Erstellen eines Dodekaeders.

Erstellen eines Dodekaeders. In CAD.DE gab es in einem Forum ein Tutorial zur Konstruktion eines Dodekaeders. Es wurde jedoch mit einer anderen, als der hier aufgezeigten, Methode gearbeitet. Die folgende Methode stammt von Rick Mason *), sie ist mit weniger Aufwand verbunden und ist damit auch übersichtlicher. Zum Erstellen des Teils sieht man sich zunächst mit dem Problem konfrontiert wie groß der Winkel zwischen Grundfläche und Seitenteil sein muss. Dieser Winkel ist spezifisch für derartige Figuren. Für den Dodekaeder (kurz für Pentagondodekaeder) ermittelt er sich nach folgender Formel: α = 2arctan(τ) wobei τ = (1+SQRT(5))/2 (der Goldene Schnitt) oder α = arccos(-0.2*sqrt(5)) dies ergibt einen Wert von 116,565. Für dieses Beispiel wird der Ergänzungswinkel zu 180 = 63,43495 genommen. Für ein Fünfeck mit der Kantenlänge = 1 gilt: Aussenkreis Innenkreis = (1/10) * SQRT(50 + 10 * SQRT(5)) = (1/10) * SQRT(25 + 10 * SQRT(5)) Gehen wir mal in die Konstruktionsdetails eines solchen Gebildes... *) Rick Mason; MASCO Design Services Pty Ltd; Sydney, Australia 1

Nachdem ein neues Part-Dokument geöffnet ist, sollte zunächst eine wichtige Variable eingetragen werden: den Ergänzungswinkel zum Öffnungswinkel der beiden Ebenen also die Grundfläche zur Seitenfläche. Da dieser Wert wichtig ist sollte er auch nicht in der Skizzenumgebung überschrieben werden können, daher wird er in Klammern als Formel eingetragen. Als nächsten Schritt erstellen wir eine Skizze für die Grundkonstruktion des Teils. Hier gibt es zwei Möglichkeiten zu beginnen. 1. den Durchmesser des Innenkreises eines Fünfecks durch eine Linie festlegen 2. die Höhe des Dodekaeders durch einen Kreis festlegen Variante 1: 1. Aufruf Skizzenmodus, als Ebene für das Beispiel die x/z Ebene wählen 2. eine Linie im freien Raum mit der Länge z.b. 30 zeichnen. Diese Linie bemassen und dann mit dem Mittelpunkt am Koordinaten-Nullpunkt (wichtig) festlegen. Mit Kolinear wird die Linie an der Achse ausgerichtet (kann entfallen wenn die Linie bereits die Beziehung Horizontal hat). 3. eine zweite Linie am linken Ende schräg nach oben zeichnen. Die Länge ist beliebig. Die Länge der Linie mit der Beziehung Gleich identisch zur ersten setzen. 4. Den Aussenwinkel Linie (1) zu Linie (2) bestimmen. Durch Doppelklick auf das Winkelmaß den Formeleditor aufrufen und dort den Namen der Winkelvariable eingeben. Die Skizze hat jetzt folgendes Aussehen: 2

Als Nächstes wird noch der Kreis, welcher die Höhe des Dodekaeders bestimmt, benötigt. Dafür eignet sich in diesem Fall die Funktion Tangentialkreis. Als ersten Tangentialpunkt wird der Mittelpunkt der waagerechten Linie genommen. Der zweite Punkt kann zunächst beliebig auf der zweiten Linie gewählt werden. Sobald das Tangentialsymbol erscheint den Kreis absetzen. Das sieht dann so aus: Es muß jetzt noch der Kreis an der Linie fixiert werden. Dies wird mit der Beziehung Verbinden bewerkstelligt. Es ist der Mittelpunkt der waagerechten Linie auszuwählen und dann der Kreis. Das Verbinden der zweiten Linie zum Kreis ist nicht notwendig ist aber nicht schädlich. Danach ist die ganze Konstruktion voll bestimmt und hat folgendes Aussehen: Figure 1 Die fertige Variante 1 3

