Vorkurs Informatik SoSe18 Java Methoden Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth, 27.03.2018
Einleitung Rekursion Übung Objektorientierung OOP mit Java Vererbung Weitere Beispiele 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 2
Rekursion Rekursion ist ein wichtiges Prinzip bei der Formulierung von Algorithmen. Es beschreibt die wiederholte Anwendung des gleichen Berechnungsmusters, allerdings i. d. R. auf immer einfachere Daten. Definition Ein rekursives Programm ist ein Programm, das sich selbst aufruft. Meist enthält es eine Abbruchbedingung zur Beendigung der Rekursion. 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 3
Rekursion Bisher wurden Wiederholungen durch Schleifen gelöst Aber nicht alle Probleme lassen sich nur mit Schleifenlösen Außerdem viele Algorithmen benutzen das divide and conquer-prinzip Fakultät n! = n (n 1)... 2 1 Potenzierung a n = a n 1 a, a 0 = 1 Fibonacci-Funktion, Binomialkoeffzient, ggt, mod Such- und Sortierprobleme (z.b. in AuD) 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 4
Klassifikation rekursiver Situationen Rekursive Definitionen umfassen i. d. R. mindestens 2 Fälle: Basisfall (Abbruch der Rekursion) Rekursionsschritt (rekursive Definition) Was ist was? 1 public static int fak(int n) { 2 if (n <= 1) { 3 return 1; 4 } 5 return n * fak(n - 1); 6 } 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 5
Vor- und Nachteile Vorteile: Mathematische Definition divide and conquer-prinzip Leichter lesbar und verständlicher für den Menschen Fehler bleiben lokal leichteres Debuggen Nachteile: Fehlendes Verständnis führt zur Endlosrekursion Auch bei korrekter Arbeitsweise kann ein Stack Overflow auftreten Horror für die CPU! 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 6
1. Beispiel Gegeben sei die folgende rekursive Methode: 1 static int f(int x, int y) { 2 if (x == 1) 3 return 3; 4 else if (y <= 4) 5 return 1; 6 else 7 return 3 * f(x - 2, y - 3) - 2 * f(x - 2, y); 8 } Welchen Wert liefert der Aufruf f(9,7)? In welcher Reihenfolge und mit welchen Parametern wird f dabei aufgerufen? Geben Sie die Reihenfolge der Aufrufe explizit an. Wie groß ist die maximale Rekursionstiefe, d. h. die maximale Anzahl gleichzeitig aktiver Aufrufe? Terminiert für alle x 0, y 0 der Aufruf f(x,y) mit der Rückgabe eines int-wertes? Begründen Sie Ihre Antwort. 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 7
Lösung vom 1. Beispiel f (9, 7) f (7, 4) f (7, 7) 1 f (5, 4) f (5, 7) 1 f (3, 4) f (3, 7) 1 f (1, 4) f (1, 7) f (9, 7) = 15 und Rekursionstiefe ist 5 Terminiert die Rekursion immer? 3 3 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 8
2. Beispiel Gegeben sei die folgende rekursive Methode: 1 static int f(int x, int y) { 2 if (x <= 1) { 3 return 2; 4 } else if (y <= 0) { 5 return 1; 6 } else 7 return 2 * (f(x + 1, y - 3) - f(x - 3, y)) + 1; 8 } Welchen Wert liefert der Aufruf f(5,4)? In welcher Reihenfolge und mit welchen Parametern wird f dabei aufgerufen? Geben Sie die Reihenfolge der Aufrufe explizit an. Wie groß ist die maximale Rekursionstiefe, d. h. die maximale Anzahl gleichzeitig aktiver Aufrufe? Terminiert für alle x 0, y 0 der Aufruf f(x,y) mit der Rückgabe eines int-wertes? 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 9
Lösung vom 2. Beispiel Einleitung Rekursion Übung Objektorientierung OOP mit Java Vererbung Danke Weitere Beispiele Aufruf f (x, y) 1 f (5, 4) f (5, 4) 2 f (6, 1) 3 f (7, 2) f (6, 1) f (2, 4) 4 f (3, 1) 5 f (4, 2) 6 f (0, 1) f (7, 2) f (3, 1) f (3, 1) f ( 1, 4) 7 f (2, 4) 8 f (3, 1) 1 f (4, 2) f (0, 1) f (4, 2) f (0, 1) 2 9 f (4, 2) 10 f (0, 1) 1 2 1 2 11 f ( 1, 4) f (5, 4) = 21 und Rekursionstiefe ist 4 Terminiert die Rekursion immer? 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 10
