Suchen und Sortieren OOPM, Ralf Lämmel

Transkript

1 Unterhaltet Euch mal mit Euren Großeltern wie Sortieren früher funktionierte! Suchen und Sortieren OOPM, Ralf Lämmel

2 2 Das Such-Problem Eingabe: Ein Feld a mit n Elementen vom Typ t. Ein Wert x vom Typ t. Ausgabe: Ein Boolescher Wert: true: Es gibt ein 0 <= i < n so dass a[i] == x false: sonst Alternative: Gib (ersten) Index i zurück. Wir nehmen nichts weiter an als dass wir Gleichheit für t bestimmen können.

3 Lineare Suche (Index-Rückgabe) public static int linear(int[] a, int x) { for (int i=0; i<a.length; i++) if (a[i] == x) return i; return -1; Beachte: eine For-Each- Schleife wäre hier nicht (sinnvoll) anwendbar, da wir i zurückgeben wollen! (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.search 3

4 4 Binäre Suche Basierend auf der Annahme, dass das Eingabefeld (etwa aufsteigend) sortiert ist, beginnend in der Mitte des Feldes, suche das Element mittels Halbierung des Suchraums in jedem Schritt. Die Suche beginnt mit i = Mitte.... Wenn a[i] = x, dann gefunden. Wenn a[i] < x, dann in rechter Hälfte fortsetzen. Wenn a[i] > x, dann in linker Hälfte fortsetzen.

5 5 Testen der Sortiertheit Beispiel 1: Eingabe: {1,2,3,4 Ausgabe: true Beispiel 2: Eingabe: {1,3,2,4 Ausgabe: false

6 6 Das Problem des Testens der Sortiertheit Eingabe: Ein Feld a mit n Elementen vom Typ t. Ausgabe: Ein Boolescher Wert: true: a[i-1] <= a[i] für alle i mit 1 <= i < n false: sonst

7 7 Probleme: Kontenverwaltung, Videokompression,... Programme: (Effektive) Problemlösungen Spezifikationen: ( Gute ) Problembeschreibungen Modelle: Abstraktionen von Problemlösungen u.a. Eingabe: Ein Feld a mit n Elementen vom Typ t. Ausgabe: Ist diese Problembeschreibung eine Spezifikation, ein Modell oder ein Programm? Ein Boolescher Wert: true: a[i-1] <= a[i] für alle i mit 1 <= i < n false: sonst

8 Sortiertheitstest public static boolean issorted(int[] a) { for (int i=1; i<a.length; i++) if (a[i-1] > a[i]) return false; // inversion found return true; // no inversion found (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.search 8

9 Binäre Suche public static int binary(int[] a, int x) { int first = 0; // first index in range int last = a.length - 1; // last index in range while (first <= last) { int middle = first + ((last - first) / 2); if (a[middle] < x) { first = middle + 1; // go to the right else if (a[middle] > x) { last = middle - 1; // go to the left else return middle; return -1; // not found (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.search 9

10 10 Zusammenfassung: Einfache Suchalgorithmen Dimensionen der Variationen: Effizienz (Laufzeit-Komplexität) Annahmen über Eigenschaften des Feldes Annahmen über Operationen (Gleichheitstest, etc.)

11 Das Sortier-Problem Eine unsortierte Liste (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Die sortierte Liste 11

12 12 Das Sortier-Problem Eingabe: Ein Feld a mit n Elementen des Typs t Annahme: Vergleichbarkeit (<,=) für Typ t Ausgabe: Ein Feld b b ist sortiert. Beachte: Dies ist eine Problembeschreibung (im Gegensatz zu einer Lösung). b ist eine Permutation von a

13 13 Permutationstest Eingabe: Feld a und b gleicher Länge Annahme: Gleicheitstest für Typ t verfügbar. Ausgabe: Gibt es eine 1:1 Abbildung von a auf b? Ausgangs- und Bildelement sind jeweils gleich

14 Permutationstest // Assume all elements of the arrays to be distinct public static boolean ispermutation(int[] a, int[] b) { if (a.length!= b.length) return false; for (int x : a) { boolean found = false; for (int y : b) if (x == y) { found = true; break; (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau if (!found) return false; return true; Dies kann wesentlich eleganter beschrieben werden wenn wir Label-basiertes Break/Continue verwenden. Siehe package algorithm.sorting 14 Vorbedingung

15 15 Permutationstest (kompaktere Variante) // Assume all elements of the arrays to be distinct public static boolean ispermutation(int[] a, int[] b) { if (a.length!= b.length) return false; l1: for (int x : a) { return true; for (int y : b) if (x == y) continue l1; return false; Siehe package algorithm.sorting Wie lässt sich diese Annahme aufgeben?

16 16 Verallgemeinerter Permutationsansatz Eingabe: Felder a und b gleicher Länge l. Ausgabe: Boolescher Wert Ist a eine Permutation von b? (Eine mögliche) Vorgehensweise: Initialisiere ein Boolesches Feld c der Länge l mit false. Für jedes Element x von a Gibt es einen Index i mit x == b[i] und c[i] == false? - Ja: Setze c[i] = true. - Nein: Gib false zurück.

17 17 Verallgemeinerter Permutationsansatz public static boolean ispermutation(int[] a, int[] b) { if (a.length!= b.length) return false; boolean[] c = new boolean[a.length]; for (int i=0; i<c.length; i++) c[i] = false; l1: for (int x: a) { for (int i = 0; i < b.length; i++) if (x==b[i] &&!c[i]) { c[i] = true; continue l1; return false; Siehe package algorithm.sorting Fangfrage: Können wir an dieser Stelle stattdessen eine Methode für etwa lineare Suche in b wiederverwenden?

