Relativistische Physik

12 Relativistische Physik Inhalt 12.1 MaßstäbeundUhren RaumundZeit... 607 12.2 Gleichzeitigkeit... 616 12.3 DieLorentz-Transformation... 627 12.4 Vierervektoren... 628 12.5 Relativistischer Doppler-Effekt... 630 12.6 Addition von Geschwindigkeiten...... 633 12.7 RelativistischesSehen... 634 12.8 Relativistischer Impuls und relativistische Energie.... 639 12.9 Elektromagnetische Felder und Bewegung..... 644 12.10GravitationundKosmologie... 650 Einleitung Kaum ein Gedankengebäude ist so ausschließlich mit einem Namen verknüpft wie der Einsteins mit der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie. Für die spezielle gab es Vorläufer wie Lorentz, Poincaré, Hasenöhrl; die allgemeine hat bisher noch jeden Test bestanden und scheint allen Alternativansätzen überlegen zu sein. Dabei bekam Albert Einstein 1921 seinen Nobelpreis nicht dafür (trotz der sensationellen Bestätigung bei der totalen Sonnenfinsternis 1919 galt die Sache offenbar immer noch nicht als ganz gesichert), sondern für die Erklärung des Photoeffekts, die wiederum sogar ein Max Planck für,,etwas über das Ziel hinausgeschossen ansah, wie er noch 1913 in seinem sonst sehr günstigen Gutachten über Einsteins Aufnahme in die Akademie der Wissenschaften schrieb. Die spezielle Relativitätstheorie markiert aber nicht nur einen Wendepunkt in unserem Verständnis der materiellen Welt, sie hat auch ganz alltägliche Auswirkungen. So würde das Global Positioning System (GPS) ohne unser Verständnis der Relativitätstheorie überhaupt nicht funktionieren. Auch die eindeutige Definition des Meters, mit der die Zeit festgelegt ist, die das Licht braucht, um gerade diese Strecke zurückzulegen, ist eine Konsequenz der speziellen Relativitätstheorie.,,Das Erstaunlichste an der Welt ist, dass man sie verstehen kann. Albert Einstein 12.1 Maßstäbe und Uhren Raum und Zeit Wir werden in Raum und Zeit geboren, in jedem Pass stehen Geburtsort und Geburtsdatum der Träger. Das Verständnis für räumliche Zusammenhang ist uns in die Wiege gelegt, wir erfassen schnell die drei Raumrichtungen und wir können Abstände zwischen ruhenden Gegenständen an verschiedenen Orten mit einem Maßstab quantifizieren. Wir können drei

608 12. Relativistische Physik Koordinaten angeben, um den Geburtsort zu bezeichnen: Längengrad, Breitengrad, Höhe über dem Meeresspiegel. Dabei haben wir aber schon ein Bezugssystem festgelegt. Es lässt sich durch seinen Ursprung beschreiben: Den 0 -Meridian in Greenwich, den Äquator und den normierten Meeresspiegel. Das Ereignis der Geburt wird aber erst mit der Angabe des Geburtsdatums vollständig. Es ist selbstverständlich, dass wir Ereignisse mit vier Größen, dem Kalenderdatum oder Zeitpunkt und drei Raumkoordinaten beschreiben. Dabei scheint es uns auch selbstverständlich, die Zeit mit einer Uhr zu messen, unser Lebensrhythmus wird durch die Uhr nur allzu oft unangenehm diktiert. Lehrveranstaltungen in ein und demselben Hörsaal etwa werden durch ihren Beginn und ihre Dauer, die mit der Wanduhr zu messen sind, in eine wohlgeordnete Reihenfolge gebracht. Schwieriger wird es, wenn wir Gleichzeitigkeit von Ereignissen an verschiedenen Orten feststellen wollen. Sollen zwei Züge in zwei verschiedenen Orten auf einer eingleisigen Strecke in entgegengesetzten Richtungen so abfahren, dass sie gleichzeitig in einem Ausweichbahnhof treffen und damit insbesondere Kollisionen vermeiden, so müssen die Uhren,,richtig gestellt, sie müssen synchronisiert sein. Wie können wir aber die Synchronisation erreichen? Wir können von einer Normaluhr z. B. per Telefon Nachrichten an zwei entfernte Uhren übermitteln, die aber selbst wieder Übertragungszeit verbrauchen, die womöglich von der Richtung abhängt. Oder wir synchronisieren die Uhren am gleichen Ort und bringen sie dann an die Bahnhöfe. Dann ist aber nicht klar, welchen Einfluss die Bewegung auf die Ganggenauigkeit der Uhren hat. Das Problem der Gleichzeitigkeit, das schon die Eisenbahner des 19. Jahrhunderts vor ernsthafte technologische Herausforderungen gestellt hat, hat Einstein, zuvor aber auch schon Poincarè zur Beschäftigung mit der Frage der Gleichzeitigkeit und mit der Ganggenauigkeit und der Ausbreitung von Signalen in ruhenden und bewegten Bezugssystemen veranlasst. 