3. Beispiel Gegeben sei die folgende rekursive Methode: 1 static int f(int x, int y) { 2 if (x == 1) 3 return y - 1; 4 else 5 if (x == y) 6 return f(1, y); 7 else 8 return f(x % 2, f(x - 2, y + 1) + 2); 9 } Welchen Wert liefert der Aufruf f(11,5)? In welcher Reihenfolge und mit welchen Parametern wird f dabei aufgerufen? Geben Sie die Reihenfolge der Aufrufe explizit an. Wie groß ist die maximale Rekursionstiefe, d. h. die maximale Anzahl gleichzeitig aktiver Aufrufe? Terminiert für alle x 0, y 0 der Aufruf f(x,y) mit der Rückgabe eines int-wertes? 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 11
Lösung vom 3. Beispiel f (11, 5) Aufruf f (x, y) 1 f (11, 5) 2 f (9, 6) 3 f (7, 7) 4 f (1, 7) 5 f (1, 8) 6 f (1, 9) f (9, 6) f (7, 7) f (1, 8) f (1, 7) 7 f (1, 9) 8 6 f (11, 5) = 8 und Rekursionstiefe ist 4 (der Aufrufbaum ist leider nicht besser darstellbar) Terminiert die Rekursion immer? 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 12
Objektorientierung Spezifikation GUI mit Star Trek und Star Wars Symbolen Klick auf Symbol: Drehen um 360 Pro Symbol bestimmte Titelmelodie abspielen Zwei Programmierer: Larry (prozedural)und Brad (objektorientiert) Wer zuerst liefert, bekommt einen neuen Bürostuhl.
Die erste Version Larry überlegt sich: Was muss das Programm machen? rotate und playsound welche auf Formen reagieren rotate(shapenum) { //Rotiere Form um 360 Grad } playsound(shapenum) { // Prueft, welche Musik zum Symbol gehoert // Spiele Datei ab } Brad überlegt sich: Welche Dinge tauchen im Programm auf? Formen, welche etwas ausführen rotate und playsound class StarWars { rotate() { //Drehe ein Symbol } playsound() { //Spiele Musik fuer Star Wars ab } } class StarTrek { rotate() { //Drehe ein Symbol } playsound() { //Spiele Star Trek Melodie } }
Aber... Larry wird als erster fertig. Aber jetzt gibt es eine Änderung der Spezifikation: Erweiterung der Spezifikation Neues Symbol für Fans von The Expanse Sounddatei für The Expanse 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 15
Die zweite Version Larry passt die playsound an (+)Schnell (-)Muss getesteten Code ändern! (-)Unübersichtlich 1 playsound(shapenum) { 2 if (/*Form ist kein The Expanse Symbol*/) { 3 // Prueft, welche Musik zur Form gehoert 4 // Spiele Datei ab 5 } else { 6 //Spiele The Expanse Sounddatei ab 7 } 8 } Brad erstellt eine neue Klasse (+)Übersichtlich (+)Lokale Änderungen (-)Muss Code kopieren! (-)Langsam 1 class TheExpanse { 2 rotate() { 3 //Drehe The Expanse 4 } 5 playsound() { 6 //Spiele Musik fuer The Expanse ab 7 } 8 } 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 16
Der Projektmanager schlägt wieder zu Larry wird wieder als erster fertig. Aber es noch gibt eine Änderung der Spezifikation: Änderung der Spezifikation The Expanse Symbol soll sich nicht nur um Mittelpunkt, sondern um einen frei wählbaren Punkt drehen. 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 17
Die dritte Version Larry muss die Definition ändern. (-)Anpassen jedes Aufrufs von rotate! (-)Führt schnell zu Fehlern (-)Unübersichtlich 1 rotate(int x, int y, Shape symbol) { 2 if (/*Form ist kein The Expanse Symbol*/) { 3 //Rotiere um Box -Mittelpunkt 4 } else { 5 //Werde groesser 6 } 7 } Brad passt die Klasse an. (+)Lokale Änderungen (+)Übersichtlich (+)Schnell 1 class TheExpanse { 2 int rotx; 3 int roty; 4 rotate() { 5 //Drehe Symbol um Punkt x, y 6 } 7 playsound() { 8 //Unveraendert 9 } 10 } 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 18
Der Trick mit der Vererbung Verursacht Brads OOP Ansatz doppelten Code zwischen den Methoden? Nicht unbedingt Auslagern gemeinsamer Eigenschaften in übergeordnete Klasse Vererbung