18 18 Warum Sortieren in OOPM? Grundlegende Technik in der Programmierung Hervorragende Eignung für weitere Themen: Laufzeitanalyse (Laufzeitkomplexität) Speicherplatzanalyse (Speicherkomplexität) Iterative vs. rekursive Lösungen Verifikation

19 19 Ausgewählte Sortierverfahren BubbleSort -- Sortieren durch Sprudeln SelectionSort -- Sortieren durch Auswahl InsertionSort -- Sortieren durch Einfügen MergeSort -- Sortieren durch Mischen

20 20 Ausgabe eines Feldes (Gut zum visuellen Testen!) Beispiel Eingabe: {1,2,3,4 Ausgabe: (in der Standardausgabe )

21 Ausgabe eines Feldes public static void print(int[] a) { for (int i=0; i<a.length; i++) System.out.print(a[i] + " "); System.out.println(); Eingabe: {1,2,3,4 Ausgabe: (in der Standardausgabe ) (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package data.vector 21

22 22 Der Ergebnistyp void void ist ein spezieller vordefinierter Typ. void ist formal ein Menge mit einem Element. Verwendung: Funkion berechnet keine Ergebnisse. Beispiele: Mutationen, Ausgaben

23 BubbleSort - Beispiel 9 ist nach oben gebubbelt. 1.Runde Runde Runde Inversionen benachbarter Elemente sind markiert. Warum haben wir eine 3. Runde?

24 24 BubbleSort - Vorgehensweise Wiederhole Pässe durch die Eingabe. Beseitige Inversionen benachbarter Elemente. Brich ab nach einem Pass ohne Inversionen. Folgerung: Große Elemente bubbeln nach oben.

25 BubbleSort - Implementation public static void bubblesort(int[] a) { boolean swapped; // to notice swaps during a pass do { swapped = false; for (int i=1; i<a.length; i++) if (a[i-1] > a[i]) { // Swap! int swap = a[i]; a[i] = a[i-1]; a[i-1] = swap; swapped = true; while (swapped); // another pass if swaps happened (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.sorting 25

26 26 SelectionSort - Beispiel Zeitachse

27 27 SelectionSort - Vorgehensweise Entferne kleinstes Element x aus Eingabe. Füge x der Ausgabe zu. Wiederhole Schritte bis die Eingabe leer ist. Folgerung: Ausgabe entsteht linear.

28 28 SelectionSort - Implementation public static void selectionsort(int[] a) { for (int i=0; i<a.length; i++) { // Find least element among the remaining ones int least = i; for (int j=i+1; j<a.length; j++) if (a[j] < a[least]) least = j; // Swap current element with least one if (least!= i) { int swap = a[i]; a[i] = a[least]; a[least] = swap; Siehe package algorithm.sorting

29 29 InsertionSort - Beispiel Zeitachse

30 30 InsertionSort - Vorgehensweise Unterteilung sortierter Präfix (anfangs leer) unsortierter Rest (anfangs die Eingabe) Wiederholung Einfügen des Kopfes vom Rest in den Präfix

31 InsertionSort - Implementation public static void insertionsort(int[] a) { for (int i=1; i<a.length; i++) { int x = a[i]; // Element to be inserted // Insert elements in their prefix // Shift right elements if necessary int j = i; while (j > 0 && a[j-1] > x) { a[j] = a[j-1]; a[j-1] = x; j--; (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.sorting 31

32 32 MergeSort Teilung der Eingabe Linke Hälfte Rechte Hälfte Rekursives Sortieren Zwischenergbnis Zwischenergbnis Merge Sortiertes Ergebnis

33 MergeSort - Beispiel commons.wikimedia.org (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau 33 commons.wikimedia.org

34 34 Mischen

35 MergeSort - Implementation public static void mergesort(int[] a, int[] temp, int min, int max) { // Cease on trivial sorting problem if (!(min<max)) return; // Divide int middle = ( min + max ) / 2 ; // Solve smaller problems recursively mergesort(a,temp,min,middle); mergesort(a,temp,middle+1,max); // Merge via temporary array merge(a,temp,min,middle,max); (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.sorting 35

36 Merge - Implementation public static void merge(int[] a, int[] temp, int min, int middle, int max) { int i = min; // loop over left half int j = middle+1; // loop over right half int k = min; // loop over merged result while (k<=max) temp[k++] = (i <= middle && (j > max a[i] < a[j]))? a[i++] // copy from left half : a[j++]; // copy from right half // Commit temporary result for (k=min; k<=max; k++) a[k] = temp[k]; (C) Ralf Lämmel, OOPM, Universität Koblenz-Landau Siehe package algorithm.sorting 36

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38 38 Vertiefung in Algorithmen und Datenstrukturen Weitere Verfahren (z.b. QuickSort, HeapSort) Nichttriviale Implementationen Nicht-vergleichsbasierte Verfahren Genauere Herleitung von Komplexitäten...

39 Zusammenfassung Sortieren ist ein fundamentales Problem. Viele Wege führen nach Rom. Ausblick Welcher Weg ist effizient(er)? Wie weiß man, dass korrekt sortiert wird? Wie abstrahiert man z.b. von dem Elementtyp?...