Es fehlt noch eine Linie an der eine Ebene ausgerichtet werden kann. Da das Einzeichnen der Linie für beide Varianten gleich ist, wird sie in der Variante zwei aufgeführt. Variante 2 mit dieser Variante wird die Höhe des Dodekaeders bestimmt und daraus leitet sich die Größe des Fünfecks ab. Für den Kreis benutzen wir aber nicht die Kreisfunktion sondern die Funktion Kreismuster. Damit hat man bereits in der Konstruktion einen Hinweis das hier etwas zu bemustern ist und das Muster kann später benutzt werden. 1. Aufruf Skizzenmodus, als Ebene für das Beispiel die x/z Ebene wählen 2. Kreismuster aufrufen und als Radius die Hälfte der gewünschten Höhe eintragen. Musterelemente auf 2 setzen. 3. Der Kreismittelpunkt wird auf den Koordinatenmittelpunkt (wichtig) gelegt und der Beginnpunkt auf den unteren Scheitelpunkt. Die Richtung des Musters ist beliebig. Der Referenzpunkt ist der untere Scheitelpunkt. 4. der Kreis wird bemaßt. Da dies die einzige Funktion ist welche einen Bogen mit Winkel 360 zuläßt ist das Maß ein Radiusmaß. 5. eine Linie mit beliebiger Länge zeichnen und an deren linken Ende eine weitere Linie schräg nach oben. Linie (2) mit der Beziehung Gleich zur Linie (1) versehen. 6. den Winkel Linie (1) zu Linie (2) mittel Aussenwinkel bestimmen. Durch Doppelklick auf das Winkelmaß wird der Formeleditor aufrufen und in diesem den Namen der Winkelvariable angeben. Die Skizze sieht jetzt so aus: Nun müssen die beiden Linien noch am Kreis tangential ausgerichtet und verbunden werden. 1. mit der Funktion Verbinden: der Mittelpunkt der waagerechten Linie wird mit dem unteren Musterpunkt verbunden (es erscheint das Endpunktsymbol) 2. danach ist diese Linie mit der Beziehung Tangential zum Kreis zu versehen 3. für die zweite Linie ist eine tangentiale Beziehung ausreichend. Das Verbinden des Mittelpunktes der Linie mit dem Kreis ist aber unschädlich. 4

Damit hat die Basiskonstruktion folgendes Aussehen und ist vollbestimmt: Das weitere Vorgehen gilt fuer beide Varianten: was jetzt noch fehlt, ist die Linie zum Erstellen einer Ebene senkrecht zur Kurve. 1. eine Linie vom Mittelpunkt der schrägen Linie zum Kreis zeichnen und an diesem befestigen. 2. die Linie mit der Beziehung Senkrecht zur Ausgangslinie versehen und zur Konstruktionslinie umwandeln. 3. Optional: umwandeln der beiden anderen Linien zu Konstruktionslinien Damit ist die Basiskonstruktion fertig und die Skizze kann abgeschlossen werden. Figure 2 Die fertige Variante 2 5

Jetzt wird das erste Fünfeck erstellt. Dazu wird wieder die Skizzenumgebung aufgerufen. Als Ebene wird die x/y-ebene benötigt. Bei der Auswahl ist zwischen beiden Varianten zu unterscheiden 1. fuer die Variante 1 kann die x/y-ebene direkt benutzt werden 2. fuer die Variante 2 ist im Pulldown Parallelebene zu wählen. Die Lage wird am Endoder Mittelpunkt der horizontalen Linie der Skizze festgelegt. Da (noch) keine Funktion zum Erstellen des Fünfecks vorhanden ist muß es manuell erstellt werden, was recht einfach zu bewerkstelligen ist. Damit nicht versehentlich eine automatische Beziehung zu schon vorhandenen Elementen erstellt wird, zeichnet man es im freien Raum. 1. die erste Linie in beliebiger Länge zeichnen, sie sollte in der Länge durchaus großzügig bemessen sein 2. die weiteren Linien daran anschliessend, so daß sich ein ungefähres Fünfeck ergibt. 3. Es ist darauf zu achten das keine der gezeichneten Linien eine horizontale oder vertikale Beziehung aufweist. 4. die Linien sind dann mit der Beziehung Gleich zur ersten Linie zu versehen Damit daraus ein korrektes Fünfeck wird muß jetzt der Inkreis erstellt werden. Da dieses den Boden bildet und damit ein Musterelement ist, kann hier das Keismuster verwandt werden. Das Kreismuster aufrufen, als Anzahl 5 setzen und den Mittelpunkt ca. in die Mitte des Fünfecks plazieren. Den Startpunkt auf den Mittelpunkt einer Seite legen. Das sollte dann wie nebenstehend aussehen. Der nächste Schritt ist das Ausrichten des Fünfecks am Kreis. 6

