,074 0, ,0 0,123 1, ,2 0,198 2, ,7 0,311 3, ,3 0,473 4, ,3 0,700 7, ,3 1,013 10,33 Temperatur T = 20 C Luftdruck p b 1 bar = 10 5 Pa Folie 19 von 44

20 2.1.7 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes, BC) Erstes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus? Folie 20 von 44

21 Statischer Auftrieb Scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers Ursache Druckdifferenz an Ober- und Unterseite des eingetauchten Körpers Folie 21 von 44

22 Bsp.: 1. Wieviel Prozent eines Eisberges liegen unter bzw. über dem Wasserspiegel? 2. Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das gesamte arktische Eis abtaut? geg.: Eis 920 kg m Meerwasser kg m 3 Folie 22 von 44

23 2.1.8 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung Teilchenkräfte Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und Atomen Festkörper bilden Gitterstruktur sehr große Molekulakräfte Fluide weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf geringere Molekularkräfte als bei Festkörpern leichte Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden Teilchenkräfte bestimmen die Form der freien Oberfläche eines Fluids Folie 23 von 44

24 Begriffsdefinitionen Kohäsionskräfte - Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase Adhäsionskräfte - Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen Adhäsion - Wirkung zwischen fest/fest und fest/flüssig Adsorption - Wirkung zwischen fest/gasförmig, Anlagerung von Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper Absorption - Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen Folie 24 von 44

25 Henry-Gesetz (engl. Physiker u. Chemiker, ): - Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender Temperatur zu - Verringerung des Sauerstoffgehalts im Wasser bei Erwärmung - Erhöhung der Stickstoffkonzentration im Blut unter hohem Druck (Tauchen) Folie 25 von 44

26 Grenzflächenspannung H 2 O Hg Grenzflächenkräfte Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinung Randwinkel <90 : Adhäsion > Kohäsion (H 2 O/Glas) Randwinkel >90 : Kohäsion > Adhäsion (Hg/Glas) Moleküle in der Grenzschicht erfahren durch Kohäsionskräfte eine resultierende Kraft F nach innen, Grenzfläche wirkt wie eine dünne Membran Bsp.: Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung des Wassers Folie 26 von 44

27 Benetzungsformen Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung keine Grenzflächenkräfte Gas/Flüssigkeit: Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend Kapillarspannung Gas/Festkörper: Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche Flüssigkeit/Festkörper: - (1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90 ) nichtbenetzendes Fluid (hydrophob) - (2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90 ) benetzendes Fluid (hydrophil) Flüssigkeit/Flüssigkeit: Verhalten ähnlich dem von Gasen, Durchmischung, keine Grenzflächen Folie 27 von 44

28 Oberflächenaktive Substanzen Beeinflussung der Oberflächenspannung durch - Verunreinigungen starke Reduzierung der Oberflächenspannung - Waschaktive Substanzen Reduzierung der Oberflächenspannung - Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile (COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH 3 -Gruppe) Anteile Bildung einer monomolekularen Substanz zwischen Wasser- und Luftmolekülen Reduzierung der Oberflächenspannung Folie 28 von 44

29 Tropfengröße und Dosierung Medizinische Anwendungen: Dosierung durch Tropfengröße Tropfengröße wird durch Dichte und Oberflächenspannung bestimmt Aufgabe Bestimmung der Tropfengröße durch Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode Folie 29 von 44

30 Kapillarität Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung Intermolekulare Anziehungskräfte heben sich, mit Ausnahme einer dünnen Schicht (<10-9 m) an der freien Oberfläche, im Inneren des Fluids auf Spannungszustand Freie Oberfläche versucht Minimalwert anzunehmen Krümmungsdruck p K df 1 p K da rk 1 1 r K 2 Folie 30 von 44

31 Einfluß der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck - ebene Oberfläche r r p 0 K1 K 2 K - kugelkalottenförmige Oberfläche r K 1 rk 2 rk p K 2 r K - zylinderförmige Oberfläche r r r r K 1 zyl K, K 2 p K r K Folie 31 von 44