12.1.1 Bezugs- oder Inertialsysteme Gibt es absolute Ruhe? Zwei Beobachter mögen sich gleichförmig-geradlinig zueinander bewegen; jeder behaupte, er ruhe. Eine Entscheidung könnte durch Experimente gefällt werden. Stellen Sie sich möglichst viele solcher Experimente und ihren Ausgang vor, wie das schon Galilei tat. Er erkannte ebenso wie Newton, dass mindestens alle mechanischen Experimente in beiden Systemen völlig gleich verlaufen müssen. Der Grund ist ganz allgemein: Alle Mechanik ist aus Newtons Axiomen ableitbar (vgl. Abschn. 1.3.4), und diese reden überhaupt nicht von Geschwindigkeit. Von Beschleunigung reden sie, und deshalb ist sehr wohl feststellbar, ob jemand beschleunigt wird. Das zeigt sich durch das Auftreten von Trägheitskräften. Unbeschleunigte Bezugssysteme, die sich relativ zu einander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, heißen Inertialsysteme. Die Galileitransformation gibt an, wie sich die Koordinaten (r(t), t) eines Körpers

12.1 Maßstäbe und Uhren Raum und Zeit beim Wechsel in ein Bezugssystem ändern, das sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit v bewegt: r = r + vt und t = t (12.1) t Die Zeit t = wird dabei als eine absolute Größe angenommen. Ganz offensichtlich folgt daraus sofort die Transformationsvorschrift für Geschwindigkeiten u u, die einfache Addition nämlich: u = d/dt r = v + d/dt r = v + u. (12.2) Wo Geschwindigkeiten eine Rolle spielen, etwa wo Kräfte wie Luftwiderstand oder Reibung davon abhängen, handelt es sich immer um Relativgeschwindigkeiten zwischen zwei Körpern. Ob der Wind,,von selbst weht oder ob er ein Fahrtwind ist, spielt für die Wechselwirkung mit ihm keine Rolle. Analog ist es beim Doppler-Effekt in der Akustik, wobei allerdings die Relativbewegungen von drei Körpern, der Quelle, des Empfängers und der Luft, zu beachten sind (vgl. Abschn. 4.3.5). Ob optische und elektromagnetische Experimente ebenso unfähig sind, etwas über die absolute Bewegung des Systems auszusagen, in dem sie sich abspielen, war anfangs nicht so sicher. Dass das Licht sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet, war seit den Tagen von O. Roemer bekannt (vgl. Abschn. 9.3.1). Bis 1900 zweifelte aber kaum jemand, dass sich das Licht ähnlich dem Schall in einem materiellen Träger ausbreitet, dem Äther,,wenn Licht Schwingungen darstellt, muss doch etwas da sein, was schwingt. Dieser Äther musste eine unvorstellbar geringe Dichte haben, dabei aber hochelastisch sein, vor allem aber die ganze Welt mit Ausnahme vielleicht der völlig undurchsichtigen Körper erfüllen. Infolge dieser Allgegenwart würde er aber ein absolut ruhendes System definieren, nämlich dasjenige, in dem er selbst ruht. Absolute Bewegung, also Bewegung gegen den Äther, ließe sich dann durch optische, interferometrische Experimente nachweisen. 12.1.2 Das Michelson-Experiment Betrachten wir zunächst eine Situation in bewegten Bezugssystemen im Sinne von Galilei, die auf Michelson selbst zurückgeht. Von zwei gleich guten Schwimmern soll der eine (A) quer über den Fluss und zurück, der andere (B) eine gleich lange Strecke L flussaufwärts und wieder zurückschwimmen (Abb. 12.1). Der erste wird gewinnen, und zwar um die Zeitdifferenz L v 2 2L 1 1 (v/c)2, (12.3) t = c c c 1 (v/c)2 wenn beide mit der Geschwindigkeit c (relativ zum Wasser!) schwimmen und der Fluss mit v strömt. Die Näherung in (12.3) gilt für v c und lässt den Einfluss des bewegten Bezugssystems leichter erkennen. Beispiel... Um welchen Winkel muss A,,vorhalten, damit er genau gegenüber ankommt? Welcher der Schwimmer ist eher am Ausgangspunkt angelangt, und um wie viel? Abb. 12.1. Zwei gleich gute Schwimmer (A, B) legen mit gleicher Geschwindigkeit gleich lange Strecken in einem Fluss zurück. Der eine schwimmt parallel, der andere senkrecht zur Fließgeschwindigkeit v < c. Schwimmt der Beobachter auf dem Strom mit (unten), sieht er die Schwimmer unterschiedlich lange Wege zurücklegen, SAZ < SBZ 609