Hierzu ist es lediglich erforderlich das die weiteren Linien mit dem Kreis verbunden werden. Dazu sind die Mittelpunkte der Linien mit dem Kreis zu verbinden. Es ist darauf zu achten das nicht mit einem Scheitelpunkt des Kreises verbunden wird! Eine tangentiale Beziehung einer Seite mit dem Kreis dient der Stabilität sie kann auch entfallen. Es sollten keine weiteren Beziehungen gesetzt werden.. Die Skizze sollte jetzt folgendes Aussehen haben. Zur Kontrolle der Stabilität kann der Kreisdurchmesser oder eine der Linien im Maß geändert werden Der nächste Schritt ist jetzt das Fünfeck mit der Basiskonstruktion zu verbinden. Dazu wird zunächst der Mittelpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt der horizontalen Linie oder dem Mittelpunkt der X-Achse verbunden. Dann ist der Mittelpunkt der linken Linie mit dem linken Endpunkt zu verbinden. Nötigenfalls ist die Skizze etwas um die X-Achse zu drehen damit dieser Punkt getroffen wird (wichtig) Dies Skizze ist dann vollbestimmt und kann geschlossen werden. Zur Kontrolle kann der Kreisdurchmesser oder die Länge der Linie in der Basisskizze geändert werden. Es muß sich dann das Fünfeck in der Größe ebenfalls ändern. Das nächste Fünfeck wird analog zu diesem konstruiert, diesmal jedoch auf einer Ebene, die parallel zur schrägen Linie der Basisskzze verläuft. Dazu ist im Pulldown Ebene senkrecht zur Kurve einzustellen und die Ebene am Endpunkt der gezeigten Linie mit Abstand Null zu erzeugen. 7

Zur Konstruktion dieses Fünfecks wird statt Kreismuster die Funktion Kreis oder Kreis über 3 Punkte genommen werden. Hier wird einmal die Funktion Kreis über 3 Punkte zum Erstellen des Inkreises benutzt: 1. Auswahl Mittelpunkt obere Linie 2. Auswahl Mittelpunkt nächste Linie 3. Auswahl Mittelpunkt nächste Linie Das bekommt dann bei der letzten Auswahl folgendes Aussehen und es können die Tangentialbeziehungen gesetzt werden Nachdem das Fünfeck soweit erstellt worden ist wird es mit einem Endpunkt einer Kante am rechten oder linken Endpunkt des vorhandenen Fünfecks fixiert und dann der andere Enpunkt mit dem jeweils anderen Endpunkt. Das Fünfeck muß sich in der Größe anpassen und ist dann voll bestimmt. Die Skizze kann jetzt abgeschlossen werden. Zur Kontrolle kann jetzt wieder über dynamische Änderung der Kreisdurchmesser bzw. die Länge der Linie geändert werden. Es müssen sich beide Fünfecke anpassen. Damit sind alle wesentlichen Vorarbeiten abgeschlossen und es können die Flächen der Fünfecke mit der Funktion Begrenzte Fläche erzeugt werden. Diese Funktion ist je Fünfeck einmal auszuführen. Es werden dazu alle Seiten eines Fünfecks gewählt. 8

Danach sollte die Konstruktion das nebenstehende Aussehen haben. Mit diesen Flächen wird jetzt die Deckfläche und eine weitere Seite mit der Funktion Kreismuster erstellt Es sind beide Flächen als Musterelemente zu wählen. Die Konstruktion: Variante 2 enthält bereits das Muster, sodaß nach Auswahl das Musterprofil genommen werden kann und man ist fertig. Ansonsten werden jetzt mit der Funktion Kreismuster diese einmal kopiert. Als Ebene ist die x/z-ebene anzugeben, die Anzahl ist auf 2 zu setzen, der Mittelpunkt ist gleich dem Mittelpunkt der Z-Achse. Der Start- und Referenzpunkt ist unten. Die Richtung ist beliebig. Nach dem Mustern sieht sollte das Ganze dann wie nebenstehend aussehen. Jetzt muß der Dodekaeder noch sein endgültiges Aussehen erhalten. Dazu wird wieder das Kreismuster benötigt. Es werden die beiden schrägen Flächen (Farbe: türkis im vorstehenden Bild) zum Mustern gewählt. Da das Muster bereits erstellt wurde ist im Pulldown Aus Skizze wählen einzustellen und das Muster im unteren Fünfeck zu nehmen. Nach dem Beenden der Musterfunktion können die Skizzen ausgeblendet werden und das fertige Teil sieht schon recht ordentlich aus. 9

Als letzte Aktion werden noch die Flächen mit der Funktion Flächen vernähen verbunden. Es sind alle Flächen auszuwählen und am Ende sollte die Meldung das ein Solid erzeugt wurde und ob daraus ein Basisformelement erstellt werden soll erscheinen Diese wird mit JA bestätigt und der Dodekaeder ist fertig. Falls mit NEIN bestätigt wurde ist das korrigierbar: das erstellte Formelement auswählen und im Kontextmenü Basisformelement erstellen wählen. Er kann in seiner Größe entweder über den Kreisdurchmesser (Variante 2) oder die Länge der Linie (Variante 1) variiert werden. Figure 3 das Endprodukt 10

In den so erstellten Dodekaeder läßt sich jetzt ein Würfel einzeichnen in dem jeweils 8 Ecken miteinander verbunden werden. Insgesamt können fünf solcher Würfel konstruiert werden. Mit dem eingefügten Würfel bekommt der Dodekaeder folgendes Aussehen. Es ist ersichtlich, daß sich der Dodekaeder auch aus einem Würfel mit aufgesetzten Satteldächern konstruieren liesse. 11