Noch ein Trick: Überschreiben Nun würden aber alle Formen gleich rotieren Das The Expanse Symbol würde das Verhalten der Elternklasse erben. Methoden können in Unterklassen geändert werden Überschreiben von Methoden
OOP Objekte = Verhalten (durch Methoden) + Daten (durch Attribute) Klassen = Baupläne für Objekte Kapselung von Programmteilen Einfacheres Ändern von Programmen Wiederverwendung von Programmteilen 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 21
Klassen in Java 1 ZugriffsBeschraenker class KlassenName { 2 // Attribute 3 // Methoden 4 } Eine Klasse mit public-zugriffsbeschränker pro.java-datei 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 22
Attribute in Java Attribute beschreiben die Daten, die jedes Objekt speichert Klasse gibt an, welche Attribute Objekte dieser Klasse haben Jedes Objekt verfügt über eine eigene Kopie dieser Attribute Änderungen an den Attributen eines Objektes wirken sich nur auf dieses Objekt aus Attribute sollen fast immer private sein. Werden fast wie lokale Variablen definiert. 1 ZugriffsBeschraenker class KlassenName { 2 Typ attributsname; 3 Typ attributsname = Initialisierungswert. 4 // Methoden 5 }
Methoden Methoden sind die Aktionen, die mit einem Objekt ausgeführt werden können Statische Methoden kennen wir schon Unterschied zu statischen Methoden: Sie arbeiten auf einzelnen Objekten 1 ZugriffsBeschraenker class KlassenName { 2 // Attribute 3 Zugriffsbeschraenker Rueckgabetyp name(t1 Paramter1,...) { 4 // Anweisungen 5 } 6 } 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 24
Zugriffsbeschränker Beschränker erlauben es Elemente nach außen hin zu versteckt. Dies erschwert unsachgemäße Verwendung von Objekten und erleichtert Kapselung. Beschränker Klasse Paket Unterklassen Rest public Y Y Y Y protected Y Y Y N keine Angabe Y Y N N private Y N N N Normalerweise reichen public und private. 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 25
Beispiel: Counter Einleitung Rekursion Übung Objektorientierung OOP mit Java Vererbung Danke Weitere Beispiele 1 public class Counter { 2 private int count; 3 4 public void increase() { 5 count++; 6 } 7 8 public int getcount() { 9 return count; 10 } 11 12 public void reset() { 13 count = 0; 14 } 15 } 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 26
Erzeugen von Objekten Wir können nun selber Klassen erstellen, wie werden diese nun verwendet? new erzeugt neue Objekte Syntax: new Klassenname(Konstruktorparameter) new gibt eine Referenz auf das neue Objekt zurück 1 Counter c = new Counter();
null Nullreferenz Variable von Referenztyp zeigt auf nichts Standardwert von Attributen mit Referenzdatentyp 1 Counter c = null; 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 28
Der. Operator Wir können jetzt neue Objekte erzeugen. Wie benutzt man nun ein Objekt? Der.-Operator kann auf eine Referenz angewendet werden, um auf die Attribute und Methoden des referenzierten Objektes zuzugreifen. Voraussetzung ist, dass der Zugriff erlaubt ist (Beschränker) Syntax: referenz.element 1 Counter c = new Counter(); 2 c.increase(); 3 c.increase(); 4 c.reset(); 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 29
Konstruktoren Oft müssen beim Erzeugen von Objekten Attribute initialisiert werden Vom Benutzer der Klasse zu verlangen, dass er die Attribute selber nach dem Erzeugen setzt, kann zu Fehlern führen Konstruktoren sind Methoden, die beim Erzeugen des Objektes aufgerufen werden. Kein Rückgabetyp, gleicher Name wie Klasse Falls keiner selber definiert: Default Konstruktor ohne Parameter Klassenname() wird automatisch erzeugt Konstruktoren werden nicht vererbt 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 30
Beispiel: Counter 1 public class Counter { 2 private int count; 3 public Counter() { 4 this(1); 5 } 6 public Counter(int start) { 7 count = start; 8 } 9 public void increase() { 10 count++; 11 } 12 public int getcount() { 13 return count; 14 } 15 public void reset() { 16 count = 0; 17 } 18 }
