WEINACHT. Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme

J. H. WEINACHT Prinzipien zur Lösung mathematischer Probleme Mit 45 Beispielen und 45 Abbildungen FRIEDR. VIEWEG & SOHN BRAUNSCHWEIG

Vorwort In diesem Buche sind Ergebnisse aus meiner langjährigen Tätigkeit als Lehrer für Mathematik niedergelegt. Es war mir stets ein besonderes Anliegen grundsätzlich im Unterricht alle Leitmotive und Fragestellungen zu entwickeln und klar herauszustellen, die zur Auffindung der Lösungen mathematischer Probleme führen. Daß eine solche Unterrichtsweise in hervorragendem Maße der Erziehung zu selbständigem, schöpferischem Denken förderlich ist, liegt auf der Hand. Der mathematische Unterricht erhebt sich dadurch über das rein Fachliche hinaus zu einer Schulung in der Methodik des Denkens. Im Interesse der Lebendigkeit und konkreten Faßlichkeit der Darbietung des Stoffes werden jeweils zunächst Musterlösungen für eine Reihe von Beispielen vorangestellt, aus denen dann erst die oft nur recht allgemein formulierbaren Erkenntnisse in Gestalt von Lösungsprinzipien hergeleitet werden. Die Erläuterung derselben ist so von vornherein gegeben. Ein Anspruch auf Vollständigkeit der Prinzipien wird nicht erhoben. Die Beispiele sind dem Lehrstoff der höheren Schulen entnommen oder befassen sich mit Fragen, die sich dem Mathematiklehrer im Zusammenhang mit seinem Unterricht aufzudrängen pflegen. Ein breiter Raum ist der Geometrie zugedacht worden, weil gerade hier die Phantasie gezwungen ist, die mannigfaltigsten Wege zur Auffindung von Lösungen einzuschlagen. Das Buch ist daher in erster Linie für Mathematiklehrer, für Studienreferendare, für Mathematiker in Seminarausbildung, für Mathematikstudierende der ersten Semester gedacht, denen es Vielfältige Anregungen und Aufschlüsse für Unterricht und Studium geben möchte. Inhalt und Darlegungsart sind so gehalten, daß die Lektüre auch für begabte Schüler der oberen Klassen einer höheren Schule ein sicherer Gewinn ist; ebenso aber auch für jene philosophisch interessierten Nichtmathematiker, die sich ein sachlich richtiges Bild vom Wesen der Mathematik und der mathematischen Arbeitsweise erarbeiten wollen. Möge das Buch dazu anregen, die dargelegten heuristischen Prinzipien noch zu ergänzen und zu vertiefen; ferner sie auch an anderen mathematischen Disziplinen zu studieren! Neustadt/Weinstraße im November 1958. Josef Hermann Weinadtt v

Inhaltsverzeichnis Seite Einführung 1 I. Verstehen der Aufgabe.................................. 3 "Mache Dir eine sorgfältige, übersichtliche Figur!"... 3 "Stelle klar und zergliedert alles Wesentliche heraus!"... 5 "Prüfe sorgfältig jedes wesentliche Wort auf seinen begrifflichen Inhalt!" 5 "Prüfe, ob die Aufgabe einen Sinn hat und eindeutig formuliert ist!".. 6 11. Entwerfen des Lösungsplans... 7 Allgemeines... 7 Das funktionale Denken... 7 Die Rolle der Phantasie, die Bedeutung der Analogie... 7 Die Auswertung einer Analogie... 8 Der Sinn einer Lösung... 9 Allgemeine Richtlinien für einen Lösungsplan... 12 VI 1: Erstellung und statische Erkundung einer Figur... 12 1. Beispiel. Flächenverhältnis zweier Dreiecke - 2 Lösungen... 12 2. Beispiel. Satz des Menelaos - 2 Lösungen... 14 3. Beispiel. Satz des Ceva - 2 Lösungen... 16 4. Beispiel. Peripheriewinkel im Kreis... 20 5. Beispiel. Satz des Pappus................................... 21 6. Beispiel. Gleiche Abschnitte auf einer Kreissehne erzeugt durch die Schenkel eines Peripheriewinkels - 4 Lösungen... 21 7. Beispiel. Schwerpunktskonfiguration eines Tripels gleichseitiger Dreiecke über den Seiten eines beliebigen Dreie,cks - 2 Lösungen und Erweiterung... 24 8. Beispiel. Satz des Ptolemäus und Erweiterung des Satzes von Simson - 2 Lösungen... 28 9. Beispiel. Einbeschreibung eines gegebenen Dreiecks in ein anderes gegebenes... 30 10. Beispiel. Trigonometrische Vermessungsaufgabe. Die elegante Lösung - 3 Lösungen... 33 11. Beispiel. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch Auswertung einer formalen Analogie... 35 12. Beispiel. Eine Konfiguration nach Beispiel 7 soll drei vorgegebene Punkte als freie Ecken haben. Die scharfsinnige Lösung... 35