32 Kapillarwirkung Kapillaraszension (Wasser im Glasrohr) Kapillardepression (Quecksilber im Glasrohr) Folie 32 von 44

33 Randwinkel W Stoffpaarung Randwinkel W [grd] Wasser oder Äthylalkohol/Glas 0 Alkohol/Plexiglas < 10 Wasser/Plexiglas 80 Quecksilber/Glas 140 Wasser/Lotusblatt 160 Krümmungsradius r K r K R cos W Folie 33 von 44

34 Steighöhe als Funktion der Kapillarspannung und Innendurchmesser r K Fluide (T = 20 C) Luft - Quecksilber Wasser Ethanol Ethylether Öl Wasser - Quecksilber Öl Ethanol [N/m] 0,470 0,073 0,025 0,016 0,028 0,380 0,020 0,002 Folie 34 von 44

35 Bestimmung der Oberflächenspannung Tropfenmethode (Stalagmometer) Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter Temperatur Tropfen gleicher Größe. Oberflächenspannung ist der Dichte der Flüssigkeit direkt und der Anzahl z der Tropfen umgekehrt proportional Stalagmometer Besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen, Kalibrierung des Geräts erfolgt mit einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung (z. B. Wasser) Folie 35 von 44

36 Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20 C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus Die Dichte der Flüssigkeit betrug ρ = 0,9477 g/cm 3 Wie groß ist ihre Oberflächenspannung, wenn mit dem gleichen Gerät n(h 2 O) = 137 Tropfen Wasser von 20 C gezählt wurden? Folie 36 von 44

37 Kapillarmethode Für eine Glaskapillare mit dem Radius r, in der eine Flüssigkeit aufsteigt gilt: Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraft durch die Oberflächenspannung 2 r h g 2 r r h g 1 N m 2 Folie 37 von 44

38 Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18 C Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäule geg.: T = 18 [ C] (Temperatur) m Hg = 1,297 [g] (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare) l Hg = 5,40 [cm] (Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare) Hg = 13,595 [g/cm 3 ] = 13, [kg/m³] (Dichte) h H2O = 19,85 [mm] (Mittelwert für die Höhe der aufgestiegenen Wassersäule) Folie 38 von 44

39 Ring- oder Bügelmethode Meßwerte F 1 = Gewichtskraft des Ringes in Luft F 2 = Gewichtskraft vor dem Abreißen r = Radius des Ringes Oberflächenspannung σ F 2 F 1 2 r 2 Faktor 2 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an Flüssigkeit/Flüssigkeit Folie 39 von 44

40 Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 25 C mittels der Ringmethode geg.: T = 25 [ C] m = 4,910 [g] (Masse des Ringes) F 2 = 7, [N] (Zugkraft vor dem Abreißen) d = 60 [mm] (Durchmesser des Ringes) Folie 40 von 44

41 2.1.9 Viskosität Definition nach DIN 1342 Eigenschaft fließfähiger Systems bei Verformung eine mechanische Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt Schub- oder Tangentialspannung = Ursache für die im Fluid hervorgerufene Verformungsgeschwindigkeit Viskosität ist eine Stoffgröße, Maß für die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander Folie 41 von 44

42 Newton'sches Fluidreibungsgesetz Plattenzugversuch Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sich ein Geschwindigkeitsgefälle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann F dcx A dz Scherkraft F bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung) F A dc dz Schergefälle dc D dz x x Folie 42 von 44

43 Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette 1) -Strömung) lineare- und nicht-lineare Geschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht 1) Couette, frz. Forscher ( ) Folie 43 von 44

44 Reibungsverhalten verschiedener Fluide Bingham-Fluide, Honig, Wachs, Teer, Fette Schmelzen, Dispersionen mit länglichen Partikeln Klebstoffe, nasser Sand Folie 44 von 44