610 12. Relativistische Physik Der Fluss soll überall die gleiche Strömungsgeschwindigkeit haben. Schwimmer A hält um ϕ mit sin ϕ = v/c vor und braucht t A = 2L/(c cos ϕ) = 2L/(c 1 (v/c) 2 ), Schwimmer B braucht t B = L/(c v) + L/(c + v) = 2Lc/(c 2 v 2 ),alsot B /t A = 1/ 1 (v/c) 2. Spiegel 2 Spiegel 1 Strahlteilerplatte Kompensatorplatte Lichtquelle Beobachtungsfernrohr Abb. 12.2. Der Versuch von Michelson und Morley, der die Bewegung der Erde gegen einen ruhenden Äther nachweisen sollte. Das Interferometer hat zwei orthogonale, genau gleich lange Arme. Drehung um 90 vertauscht die Wirkung der angenommenen Bewegung auf die Laufzeitdifferenz. Die Laufzeitänderung wurde als Verschiebung der zu beobachtenden Interferenzfigur erwartet. Sie blieb jedoch aus. Die Kompensatorplatte eliminiert die durch den Strahlteiler verursachte unterschiedliche Dispersion in den beiden Interferometerarmen Ersetzt man die Schwimmer durch zwei Lichtstrahlen, das Wasser durch den Äther und das Ufer durch die Erde (oder das Labor), so hat man offenbar eine völlige Analogie. Messung der Zeitdifferenz würde die Bestimmung der Geschwindigkeit v gestatten, mit welcher der Äther an der Erde vorbei oder diese durch den Äther streicht. Falls man eine Zeitdifferenz fände, sollte sie auch,,jahreszeiten haben, weil die Erde bestimmt z. B. an zwei gegenüberliegenden Punkten ihrer Bahn um die Sonne verschiedene Geschwindigkeiten hat (Unterschied 60 km/s), also müssten z. B. im Sommer und im Winter verschiedene Zeitdifferenzen auftreten. Zeitdifferenzen der fraglichen Größenordnung sind mit optischen Mitteln völlig sicher messbar, und zwar durch interferometrischen Vergleich der Laufzeiten von zwei genau gleich langen Lichtwegen. Das Experiment verläuft so, dass man einen Lichtstrahl mittels eines halbdurchlässigen Spiegels in zwei kohärente, senkrecht zueinander laufende Strahlen teilt und diese, ganz nach dem Vorbild der beiden Schwimmer (Abb. 12.1), in sich selbst zurückspiegelt und auf einem Punkt des Interferenzschirms wieder vereinigt (Abb. 12.2). Wenn die Lichtgeschwindigkeit durch den unbewegten Äther bestimmt wäre, ergäbe eine Armlänge von 25 m bezogen auf die Geschwindigkeit der Erde relativ zur Sonne gerade einen Gangunterschied von einer halben Wellenlänge grünen Lichts (500 nm) zwischen den beiden Teilstrahlen, der aus anfänglich konstruktiver Interferenz destruktive machte. Dieser Unterschied wäre leicht zu beobachten, aber nichts dergleichen trat ein, es war keine Verschiebung der Interferenzfiguren zu beobachten, weder im Sommer noch im Winter. Dieses negative Ergebnis gehört zu den meistdiskutierten und bestbestätigten (s. Tabelle 12.1) der ganzen Physik. Das für diese Experimente entworfene Zweistrahlinterferometer trägt heute den Namen Michelson-Interferometer und hat zahlreiche andere Anwendungen gefunden (s. Abschn. 10.1.13). Es hat nicht an Versuchen gefehlt, den negativen Ausgang des Michelson-Versuches durch Hilfshypothesen zu erklären. Wenn z. B. die Ausbreitung des Lichts durch die Bewegung seiner Quelle bestimmt wurde (wie dies Newtons Korpuskularhypothese entspräche, die allerdings eigentlich einen Verzicht auf den Äther impliziert), wäre für eine irdische Quelle kein Effekt zu erwarten. Man hat den Michelson-Versuch auch mit Sternlicht ausgeführt, mit dem gleichen negativen Ergebnis. Ein Vorschlag, das negative Ergebnis des Michelson-Versuches zu erklären, heißt Mitführungshypothese. Sie lässt sich experimentell überprüfen: Wenn der Äther in der Nähe der Erde durch diese oder durch die Atmosphäre mitgerissen würde, ließe sich natürlich keine Relativbewegung zwischen Labor und Äther nachweisen. Dass die Luft den Äther mitführen könnte, wird durch den Versuch von Fizeau widerlegt. Dabei wird die Lichtgeschwindigkeit in strömenden Flüssigkeiten gemessen. Es zeigt sich (vom Ätherstandpunkt beschrieben), dass die Körper zwar den Äther mitführen,