Seite Zusammenfassung von 1... 37 Beweggründe zum Ziehen von Hilfslinien... 41 2: Die dynamische Erkundung einer Figur... 43 Allgemeines dazu............................................. 43 13. Beispiel. Reflexion eines Lichtstrahls aus gegebenem Punkt in einen andern an einer gegebenen Geraden - 3 Lösungen. Sinn einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden... 44 14. Beispiel. Dreieck kleinsten Umfangs einem gegebenen Dreieck einbeschrieben (Fejer)... 45 15. Beispiel. Neue, Lösung von Beispiel 6. Zwei Beweise hierzu... 46 16. Beispiel. Problem des Apollonius. Erste Lösung... 49 17. Beispiel. a) Problem des Apollonius. Zweite Lösung... 55 17. Beispiel. b) Spitzbogenfensteraufgabe. Drei Lösungen... 56 18. Beispiel. Die Drehstreckung... 58 Transversalenteilungsaufgabe eines Dreiecks - 2 Lösungen... 61 Transversale vorgegebenen Teilverhältnisses durch vier gegebene Gerade... 62 Neue Lösung zu Beispiel 9... 62 Zweite Art von Drehstreckung... 62 19. Beispiel. Die Seiten eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben ist, sollen zu drei gegebenen GeradEm parallel sein............................................ 63 20. Beispiel. Kreissehne mit gegebenem Teilverhältnis durch gegebenen Punkt - 6 Lösungen... 64 21. Beispiel. Verwandlung eines Vierecks... 67 22. Beispiel. Ein Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenen Richtungen der beiden anderen Seiten einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben - 2 Lösungen... 68 23. Beispiel. Dritte Lösung zu Beispiel 7 und Erweiterung desselben durch stetige überführung... 70 24. Beispiel. Das Kriterium für Gemeinsamkeit des Schwerpunkts zweier Dreiecke - 2 Lösungen... 72 25. Beispiel. Schiffskursaufgabe nach Polya... ;... 73 Zusammenfassung zu 2... 74 Einzelfall, Spezialfall, Grenzfall, Erweiterungsfall... 77 Spezialfälle vom Rang einer vollkommenen Analogie... 78 Sonstige Abänderungsmöglichkeiten einer Figur............... 79 Die speziellen Bedingungen eines Problems als Ausgangspunkt jeder Problemlösung... 79 26. Beispiel. Gemeinsame Tangenten an gegebene Parabel und gegebenen Kreis um deren Brennpunkt. Erweiterung der Aufgabe.. 81 3: "Ändere das Problem ab!"... 82 27. Beispiel. Lösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten... 83 VII

Seite 28. Beispiel. Diophantische Gleichung... 84 29. Beispiel. Lösung der Gleichung vierten Grades... 85 30. Beispiel. Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Höhen - 2 Lösungen... 86 31. Beispiel. Konstruktion eines Sehnenvierecks aus seinen vier Seiten... 87 32. Beispiel. Ein Kreis soll auf zwei Seiten eines Dreiecks Sehnen gleicher gegebener Größe auf der dritten eine andere Sehne gegebener Länge ausschneiden... 88 33. Beispiel. I. Drei von einem Punkt ausgehende Strahlen sollen einen gesuchten Kreis in einem Durchmesser und zwei Sehnen gegebener Länge schneiden................................. 89 II. Eine Strecke auf einer gegebenen Geraden soll von zwei gegebenen Punkten aus unter gegebenem Winkel erscheinen.. 90 34. Beispiel. Einem gegebenen Kreise ein Sehnenviereck aus zwei gegebenen Gegenseiten und der Summe der beiden andern einzubeschreiben... 93 35. Beispiel. Eine Transversale in einem Dreieck ist so lang wie jeder der beiden "untern" Abschnitte auf den begrenzenden Seiten.. 94 36. Beispiel. Aufgabe über elliptisches Kreisbüschel - 2 Lösungen.. 95 37. Beispiel. Satz von Desargues... 96 38. Beispiel. Tangente und Fläche einer Ellipse durch Projektion eines Kreises... 97 Zentralprojektion, allgemeine Abbildung und Inversion... 99 39. Beispiel. Steinerscher Schließungssatz... 100 40. Beispiel. Grenzbetrachtung zu 30. Beispiel... 101 Die geometrische Deutung arithmetischer Verhältnisse... 103 41. Beispiel. Die Gleichung: a cos q; + b sin q; - c = 0-2 Lösungen 103 42. Beispiel. Lage der komplexen Nullstellen der Ableitung einer ganzen algebraischen Funktion... 104 Zusammenstellung zu 3... 105 4: "Löse geometrische Probleme auf algebraischem Wege"... 107 Allgemeines... 107 Die Aufstellung von Gleichungen... 107 Die Lösung mit Zirkel und Lineal... 108 43. Beispiel. Vierte Lösung zu Beispiel 7... 109 44. Beispiel. Verallgemeinerung des 11. Beispiels... 109 45. Beispiel. Dreieck aus seinen drei Winkelhalbierenden... 112 111. Durchführung des Lösungsplans, Rückblick, Ausblick... 115 VIII