static static markiert Elemente von Klassen als statisch Wird normalerweise hinter dem Zugriffsbeschränker angegeben Für statische Attribute existiert nur eine einzige Kopie, die von allen Objektinstanzen dieser Klasse geteilt wird. Statische Methoden können ohne Objektinstanz genutzt werden, dürfen aber auch nur auf statische Elemente der Klasse zugreifen Nicht-statische Attribute existieren nur für Objektinstanzen, statische Methodenaufrufe operieren auf keinem Objekt Zugriff mit Klassenname.Element 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 32
Überladen von Methoden Mehrere Methoden in einer Klasse können denselben Namen haben Müssen sich in der Parameterliste unterscheiden (durch andere Typen, andere Anzahl von Parametern oder beidem) Rückgabetyp wird nicht zur Unterscheidung herangezogen Auswahl der passenden Methode geschieht zur Kompilierzeit 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 33
final final vor Attributen und lokalen Variablen verhindert das Ändern derer Werte Für Referenztypen heißt dies: Es kann nicht geändert werden, worauf die Referenz zeigt. Das referenzierte Objekt an sich ist jedoch noch veränderbar. final vor Klassen: Von der Klasse kann nicht geerbt werden final vor Methoden: Kein Überschreiben möglich 1 import java.util.*; 2 public class Fin { 3 public static final List <String > l = new ArrayList <>(); 4 public static int ANSWER = 42; 5 6 public static void main(string[] args) { 7 System.out.println(l); 8 // Geht nicht, da l final ist 9 //l = new ArrayList <String >(); 10 // Das referenzierte Objekt selbst kann geaendert werden 11 l.add("test"); 12 System.out.println(l); 13 } 14 } Fin.java
Vererbung in Java Vererbung ermöglicht es, Klassen zu spezialisieren Wiederverwendung vorhandener Klassen Kindsklasse erhält alle Attribute und Methoden der Elternklasse Syntax: class Kindsklasse extends Elternklasse... Objekte der Kindsklasse sind auch Objekte der Elternklasse Kindsklasse kann Methoden ändern (überschreiben), Zugriff auf Version der Elternklasse mit super Jede Klasse hat genau eine direkte Elternklasse, ohne Angabe Object
Ein schneller Counter 1 public class Counter { 2 private int count; 3 4 public Counter(int start) { 5 this.count = start; 6 } 7 8 protected setcount(int count) { 9 this.count = count; 10 } 11 12 public void increase() { 13 count++; 14 } 15 16 public int getcount() { 17 return count; 18 } 19 20 public void reset() { 21 count = 0; 22 } 23 }
Ein schneller Counter Wichtig: Kindsklasse darf nicht auf private Elemente der Elternklasse zugreifen! Wichtig: Konstruktoren werden nicht vererbt! setcount ist protected, damit die Unterklasse, den Counter freier setzen kann Alternativ: Mehrfache Benutzung von increase der Elternklasse 1 public class FastCounter extends Counter { 2 3 public FastCounter(int start) { 4 super(start); 5 } 6 7 public void increase() { 8 setcount(getcount() + 2); 9 } 10 } 1 public void increase() { 2 super.increase(); 3 super.increase(); 4 }
Polymorphie Jedes Objekt einer Kindsklasse ist auch ein Objekt seiner Elternklassen. 1 Counter c = new FastCounter (0); Java löst Methodenaufrufe auf Objekte zur Laufzeit auf 1 c.increase(); // Ruft increase von FastCounter auf, obwohl c eine Counter -Referenz ist 2 System.out.println(c.getCount()); // <- 2 Es wird die Methode des Typs des referenzierten Objektes aufgerufen, nicht die vom Typ der Referenz! Das Objekt selbst weiß, wie es was tun muss