12.1 Maßstäbe und Uhren Raum und Zeit 611 Tabelle 12.1. Bestimmung der Koeffizienten in Gl. (12.4) aus Michelson-Morley- (MM) und Kennedy-Thorndike-Experimenten (KT). Die { A, B}-Werte sind für Michelson & Morley auf die Relativgeschwindigkeit der Erde zur Sonne (30 km/s), ab 1930 auf die Geschwindigkeit des Sonnensystems von 377 km/s oder v/c = 0,0013 zur kosmischen Hintergrundstrahlung bezogen. Zitate: [1] A.A. Michelson, Am. J. Sci. 22, 120 (1881); [2] A.A. Michelson, E.W. Morley, Am. J. Sci. 34, 333 (1887); [3] A. Einstein, Ann. Phys. 17, 891 (1905); [4] G. Joos, Ann. Phys. 7, 385 (1930); [5] R.J. Kennedy, E.M. Thorndike Phys. Rev. 42, 400 (1932); [6] A. Brillet, J.L. Hall, Phys. Rev. Lett. 42, 549 (1979); [7] D. Hils, J. Hall, Phys. Rev. Lett. 64, 1697 (1990); [8] C. Braxmaier et al., Phys. Rev. Lett. 88, 010401 (2001); [9] H. Müller et al., Phys. Rev. Lett. 91, 020401 (2003) Jahr Eff. Armlänge (m) A (KT) B (MM) Äthertheorie 1 1 Michelson [1] 1881 1,2 0,005 Michelson & Morley [2] 1887 11 0,0005 Einsteins Postulate [3] 1905 0 0 Joos [4] 1930 21 3 10 5 Kennedy & Thorndike [5] 1932 0,3 3 10 3 Brillet & Hall [6] 1979 34 5 10 9 Hils & Hall [7] 1990 2000 7 10 5 Peters & andere [8] 2001 3000 2 10 5 Peters & andere [9] 2003 900 3 10 9 Verschiebung 1 2 Abb. 12.3. Das Michelson-Morley- Experiment sollte zu einer Verschiebung der Modulation des Interferometersignals führen, ergibt aber ein,,null -Resultat (s. Tabelle 12.2). Die Genauigkeit der Nullmessung wird durch die Schwankungen des Messsignals bestimmt. Daraus lässt sich eine obere Schranke für die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit die Koeffizienten A und B in (12.4) ableiten aber nur unvollständig, und zwar umso besser, je größer ihre Brechzahl ist. Luft mit ihrer Brechzahl nahe 1 bringt keine merkliche Mitführung zustande. Ein anderer Erklärungsversuch stammt von Lorentz und Fitzgerald. Er besagt, dass die erwartete Zeitdifferenz zwischen den Laufzeiten in den beiden Armen des Interferometers genau dadurch kompensiert wird, dass der Arm, der in Richtung des Ätherwindes steht und daher die längere Laufzeit liefern sollte, gerade um einen entsprechenden Betrag verkürzt wird, und zwar infolge seiner Stellung zum Ätherwind. Beim Schwenken des Apparats soll diese Verkürzung demnach auf den anderen Arm übergehen. Das klingt zunächst völlig ad hoc spekuliert, aber Lorentz konnte tatsächlich zeigen, dass sich ein System elektrischer Ladungen unter gewissen Voraussetzungen genau so verhält, nämlich in Bewegungsrichtung um genau den fraglichen Betrag verkürzt. Es war daher nur die recht plausible Annahme nötig, alle Materie bestehe letzten Endes aus elektrischen Ladungen, um dieses Verhalten für sämtliche Maßstäbe postulieren zu können. Allerdings wird man dabei eine misstrauische Verwunderung nicht los, dass die Natur zu so üblen Tricks greifen sollte, um uns die Wahrheit über unseren absoluten Bewegungszustand vorzuenthalten. Um quantitativ zu erfassen, wie,,gut die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit erfüllt ist, verwendet man,,testtheorien, die mögliche Abweichungen vom idealisierten Verhalten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v des Beobachters parametrisieren und messbar machen. In den einfachsten Testtheorien können wir die nach der Äthertheorie erwarteten Änderungen der Lichtgeschwindigkeit für v c in Anlehnung an