equals Alle Klassen erben von Object Object hat Methode public boolean equals(object o) Ohne Überschreiben wie == Kann in Unterklasse überschrieben werden, um wertmäßig zu vergleichen Da eine Referenz auf ein Object übergeben wird, muss man beim überschreiben auf zwei Sachen achten: null und den richtigen Typ obj instanceof Klasse gibt true zurück, wenn o nicht null ist und ein Objekt vom Typ der angegebenen Klasse ist 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 39
Abstrakte Klassen Klassen, von denen keine Objektinstanzen erzeugt werden können Baupläne für andere Klassen Sind mit abstract markiert. Können Methoden ohne Implementierung enthalten Diese Methoden müssen auch mit abstract markiert werden. 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 40
Interfaces Interfaces geben an, über welche Methoden eine Klasse verfügt Implementierung kann mitgegeben werden (default seit Java 8). Eine Klasse kann beliebig viele Interfaces implementieren (im Vergleich zum Erben, maximal 2 16 1 = 65535) Die Definition eines Interfaces wird mit interface eingeleitet. Klassen implementieren Interfaces mit implements. Interfaces sind Typen Gegen Interfacetyp programmieren Implementierungen einfach austauschbar Interfaces erben von Interfaces mit extends 1 ZugriffsBeschraenker interface KlassenName { 2 // Statische Konstanten (public, static, final sind implizit) 3 int ANSWER = 42; 4 // Abstrakte Methoden (abstract, public sind implizit) 5 void foo(); 6 } 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 41
Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 42
4. Beispiel Gegeben sei die folgende rekursive Methode: 1 static int f(int x, int y) { 2 if (y < 3) 3 return 2; 4 else if (x == 0) 5 return 3; 6 else 7 return 2 * (f(x - 2, y) - f(x - 3, y / 2)); 8 } Welchen Wert liefert der Aufruf f(10,3)? In welcher Reihenfolge und mit welchen Parametern wird f dabei aufgerufen? Geben Sie die Reihenfolge der Aufrufe explizit an. Wie groß ist die maximale Rekursionstiefe, d. h. die maximale Anzahl gleichzeitig aktiver Aufrufe? Terminiert für alle x 0, y 0 der Aufruf f(x,y) mit der Rückgabe eines int-wertes? 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 43
5. Beispiel Gegeben sei die folgende rekursive Methode: 1 static int f(int x, int y) { 2 if (y >= 4) 3 return 1; 4 else if (x <= 1) 5 return 2; 6 else 7 return 3 * f(x - 2, y + 1) - f(x, y + 1); 8 } Welchen Wert liefert der Aufruf f(3,-1)? In welcher Reihenfolge und mit welchen Parametern wird f dabei aufgerufen? Geben Sie die Reihenfolge der Aufrufe explizit an. Wie groß ist die maximale Rekursionstiefe, d. h. die maximale Anzahl gleichzeitig aktiver Aufrufe? 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 44
Lösung vom 4. Beispiel Aufruf f (x, y) 1 f (10, 3) 2 f (8, 3) 3 f (6, 3) 4 f (4, 3) 5 f (2, 3) 6 f (0, 3) 7 f ( 1, 1) 8 f (1, 1) 9 f (3, 1) 10 f (5, 1) 11 f (7, 1) f (0, 3) f (2, 3) f (4, 3) f ( 1, 1) 3 2 f (10, 3) = 28 und Rekursionstiefe ist 6 Terminiert die Rekursion immer? f (6, 3) f (1, 1) 2 f (8, 3) f (3, 1) 2 f (10, 3) f (5, 1) 2 f (7, 1) 2
Lösung vom 5. Beispiel Aufruf f (x, y) 1 f (3, 1) 2 f (1, 0) 3 f (3, 0) 4 f (1, 1) 5 f (3, 1) 6 f (1, 2) 7 f (3, 2) 8 f (1, 3) 9 f (3, 3) 10 f (1, 4) 11 f (3, 4) f (1, 0) f (3, 1) f (1, 1) f (3, 1) = 2 und Rekursionstiefe ist 6 Terminiert die Rekursion immer? 2 2 f (3, 0) f (1, 2) 2 f (3, 1) f (3, 2) f (1, 3) f (3, 3) 2 f (1, 4) 1 f (3, 4) 1
Horror für die CPU Bei jedem Aufruf Erstellen einen Stackframes auf dem Stack Kopieren des Parameters Retten von Registern (Kleine Zwischenspeicher in der CPU) Bei jedem Return Schreiben des Rückgabewertes Wiederherstellen der Register Rekursion ist langsam! fak(1) fak(2) fak(3) fak(4) fak(5) main() Aber: Compiler versuchen Rekursionen in Schleifen zu transformieren. Jedoch ist dies nur bei µ Rekursion möglich! 27.03.2018 Dr. Werner Struckmann / Maximilian von Unwerth Vorkurs Informatik SoSe18 Seite 47